Tauler de Problemes
1 pt)
• Encuentra todos los valores de c ∈ R para los cuales vale que
ex + e−x
2
≤ ecx ∀x ∈ R.
2
• El conjunto de Cantor est´a formado por todos los n´
umeros reales entre 0
y 1 cuya expansi´on en base 3 no contiene ning´
un 1. Demuestra que todo
n´
umero real entre 0 y 2 puede escribirse como suma de dos n´
umeros en
el conjunto de Cantor.
2 pts)
• En un plano se encuentra una elipse E con semiejes a y b. Se consideran
los tri´angulos inscriptos en E tales que al menos uno de sus lados es
paralelo a uno de los ejes de E. Describe el lugar geom´etrico de los
baricentros de tales tri´angulos, y calcula ´el a´rea delimintada por esta
figura.
• Demuestra que cualquiera sea m ∈ N,
X
2m
≥ 22m−1 .
m+k
√
√
− m<k< m
3 pts)
• Calcula
Z
2
4
p
ln(9 − x) dx
p
p
.
ln(9 − x)+ ln(x + 3)
Problemas ya resueltos
1 pt)
1. En una matriz cuadrada con n filas y columnas, los elementos de la diagonal
son todos iguales a r y el resto es igual a r0 . Calcula el determinante de esta
matriz.¨ı¿ 12 (Sergi Baena y Marc Ranchal)
2. Si n es un entero positivo, calcula de cu´antas maneras se puede escribir n como
suma de enteros positivos consecutivos.(Georg Kempa)
3. Un viajante lleg´o a un pueblo en el que cada habitante o dice siempre la
verdad o siempre miente. Los habitantes formaron una ronda, mirando hacia
el centro, y cada uno declar´o si su vecino de la derecha es o no mentiroso. Con
esta informaci´on, el viajante pudo deducir qu´e fracci´on del total de habitantes
son los mentirosos. ¿Cu´al es esa fracci´on?(Georg Kempa)
• Sean v1 , . . . , vn vectores no nulos de un espacio vectorial, y f un endomorfismo
que verifica f (vi ) = v1 + . . . + vi , 1 ≤ i ≤ n. Demuestra que {v1 , . . . , vn }
es un conjunto linealmente independiente.(Georg Kempa)
• Un polinomio p(x) ∈ R[x] es tal que la ecuaci´on p(x) = x no tiene ra´ıces
reales. Demuestra que la ecuaci´on p(p(x)) = x tampoco tiene ra´ıces
reales.(Eric Guisado)
R1
R1
• Sean f, g : [0, 1] → R dos funciones reales y continuas tales que 0 f 2 = 0 g 2 = 1.
Demuestra que existe c ∈ (0, 1) tal que f (c) + g(c) ≤ 2. (Eric Guisado,
V´ıctor Mart´ın y Georg Kempa)
R π/4 1+x3
dx. (Eric Guisado, V´ıctor Mart´ın y Georg
• Calcula −π/4 (cos
x)2
Kempa)
• Sea f : R → R una funci´on uniformemente continua. Demuestra que
existen a, b ∈ R tal que |f (x)| ≤ a|x| + b ∀x ∈ R. (Eric Guisado)
umeros enteros
• Determina para qu´e enteros n es posible ordenar los n´
desde 1 hasta n inclusive de manera tal que el promedio de todo grupo
de dos o m´as n´
umeros consecutivos no sea nunca entero.(V´ıctor Mart´ın)
• ¿Es posible definir un conjunto de 10 n´
umeros naturales tales que ninguno
de ellos sea m´
ulltiplo de otro de ellos, pero el cuadrado de cada uno de
ellos es m´
ultiplo de cada uno de los 10 n´
umeros originales? (V´ıctor
Mart´ın y Georg Kempa)
• Uno de los lados de un tri´angulo es igual a un tercio de la suma de los
otros dos. Demuestra que el a´ngulo opuesto a este lado es el m´as peque˜
no
de los a´ngulos del tri´angulo.(V´ıctor Mart´ın)
• Se sabe que el cuadrado de un n´
umero entero termina en 09. Demuestra
que, en dicho cuadrado, el d´ıgito de las centenas es par.(Marc Adill´
on,
Eric Guisado y Georg Kempa)
(mn)!
