- Berufskolleg Marienschule Lippstadt

Berufskolleg Marienschule Lippstadt
Berufskolleg Marienschule Lippstadt
Schuljahr 2013/2014
Schule der Sekundarstufe II mit gymnasialer Oberstufe
- staatlich anerkannt –
Schule der Sekundarstufe II mit gymnasialer Oberstufe
- staatlich anerkannt –
Kurs: Mathematik AHR 12.2
Kurslehrer: Gödde / Langenbach
Übungsaufgaben Matrizenrechnung
Übungsaufgaben Matrizenrechnung
Aufgabe 8
Ein Schokoladenfabrikant stellt drei verschiedene Pralinensorten P1, P2 und P3 her, die
er aus den vier Rohstoffen Schokolade, Nüsse, Marzipan und Zucker herstellt. Aus diesen Pralinen stellt er zwei verschiedene Pralinenschachteln S1 und S2 zusammen, die
er dann an den Handel liefert. (Alle Angaben in Mengeneinheiten – ME)
P1
P2
P3
Schokolade
3
7
1
Nüsse
6
2
3
Marzipan
2
1
5
Zucker
1
2
3
Rohstoffkosten
pro ME (in GE)
P1
12
10
P2
4
10
P3
12
10
Nüsse
Marzipan
Zucker
5
7
6
2
S1
S2
3100
3700
a) Erstellen Sie eine Produktionsmatrix, die angibt wie viel von den einzelnen Rohstoffen er benötigt, um jeweils eine ME (Mengeneinheit) von jeder Pralinenschachtel herzustellen.
3

6
M RP ⋅ M PS = 
2

1
c) Wie viel Gewinn erzielt er mit diesem Auftrag, wenn er für die sonstigen Kosten
(d.h. die Kosten, die neben den Rohstoffkosten zusätzlich anfallen) 150000 GE
veranschlagt?
(Hinweis: Gewinn = Einnahmen - Rohstoffkosten - sonstige Kosten)
Rohstoffkosten:
 24100 


33800 
(5 7 6 2)⋅ 
= 511100
20800 


 14600 
Einnahmen:
(3100
Schachtel Schachtel
S1
S2
Schokolade
Erlöse pro ME (=1000 Schachteln)
Pralinenschachteln (in GE)
7 1
 3 ⋅ 12 + 7 ⋅ 4 + 1⋅ 12 3 ⋅ 10 + 7 ⋅ 10 + 1⋅ 10 
 76 110 



 12 10  
  6 ⋅ 12 + 5 ⋅ 4 + 3 ⋅ 12 6 ⋅ 10 + 5 ⋅ 10 + 3 ⋅ 10 
5 3 
128 140 
⋅
4
10
=
=

 
 88 80 
1 5 
2 ⋅ 12 + 1⋅ 4 + 5 ⋅ 12 2 ⋅ 10 + 1⋅ 10 + 5 ⋅ 10 
 12 10  



2 3
 1⋅ 12 + 2 ⋅ 4 + 3 ⋅ 12 1⋅ 10 + 2 ⋅ 10 + 3 ⋅ 10 
 56 60 
 100 
3700) ⋅ 
 = 865000
 150 
Gewinn = Einnahmen – Rohstoffkosten – sonstige Kosten
Gewinn = 865 000 − 511 100 − 150 000 = 203 900
d) Vor den Sommerferien sollen, auf Grund der dort vorgesehenen Betriebsferien,
die Lagebestände möglichst vollständig verbraucht werden. Wie viele ME Pralinenschachteln können noch gefüllt werden, wenn noch 7020 ME Schokolade,
9560 ME Nüsse, 5760 ME Marzipan und noch 4120 ME Zucker vorhanden sind?
Es gilt:
 76 110 
 7020 




128 140   a   9560 
⋅


=
 88 80   b   5760 
   


 56 60 
 4120
76 a + 110 b = 7020
⇒
b) Wie viele Rohstoffe benötigt er, um eine Bestellung von 100 ME der Schachteln
S1 und 150 ME der Schachteln S2 liefern zu können?
128 a + 140 b = 9560
88 a + 80 b = 5760
⋅6
56 a + 60 b = 4120
⋅ ( −8)
76 a + 110 b = 7020
⇒
 76 110 
 24100




