Klausur Algebra und Zahlentheorie“ ” WS 2014/2015, Mittwoch, den 08.04.2015 A. Schmitt, A. Mu˜ noz L¨ osungsvorschl¨ age und Punkteverteilung Aufgabe 1 (20 Punkte). Bestimmen Sie alle ganzen Zahlen x, die folgendes System von Kongruenzen l¨osen: 2x ≡ 1 mod 3, 3x ≡ −1 mod 10, 5x ≡ 3 mod 7. Hinweis. Formen Sie die Kongruenzen so um, dass Sie den chinesischen Restsatz anwenden k¨onnen. F¨ur die richtige L¨osungsmenge gibt es (nur) 3 Punkte. Ihr Rechenweg muss erkennbar und nachvollziehbar sein. L¨ osung. Es gilt 2·2 ≡ 1 mod 3, 7 · 3 ≡ 1 mod 10, 3·5 ≡ 1 mod 7. 2 Punkte. Deshalb multiplizieren wir die erste Kongruenz mit 2, die zweite mit 7 und die dritte mit 3. Es ergibt sich x ≡ 2 mod 3, x ≡ −7 ≡ 3 mod 10, x ≡ 9 ≡ 2 mod 7. 3 Punkte. Wir finden ggT(3, 10) = 1 = (−3) · 3 + 1 · 10. 2 Punkte. Nach dem chinesischen Restsatz (Skript, Satz I.6.14) kann man die ersten beiden Kongruenzen zu der Kongruenz x ≡ 2 − (2 − 3) · (−3) · 3 = −7 ≡ 23 mod 30 zusammenfassen. 4 Punkte. Damit sind die beiden Kongruenzen x ≡ 23 x ≡ 9 ≡ 2 mod 30, mod 7 zu l¨osen. Hier haben wir ggT(30, 7) = 1 = (−3) · 30 + 13 · 7. 2 Punkte. Damit bleibt die Kongruenz x ≡ 23 − (23 − 2) · (−3) · 30 = 1913 ≡ 23 mod 210. 4 Punkte. Die L¨ounsgmenge ist somit 3 Punkte. L = 23 + k · 210 | k ∈ Z }. Aufgabe 2 (15 Punkte). Es sei S6 die symmetrische Gruppe der bijektiven Selbstabbildungen der Menge { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }. Geben Sie f¨ur jede Konjugationsklasse in S6 genau einen Repr¨asentanten an. Hinweise. Konjugationsklassen, die mehrmals aufgelistet werden oder f¨ur die mehr als ein Repr¨asentant angegeben wird, werden nicht gewertet. Sie m¨ussen begr¨unden, warum Ihre Liste vollst¨andig ist. 1 2 3 4 5 6 , Zul¨assige Notationen f¨ur Permutationen sind die Listenschreibweise“, z.B. ” 2 1 4 5 6 3 oder die Zykelschreibweise, z.B. (1 2)(3 4 5 6). L¨ osung. Wir benutzen die Klassifikation der Konjugationsklassen durch den Zykeltyp (Skript, Satz II.6.27). Wir m¨ussen daher die m¨oglichen Zykeltypen angeben und f¨ur jeden Zykeltyp eine Permutation des gegebenen Zykeltyps. (Dazu benutzt man am besten die Zykelschreibweise.) 4 Punkte. Zykeltyp Repr¨asentant (−) id (1 2) (2) (1 2 3) (3) (4) (1 2 3 4) (5) (1 2 3 4 5) . (6) (1 2 3 4 5 6) (2, 2) (1 2)(3 4) (1 2)(3 4 5) (2, 3) (2, 4) (1 2)(3 4 5 6) (3, 3) (1 2 3)(4 5 6) (2, 2, 2) (1 2)(3 4)(5 6) Fur ¨ jede Konjugationsklasse gibt es einen Punkt. Aufgabe 3 (20 Punkte). Es seien G eine Gruppe und N ⊳ G ein Normalteiler von G. Wir nehmen an, dass Elemente a, b ∈ G existieren, so dass1 [a] = G/N und hbi = N. Beweisen Sie, dass es f¨ur jedes Gruppenelement g ∈ G ganze Zahlen k, l mit g = ak · bl gibt. L¨ osung. Es sei g ∈ G. Nach Voraussetzung existiert eine ganze Zahl k mit [g] = [a]k = [ak ]. 