• Sean m, n ∈ N. Demuestra que m!(n!)
umero entero.
m es siempre un n´
(Eric Guisado y Georg Kempa)
• Los coeficientes de una matriz A de tama˜
no 2 × 2 se eligen al azar entre
los n´
umeros enteros. Calcula la probabilidad de que el determinante de
A sea un n´
umero par.(Georg Kempa)
• Decide si es posible ordenar los n´
umeros enteros 1 ≤ n ≤ 2015 de manera
tal que la suma de 10 n´
umeros consecutivos sea siempre m´
ultiplo de 10.
(Georg Kempa)
• Sea f : [0, 1] → R una funci´on derivable en todo el intervalo. Se sabe que
f y f 0 no tienen ceros en com´
un. Demuestra que la cantidad de ceros de
f es finita. (Georg Kempa)
• El padre y el hijo patinan en una pista circular a velocidad constante.
De tanto en tanto, el padre se adelanta al hijo. En un momento dado, el
hijo comienza a patinar en direcci´on opuesta, y entonces los encuentros
entre padre e hijo son cinco veces m´as frecuentes. Calcula r = velocidad
del padre/velocidad del hijo. (V´ıctor Mart´ın)
• A, B y C se pasan la tarde jugando al pinpon. El juego es “a simple
eliminaci´on” en el sentido de que cada vez que una de las partidas acaba,
el perdedor “descansa”, y el ganador juega con quien no hab´ıa participado
de esa partida. Al finalizar la tarde, el n´
umero de partidos jugados por
A, B y C era de 10, 15 y 17 respectivamente. Determina qui´en perdi´o la
segunda partida. (V´ıctor Mart´ın)
• Sea F = {f : [0, 1] → R, f es continua y f (0) = 0}. Calcula
R1
inf f ∈F sup0≤t≤1 |1 − f (t)| + 0 |1 − f (t)|dt . (Eric Guisado)
no baja m´as r´apido de
• Cuando la escalera mec´anica est´a detenida, un ni˜
lo que sube. ¿Qu´e hace m´as r´apido el ni˜
no: bajar y volver a subir la
escalera mec´anica cuando ´esta tiene movimiento ascendente, o bajar y
volver a subir la misma escalera cuando tiene movimiento descendente?
(Eric Guisado y V´ıctor Mart´ın)
• Sea f : [a, b] → R una funci´on derivable en todo punto del intervalo [a, b].
Si f 0 (a) < λ < f 0 (b), demuestra que existe x0 ∈ (a, b) tal que f 0 (x0 ) = λ.
(Eric Guisado )
• ¿Puede ocurrir que en un grupo de 10 mujeres y 9 varones todas las
mujeres conozcan diferentes cantidades de varones del grupo y al mismo
tiempo todos los varones conozcan la misma cantidad de mujeres del
grupo? ¿Y si en el grupo hay 11 mujeres y 10 varones? (V´ıctor Mart´ın)
• La funci´on f : R → R es continua y verifica que existe M > 0 tal que
|f (x) − f (y)| ≥ M |x − y|∀x, y ∈ R. Demuestra que f es biyectiva. (Eric
Guisado)
• ¿Para qu´e enteros positivos n es posible dividir un tri´angulo equil´atero
de lado n en trapecios iguales de lados 1, 1, 1, 2? (V´ıctor Mart´ın)
2
x +y+z = 1
x + y 2 + z = 1 (Eric
• Encuentra todas las soluciones del sistema
x + y + z2 = 1
Guisado)
• Decidir si existen 19 enteros positivos tales que la suma de los cuadrados
de los 10 m´as peque˜
nos sea igual a la suma de los cuadrados de los 9 m´as
grandes. (Sergi Baena)
• Se tiene un tri´angulo acut´angulo donde cada a´ngulo (medido en grados
sexagesimales) es un n´
umero entero, y el a´ngulo m´as grande mide 5 veces
el a´ngul m´as peque˜
no. Calcula los a´ngulos del tri´angulo. (Eric Guisado
y V´ıctor Mart´ın)
• Se divide un cuadrado en tri´angulos rect´angulos, todos iguales entre si,
con un cateto de longitud 3 y el otro cateto de longitud 4. Demuestra que
la cantidad de tri´angulos es par. (V´ıctor Mart´ın y Adriana Moya)
• Encuentra un polinomio P (x) ∈ R[x] tal que P (x) es divisible por x2 + 1
y P (x) + 1 es divisible por x3 + x2 + 1. (Sergi Baeza y V´ıctor Mart´ın)
• Sea A una matriz cuadrada cuyos coeficientes son enteros no negativos.