128 140   100   33800 
⋅
=


 88 80   150   20800
 

 
 14600 
56
60




128 a + 140 b = 9560
528 a + 480 b = 34560
− 448 a − 480 b = − 32960 + Z3
76 a + 110 b = 7020
⇒
128 a + 140 b = 9560
528 a + 480 b = 34560
80 a
1
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Kurs: Mathematik AHR 12.2
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= 1600
: 80
2
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Kurs: Mathematik AHR 12.2
Kurslehrer: Gödde / Langenbach
Übungsaufgaben Matrizenrechnung
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Aufgabe 9
Eine Bei der Aufzucht von Rindern unterscheidet man zwischen Neugeborenen (N),
einjährigen Kälbern (K) und geschlechtsreifen erwachsenen Tieren (E), den Kühen und
Bullen (mindestens zweijährig).
Um eine Rinderherde wirtschaftlich erfolgreich zu betreiben, muss man Kenntnisse über
die Anzahl der Geburten, der Todesfälle und der Entnahmen durch Schlachtung oder
Verkauf haben. Zudem muss die Verteilung der Herde in den drei Altersstufen (N, K, E)
bekannt sein.
76 a + 110 b = 7020
128 a + 140 b = 9560
⇒
528 a + 480 b = 34560
a
= 20
Einsetzen in Zeile 3:
⇒
528 ⋅ (20 ) + 480 b = 34560
⇔
10560 + 480 b = 34560
− 10560
⇔
480 b = 24000
: 480
⇔
b = 50
Die erwachsenen Tieren (E) der hier betrachteten Rinderherde besteht zu 5 6 aus Kühen, die jedes Jahr zwei Kälber zur Welt bringen. 75 % der Neugeborenen überleben
das erste Jahr und 80 % der Kälber werden zu erwachsenen Tieren. 20 % der erwachsenen Tiere werden am Ende des Jahr vom Bauern geschlachtet oder verkauft.
a) Erläutern Sie, warum die Übergänge zwischen den Altersstufen (N), (K) und (E)
innerhalb eines Jahres durch die folgende Matrix A angegeben werden kann.
Beide Ergebnisse überprüfen in Zeile 2 und in Zeile 1:
 0
0 53 


0 
A =  0,75 0
 0
0,8 0,8 

Zeile 1:
⇒ 76 ⋅ 20 + 110 ⋅ 50 = 7020
⇔ 1520 + 5500 = 7200
⇔
7200 = 7200
5
Dies führt zu einer wahren Aussage, die Lösung ist somit auch für die 1. Gleichung richtig.
Zeile 2:
⇒ 128 ⋅ 20 + 140 ⋅ 50 = 9560
⇔ 2560 + 7000 = 9560
⇔ 9560 = 9560
Dies führt zu einer wahren Aussage, die Lösung ist somit auch für die 2. Gleichung richtig.
Antwort:
6 der Kühe bekommen jedes Jahr zwei Kälber. Dies bedeutet dass es eine Geburten-
rate von 5 6 ⋅ 2 = 5 gibt. Diese steht in der Matrix in der ersten Zeile an der dritten Stel3
le. An den ersten beiden Stellen der ersten Zeile der Matrix müssten der Anteil derjenigen Neugeborenen stehen, die auch im folgenden Jahr zu den Neugeborenen zählen
(unmöglich, daher 0) sowie der Anteil derjenigen Kälber, die auch im folgenden Jahr zu
den Kälbern zählen (unmöglich, daher 0).
In der zweiten Zeile steht an der ersten Stelle der Anteil der Neugeborenen, die zu Kälbern werden („Überlebensrate“), sowie der Anteil der Kälber, die Kälber bleiben und der
Anteil der Kühe, die zu Kälbern werden (beides unmöglich, daher 0).
In der dritten Zeile steht an der ersten Stelle der Anteil der Neugeborenen, die unmittelbar zu Kühen werden (unmöglich, daher 0). Anschließend folgt der Anteil der Kälber, die
zu Kühen werden („Überlebensrate“) und der Anteil der Kühe, die weiterhin in der Herde bleiben (da 20 % geschlachtet oder verkauft werden, bleiben 80 % in der Herde =
„Überlebensrate“).
…
3
4
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Kurslehrer: Gödde / Langenbach
Übungsaufgaben Matrizenrechnung
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b) Wie groß ist der Anteil der Neugeborenen, die das Erwachsenenalter erreichen?
75 % der Neugeborenen überleben das erste Jahr und 80 % der Kälber werden zu Erwachsenen. Dies bedeutet, dass 0 ,75 ⋅ 0 ,8 = 0 ,6 , also 60 % der Neugeborenen das
Erwachsenenalter erreichen.
c) Zurzeit befinden sich 60 Neugeborene, 150 Kälber und 120 Erwachsene in der
Herde. Berechnen Sie die Verteilung auf die drei Altersstufen in der Herde für die
nächsten drei Jahre.
 0
0 5 3   60   200 

