File - Introducción al Tratamiento de Señales

Introducción al
Tratamiento de
Señales
Análisis Armónico Generalizado
Presenta:
Mauricio Nava Flores
-1-
Análisis Armónico
Generalizado
Es la generalización del análisis de Fourier aplicado a señales continuas y
discretas, incluyendo señales aleatorias, para lo cual es necesario recurrir a
herramientas derivadas de la probabilidad y estadística.

Señales Periódicas

Señales Periódicas y Continuas

Cualquier señal continua y periódica puede descomponerse en una suma infinita de
señales continuas y periódicas (senoidales y cosenoidales), multiplicadas por
coeficientes (factores de peso) que determinan la contribución relativa de cada
componente a la señal original.
a0 
 x  t      an cos  n0t   bn sin  n0t  
2 n 1
2
Donde : an 
T
t1 T
2
bn 
T
t1 T
 x  t  cos  n t dt
0
n  0,1, 2,...
t1
 x  t  sin  n t dt
0
t1
Facultad de Ingeniería, UNAM
n  1, 2,3,...
Serie de Fourier
Coeficientes de
Fourier
(Lee, 1960)
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Análisis Armónico
Generalizado
Es la generalización del análisis de Fourier aplicado a señales continuas y
discretas, incluyendo señales aleatorias, para lo cual es necesario recurrir a
herramientas derivadas de la probabilidad y estadística.

Señales Periódicas

Señales Periódicas y Continuas

Cualquier señal continua y periódica puede descomponerse en una suma infinita de
señales continuas y periódicas (senoidales y cosenoidales), multiplicadas por
coeficientes (factores de peso) que determinan la contribución relativa de cada
componente a la señal original.
a0 
 x  t      an cos  n0t   bn sin  n0t  
2 n 1
Serie de Fourier
0 se relaciona directamente con el período T  de la señal: 0  2 f 0
f 0 es la frecuencia fundamental: f 0 
por lo tanto: 0 
Facultad de Ingeniería, UNAM
2
T
1
T
(Lee, 1960)
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Señales periódicas

Sustituyendo las siguientes identidades:
1 i n0t
 e
 e  i n0t 
2
1
sin  n0t    ei n0t  e  i n0t 
2i
cos  n0t  
… en la Serie de Fourier y desarrollando un poco, se obtendrá:
x t  


X  n  e i n 0 t
Serie de Fourier
(forma exponencial)
n 
Donde : X  n  
1
 an  ibn  n  0, 1, 2,...
2
Espectro complejo de x(t)
Finalmente : X  n 
1
T
Facultad de Ingeniería, UNAM
t1 T

t1
x  t  ein0t dt
Transformada de Fourier de
señales continuas y periódicas
(Lee, 1960)
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Señales periódicas

El espectro complejo tiene un módulo y fase:
X  n   X  n  ei  n 
… Donde:
1 2 2
X n 
an  bn
2
 bn 
  n   tan   
 an 
1


Espectro de Amplitudes
Espectro de Fases
A partir de los coeficientes de Fourier es posible obtener la representación en
frecuencias de una señal analizada. Dicha representación consiste en un
ESPECTRO DE AMPLITUDES y un ESPECTRO DE FASES.
En el caso de señales continuas y periódicas, el espectro de amplitudes será
discreto y no periódico (espectro de líneas), extendiéndose infinitamente hacia
ambos lados en el eje de la frecuencia.
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Señales periódicas

Ejemplo de desarrollo de señales en Series de Fourier y obtención del
espectro:
f t   t 2  1; t   1,1
T=2 s

Los coeficientes de Fourier son:
1
A0 
1
2
2



t
dt
(
1
)
2 1
3
2
4
 2 n t 
 n
An     t 2  1cos
dt  
2 1
2 1
 n 
 2 
Y la Serie de Fourier queda como:

2  
4
n





f t     
1
cos

n
t

3 n 1   n 2

1
B n  
2
 2 n t 

 t 2  1sin 
dt  0

2 1
 2 
1
Facultad de Ingeniería, UNAM
Se desarrollará la
Serie para los
primeros 2, 5, 10 y
100 armónicos
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Señales periódicas

Comparando la señal original contra su S.F. desarrollada hasta un cierto
número finito de armónicos.
a)
b)
c)
d)
Comparación de la señal f(t) con su desarrollo en Serie de Fourier para:
a) n=1, 2 b) n=1, 2, …, 5 c) n=1, 2, …, 10 y d) n=1, 2, …, 100
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Señales periódicas

Graficando los primeros diez armónicos en un mismo sistema de referencia
(fuera de posición vertical):
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Señales periódicas

Una forma de graficar las componentes armónicas, “perdiendo todo el sentido
temporal” es a través de los espectros de frecuencias (amplitudes y fases):
Espectro de Amplitudes
Espectro de Fases
El armónico “cero” es
el valor medio de la
señal en un período
Simetría “Par”
 F n   F  n 
Simetría “Impar”
 F n    F  n 
1
Para graficar el eje horizontal en frecuencias, basta con multiplicar el índice
 n  f 0 , donde f 0 
de número de armónico “n” por la frecuencia fundamental.
T
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Señales periódicas