Si se sabe que A es invertible, y que la matriz inversa de A tambi´en tiene
coeficientes enteros no negativos, demuestra que A es una matriz que
tiene en cada fila (y columna) un solo elemento igual a 1, y el resto de
sus elementos es igual a 0. (V´ıctor Mart´ın)
• Dados 7 n´
umeros enteros estrictamente positivos cuya suma es igual a
100, demuestra que hay 3 de ellos cuya suma es al menos 50. (Adriana
Moya)
• Del juego del domin´o se apartan todas las fichas que contengan al menos
un n´
umero 6. Se intentan colocar sobre la mesa las 21 fichas restantes
siguiendo las reglas del juego. ¿Es esto posible? (Alex Cebrian)
2 pts)
• En la gr´afica de y = p(x), con p(x) ∈ Z[x], se marcan dos puntos con
coordenadas enteras. Demuestra que si la distancia entre los estos dos
puntos es un n´
umero entero, entonces el segmento que une esos puntos
es paralelo al eje x. (Eric Guisado y Georg Kempa)
• Sea f : [0, 1] → R una funci´on continua tal que f (0) = f (1) = 1. Demuestra
que existen a, b ∈ [0, 1] tales que b − a = 12 y f (a) = f (b).(Georg Kempa)
• Se divide un cuadrado en 25 cuadrados peque˜
nos, iguales entre s´ı. Se
trazan algunas de las diagonales de los cuadrados peque˜
nos de modo
tal que no haya dos diagonales con un punto en com´
un (ni siquiera un
extremo en com´
un). ¿Cu´al es el n´
umero m´aximo de diagonales que se
pueden trazar?(Marc Adill´
on, V´ıctor Mart´ın y Eric Guisado)
• Se tienen 25 trozos de queso, todos de diferente peso. Decidir si siempre
es posible cortar uno de estos trozos en dos partes y colocar luego los 26
trozos en dos bolsas tales que las dos bolsas tengan la misma cantidad de
trozos de queso, las dos bolsas pesen lo mismo y cada una de las partes
que se cortaron est´an en bolsas distintas. (Georg Kempa)
• En una fila hay escritos 2015 n´
umeros tales que, excepto el primero y
el u
´ltimo, cada uno es igual a la suma de sus dos vecinos. Si el primer
n´
umero es 1, hallar los posibles valores del u
´ltimo. (Eric Guisado,
V´ıctor Mart´ın y Georg Kempa)
• El rey visita exactamente una vez cada casilla del tablero de ajedrez
(8 × 8), regresando finalmente a su posici´on inicial. Demuestra que en
su recorrido ha hecho un n´
umero par de movidas en diagonal (en cada
movida el rey se desplaza desde la casilla en que est´a a cualquiera de las
vecinas con la que tiene un lado o un v´ertice en com´
un).(Georg Kempa
y V´ıctor Mart´ın)
• ¿Es posible, en el plano, pintar de rojo cuatro puntos y pintar otros cuatro
puntos de negro de manera tal que cada tres puntos del mismo color (rojo
o negro) haya un punto del otro color tales que esos cuatro puntos son
los v´ertices de un paralelogramo? (Marc Adill´
on)
• ¿Es posible definir un conjunto cerrado S ( R2 con la propiedad de que
para cada x ∈ R2 \ S hayan exactamente dos puntos en S que sean los
m´as pr´oximos de S a x? (Marc Adill´
on)
• Se tienen 19 pesas distintas de 1g, 2g, 3g, . . . , 19g. Nueve son de acero,
nueve son de bronce y una es de oro. Se sabe que el peso total de las
pesas de acero es 90g superior al peso total de las pesas de bronce. Hallar
el peso de la pesa de oro. (Georg Kempa)
• Dadas una recta y una circunferencia que no se cortan, construir con
regla y comp´as un cuadrado con dos v´ertices consecutivos en la recta y
los otros dos en la circunferencia, suponiendo que tal cuadrado existe.