 
 

0  ⋅ 150  =  45 
 0,75 0
 0
0,8 0,8  120   216 

Nach 1 Jahr:
0
 0
 360   360 
3   200 

 
 
 

0
,
75
0
0
⋅
45
=

 
  150  ≈  150 
 0
0,8 0,8   216   208,8   208 

5
Nach 2 Jahren:
5   360 
 346 23   346 
0
 0
3
 

 
 

0  ⋅  150  =  270  ≈  270 
 0,75 0
 0
0,8 0,8   208   286,4   286 

Nach 3 Jahren:
d) Der Bauer sucht eine Strategie, durch die gewährleistet wird, dass die Zahl der
Tiere in der Herde möglichst keinen Schwankungen unterworfen wird. Überprüfen Sie, ob es eine bestimmte Verteilung der Tiere auf die verschiedenen Altersstufen gibt, die dazu führt, dass diese Zahl sich nicht verändert.
x
 
Um dies zu gewährleisten, müsste es einen Vektor  y  geben, für den gilt:
z
 
 0
0 53   x 
 x

  
 
0  ⋅ y  =  y 
 0,75 0
 0
z
0,8 0,8   z 
 

⇒
5z = x
3
0,8y + 0,8z = z
−x
0,75 x − y
⇔
⇔
Übersicht: Die Herde umfasst:
Neugeborene
Kälber
Kühe
Anfangswert
60
150
120
nach 1 Jahr
200
45
216
nach 2 Jahren
360
150
208
346
270
286
=y
0,75 x
0,8y − 0,2z = 0
⋅ 25
+ 5z = 0
− 3x
− 3x
⇔
…
=0
= 0
x = 0
: 16
+ 5z = 0
3 x − 4y
y = 0
⇒
+ Z2
+ 5z = 0
3 x − 4y
=0
16y = 0
− 3x
+ Z1
+ 5z = 0
3x − 4y
− 3 x + 20y
⇔
−z
⋅3
⋅4
3 x − 4y
=0
20y − 5z = 0
⇔
−x
−y
+5z = 0
3
=0
− 3x
nach 3 Jahren
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Kurs: Mathematik AHR 12.2
Kurslehrer: Gödde / Langenbach
…
=0
⇒
y = 0 einsetzen
z = 0
Somit ist diese Aufgabe nicht lösbar, da die Bedingung nur für eine Herde mit 0 Tieren
erfüllbar wäre.
5
6
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Kurs: Mathematik AHR 12.2
Kurslehrer: Gödde / Langenbach
Übungsaufgaben Matrizenrechnung
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Übungsaufgaben Matrizenrechnung
Aufgabe 10
e) Der Bauer beschließt alle erwachsenen Tiere nach dem 2. Lebensjahr zu
schlachten bzw. zu verkaufen. Geben Sie die nun veränderte Übergangsmatrix
A* an und bestimmen Sie für die gleiche Ausgangsverteilung wie in Aufgabenteil
c) die Verteilung der drei Altersstufen in der Herde für die nächsten drei Jahre.
Ein Autohaus besitzt 3 Filialen A, B und C. Es hat Mietwagen, die an jedem der drei
Standorte abgeholt aber auch abgegeben werden können. Zur Vereinfachung untersuchen wir das Modell, bei dem ein Auto maximal einen Tag lang gemietet werden kann,
d.h. es wird am selben Tag an einem der drei Standorte abgeholt und (ggf. an einem
anderen Standort) abgegeben.
Die Leitung des Autohauses hat aus den Daten der letzten Monate eine Statistik über
die Standortwechsel der Fahrzeuge erstellt und diese in folgendes Diagramm übertragen:
 0
0 53


