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Páginas de inicio (Páginas 224 y 225)
Presentación de la unidad
En esta unidad se formalizan y generalizan estrategias de conteo para el cálculo de probabilidades,
tales como permutaciones y variaciones, a partir de contextos cercanos y diversos, para facilitar la
comprensión de estos nuevos conceptos. Estos contenidos, según el currículum antiguo,
corresponderían a 3º Medio.
Antes de comenzar la unidad, es importante revisar el fichero que se encuentra al final del texto
del alumno, para evaluar si es necesario repasar contenidos previos.
Sugerencias para la actividad
• Uno de los requisitos para tomar decisiones es saber cuáles son las opciones que se tienen. Sin
embargo, muchas de estas están sujetas a la incertidumbre, ya sea por sus consecuencias o
resultados. Pues bien, la actividad propuesta apunta a conocer las posibilidades de elección, a
través de las técnicas de conteo. Por otra parte, es interesante la asignación de la probabilidad
para las apuestas.
Santillana Bicentenario
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UNIDAD 7 | Combinatoria y probabilidades
Evaluación diagnóstica (Páginas 226 y 227)
Sugerencias o remediales
• Para el indicador Comprendo e interpreto el concepto de probabilidad: se sugiere trabajar el
concepto de experimento aleatorio con ejemplos concretos. Una posibilidad es comparar
experimentos determinísticos (doblar una rama seca, quemar un papel, etc.) con otros cuyo
resultado sea incierto (determinar la hora en que caerá la próxima lluvia, el próximo resultado
de un partido de fútbol, etc.). Entre los experimentos aleatorios, considerar otros en que los
resultados sean excluyentes pero complementarios a la vez (lanzar una moneda solo tiene dos
posibilidades, obviando que pueda caer de forma perpendicular).
• Para el indicador Identifico el espacio muestral de un experimento y los sucesos pertenecientes a él:
realizar un experimento en el cual sus sucesos sean equiprobables y observar sus resultados. A
partir de esto, comparar diferentes sucesos versus el espacio muestral. Un experimento que
considere dos posibles resultados puede ser útil para mostrar la variabilidad de la probabilidad.
Por ejemplo, calcular la probabilidad de elegir un varón en un curso mixto, al cual se incorporan
mujeres para variar la proporción entre los estudiantes.
• Para el indicador Calculo probabilidades de manera experimental o teórica: analizar en cada
pregunta si es posible establecer una probabilidad experimental o teórica. En el segundo caso,
puesto que las probabilidades se representan mediante un número decimal, se sugiere hacer el
traspaso de dicha cifra a fracción, para determinar la relación entre casos favorables y casos totales.
Probabilidad experimental y teórica (Páginas 228 y 229)
Sugerencias metodológicas
De acuerdo al Marco Curricular aprobado (junio 2009), los(as) estudiantes comienzan a determinar
experimentalmente probabilidades desde 6º Básico. En 8º Básico se formaliza el cálculo de
probabilidad de forma teórica mediante la regla de Laplace. En 1º Medio el enfoque se amplía al
análisis de experimentos aleatorios para que los(as) alumnos(as) identifiquen si es posible calcular una
probabilidad teórica o experimental.
• Se recomienda al docente comenzar esta unidad, rescatando las ideas que los(as) estudiantes
tienen de los conceptos de probabilidad, azar, aleatorio, etc.
• Es importante que los(as) alumnos(as) comprendan que el azar es un concepto ajeno a las
matemáticas, sin embargo, se utiliza para modelar situaciones en las que se desee determinar
probabilidades. Si se dobla una vara hasta romperla, se puede decir que es un experimento
determinístico –se sabe el resultado de antemano– pero también se podría decir que es un
experimento aleatorio con un único resultado, que tiene probabilidad uno. En otros casos, se
conocen todos los resultados posibles de antemano, pero no cuál de ellos, específicamente, será
el que “salga”. A esto es lo que generalmente se denomina experimento aleatorio. También hay
ocasiones en que no es posible predecir, por lo que se deben realizar experimentos repetidas
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veces y utilizar la estadística para obtener conclusiones. En otras, intuitivamente se dice que la
probabilidad “es baja”, pero no hay forma de asignarle un número (¿basados en qué se dice que
la probabilidad de encontrarse con un amigo en el estadio es baja?). Todas estas consideraciones
pueden ayudar a aclarar a los alumnos(as) que la probabilidad se estudia seleccionando
situaciones y obviando otras, de manera que puedan ser modeladas matemáticamente.