4+5 Punkte. Aus der Gleichung [g] = [ak ] folgt die Existenz eines Elements n ∈ N mit g = ak · n. 5 Punkte. Auf Grund der Voraussetzung existiert eine ganze Zahl l, so dass n = bl . 4 Punkte. Zusammengenommen folgt g = ak · bl . 2 Punkte. Aufgabe 4 (3+3+15+4 Punkte). Das Quadrat in R2 mit achsenparallelen Kanten der L¨ange drei und Mittelpunkt 0 wird in neun Quadrate der Kantenl¨ange eins unterteilt: . 1 F¨ ur h ∈ G steht [h] f¨ur die Nebenklasse h · N ∈ G/N. (1) Die Menge der auftretenden Ecken ist also n E := (−1.5, 1.5), (−0.5, 1.5), (0.5, 1.5), (1.5, 1.5), (−1.5, 0.5), (−0.5, 0.5), (0.5, 0.5), (1.5, 0.5), (−1.5, −0.5), (−0.5, −0.5), (0.5, −0.5), (1.5, −0.5), o (−1.5, −1.5), (−0.5, −1.5), (0.5, −1.5), (1.5, −1.5) . a) Wieviele M¨oglichkeiten gibt es, die neun K¨astchen in (1) mit den Symbolen × und ◦ zu beschriften, so dass × f¨unfmal auftritt und ◦ viermal? Beispiel: × × ◦ × ◦ ◦ . ◦ × × Hinweis. F¨ur das richtige Ergebnis gibt es einen Punkt. b) Bestimmen Sie die Untergruppe G von O(2), die aus den Elementen besteht, die die Menge E auf sich selbst abbilden. Dies ist die Symmetriegruppe des Felds in (1). c) Zwei Beschriftungen der K¨astchen in (1) werden als wesentlich verschieden angesehen, wenn es kein Element der Gruppe G gibt, das die eine Beschriftung in die andere u¨ berf¨uhrt. Bestimmen Sie die Anzahl der wesentlich verschiedenen Beschriftungen. Gehen Sie dabei folgendermaßen vor: • F¨ur g ∈ G sei Fix(g) die Menge der Beschriftungen von (1) mit f¨unf × und vier ◦, die invariant unter g sind. Berechnen Sie f¨ur jedes Element g ∈ G die Anzahl der Elemente in Fix(g). • Verwenden Sie die Formel f¨ur die Anzahl der Bahnen aus der Vorlesung, um die Aufgabe zu l¨osen. Wichtig. Es ist ein vollst¨andiger L¨osungsweg anzugeben. Die Anzahl muss als Dezimalzahl angegeben werden. F¨ur die richtige Anzahl gibt es nur einen Punkt. d) Es sei \ Fix(G) := Fix(g) g∈G die Menge der Beschriftungen, die unter allen Elementen der Symmetriegruppe invariant sind. Geben Sie alle Elemente von Fix(G) an. L¨ osung. a) Es gen¨ugt, die vier K¨astchen auszuw¨ahlen, die mit dem Symbol ◦ markiert werden. F¨ur die Auswahl einer vierelementigen Teilmenge einer neunelementigen Mengen bestehen 9·8·7·6 9 = = 126 4 4·3·2·1 M¨oglichkeiten. b) Da die Elemente der Gruppe O(2) den euklidischen Abstand erhalten, bildet jedes Element von G auch die Menge E ′ := { (−1.5, 1.5), (1.5, 1.5), (−1.5, −1.5), (1.5, −1.5) } auf sich ab. Folglich ist G eine Untergruppe der Diedergruppe D4 , der Symmetriegruppe des Quadrats. Die Elemente