藤堂眞治シミュレーションで探る量子多体現象

藤堂研究室
http://exa.phys.s.u-tokyo.ac.jp/
シミュレーションで探る量子多体現象
准教授: 藤堂眞治 (Synge Todo)
助教: 諏訪秀麿 (Hidemaro Suwa)
研究員: 坂下達哉 (Tatsuya Sakashita)
五十嵐亮 (Ryo Igarashi) D3: 安田真也 (Shinya Yasuda)
D2: 堀田俊樹 (Toshiki Horita)
M2: 坂川泰章 (Yasuaki Sakagawa)
M1: 足立大樹 (Daiki Adachi)
島垣凱 (Kai Shimagaki)
「京コンピュータ」
• 2012年6月完成@神戸
• 計算能力:
毎秒1京回 = 1016 flops = 10 Pflops (消費電力 13MW)
SPring-8
AICS
強相関多体系における新奇な状態の探索
ランダムネス
実験
新しい量子相・量子相転移
•
“形”の効果とランダムネス
•
モンテカルロ法
テンソルネットワーク
量子ゆらぎ
量子磁性体・
量子力学
•
•
熱ゆらぎ
端・表面の効果
量子表面相転移
計算物理
•
光学格子系
有限サイズ効果
ナノ磁性体
•
統計力学
強い空間的異方性
•
長距離相互作用の効果
格子のゆらぎ
フォノンとスピンの相互作用
•
空間・時間的非一様性
輸送現象、非平衡状態
Quantum phase transition in 2D HAF
Quantum phase transition from spin-gapped state to AF-LRO phase
H=
!
i,j
S2i,j · S2i+1,j + α
!
i,j
S2i+1,j · S2i+2,j + J ′
!
i,j
S=1/2
Si,j · Si,j+1
S=1
2.5
J’
H-II
2
10
AF
1.5
1
α
1
J’
•
1
J’
Gapped
0.5
AF
0.1
0.08
AF
0.06
0
0
0.2
0.4
0.6
α
Matsumoto, Todo, et al (2002)
0.8
1
H-II
0.04
0.02
0
H-I
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
α
3D Heisenberg (classical O(3)) universality
Impurity induced long-range order
quantum fluctuations + impurities
•
long-range order!
static dimerization + static impurities
0.2
site
J’ = 0.5
0.3
0.15
α = 0.5
Ms
•
0.1
bond
0.05
xsp
xbp
0.4
0.5
0
0
0.1
site dilution
•
•
•
0.2
0.3
x
bond dilution
site or bond randomness
spontaneous dimerization?
quantum effects of phonons
Yasuda, et al (2002), Yasuda et al (2006)
YAMAMOTO,
AND
ated by SSE. System sizes
are from LTODO,
= 8 to L
= 16.MIYASHITA
denote linear extrapolations of data points.
II. MODEL
MOTO, TODO, AND MIYASHITA
0.3
1.4
PHYS
B.
Mean-fi
1.2
PHYSICAL REVIEW B 79, 094503 $
We also analyze
the
1
Therefore we confirm the
the su- Bose-Hubbard Hamiltonian
We existence
analyze theofextended
on
a
0.2 PHASE TRANSITIONS AT FINITE… 22
SUCCESSIVE
approximation. In order
se in the region of
"cubic
1 / 2. lattice
II. !MODEL
B. Mean-field approximation 0.8
sublattice structure which
0.15 0.25
Sπ(L=12)
by the
SSE
We nalso
analyze
the ordering
processes
0.6by
derTTSof
density.
Herethe
w
= − t $a†i on
a j +a aia†j % + V
analyze the extended Bose-Hubbard H
Hamiltonian
π
in j
NL
by
SSE
ρ
22
Sπ(L=10)
• Interacting
s
TRANSITIONS
AT FINITE
TEMPERATURES
soft-core
bosons "ij#
"ij# 0.1
0.2In
order to order
study
the superfluid
solid state,order
we
approximation.
and
attice
0.4
ρs(L=12)
sublattice structure
which is characterized
a staggere
tonian for thisbyMF
is give
ρ
(L=10)
0.15
1
study the ordered† states at
finite
temperatures.
s
NS
SF
− !of the
n0.05
,
$1%
density.
Here
we
adopt
mean
fields0.2for the
H = − t $a a j + aia†% + V nin j + U ni$ni − 1%der
i
0.25
Sπ
!
ρs
Supersolid in extended Bose-Hubbard model
!
ρs
Sπ
T/U
!ithe
!i
!
!
i normal
j liquid
ansition between
the
phase
and
2
=
H
0.1
MF H
"ij#
"ij#
order and superfluid
order
at
sublattices
A
and
B.