A * =  0,75 0
0
 0
0,8 0 

50 %
 0
0 5 3   60   200 

 
 

0
,
75
0
0  ⋅ 150  =  45 

 0
0,8 0  120   120 

Nach 1 Jahr:
A
25 %
25 %
40 %
 0
0 5 3   200   200 

 
 

0  ⋅  45  =  150 
 0,75 0
 0
0,8 0   120   36 

Nach 2 Jahren:
60 %
10 %
C
B
20 %
 0
0 5 3   200   60 

 
 

0  ⋅  150  = 150 
 0,75 0
 0
0,8 0   36  120 

Nach 3 Jahren:
40 %
30 %
a) Erstellen Sie aus dem Diagramm eine Übergangsmatrix, die die Verteilung der
Mietwagen am jeweils nächsten Tag angibt.
Übersicht: Die Herde umfasst:
Neugeborene
Kälber
Kühe
Anfangswert
60
150
120
nach 1 Jahr
200
45
120
nach 2 Jahren
200
150
36
nach 3 Jahren
60
150
120
 0,5 0,6 0,4 


M =  0,25 0,3 0,2 
 0,25 0,1 0,4 


b) Das Autohaus verteilt 200 Wagen folgendermaßen auf die drei Standorte: 70 bei
Standort A, 50 bei Standort B und 80 bei Standort C. Bestimmen Sie wie die Verteilung der Wagen an den nächsten beiden Tagen aussieht.
Nach 1 Tag:
7
 0,5 0,6 0,4   70   97 

   

 0,25 0,3 0,2  ⋅  50  =  48,5 
 0,25 0,1 0,4   80   54,5 

   

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Kurs: Mathematik AHR 12.2
Kurslehrer: Gödde / Langenbach
Übungsaufgaben Matrizenrechnung
Nach 2 Tagen:
Nach 3 Tagen:
 0,5 0,6 0,4   97   99,4 

 
 

 0,25 0,3 0,2  ⋅  48,5  =  49,7 
 0,25 0,1 0,4   54,5   50,9 

 
 

 0,5 0,6 0,4   99,4   99,88 

 
 

 0,25 0,3 0,2  ⋅  49,7  =  49,94 
 0,25 0,1 0,4   50,9   50,18 

 
 

Schuljahr 2013/2014
Kurs: Mathematik AHR 12.2
Kurslehrer: Gödde / Langenbach
Übungsaufgaben Matrizenrechnung
− x + 2y
x − 2y
⇔
= 0
=0
+ Z2
0,25x + 0,1y − 0,6z = 0
0 = 0
⇔
( allgemeingültig )
x − 2y
=0
0 ,25 x + 0,1y − 0,6z = 0
Somit ist dieses Gleichungssystem so nicht eindeutig lösbar.
Wir haben jedoch noch eine weitere Bedingung zur Verfügung, die wir benutzen
können, um das Gleichungssystem zu einer eindeutigen Lösung zu überführen:
die Gesamtzahl der Wagen beträgt 200; daher gilt: x + y + z = 200 .
c) Die Buchhaltung des Autohauses regt an, die 200 Wagen so zu verteilen, dass
jeweils am nachfolgenden Tag die Verteilung unverändert ist. Überprüfen Sie, ob
dies möglich ist und geben Sie gegebenenfalls diese Verteilung an.
Gesucht ist eine Verteilung (ein Vektor) mit:
Damit ergibt sich:
x
⇒
+ y + z = 200
x − 2y
=0
⋅6
0,25 x + 0,1y − 0,6z = 0 ⋅ 10
 0,5 0,6 0,4   x   x 