• Se sugiere explicar a los(as) estudiantes que los casos extremos en el cálculo de probabilidades,
como por ejemplo, lanzar una moneda y que esta caiga de canto, se descartan para poder
modelar matemáticamente la probabilidad, de hecho, la probabilidad de que esto ocurra no es
cero, pero es tan despreciable que no se considera entre los posibles resultados, por lo tanto,
se asume matemáticamente que es cero, pero no significa que nunca ocurra.
• Un error bastante común en los(as) estudiantes es confundir el concepto de probabilidad como
algo determinístico, en lugar de comprenderlo como una predicción de lo que puede acontecer.
Así, por ejemplo, al experimentar lanzando un dado, si la probabilidad de obtener un 3 resulta 0,2,
puede creer que eso significa que de cada 10 lanzamientos, exactamente 2 de ellos corresponderán a un 3. Se sugiere, entonces, enfatizar que la probabilidad se refiere a la posibilidad de que
ocurra un suceso.
• Se propone repasar los contenidos de porcentajes y frecuencia relativa, ya que son fundamentales
para calcular e interpretar la probabilidad experimental.
Comparación entre probabilidad experimental y teórica (Páginas 230 y 231)
Sugerencias metodológicas
• Se sugiere al docente subrayar las ventajas y desventajas que tiene cada uno de los métodos
aquí presentados, por ejemplo, el método experimental se ajusta mejor a la realidad y siempre
es posible aplicarlo en cualquier tipo de experimento; el método teórico permite adelantarnos
a los hechos y predecir lo que sucederá, pero no es posible aplicarlo en cualquier experimento.
• Mencionar a los(as) alumnos(as) que la Ley de los Grandes Números es la que afirma que mientras
mayor sea el número de experimentos, la probabilidad experimental tenderá a la teórica.
Comentarles también, que a pesar de que no es posible demostrar matemáticamente esta ley, sí
la pueden comprobar a través de la experimentación.
• Para trabajar la ley de los grandes números se sugiere utilizar un software, por ejemplo, una
planilla de cálculo, la cual no solo permite simular experimentos aleatorios (a través de la función
ALEATORIO) sino que también da la posibilidad de realizar muchas repeticiones de ellos.
• Como al determinar probabilidades experimentales se utilizan las frecuencias relativas, que, en
ocasiones, se aproximan, resultando que la suma de estas frecuencias no sea igual a uno. Esto
puede producir confusiones en los(as) alumnos(as), ya que pueden inferir que, por ejemplo, la
probabilidad de un evento puede ser mayor que uno o que hay eventos que no han sido
considerados. Para evitar estas confusiones se sugiere insistir en las diferencias entre probabilidad
experimental y teórica.
Santillana Bicentenario
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UNIDAD 7 | Combinatoria y probabilidades
Técnicas de conteo y probabilidades: Principio multiplicativo (Páginas 234 y 235)
La estrategia gráfica de conteo empleada en estas páginas (diagrama de árbol) está estrechamente
ligada, en una primera instancia, a la idea de potencia, contenido que, de acuerdo al Marco Curricular
aprobado, los(as) alumnos(as) tratan desde 6º Básico. Sin embargo, esta se puede extender a un
proceso multiplicativo, ya que permite hacer variadas combinaciones.
Sugerencias metodológicas
• Destacar la generalización del principio multiplicativo a partir de un diagrama de árbol, de
manera que los(as) estudiantes recurran al principio más que al diagrama cuando necesiten
determinar la cantidad de casos posibles.
• El uso de diagramas de árbol, para determinar el total de casos posibles, es una herramienta muy
útil, pero a la vez requiere de mucho tiempo en su construcción, cuando son muchas las
combinaciones. Se sugiere discutir con los(as) estudiantes las ventajas y desventajas que presenta
esta estrategia, proponiendo construcciones de diferentes tamaños y números de casos.