Correlación

Recordando la S.F. en forma exponencial de señales periódicas y continuas:

 x t  

X  n  ein0 t
n
1
Donde : X  n  
T


x  t  ein0 t dt
Espectro Complejo o
Transformada de Fourier
t1
Una operación importante cuando se trata con señales periódicas y continuas x(t)
y h(t), es la crosscorrelación:
 x(t) y h(t) tienen el mismo
t1 T
1
período T.
xh   

t1 T
 x  t  h t   dt   representa desplazamiento en
T
t1
 xh   tiene la siguiente propiedad:
TF
 xh    X  n  H  n 
Facultad de Ingeniería, UNAM
tiempo continuo en
 ,   .
Teorema de la correlación
para señales periódicas
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Señales periódicas
Ejemplo gráfico de Crosscorrelación:
Facultad de Ingeniería, UNAM
- 11 -
Señales periódicas
Ejemplo gráfico de Autocorrelación:
Facultad de Ingeniería, UNAM
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Señales periódicas

La integral de correlación implica la combinación de tres operaciones
importantes:
1. Desplazamiento temporal de una de las señales:
h t  
2. Multiplicación de la señal desplazada, por la otra señal periódica.
3. Promedio de la multiplicación anterior, integrando sobre un periodo.


Estas tres operaciones se repiten para cada valor de  en el intervalo ,  , de
tal modo que se genera una señal (función) de salida llamada correlación.
Al considerar que la integral de correlación se lleva a cabo para el caso particular:
h  t   x  t , el teorema de la correlación para señales periódicas establece que:
1
xx   
T
t1 T

 x  t  x  t   dt   X  n
t1
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n
2 in t
0
e
Autocorrelación
de señales
periódicas
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Señales periódicas

En
  0:
t T

2
11 2
x  t  dt   X  n

T t1
n
Potencia Media
“El valor cuadrático medio de la señal x(t), es la suma del cuadrado
del módulo de su espectro, sobre todo el rango de armónicos”.
Teorema de Parseval para señales periódicas (Lee, 1960).

 xx  n   X  n  , conocida como Espectro de Potencias,
2
Ahora, sea la función
se tiene:

xx   
in0 t

n
e


 xx
Teorema de la autocorrelación
para señales periódicas
n
1
y : xx  n 
T
t1 T

xx   ein t d
0
t1
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Señales periódicas

Entonces:


La función de autocorrelación y el espectro de potencias de una señal periódica,
son Transformadas de Fourier, una de la otra.
Debido a que el espectro complejo de la función de autocorrelación es el
cuadrado del módulo del espectro complejo de la señal periódica, carece de parte
imaginaria y por lo tanto su espectro de fases será nulo para todos los armónicos.
Consecuentemente, una propiedad importante de la función de
autocorrelación de señales periódicas, es que su transformada de
Fourier (espectro de potencias) es independiente de los ángulos de
fase de sus componentes armónicas.
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Señales periódicas

Convolución

Una expresión que tiene un “aspecto parecido” a la correlación, pero es
significativamente diferente a esta, es la siguiente:
x t   h t  

1
T
t0  T
 x  t  h   t  dt
t0
El signo en “t” de la
señal desplazada, es la
diferencia con respecto
a la correlación
La convolución implica la combinación de tres operaciones importantes:
1. Desplazamiento temporal y plegamiento de una de las señales:
h   t 
2. Multiplicación de la señal desplazada, por la otra señal periódica.
3. Promedio del producto anterior, a través de integración sobre un periodo.
 Se cumple la siguiente propiedad:
1
T
t1 T

t1
TF
x  t  h   t dt  X  n H  n
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Teorema de la convolución
para señales periódicas
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Señales periódicas

Semejanzas entre correlación y convolución



La convolución y correlación de dos señales periódicas con la misma frecuencia
fundamental es periódica y también tiene la misma frecuencia fundamental.
Ambas operaciones retienen aquellos armónicos presentes en las señales en las
que se aplican.
Diferencia entre correlación y convolución

El espectro de la convolución es el producto de los espectros individuales de las
señales convolucionadas, mientras que el espectro de la correlación es el
producto del espectro de la señal desplazada, con el espectro conjugado de la
señal no desplazada.
Es decir:
 xh     hx   
x t   h t   h t   x t 
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TF
y:
 xh    X  n  H  n 
TF
x t   h t   X  n H  n
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Señales periódicas

Vale la pena mencionar el siguiente caso especial:

Cuando la señal periódica
x  t  tiene simetría par, su espectro X  n  será real y:
X n  X n
Por lo tanto:
 xh    x  t   h  t 
 h t   x t 
Cuando una de las señales involucradas en una crosscorrelación
tiene simetría par, la función de crosscorrelación resultante será
idéntica a la convolución de las mismas señales.
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