    
 0,25 0,3 0,2  ⋅  y  =  y 
 0,25 0,1 0,4   z   z 

    
⇒
⇔
6x
⇔
0,5 x + 0,6y + 0,4z = x
−x
0,25 x + 0,3y + 0,2z = y
0,25x + 0,1y + 0,4z = z
−y
−z
− 0,5 x + 0,6 y + 0,4z = 0
0,25 x − 0,7y + 0,2z = 0
6x
⇔
⋅ 1,5
⋅3
0,25 x + 0,1y − 0,6z = 0
6x
⇔
+ 6y
+ 6z = 1200
x − 2y
=0
2,5 x + y − 6z = 0
+ Z1
+ 6y + 6z = 1200
x − 2y
=0
⋅7
8,5 x + 7y
⋅2
+ 6y
+ 6z = 1200
7 x − 14y
17 x + 14y
⇔
− 0,75x + 0,9y + 0,6z = 0
+ Z3
0,75 x − 2,1y + 0,6z = 0
0,25x + 0,1y − 0,6z = 0
+ Z3
6x
⇔
= 1200
=0
= 2400
+ 6 y + 6z = 1200
7 x − 14y
=0
24x = 2400
⇔
− 0,5 x + y
x − 2y
= 0
=0
+ Z2
: 24
⋅2
6x
0,25x + 0,1y − 0,6z = 0
⇔
+ 6y
+ 6z = 1200
7 x − 14y
=0
x = 100
9
10
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Schuljahr 2013/2014
Schule der Sekundarstufe II mit gymnasialer Oberstufe
- staatlich anerkannt –
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- staatlich anerkannt –
Kurs: Mathematik AHR 12.2
Kurslehrer: Gödde / Langenbach
Übungsaufgaben Matrizenrechnung
7 ⋅ (100) − 14y = 0
⇔
− 14y = − 700
⇔
y = 50
a) Erstellen Sie eine Produktionsmatrix, die angibt, wie viele ME (Mengeneinheiten)
der verschiedenen Einzelteile W, D und P jeweils für eine ME der drei Bauteile
benötigt werden.
− 700
: (− 14)
 4 7 5


MRB =  6 4 8 
 2 1 2


x = 100 und y = 50 einsetzen in Zeile 1:
⇒
6 ⋅ (100) + 6 ⋅ (50) + 6z = 1200
⇔
600 + 300 + 6z = 1200
⇔
6z = 300
⇔
z = 50
Kurs: Mathematik AHR 12.2
Kurslehrer: Langenbach
Übungsaufgaben Matrizenrechnung III
x = 100 einsetzen in Zeile 2:
⇒
Schuljahr 2012/2013
− 900
b) Die Elektro KG erhält eine Bestellung über 40 ME von B1 und zudem 30 ME von
B2 und 50 ME von B3. Wie viele ME der verschiedenen Einzelteile werden für
diesen Auftrag benötigt?
: (6 )
 4 7 5   40 
 4 ⋅ 40 + 7 ⋅ 30 + 5 ⋅ 50   620 

  

 

 6 4 8  ⋅  30  =  6 ⋅ 40 + 4 ⋅ 30 + 8 ⋅ 50  =  760 
 2 1 2   50 
 2 ⋅ 40 + 1⋅ 30 + 2 ⋅ 50   210 

  

 

Das Autohaus sollte die 200 Wagen also folgendermaßen auf die drei Standorte
verteilen:
100 bei Standort A, 50 bei Standort B und 50 bei Standort C.
Antwort: …
c) Wie hoch sind die Materialkosten, die bei der Erledigung dieses Auftrages anfallen?
Aufgabe 11
Die Elektro KG produziert aus verschiedenen Widerständen (W), Dioden (D) und Platinen (P) drei Bauteile B1, B2 und B3, die bei der Produktion von Handys benötigt werden.
Kosten
B1
B2
B3
W
pro ME
(in GE)
Widerstände
4
7
5
2
Dioden
6
4
8
3
Platinen
2
1
2
5
6
7
9
2
 620 