Técnicas de conteo y probabilidades: Permutaciones (Páginas 236 y 237)
Sugerencias metodológicas
• Como es la primera vez que los(as) alumnos(as) trabajarán con el factorial de un número, la
definición de 0! (cero factorial) puede producir conflictos, ya que, según la regularidad que se
presenta, 0! debiese ser igual a 0. Por esta razón, se sugiere recalcar que 0! = 1.
Técnicas de conteo y probabilidades: Permutaciones con elementos repetidos (Páginas 238 y 239)
Sugerencias metodológicas
• En estas páginas se amplía el contenido visto anteriormente, por lo que es esencial que los(as)
alumnos(as) comprendan el concepto de permutación y la aplicación del número factorial.
• Se sugiere justificar el por qué dividir por las permutaciones de los elementos repetidos
presentando diversos ejemplos en los que los(as) estudiantes constaten que es necesario dividir
por esa cantidad, ya que de lo contrario estarían considerando los casos repetidos. La
diagramación del ejemplo y la agrupación de los casos repetidos puede ser útil también.
• Una posible dificultad para los(as) alumnos(as) es identificar, en el enunciado, cuándo se trata
de una permutación con elementos repetidos y cuando no. Se sugiere realizar ejercicios, como
por ejemplo, con 2 mujeres y 1 hombre, y otro con nombres para cada uno, así los(as)
estudiantes verán que en el primer caso no se distingue entre las mujeres, por lo que se trata
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de una permutación con repetición. Sin embargo, en el segundo caso, si se identifica a cada una
de las mujeres Pamela y Anita, no será lo mismo que estén en el orden A-P-H o P-A-H, por lo
que se trata de una permutación sin repetición.
• Se sugiere al docente mostrar a los(as) alumnos(as) lo práctico que resulta simplificar
9!
expresiones tales como
, en las que conviene simplificar 9! y 5!, quedando en el nume3! · 5! · 2!
rador el producto 6 · 7 · 8 · 9 lo cual es mucho más simple de calcular.
• Un argumento a favor de la notación empleada para las técnicas de conteo (permutaciones,
variaciones y combinaciones), es que permiten ordenar los datos, indicar el cálculo que se debe
hacer y comunicar a otros lo que se está realizando.
• Es necesario que los(as) alumnos(as) entiendan la importancia del orden en las permutaciones,
porque es crucial a la hora de calcular probabilidades, ya que si no lo tienen claro pueden
considerar menos sucesos de los que realmente son. Por ejemplo, en el ejercicio del texto, se
tienen dos bolas de color azul y una de color rojo, se debe hacer la distinción entre los eventos
A1-A2-R y A2-A1-R (donde A1 es una bola de color azul, A2 es la otra bola de color azul y
R es la bola de color rojo), si no se podría considerar el caso A-A-R como un solo evento.
Técnicas de conteo y probabilidades: Variaciones (Páginas 240 y 241)
Las variaciones corresponden a una profundización y ampliación del concepto de permutación.
Nuevamente el principio multiplicativo y el cálculo de factoriales son piezas clave para la comprensión
de estos contenidos.
Sugerencias metodológicas
• Se sugiere destacar el uso de la calculadora como herramienta de apoyo para el cálculo de
factoriales, pero insistir en que la calculadora por sí sola no resolverá los problemas.
Técnicas de conteo y probabilidades: Combinaciones (Páginas 242 y 243)
Las combinaciones representan una profundización y ampliación de la idea de variación, por lo que
también está fuertemente ligada a las otras estrategias de conteo revisadas. Esta corresponde a la
última estrategia de conteo presentada en la unidad.
Sugerencias metodológicas
• Una posible dificultad en los(as) alumnos(as) es identificar cuándo una situación representa una
variación y cuándo una combinación. Para esto, sugerirles que analicen la importancia del orden,
y resumirles que en el caso de la variación sí importa y en la combinación no importa.
Santillana Bicentenario
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UNIDAD 7 | Combinatoria y probabilidades
n
n
• Las combinaciones de r objetos entre n presentan simetría, es decir: C r = C n – r . Una forma
de justificar esto es desarrollar la fórmula y mostrar que se obtiene el mismo resultado. Sin
embargo, más enriquecedor puede resultar resolver una situación como la siguiente:
“Mostrar que ordenar 3 elementos entre 10 es lo mismo que ordenar 7 entre 10. Es decir, de los
10 elementos se seleccionan las posibles combinaciones de 3 y se registran. Luego, de los
10 elementos se seleccionan las posibles combinaciones de 7 elementos, pero se registran solo los
3 elementos que no fueron considerados en la selección. Así, al seleccionar todas las posibles
combinaciones de 7 elementos, se habrán registrado todas las posibles combinaciones de
3 elementos, por lo que la cantidad de combinaciones de 7 entre 10 es la misma que de 3 entre 10”.
