講義資料

電磁気学II
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担当：曺基哲(236室、[email protected])
授業日程
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10月（5回）：2, 9, 16, 23, 30
11月（3回）：6, (13は休講）, 20, 27
12月（2回）：4, 11, 18 (25は木曜の授業）
1月（4回）：8, 15, 22（29は金曜の授業）
2月5日：期末テスト
参考図書
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ゼロからの電磁気学II（出口、和達、十河、岩波書店）
電磁気学II
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講義内容、計画
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静磁場（2回）
電磁誘導（3回）∼電場、磁場が時間的に変化する場合∼
時間変動する電流回路（2回）
マクスウェル方程式（3回）
真空中の電磁波（3回）
誘電体中の電磁場（2回）
電磁気学II
第一回静磁場（１）
•磁場中での荷電粒子の運動（ローレンツ力）
•電流と磁場（アンペールの法則とビオ・サバールの法則）
電磁気学II
第一回静磁場（１）
ここで扱う内容の多くはすでに高校時代に学んだものと重
複するかも知れません。しかし、その表現においてベクト
ル、微分、積分等を用いることで物理として取り扱える対
象がとても豊富になる、ということを感じて下さい。
1. 磁場中での荷電粒子の運動
1.1 ローレンツ力
F = qv
B
F = qv
B
この式が何を表すか、厳密に説明せよ。
Figure 1.1: Lorentz 力
例）磁場の方向を z 軸の正方向、荷電粒子（電荷 q ）が y 軸の正方向に速度 v で運動
場合 (Fig.1.1)
。
図のように、速度と磁場のベクトルが直交しているとき
F
= qv × B = q (vey ) × (Bez ) = qvBex
2
(1.2)
1.2 磁場中を通る電流
電流＝電荷の流れ
電荷は磁場から力を受ける→電流も磁場から力を受ける
電荷（荷電粒子）に働くローレンツ力から、電流に働く力を導いて見る
1.2 磁場中を通る電流
導体中を平均速度 v[m/s] で流れる、
set up
直線導体：断面積S[m^2]
荷電粒子：電荷ｑ、平均速度v[m/s]、数密度n[m^-3]
面を流れる電流 I （1 秒間に断面を通過
電流(I) ＝1秒間に断面を通過する電荷量
I = qnvS
りのローレンツ力の大きさは qvB 、単
1.2 磁場中を通る電流
導体中を平均速度 v[m/s] で流れる、
set up
直線導体：断面積S[m^2]
荷電粒子：電荷ｑ、平均速度v[m/s]、数密度n[m^-3]
面を流れる電流 I （1 秒間に断面を通過
電流(I) ＝1秒間に断面を通過する電荷量
I = qnvS
りのローレンツ力の大きさは qvB 、単
の直線導体中を平均速度 v[m/s] で流れる、電荷 q の荷電粒子
荷電粒子 1 つ当りのローレンツ力の大きさは
qvB 、単位長
1.2 磁場中を通る電流
、断面を流れる電流
I （qvB
1 秒間に断面を通過する電荷量）は
F =
× nS
、単位長さにかかるローレンツ力の大きさ F は
I = qnvS
を用いると
荷電粒子１つ当りのローレンツ力の大きさ：
F = qvB × nS
単位長さの導線中の粒子数：
1 つ当りのローレンツ力の大きさは
qvB 、単位長さの導線中の
F = IB
電流
(1.3) を用いると
さにかかるローレンツ力の大きさ
Fは
単位長さにかかるローレンツ力の大きさ
F = qvB × nS
F = IB
は以下のように考える。電流の方向を荷電粒子の進む方
（正電荷の）荷電粒子の進む方向＝電流の方向
を用いると
る。
F =I ×B
ついては以下のように考える。電流の方向を荷電粒子の
F = IB
注：磁場の単位はT(Tesla)もしくはG(Gauss)である。これらについて調べ、
の直線導体中を平均速度 Iv[m/s]
で流れる、電荷 q の荷電粒子
いると、断面を流れる電流
（1 秒間に断面を通過する電荷量）は
荷電粒子 1 つ当りのローレンツ力の大きさは
qvB 、単位長