3 5 )⋅  760  = (2 ⋅ 620 + 3 ⋅ 760 + 5 ⋅ 210) = 4 570
 210 


2
d) Wie hoch ist der Gewinn, den die Elektro KG mit diesem Auftrag erzielen kann,
wenn – zusätzlich zu den Materialkosten - auch noch weitere Kosten von 1320
GE bei diesem Auftrag berücksichtigt werden müssen?
Z2
Z1
(2
Antwort: …
P
D
8
Kosten:
1
Erlöse pro ME
der Bauteile
54
65
Erlöse:
2
74
1
2
 40 
 
65 74)⋅  30  = (54 ⋅ 40 + 65 ⋅ 30 + 74 ⋅ 50) = 7 810
 50 
 
1
2
B1
(54
Gewinn = Erlöse − Materialkosten − sonstige Kosten
B2
B3
Gewinn = 7 810 − 4 570 − 1320 = 1920
11
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Berufskolleg Marienschule Lippstadt
Schule der Sekundarstufe II mit gymnasialer Oberstufe
- staatlich anerkannt –
Berufskolleg Marienschule Lippstadt
Schuljahr 2012/2013
Schule der Sekundarstufe II mit gymnasialer Oberstufe
- staatlich anerkannt –
Kurs: Mathematik AHR 12.2
Kurslehrer: Langenbach
Übungsaufgaben Matrizenrechnung III
Übungsaufgaben Matrizenrechnung III
− 6,4 x − 11,2y − 8z = − 2624
− 0,4 x − 7,2y
= − 904
⇔
e) Neue Leistungsanforderungen der Handyproduzenten an die Bauteile erfordern
die Einführung eines „Zwischenproduktes“ in den Produktionsprozess. Erstellen
Sie anhand des folgenden Diagramms eine Produktionsmatrix, die diesen neuen
Produktionsprozess darstellt.
x = 100
⇔
 6 8
 22 20 22 

  1 2 1 

MRZ ⋅ MZB =  9 7  ⋅ 
 =  23 25 23 
 2 2  2 1 2  6 6 6 




+ 40
11,2y + 8z = 1984
y = 120
⇔
 4 7 5  x 
 1640 

  


6
4
8
⋅
y
=

  
 1720 
 2 1 2  z 
 480 

  


⋅ (− 1)
: (− 7,2)
y = 120
x = 100
⇔
Daraus ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
11,2 ⋅ 120 + 8z = 1984
y = 120
x = 100
( 5)
⋅ −8
8z = 640
6x + 4 y + 8z = 1720
2x + y + 2z = 480
⇔
+ 640
− 0,4 ⋅ 100 − 7,2y
= − 904
x = 100
x = 100
Es gilt:
⇒
− 6,4 ⋅ 100 − 11,2y − 8z = − 2624
− 11,2y − 8z = − 1984
− 7,2y
= − 864
⇔
f) Vor der Umstellung des Produktionsprozesses sollen die Lager zunächst geleert
werden. Wie viele Bauteile kann die Firma noch herstellen, wenn im Lager noch
1640 ME Widerstände, 1720 ME Dioden und 480 ME Platinen vorhanden sind?
4 x + 7y + 5z = 1640
⇔
⋅4
− 6,4 x − 11,2 y − 8z = − 2624
6x + 4y + 8z = 1720
+ Z1
8 x + 4 y + 8z = 1920
− Z2
⇔
:8
y = 120
x = 100
z = 80
y = 120
x = 100
− 6,4 x − 11,2y − 8z = − 2624
⇔
x = 100
x = 100
= − 904
− 0,4 x − 7,2y
2x = 200
:2
Antwort: …
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− 1344
Schuljahr 2012/2013
Kurs: Mathematik AHR 12.2
Kurslehrer: Langenbach

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