• Volver a revisar la situación planteada en las páginas de inicio, ya que las actividades están
relacionadas con la simetría de las combinaciones.
• A modo de profundización de contenidos, se propone calcular la probabilidad de ganar el pozo
máximo en un juego de azar nacional, como por ejemplo el Loto o el Kino. En el caso del Loto,
se deben calcular las posibles combinaciones que se pueden hacer de 7 elementos entre
1
36
. Del mismo
36 (C = 8.347.680), siendo entonces la probabilidad de acertar igual a
8.347.680
7
modo, en el caso del Kino, se deben calcular las posibles combinaciones de 14 elementos entre
25. Cabe destacar que ahora la cantidad de aciertos para obtener el pozo máximo es menor que
antes (15 aciertos), sin embargo, la probabilidad de ganar también es menor.
Ampliación de contenidos
Reparticiones
“Un padre le hereda a sus tres hijos 11 caballos. ¿De cuántas maneras pueden ser repartidos estos
caballos?”
Este problema plantea una repartición de la herencia, para lo cual se propone la siguiente idea:
Se agregarán 2 “caballos virtuales”, es decir, que no existen pero que se considerarán para la
repartición, de manera de particionar el conjunto de 13 caballos en 3 subconjuntos (pues son 3 hijos).
Representando por C a los caballos y por V a los “caballos virtuales”, se tienen las siguientes
reparticiones de los caballos entre los 3 hijos:
CCCVCCCCVCCCC
Aquí, el primer hijo recibe 3 caballos, el segundo 4 y el tercero 4.
CCCCCCVCCVCCC
Aquí, el primer hijo recibe 6 caballos, el segundo 2 y el tercero 3.
CCCCCCCCCCCVV
Aquí, el primer hijo recibe 11 caballos, el segundo 0 y el tercero 0.
Luego, el problema se resume a las posibles combinaciones que se pueden obtener de 2 elementos
13
(que en el ejemplo corresponden a los “caballos virtuales” V) entre 13, C . Es decir, al querer
repartir entre 3 hijos, se tuvieron que agregar 2 “caballos virtuales” para particionar
el conjunto en
2
3 subconjuntos.
Generalizando
Si se quiere repartir n objetos entre r, se agregan r – 1 “objetos virtuales”, para particionar el conjunto.
n+r–1
Luego, se obtiene las posibles combinaciones de r – 1 objetos entre n + r – 1, es decir, C
r–1
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141 |
.
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Ejercicios
1. Un hombre debe repartir su herencia entre 5 personas. Si la herencia consiste en 50 prendas de
vestir, ¿de cuántas maneras diferentes podría repartir la herencia este hombre?
Respuesta:
54
Si quiere repartir 50 prendas entre 5 personas, debe calcular C4 , lo que da 316.251 maneras en
que puede repartir la herencia.
2. La señora Ana María fue al almacén a comprar unas galletas surtidas para sus hijos, pero aún no
decide cuántas les dará a cada uno. Si Ana María tiene 4 hijos y en total compró 90 galletas,
a. ¿de cuántas maneras diferentes puede repartirlas?
b. Si la mamá decide repartirlas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que al mayor le toquen 40, al
que sigue 15, al siguiente 15 y al menor 20?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que a alguno de ellos le toquen 40, a otro 15, a otro 15 y al otro 20?
d. ¿Cuál es la probabilidad de que a alguno de ellos le toquen 34 galletas?
Respuesta:
93
a. Si se quiere repartir 90 galletas entre 4 hijos, se calcula C 3 = 129.766.
b. Se tiene un caso favorable, aquel que se especifica en el enunciado, por lo tanto, la probabilidad
1
de que esta repartición se realice es
.
129.766
c. Existen 4! casos favorables, pues son todas las permutaciones posibles que se pueden hacer
24
12
entre 4 personas, por lo tanto, la probabilidad de que esto suceda es:
=
.