The
0
0
SS
s expected to belong to the universality class of
†
for thisoperators
MF is0.1
given
by
00.05
0.3
0.4
ai are the
creation
andtonian
annihilation
of 0.2
where
a
1
odel •because
the
phase
transition
in
the
i and occurs
†
Supersolid
=ai co-existence
+ U ! ni$n
−boson
1% − !$&a
nai†,' = "of% and n$1%
(b)
!
T/U H = − zt$a† + a %& +
,
=
a
i
ij
i
j
i ai. The parameter t 0denotes
symmetry breaking
with
2 i of the orderi parameter
A B
= HA0.05
+ HBA 0.055
+ C, 0.06
A
0.04H MF
0.045
long-range
order
(=solid)
the
hopping
matrix
element, Uand
and V are the on-site and
On the other
hand,
the phase
transition
y of Z2. diagonal
t/U
†
0.3
1.4
!
is
the
nearest-neighbor
repulsions,
respectively,
and
aioff-diagonal
are thetocreation
and
annihilation
operators
of
dai isand
expected
belong
to
the
XY
universality
long-range
order
(=superfluid)
FIG.
6.sum
The
t-T phase
diagram for V / U U
= 1 / z and ! / U = 0.7
†
chemical
potential.
The
notation
"ij#
means
the
the
† over
, a†j ' = "parameter
%
and
n
=
a
a
.
The
parameter
t
denotes
ne the
$&a•i order
S
(L=12)
ij
i has
i
1.2
symmetryoptical
of U!1". lattice Hobtained
− by
zt$a
aAtransition
%&B + zVn
nA$n
1% T−S"!n
i the
π AmB + of the
temperatures
solid
state
A =0.25
A−
A +The
3 SSE.
Experimental
realization:
, where
L isand those
nearest-neighbor
The and
system size are
is N
= L by
Sπ(L=10)
2
pping
element,
U anddependence
V are thepairs.
on-site
plotted
solid circles
of the superfluid
state T#s are
n, we matrix
study the
temperature
of
these
† 1
ρ
(L=12)
the
length
of
the
system.
The
order
parameter
of
the
solid
H
=
−
zt$a
aB%the
&A +
plotted
by
open
circles.
The
lines
connect
the
data
points
s
B
-neighbor repulsions, respectively, and ! is the
B + for
0.2
eters.
ρs(L=10)
guide to the eyes.
state
is
al potential. The notation "ij# means the sum over the
0.8
0.15
L is
-neighbor pairs. The system size is N = L3, where
successive
transitions of superfluid andU solid for
1
0.6!t / U
iQ·$r j−rk%
†
A.
Stochastic
series
expansion
e
"n H
#,= − !zt$a
gth of the system. The order parameterS#of= the2 !
solid
+ aBAs
%$2%
&was
zVnin
− !n
/ U =B 0.7".
the
SSE n
simulation,
=kB
0.045,
jn
A + seen
Bm
A+
B$nB − 1%here
0.1
N jk
we find again the suppression of the solid2 order by 0.4
the
C =su-2zt&
show the results obtained by SSE. The simulaperfluid fraction. Namely, S" has a cusp at the superfluid
0.05
erformed in the grand where
canonical
ensemble
using
Q
=
$
#
,
#
,
#
%
is
the
wave
vector
that
represents
thedepictwhere
0.2comz$=6%
is and
the
numbe
transition
point. We also
the phase
diagram
1
3
3iQ·$r j−rk%
pare of
thatthe
to that
of SSE !Fig. 8".
qualitatively
12e .staggered
es N = 10 Sand
As for the order
superfluid
"n jnorder.
$2% parameter
andshow
mB aare
the
mean
mAThey
# = N2=!
k#,
0
0
good fraction
agreement, C
e.g.,
there
the−tetracritical
!tc , Tc"
N jk state,
we adopt
Bose-Einstein
that of condensation
the order parameters
of solid,
S#, and
&Ais0.2
&tation
zVm
mB ,point
= 2zt
values
of
the
numb
B
A
0
0.1
0.3
0.4
and the critical temperatures TS" and T#s are suppressed by
, as a function of temperature for various values
spectively,
sQ
(c)appearance
of the
the other
orderT/U
as
mentioned
before.
= $# , # , #% is http://www.uibk.ac.at/th-physik/qo
the wave vector that represents
1 the † where
z$=6%
is
number
of
nearest-neighbor
sites.
