Fundamentos de Robótica Herramientas Matemáticas para la Localización Espacial Matrices de Rotación Ricardo-Franco Mendoza-Garcia [email protected] Escuela Universitaria de Ingeniería Mecánica Universidad de Tarapacá Arica, Chile April 16, 2015 R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Herramientas Matemáticas April 16, 2015 1 / 27 Outline Outline 1 Representación de la posición Coordenadas cartesianas Coordenadas polares y cilíndricas Coordenadas esféricas Representación gráfica de la posición en Sage 2 Representación de la orientación Matrices de rotación Composición de rotaciones Ángulos de Euler Par de rotación Representación gráfica de la orientación en Sage 3 Referencias R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Herramientas Matemáticas April 16, 2015 2 / 27 Representación de la posición Outline 1 Representación de la posición Coordenadas cartesianas Coordenadas polares y cilíndricas Coordenadas esféricas Representación gráfica de la posición en Sage 2 Representación de la orientación Matrices de rotación Composición de rotaciones Ángulos de Euler Par de rotación Representación gráfica de la orientación en Sage 3 Referencias R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Herramientas Matemáticas April 16, 2015 3 / 27 Representación de la posición Coordenadas cartesianas Coordenadas cartesianas en 2 y 3 dimensiones R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Herramientas Matemáticas April 16, 2015 4 / 27 Representación de la posición Coordenadas polares y cilíndricas Coordenadas polares y cilíndricas Las coordenadas cilíndricas especifican “r” la magnitud de la proyección del vector “p” en el plano “OXY”, “θ” el ángulo entre esta proyección y el eje “OX”, y “z” la proyección de “p” en el eje OZ. R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Herramientas Matemáticas April 16, 2015 5 / 27 Representación de la posición Coordenadas esféricas Coordenadas esféricas Las coordenadas esféricas especifican “r” la magnitud del vector “p”, “θ” el ángulo entre su proyección en el plano “OXY” con el eje “OX”, y “φ” el ángulo entre “p” y el eje “OZ”. R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Herramientas Matemáticas April 16, 2015 6 / 27 Representación de la posición Representación gráfica de la posición en Sage Dibujando un sistema de coordenadas 3D en Sage “vect_x, vect_y, vect_z” son vectores unitarios. R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Herramientas Matemáticas April 16, 2015 7 / 27 Representación de la posición Representación gráfica de la posición en Sage Dibujando un vector 3D en Sage R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Herramientas Matemáticas April 16, 2015 8 / 27 Representación de la orientación Outline 1 Representación de la posición Coordenadas cartesianas Coordenadas polares y cilíndricas Coordenadas esféricas Representación gráfica de la posición en Sage 2 Representación de la orientación Matrices de rotación Composición de rotaciones Ángulos de Euler Par de rotación Representación gráfica de la orientación en Sage 3 Referencias R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Herramientas Matemáticas April 16, 2015 9 / 27 Representación de la orientación Matrices de rotación Producto punto Ref: http://en.wikipedia.org/wiki/Dot_product R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Herramientas Matemáticas April 16, 2015 10 / 27 Representación de la orientación Matrices de rotación Producto punto Considerando un sistema de referencia OUV, un vector “P” se puede expresar como P = pu iu + pv jv , con iu y jv vectores unitarios. Ref: http://en.wikipedia.org/wiki/Dot_product R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Herramientas Matemáticas April 16, 2015 11 / 27 Representación de la orientación Matrices de rotación Matrices de rotación Si P = pu iu + pv jv es un vector descrito en OUV, y si OUV es móvil y está rotado α grados en relación a OXY, entonces: R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Herramientas Matemáticas April 16, 2015 12 / 27 Representación de la orientación Matrices de rotación Matriz de rotación 2D Considerando px = ix · (pu iu + pv jv ) y py = jy · (pu iu + pv jv ): Donde, es llamada: “matriz de rotación”. R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Herramientas Matemáticas April 16, 2015 13 / 27 Representación de la orientación Matrices de rotación Matriz de rotación 2D cos(90 + α) = −sen(α) Cuando α = 0, R es igual a la matriz identidad. R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Herramientas Matemáticas April 16, 2015 14 / 27 Representación de la orientación Matrices de rotación Matriz de rotación 3D El mismo principio: Donde, es llamada: “matriz de rotación”. R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Herramientas Matemáticas April 16, 2015 15 / 27 Representación de la orientación Matrices de rotación Rotación sobre eje OX matriz básica de rotación R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Herramientas Matemáticas April 16, 2015 16 / 27 Representación de la orientación Matrices de rotación Rotación sobre eje OY y OZ matriz básica de rot. R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Herramientas Matemáticas matriz básica de rot. April 16, 2015 17 / 27 Representación de la orientación Composición de rotaciones Rotación α, φ, θ Las matrices de rotación en general pueden componerse de matrices de rotación básicas. Si se rota α alrededor de OX, φ alrededor de OY, y θ alrededor de OZ, se obtiene: R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Herramientas Matemáticas April 16, 2015 18 / 27 Representación de la orientación Composición de rotaciones Rotación θ, φ, α Si se rota θ alrededor de OZ, φ alrededor de OY, y α alrededor de OX, se obtiene: R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Herramientas Matemáticas April 16, 2015 19 / 27 Representación de la orientación Composición de rotaciones Multiplicando matrices con expresiones en Sage R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Herramientas Matemáticas April 16, 2015 20 / 27 Representación de la orientación Ángulos de Euler Ángulos de Euler WUW φ alrededor de OZ θ alrededor de OU’ ψ alrededor de OW” R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Herramientas Matemáticas April 16, 2015 21 / 27 Representación de la orientación Ángulos de Euler Ángulos de Euler WVW φ alrededor de OZ θ alrededor de OV’ ψ alrededor de OW” R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Herramientas Matemáticas April 16, 2015 22 / 27 Representación de la orientación Ángulos de Euler Ángulos de Euler XYZ ψ alrededor de OX θ alrededor de OY φ alrededor de OZ R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Herramientas Matemáticas April 16, 2015 23 / 27 Representación de la orientación Par de rotación Par de rotación La aplicación de un par de rotación que rote un vector “p” un ángulo “θ” alrededor del vector unitario “k” se realiza a través de la siguiente expresión: Rot(k , θ)p = p cos(θ) + (k × p)sen(θ) + k (k · p)(1 − cos(θ)) R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Herramientas Matemáticas April 16, 2015 24 / 27 Representación de la orientación Representación gráfica de la orientación en Sage Rotando un sistema de coordenadas 3D en Sage R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Herramientas Matemáticas April 16, 2015 25 / 27 Referencias Outline 1 Representación de la posición Coordenadas cartesianas Coordenadas polares y cilíndricas Coordenadas esféricas Representación gráfica de la posición en Sage 2 Representación de la orientación Matrices de rotación Composición de rotaciones Ángulos de Euler Par de rotación Representación gráfica de la orientación en Sage 3 Referencias R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Herramientas Matemáticas April 16, 2015 26 / 27 Referencias Bibliografía Barrientos, A., Peñín, L.F., Balaguer, C., y Aracil, R., 2007, Fundamentos de Robótica, 2nd edition, McGraw-Hill. R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Herramientas Matemáticas April 16, 2015 27 / 27
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