129.766
64.883
d. En este caso, las 34 galletas les pueden corresponder a cualquiera de los cuatro hijos, por lo
que se tienen 4 casos. Para cada uno de ellos se considera que ya se entregaron 34 galletas a
uno de ellos y quedan 56 galletas por repartir entre los otros tres. Luego, el número de posibles
58
reparticiones que se pueden hacer de las 56 galletas viene dado por C2 = 1.653. Como son
4 los posibles casos en los que se hará esta repartición, en total se tiene 4 · 1.653 casos
6.612
favorables, es decir, 6.612. Por lo tanto, la probabilidad, en este caso, es
≈ 0,051.
129.766
Relación entre la media de una población y las medias de muestras extraídas
con y sin reemplazo (Páginas 248 a 251)
En estas páginas se estudia una de las muchas relaciones existentes entre las probabilidades y la
estadística. Introducir este tema comentando con los(as) estudiantes que ambos conceptos asumen
ciertos supuestos a favor de la matemática; por ejemplo, la estadística asume la “distribución
uniforme” de los datos, mientras que la probabilidad asume la Ley de los Grandes Números.
Sugerencias metodológicas
• Se recomienda repasar los conceptos de población y muestra, y comentar con los(as) alumnos(as),
a partir de sus intuiciones, qué condiciones debiera cumplir una muestra para que sea representativa
de una población.
Santillana Bicentenario
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UNIDAD 7 | Combinatoria y probabilidades
• Se sugiere enfatizar que una muestra representativa, a pesar de que no corresponde a toda la
población, nos permite obtener la tendencia de esta. Como ejemplo, se puede analizar la forma
en que se realizan las encuestas para los pronósticos de elecciones presidenciales, en donde se
considera una muestra representativa de 1.000 personas, y se generalizan los resultados
obtenidos para millones de personas.
• Se sugiere destacar la utilidad de los elementos combinatorios en este contenido, ya que nos
permite obtener el número total de muestras de un tamaño determinado.
• Se recomienda analizar con los(as) estudiantes la suma de los errores muestrales. El resultado
es bastante intuitivo, pues al considerar muestras de un tamaño determinado se toman en
cuenta todos los datos (los que quedan distribuidos en las distintas muestras), por lo que al
promediar todas las medias muestrales se obtendrá la media poblacional, es decir, las diferencias
entre la media poblacional y cada una de las medias muestrales se van compensando, razón por
la cual la suma de los errores muestrales siempre será igual a 0.
A continuación se presentan dos fichas de reforzamiento (n° 1 y n° 2) con el propósito de reforzar
el aprendizaje de la unidad, especialmente para los(as) alumnos(as) con rendimiento insatisfactorio.
Los problemas están basados en las actividades propuestas en el texto del estudiante. Luego, se
presentan dos fichas de profundización (n° 3 y n° 4) que buscan ahondar en los aprendizajes
evaluados en esta unidad. Por esta razón, se recomienda trabajarlas con los(as) alumnos(as) cuyos
resultados fueron satisfactorios y lograron obtener todas sus respuestas correctas, sin excluir a
aquellos que por interés quieran conocer otras aplicaciones de este contenido.
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Ficha de trabajo nº 1
NOMBRE:
Reforzamiento Unidad 7
CURSO:
FECHA:
Objetivos:
Unidad 7
Utilizar una planilla de cálculo para comprobar la convergencia de la frecuencia relativa a la probabilidad teórica de
un experimento.
En una planilla de cálculo, trabajar la relación entre la frecuencia relativa y la probabilidad teórica en el lanzamiento de un
dado no cargado.
Antes de comenzar, tener en cuenta lo siguiente:
La función “=ALEATORIO()”, entrega un número entre 0 y 1.
La función “=ENTERO(n)”, entrega la parte entera de un número decimal n.
La función “=TRUNCAR(n; k)”, entrega el número n truncado con k decimales.
La función “=CONTAR.SI(j; k)”, entrega la cantidad de veces que se repite el número k en el rango descrito por j.
1. Considerando que estas funciones pueden sumarse y/o multiplicarse por un número, encuentra la fórmula para obtener un
número entero entre 1 y 6. Luego, sigue los pasos:
1º Copia la fórmula obtenida desde la celda A1 hasta la celda A10, arrastrando la esquina inferior derecha
de la celda A1.