† Let us study the competition between the solid and super5!a",
we
show
the
transition
from
normal
liquid
$k=0superfluid
= 2 ! "a j akm
+ akand
a j# m are the mean
$3% fields corresponding to the e
ed order. As for the order parameter of the
mA =free
"nA#
A fluidYamamoto,
B
Todo,
Miyashita
(2009)
N jk
orders
by
analyzing
the
Ginzburg
Landau
!GL"
appears
conlid
for
t
/
U
=
0.02
in
which
only
S
FIG. 5. Temperature dependence of order parameters obt
# fraction
we adopt Bose-Einstein condensation
tationenergy.
values
ofthe
theorder
number
operators
andvalue
B site
takeAsmall
Since
parameters
m and $for
Deconfined critical phenomena
Possibility of continuous phase transition between two symmetry broken
phases Novel critical phenomena due to quantum interference
T
Anti-Ferromagnetic
(AF)
Singlet
Spinon
Deconfined
Valence Bond Solid
(VBS)
q
Néel
0
broken
not broken
•
•
gc
SU(2) rotational symmetry
lattice rotational symmetry
NCCP1
SU(2) symmetric
weak 1st order?
DQC
g
U(1)
1
g
Senthil, et al (2004)
not broken
broken
1.2
model (Kukulov et al 2008)
Square L = 32
L = 48
L = 64
L = 96
1.1
1
Honeycomb L = 36
L = 48
L = 72
L = 96
0.9
SU(N) J-Q model (Lou et al 2009, Harada, 2013)
confirmation of DCP scenario by Large-scale QMC
0.8
10-2
0.7
R-1.47
q = 0.3337
q = 0.3344
q = 0.3351
0.6
0.5
0.4
1
10-4
100
10
R
0.3
0.2
-60
10-3
CΨ(R)
Paramagnetic
1
VBS
Emergence of U(1) symmetry
B 〈|Ψ|2〉 L2xΨ
•
-50
-40
-30
-20
-10
A (q-qc) L1/ν
0
10
20
計算物理の階層
•
どうモデル化するか？
•
問題の定式化、何を見るか？何を測るか？
•
シミュレーション手法
•
アルゴリズム、プログラム開発、実装
•
最適化、並列化
•
より高性能なコンピュータ
量子多体系に対するシミュレーション手法
•
ヒルベルト空間の次元 ∼ 系のサイズに対して指数関数的に増加
•
•
全ての状態を厳密に扱うことは、スパコンを使っても無理
物理的に重要な性質を失うことなく、シミュレーションを実行
しやすい形へ表現しなおすことが本質的
•
テンソルネットワークの代表例
乱択アルゴリズム (randomized algorithm)
•
•
虚時間経路積分+モンテカルロサンプリング
= QMC
Cont
T
情報圧縮
•
i
xi , yi , zi , wi
xi yi zi wi
i
i
特異値分解による波動関数の低ランク近似
"PEPS"
= テンソルネットワーク
•
i
"MERA"
スパース(疎性)モデリング, LASSO
time
O d 12
memory
O d8
大学院における研究テーマの例
•
異方性の強い量子磁性体における相転移の研究
•
•
長距離相互作用をもつ磁性体の研究
•
•
連続空間QMCの開発、表面吸着ヘリウム4の示す超固体状態
量子多体系におけるトポロジカルな秩序・エンタングルメントの研究
•
•
•
格子結合系に対するモンテカルロ法の開発、スピン-パイエルス転移
新奇量子相の探求
•
•
オーダーNモンテカルロ法の開発、磁気双極子相互作用の効果
格子の自由度と結合した量子磁性体の研究
•
•
鎖Bethe法の開発、動的異方性制御、不純物効果
量子モンテカルロによるエンタングルメントエントロピーの測定
秩序変数としての局所ベリー位相
物質科学シミュレーションの基礎原理の研究
•
詳細つりあいを必要としないモンテカルロ法、テンソルネットワーク
藤堂研で研究・開発しているアルゴリズム
とソフトウェア
•
•
古典/量子マルコフ連鎖モンテカルロ法 (looper, worms)
•
詳細つりあいを必要としないモンテカルロ法 (BCLライブラリ)
•
長距離相互作用系に対するO(N)法
•
Spin-Peierls 系(粒子数の保存しない系に系に対するワームアルゴリズム)
•
連続空間量子モンテカルロ法(ワームアルゴリズム)
•
Stochastic Approximationとの組み合わせ
厳密対角化法
•
Rokko: 大規模並列対角化ライブラリ
•
テンソルネットワーク法
•
ALPS: Applications and Libraries for Physics Simulations
•
•
強相関量子格子模型のためのオープンソースソフトウェア
MateriApps: 物質科学シミュレーションのポータルサイト
•
MateriApps LIVE! オープンソースソフトウェアを収録したライブLinux
Metropolis
heat bath
BC
成し遂げたいこと
負符号問題の解決

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