2.o ESO XX IOMAV Sociedad Aragonesa «Pedro Sánchez Ciruelo» de Profesores de Matemáticas Fase Semifinal 21 de marzo de 2015 Hoja resumen Problema 1. Aire más puro Para rebajar la contaminación atmosférica en la ciudad de Madrid, cuando se den niveles de contaminación especialmente altos, su ayuntamiento ha decidido que los días pares solo circulen los coches de matrícula par y los días impares los de matrícula impar. a) ¿Qué matrícula es mejor para circular más días? b) ¿En qué porcentaje es mejor una que otra en años no bisiestos? c) ¿Cuántos días más tendrá una opción que otra en los próximos diez años? Problema 2. Media aritmética Quitamos dos números al conjunto {15, 7, 15, 6, 12, 14, 16, 17, 10, 8} y obtenemos un nuevo conjunto. Averiguar cuáles deben ser esos dos números para que la media aritmética de los dos conjuntos sea la misma. Explicar de forma razonada por qué la solución es única o, en caso de haber otras soluciones, decir cuáles son. Problema 3. Va de cumpleaños En la comarca de Valdejalón –que este año, 2015, tiene 10 864 habitantes– el 6,72% trabaja en la agricultura. Explica si a lo largo del presente año: a) ¿Es posible que haya tres agricultores que cumplan años el mismo día? b) ¿Es posible que haya cinco que cumplan años el mismo día? c) ¿Podemos asegurar sin temor a equivocarnos que hay dos que cumplen años el mismo día? d) ¿Podemos asegurar sin temor a equivocarnos que hay tres que cumplan años el mismo día? e) ¿Cuál es el mínimo número de agricultores que debe tener la comarca para que con seguridad dos cumplan años el mismo día? Problema 4. Cuadrado inscrito En un semicírculo, cuya área son 5π/2 cm2, se inscribe un cuadrado con un lado sobre el diámetro como se muestra en la figura: Averiguar el lado del cuadrado. Problema 5. Números en un octógono Dibuja un octógono cualquiera y pon en cada vértice un número del 1 al 8, sin repetir ninguno, de tal forma que: • los números vecinos del 1 sumen 6. • los números vecinos del 8 sumen 9. • los números vecinos del 3 sumen 11. • los números vecinos del 6 sumen 10. Problema 6. Las calles de Secantelandia Todas las calles de Secantelandia son líneas rectas, no existen dos calles paralelas en esta singular ciudad. El ayuntamiento de la ciudad ha decidido instalar una fuente en cada cruce de calles. Sabiendo que no hay ningún punto en el que se cruzen más de dos calles, y que el ayuntamiento ha encargado 66 fuentes, podrías decirnos: ¿cuál es el número de calles de la ciudad?