2º En otra columna, escribe los posibles sucesos de lanzar un dado.
3º Con la función =CONTAR.SI(), obtén la frecuencia absoluta para cada suceso en la columna
A; por ejemplo, para contar la cantidad de veces que aparece el número 2, se escribe en una
celda =CONTAR.SI(A1:A10;2).
4º Luego, en otra columna, obtén la frecuencia relativa para cada suceso.
2. A partir de estos resultados, presiona la tecla F9, ¿qué sucede?
3. Construye un gráfico de las frecuencias relativas, utilizando el gráfico XY (dispersión) y escogiendo Dispersión de puntos,
sin rectas de conexión.
4. Presiona nuevamente F9. ¿Qué sucede con el gráfico?
5. Ahora, extiende la cantidad de datos de la columna A, hasta 20, 50, 100, 200 datos y presiona F9. ¿Qué sucede con el
gráfico?, ¿qué sucede con la frecuencia acumulada?, ¿a qué valor tiende esta última?
Santillana Bicentenario
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Ficha de trabajo nº 2
Reforzamiento Unidad 7
NOMBRE:
CURSO:
FECHA:
Objetivos:
Responde.
En las fondas de fiestas patrias, Pedro se entretuvo en un puesto jugando con un tablero como el que se muestra en la figura.
El juego consiste en dejar caer una ficha (representada con el color rojo) por el interior del tablero, la cual rebotará en cada una
de las barreras (representadas con el color negro) para luego caer en alguna de las casillas señaladas en la parte inferior.
1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º
1. ¿Cuál es la probabilidad de que la ficha caiga en la 3ª casilla?, ¿y en la 6ª casilla?
2. Si el tablero se extendiese hasta tener 7 filas de obstáculos, ¿cuál será la probabilidad de que la ficha caiga en la 3ª casilla?
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145 |
Unidad 7
Calcular probabilidades.
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Ficha de trabajo nº 3
Profundización Unidad 7
NOMBRE:
CURSO:
FECHA:
Objetivos:
Unidad 7
Calcular probabilidades utilizando técnicas de conteo.
Una urna, de la cual no se ve su interior, contiene 3 bolitas de color blanco y 2 de color negro. Todas ellas indistinguibles
al tacto. Se sacan 2 bolitas sucesivamente. Si la primera de ellas es de color negro se devuelve a la urna; si es blanca, no se
devuelve.
1. Al extraer 2 bolitas de la urna, ¿cuál es la probabilidad de obtener 2 bolitas de color blanco?, ¿y 2 bolitas de color negro?
2. Al extraer 2 bolitas de la urna, ¿cuál es la probabilidad de obtener exactamente 1 bolita de color blanco?
Santillana Bicentenario
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146 |
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Ficha de trabajo nº 4
Profundización Unidad 7
NOMBRE:
CURSO:
FECHA:
Objetivos:
Demostrar utilizando combinatoria.
n
Unidad 7
Demuestra en cada caso lo pedido.
n
1. C0 = Cn
n
2. Cl = n
n
n
n
n
3. Ck = Cn – k
n+1
4. Ck + Ck + 1 = Ck + 1
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147 |
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Evaluación de la unidad 7
NOMBRE:
CURSO:
FECHA:
Marca la alternativa correcta de cada una de las siguientes preguntas.
Unidad 7
1. Se tira una moneda equilibrada 4 veces seguidas. ¿Cuál
es la probabilidad de obtener 2 caras y luego 2 sellos?
A.
B.
C.
D.
E.
4. Se lanza una moneda equilibrada 100 veces seguidas.
Salió “cara” 52 veces y “sello” 48 veces. Se propone
lanzar una vez más, entonces se espera que:
0,005
0,0125
0,0625
0,25
0,50
A. salga “cara”, porque tiene mayor frecuencia.
B. salga “sello”, porque el experimento es
equiprobable.
C. ambos tienen la misma probabilidad de salir.
D. salga “sello”, porque debe superar la cantidad
de “caras”.
E. salga “sello”, porque tiene menor frecuencia.
2. ¿De cuántas maneras 3 atletas podrán llegar a la meta?
(Considera que pueden o no, llegar simultáneamente
a la meta).