(Marc Adill´
on)
• Sean a, b y c tres aristas de un cubo tales que no hay dos de ellas en un
mismo plano. Describe el lugar geom´etrico de los puntos interiores del
cubo que equidistan de a, b y c. (Georg Kempa)
• Demuestra que si f : R → R es una funci´on continua e inyectiva, entonces
su inversa f −1 : f (R) → R es tambi´en continua.(Georg Kempa))
• Las mesas de billar en el planeta Equif´on tienen forma de tri´angulos
equil´ateros. Al igual que en la Tierra, cuando una bola rebota en un
borde (banda), el a´ngulo de llegada al borde es igual al de salida de dicho
borde. Un equifon´ıcola afirma que puede golpear una bola en un punto
del borde de la mesa y lograr que la trayectoria de esta bola pase tres
veces por un mismo punto de la mesa, cada vez en distinta direcci´on, y
regrese al punto de partida. ¿Es esto posible? (Marc Adill´
on)
• Sean n1 , . . . , nk enteros, y m1 , . . . , mk una permutaci´on de los mismos.
Demuestra que |n1 − m1 | + . . . + |nk − mk | es un n´
uumero par. (Eric
Guisado y V´ıctor Mart´ın)
• Para cada n ∈ N, se define r(n) = r1 (n) + r2 (n) + . . . + rn (n), donde
rj (n) denota el resto de la divisi´on de n por j. Demuestra que existen
infinitos valores de n para los cuales r(n − 1) = r(n). (V´ıctor Mart´ın)
• Consideremos S = {0, 1, 2} × {0, 1, 2} × {0, 1, 2} ⊂ Z3 . Una hormiga se
encuentra en un punto a de S, y comienza un paseo visitando distintos
puntos de este conjunto, con la regla de que cada vez que se encuentra
en un punto de S, debe girar 90 grados en alguna direcci´on desde donde
se pueda ver otro punto de S, y avanzar hacia el mismo. Al regresar al
punto a, la hormiga se detiene. ¿Cu´al es la longitud m´axima que puede
tener uno de estos paseos si se sabe que ning´
un otro punto de S (excepto
a) ha sido visitado m´as de una vez. (Eric Guisado)
delos lados
• Sean a, b, c las longitudes
de untri´angulo, con 0 < a < b < c.
Demuestra que max ab , cb , ac · min ab , cb , ac ≥ 1. (Adriana Moya)
• Sea k ∈ N. Demuestra que si existen A(x), B(x) ∈ C[x] tales que
P∞ tn
A(t)
n=1 nk = B(t) , si |t| < 1,entonces k = 0. (Alex Cebrian)
3 pts)
R 2π
• Para m ∈ {1, . . . , 10}, sea Im = 0 cos(x) cos(2x) . . . cos(mx) dx. Encuentra
todos los valores para los cuales Im 6= 0.(Marc Ranchal)
• Diez personas est´an sentadas alrededor de una mesa redonda. Delante de
cada una de ellas hay algunas nueces, y en total hay 100 nueces. Cuando
suena el timbre, cada persona pasa nueces a la que est´a a su derecha,
con la siguiente regla: si tiene un n´
umero par pasa la mitad y si tiene un
n´
umero impar, pasa el primer entero mayor que la mitad de nueces que
tiene. Este procedimiento se repite una y otra vez. Demuestra que en
alg´
un momento todos tendr´an exactamente 10 nueces.(Marc Ranchal)
• Se divide un cuadrado en tri´angulos rect´angulos, todos iguales entre si,
con un cateto de longitud 2 y el otro cateto de longitud 1. Demuestra que
la cantidad de tri´angulos es par.(Marc Ranchal)
• Un coche se mueve en linea recta con aceleraci´on creciente desde las 10
hasta las 11 de la ma˜
nana. Demuestra que su velocidad instant´anea a
las 10.30 hs. no puede superar su velocidad promedio (o sea, la distancia
total recorrida dividida por 1 hora). (Georg Kempa)
• Se tienen dos funciones f, g : [0, 1] → [0, 1] que son Riemann-integrables.
¿Se puede afirmar que la composici´on f ◦ g es tambi´en Riemann-integrable?
(Daniel Fern´
andez)
• Sea f : R → R una aplicaci´on continua tal que ∀y ∈ R, #f −1 (y) ≤ 2.
Demuestra que existe al menos un y0 ∈ R tal que #f −1 (y0 ) = 1. (Sergi
Baena & V´ıctor Mart´ın)
• Sean x, y dos n´
umeros reales estrictamente positivos con x + y = 1. Demuestra
√
que xx + y y ≥ 2. (Sergi Baena)
• Para cadaP
n ∈ N, sea r(n) = #{(x, y) ∈ Z2 , x2 + y 2 = n}. Demuestra que
limn→∞ n1 nm=1 r(m) = π. (Alex Cebrian)
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