1.2 磁場中を通る電流
、断面を流れる電流
I （qvB
1 秒間に断面を通過する電荷量）は
F =
× nS
I = qnvS
、単位長さにかかるローレンツ力の大きさ
Fは
I = qnvS
を用いると
粒子
1 つ当りのローレンツ力の大きさは
荷電粒子１つ当りのローレンツ力の大きさ： qvB 、単位長さの導線中
F = qvB × nS
単位長さにかかるローレンツ力の大きさ
F
は
単位長さの導線中の粒子数：
1 つ当りのローレンツ力の大きさは
qvB 、単位長さの導線中の
F = IB
電流
(1.3) を用いると
さにかかるローレンツ力の大きさ
F
は
F = qvB × nS
単位長さにかかるローレンツ力の大きさ
F = IB
(1.3) を用いると F = qvB × nS
は以下のように考える。電流の方向を荷電粒子の進む方
（正電荷の）荷電粒子の進む方向＝電流の方向
を用いると
F = IB
る。
F =I ×B
ついては以下のように考える。電流の方向を荷電粒子の
F = IB
注：磁場の単位はT(Tesla)もしくはG(Gauss)である。これらについて調べ、
いては以下のように考える。電流の方向を荷電粒子の進む方向と
−3 ] を用いると、断
n[m
の直線導体中を平均速度 Iv[m/s]
で流れる、電荷 q の荷電粒子
いると、断面を流れる電流
（1 秒間に断面を通過する電荷量）は
荷電粒子 1 つ当りのローレンツ力の大きさは
qvB 、単位長
1.2 磁場中を通る電流
、断面を流れる電流
I （qvB
1 秒間に断面を通過する電荷量）は
F =
× nS
I = qnvS
、単位長さにかかるローレンツ力の大きさ
Fは
I = qnvS
を用いると
粒子
1 つ当りのローレンツ力の大きさは
、単位長さの導線中
荷電粒子１つ当りのローレンツ力の大きさ： qvB
である。荷電粒子
1 つ当
F = qvB × nS
単位長さにかかるローレンツ力の大きさ
F
は
nS
なので、単位長さに
単位長さの導線中の粒子数：
1 つ当りのローレンツ力の大きさは
qvB 、単位長さの導線中の
F = IB
電流
(1.3) を用いると
さにかかるローレンツ力の大きさ
F
は
F = qvB × nS
単位長さにかかるローレンツ力の大きさ
F = IB
(1.3) を用いると F = qvB × nS
である。電流
(1.3)
を用
は以下のように考える。電流の方向を荷電粒子の進む方
（正電荷の）荷電粒子の進む方向＝電流の方向
を用いると
F = IB
る。
F =I ×B
ついては以下のように考える。電流の方向を荷電粒子の
F = IB
と表される。
注：磁場の単位はT(Tesla)もしくはG(Gauss)である。これらについて調べ、
いては以下のように考える。電流の方向を荷電粒子の進む方向と
−3 ] を用いると、断
n[m
の直線導体中を平均速度 Iv[m/s]
で流れる、電荷 q の荷電粒子
いると、断面を流れる電流
（1 秒間に断面を通過する電荷量）は
荷電粒子 1 つ当りのローレンツ力の大きさは
qvB 、単位長
1.2 磁場中を通る電流
、断面を流れる電流
I （qvB
1 秒間に断面を通過する電荷量）は
F =
× nS
I = qnvS
、単位長さにかかるローレンツ力の大きさ
Fは
I = qnvS
を用いると
粒子
1 つ当りのローレンツ力の大きさは
、単位長さの導線中
荷電粒子１つ当りのローレンツ力の大きさ： qvB
である。荷電粒子
1 つ当
F = qvB × nS
単位長さにかかるローレンツ力の大きさ
F
は
nS
なので、単位長さに
単位長さの導線中の粒子数：
1 つ当りのローレンツ力の大きさは
qvB 、単位長さの導線中の
F = IB
電流
(1.3) を用いると
さにかかるローレンツ力の大きさ
F
は
F = qvB × nS
単位長さにかかるローレンツ力の大きさ
F = IB
(1.3) を用いると F = qvB × nS
である。電流
(1.3)
を用
は以下のように考える。電流の方向を荷電粒子の進む方
（正電荷の）荷電粒子の進む方向＝電流の方向
を用いると
F = IB
る。
F =I ×B
ついては以下のように考える。電流の方向を荷電粒子の
F = IB
と表される。
注：磁場の単位はT(Tesla)もしくはG(Gauss)である。これらについて調べ、
いては以下のように考える。電流の方向を荷電粒子の進む方向と
−3 ] を用いると、断
n[m
の直線導体中を平均速度 Iv[m/s]