A.
B.
C.
D.
E.
5. Una urna contiene N bolitas indistinguibles. Se extraen
40 bolitas y a cada una se le hace una marca. Se
devuelven a la urna y en un segundo turno se sacan
40 bolitas más, de las cuales 8 tienen una marca. ¿Qué
puedes decir de N?
Si llegan los 3 juntos, hay 1 posibilidad.
Si llegan 2 juntos, hay 3 posibilidades.
Si llegan los 3 por separado, hay 6 posibilidades.
Alternativas A, B y C son correctas.
Ninguna de las anteriores.
A.
B.
C.
D.
E.
3. En una urna se tiene 1 bolita de color rojo, y 2 de color
azul y, por otra parte, 1 moneda. ¿Cuál es la probabilidad
de que, al tirar la moneda y extraer una bolita, se
obtenga sello y una bolita de color azul?
–
A. 0,16
–
B. 0,3
6. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado
cargado se obtenga el número 2, sabiendo que la
probabilidad de que salga 6 es el tripe que cualquier
otro número? (Asumir equiprobabilidad en los otros
casos).
C. 0,5
–
D. 0,6
E.
N = 40
N = 80
N = 72
N>
– 72
No se puede determinar.
–
0,83
A. 0,125
–
B. 0,16
C. 0,2
–
D. 0,3
E.
Santillana Bicentenario
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148 |
No se puede calcular.
PAG 136-152_Layout 1 09-12-10 12:08 Página 149
A.
B.
C.
D.
E.
11. En la palabra CINEMA, ¿cuál es la probabilidad de que
al permutar el orden de dichas letras, la segunda y la
última sean vocales?
A.
B.
C.
D.
E.
495
220
70
56
8
–
0,00694
0,2
–
0,00138
0,5
0,6
n
8. ¿Cuántas permutaciones existen de la palabra
CUADERNO, si fijamos las letras C y O en la primera
y última ubicación, respectivamente?
A.
B.
C.
D.
E.
A.
B.
720
5.040
10.080
20.160
40.320
C.
9. ¿Cuántas letras de 5 signos con 3 rayas y 2 puntos
podría tener el alfabeto Morse?
A.
B.
C.
D.
E.
12. La expresión C 2 equivale a:
24
12
20
6
10
28 números
35 números
210 números
999 números
1.000 números
D.
(n – 1)
2
E.
(n + 1)
2
13. El promedio de edad de los jugadores de las
selecciones de fútbol de Chile, Uruguay y Colombia es
24, 29 y 28, respectivamente. Entonces, la media de
población corresponde a:
A.
B.
C.
D.
E.
10. Con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ¿cuántos números de
3 cifras se pueden construir?
A.
B.
C.
D.
E.
n(n + 1)
2
n(n – 1)(n – 2)
2
n(n – 1)
2
24
25
27
28
29
14. La suma de todos los errores muestrales es:
A.
B.
C.
D.
E.
|
149 |
igual al promedio muestral.
un valor que depende de la cantidad de datos.
cero.
siempre positiva.
siempre negativa.
Unidad 7
7. Un alumno que rinde un examen debe elegir para
contestar, 9 de las 12 preguntas de la prueba. ¿De
cuántas maneras puede elegirlas si las 4 primeras son
obligatorias?
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Solucionario
Unidad 7
Ficha de reforzamiento nº 1
1. La fórmula que entrega un número entero, entre 1 y 6, es “=TRUNCAR(6*ALEATORIO()+1;0)”, con esto se obtiene el
experimento del lanzamiento de un dado. Un ejemplo se ilustra a continuación.
2. Al presionar la tecla F9, los valores del resultado del experimento varían, cambiando también las frecuencias absolutas y
relativas.
3. El gráfico dependerá de los datos de cada alumno. A continuación se muestra un ejemplo.
4. Al presionar F9 sucesivamente, se aprecia la movilidad de los datos de acuerdo con el resultado del experimento de lanzar
10 veces un dado.
5. Luego, al extender el experimento a 20, 50, 100 y 200 lanzamientos, la frecuencia relativa se aproxima a la probabilidad
teórica correspondiente a 0,16666…
Santillana Bicentenario
|
150 |
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Ficha de reforzamiento nº 2
Cada vez que la ficha roja entra en juego esta se verá obligada a chocar ante alguna barrera, dando la posibilidad de tomar
2 caminos para seguir cayendo (izquierda o derecha). Así, para llegar a caer en la tercera casilla del tablero habrá chocado con
6 barreras, teniendo 1 de 64 opciones (26). Sin embargo, para llegar de forma particular a la tercera casilla, es posible recorrer
15 caminos. Por lo tanto, la probabilidad de que la ficha de color rojo caiga en la tercera casilla es de 15 ·
6
1
·
.
2
!"
6
La probabilidad de caer en la sexta casilla es de C5 ·
6
1
.
2
!"
Para el caso de tener un tablero con 7 filas de obstáculos, la probabilidad de caer en la tercera casilla es de
7
C2
7
1
·
.
2
!"
Ficha de profundización nº 3
Este es un tipo de probabilidad en que la elección está considerada con reposición. Para su desarrollo debe precisarse que el
orden de extracción es fundamental, puesto que determina la probabilidad de la segunda extracción, según si la primera bolita
escogida al azar resulta blanca o negra. Se distinguirán por N y B los colores negro y blanco de las bolitas.
1. Los casos posibles son Ω = {NN, BN, NB, BB} y los favorables aquellos en que solo aparecen bolitas del mismo color.
Usaremos el diagrama de árbol para ilustrar esta situación.
2
5
N
NN
3
5
B
NB
2
4
N
BN
2
4
B
BB
N
Ω
3
5
2
5
Luego, se tiene que la probabilidad de cada uno de los eventos
se obtiene mediante el principio multiplicativo y corresponde a:
4
6
P(NN) =
; P(BB) =
.
25
20
B
2. El cálculo de la probabilidad pedida es equivalente a calcular el complemento de la probabilidad de tener el mismo color en
ambas extracciones, es decir, 1 – {P(NN) + P(BB)}. Por lo tanto, la probabilidad de obtener exactamente una bolita blanca
6
6
27
+
=
.
corresponde a: P(NB ∨ BN) =
25 20 50
|
151 |
Unidad 7
6
C2
1
, o bien de
64
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Solucionario
Ficha de profundización nº 4
n
n
n
n!
n!
1. Para el caso de C = Cn = 1 se utilliza la definición: C0 =
=
= 1.
0! · (n – 0)! I · n!
n
Unidad 7
Análogamente, Cn =
n!
n!
n!
=
=
=1
n! · (n – n)! n! · 0! n! · 1
n
n!
n · (n – 1)!
n
=
=
=1
2. Para C l =
l! · (n – 1)!
l! · (n – 1)!
l!
n
n
n!
n!
n!
n!
=
=
=
= Cn – k
k! · (n – k)!
(n – k)! · k!
(n – k)! · (n – n + k)!
(n – k)! · (n – (n – k))!
3.
Ck =
4.
n
n
n!
n!
n!
n!
Ck + Ck + 1 =
+
=
+
k! · (n – k)!
(k + 1)! · (n – k – l)!
k! · (n – k) · (n – k – l)!
(k + 1) · k! · (n – k – l)!
!
" = k! ·(n – k – l)! · ! (n – k)(k + l) "
=
n!
1
1
+
·
k! · (n – k – l)!
n–k
k+l
n!
n+l
=
n+l
n! · (n + l)
(n + l)!
(n + l)!
=
=
= Ck + 1
k! · (n – (k + l))! · (n – k) · (k + l)
(k + l)(n – k)!
(k + l)!(n + l – (k + l))!
Evaluación de la unidad
1.
2.
3.
4.
5.
C
D
B
C
D
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
A
D
A
E
C
B
C
C
C
Bibliografía
• Batanero, C., Grupo de Educación Estadística, Universidad de Granada, Didáctica de la Estadística, 2001.
• Ministerio de Educación, Propuesta Ajuste Curricular, Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos Obligatorios,
Matemática, junio, 2009.
• Serradó A., Cardeñoso M. J., Azcárate P., Los obstáculos en el aprendizaje del conocimiento probabilístico: su incidencia desde
los libros de texto, España, 2003.
Sitios webs
• Ministerio de Educación: www.mineduc.cl
• Sector matemática: www.sectormatematica.cl
Santillana Bicentenario
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