で流れる、電荷 q の荷電粒子
いると、断面を流れる電流
（1 秒間に断面を通過する電荷量）は
荷電粒子 1 つ当りのローレンツ力の大きさは
qvB 、単位長
1.2 磁場中を通る電流
、断面を流れる電流
I （qvB
1 秒間に断面を通過する電荷量）は
F =
× nS
I = qnvS
、単位長さにかかるローレンツ力の大きさ
Fは
I = qnvS
を用いると
粒子
1 つ当りのローレンツ力の大きさは
、単位長さの導線中
荷電粒子１つ当りのローレンツ力の大きさ： qvB
である。荷電粒子
1 つ当
F = qvB × nS
単位長さにかかるローレンツ力の大きさ
F
は
nS
なので、単位長さに
単位長さの導線中の粒子数：
1 つ当りのローレンツ力の大きさは
qvB 、単位長さの導線中の
F = IB
電流
(1.3) を用いると
さにかかるローレンツ力の大きさ
F
は
F = qvB × nS
単位長さにかかるローレンツ力の大きさ
F = IB
(1.3) を用いると F = qvB × nS
である。電流
(1.3)
を用
は以下のように考える。電流の方向を荷電粒子の進む方
（正電荷の）荷電粒子の進む方向＝電流の方向
を用いると
F = IB
る。
F =I ×B
ついては以下のように考える。電流の方向を荷電粒子の
F = IB
と表される。
注：磁場の単位はT(Tesla)もしくはG(Gauss)である。これらについて調べ、
いては以下のように考える。電流の方向を荷電粒子の進む方向と
1.3 電流と磁場
磁場中においた電流は力を受ける（ローレンツ力）
観測より、電流が流れると周囲に磁場が発生することがわ
かった。
これが本当なら、電流と磁場は不可分の関係にある
電流の大きさと磁場の強さの関係を表す法則を学ぶ
1.3 電流と磁場
（観測から）
無限に長い直線電流（I）を取り囲むように磁場が生じる
方向は電流の流れる方向に対して右ねじの向き
円周上では磁場の強さは一定
：無限に長い直線に沿って流れる電流 I を取り囲むように磁
ると表される電流の方向に対して右ネジの進む向き。円周上
れるきさは一定。半径
a とすると次の関係が認められる：
→これだけから、磁場の強さと電流の大きさの関係が決まる。
B(a) =
µ0 I
2πa
これをより一般化して表す→アンペールの法則
真空の透磁率。
1.3.1 アンペールの法則
B(r(θ)) = |B(r)|(− sin θ, cos θ, 0)
結局
C
2π
0
B(r) · dr = µ0 I
閉じた径路Cに沿って磁場Bを足し
合わせる（積分）→径路を貫く電流
2
に比例
|B(r)|r (− sin θ, cos θ, 0) dθ = 2πrB(r)
ールの法則からこの場合の磁場は
直線電流の場合：対称性から、電流からの距離rの円周上では磁場の強さは同じ
µ0 I
B(r) =
2πr
（例）ソレノイド内部の磁場
高校物理でやっているはず
径路の縦方向の磁場：隣同士でキャンセル
ソレノイド内部で径路を取ると…
（例）ソレノイド内部の磁場
図のように径路を取る
1.3.2 ビオ・サバールの法則
µ0 Iet ⇥ ⇥ (r R)
B(r) =
3
4
|r R|
電流要素からある距離離れたところでの磁
場の強さを与える。
ややこしそうに書いているが、空間内の任
意の位置を原点にとっているせい。
電流要素の位置を原点に取ると r-R は r に
置き換わる。
アンペールの法則との違い？（考えてみ
て下さい）
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練習問題（5題）
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提出方法：PDFファイルにして、電子メールで提出
提出先：[email protected]
この講義資料および練習問題のファイルは以下のURLからダウンロー
ドできます
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教科書の例題レベルです。各自が解いて、提出して下さい。
http://www.phys.ocha.ac.jp/cho/em2012.html
履修登録期間終了後は「Plone」というシステム(https://
crdeg.cf.ocha.ac.jp/ocha/Plone)を利用することを検討中。

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