von D4 sind die Identit¨at, die Drehung r1 um π /2 (= 90◦ ), die Drehung r2 um π (= 180◦ ), die Drehung r3 um (3/2)π (= 270◦ ), die Spiegelung s1 an der x-Achse, die Spiegelung s2 and der y-Achse, die Spiegelung s3 an der Geraden durch (0, 0) und (1, 1) und die Spiegelung s4 an der Geraden durch (0, 0) und (−1, 1). Jedes dieser Elemente bildet E auf sich ab, so dass G = D4 gilt. c) Es gilt #Fix(id) = 126, 1 Punkt. Eine Beschriftung ist genau dann unter der Drehung r1 invariant, wenn es Elemente a, b, c ∈ { ×, ◦ } gibt, so dass die Beschriftung die Gestalt a b a b c b a b a hat. Da ferner f¨unfmal das Symbol × vorkommen muss, folgt c = ×. Wir erkennen nun #Fix(r1 ) = 2. 2 Punkte. Dasselbe Ergebnis ergibt sich f¨ur r3 . 1 Punkt. Eine Beschriftung ist genau dann unter der Drehung r2 invariant, wenn es Elemente a, b, c, d, e ∈ { ×, ◦ } gibt, so dass die Beschriftung die Gestalt a b c d e d c b a hat. Da ferner f¨unfmal das Symbol × vorkommen muss, folgt e = ×. Unter den Sym bolen a, b, c, d muss zweimal × und zweimal ◦ vorkommen. Es folgt #Fix(r2 ) = 42 = (4 · 3)/(2 · 1) = 6. 2 Punkte. Eine Beschriftung ist genau dann unter der Spiegelung s1 invariant, wenn es Elemente a, b, c, d, e, f ∈ { ×, ◦ } gibt, so dass die Beschriftung die Gestalt a b c d e f a b c hat. Das Symbol × muss f¨unfmal vorkommen. Es gibt zwei F¨alle: • Das Symbol × kommt in { a, b, c } einmal vor. Dann folgt d = e = f = ×. Hier existieren 3 M¨oglichkeiten. • Das Symbol × kommt in { a, b, c } zweimal vor. Dann kommt es in { e, f , g } einmal vor. Hier existieren 3 · 3 = 9 M¨oglichkeiten. Wir schließen #Fix(s1 ) = 12. 3 Punkte. Eine analoge Diskussion zeigt #Fix(s2 ) = 12. 1 Punkt. Eine Beschriftung ist genau dann unter der Spiegelung s3 invariant, wenn es Elemente a, b, c, d, e, f ∈ { ×, ◦ } gibt, so dass die Beschriftung die Gestalt b c f a e c d a b hat. Wir zuvor sieht man #Fix(s3 ) = 12. Ebenso zeigt man #Fix(s4 ) = 12. 1 Punkt. Nach Satz II.7.11 aus dem Skript ist die gesuchte Anzahl 1 1 · ∑ #Fix(g) = · 126 + 2 · 2 + 6 + 4 · 12 = 23. #G g∈G 8 d) Die obige Diskussion zeigt, dass nur die Beschriftungen × ◦ × ◦ × ◦ × ◦ × und ◦ × ◦ × × × ◦ × ◦ invariant unter r1 sind. Sie sind auch invariant unter allen anderen Elementen von G und bilden daher die Menge Fix(G). 4 Punkte. Aufgabe 5 (20 Punkte). k Es sei k ≥ 1 eine nat¨urliche Zahl, so dass Fk = 22 + 1 eine Primzahl ist. Beweisen Sie f¨ur das Legendre-Symbol 3 = −1. Fk L¨ osung. Wegen k ≥ 1 gilt Fk ≡ 1 mod 4. 4 Punkte. Daher ergibt das quadratische Reziprozit¨atsgesetz 3 Fk . = Fk 3 6 Punkte. Weiter gilt k k Fk = 22 + 1 ≡ (−1)2 + 1 = 2 mod 3. 8 Punkte. Es folgt 3 Fk = Fk 3 2 = = −1. 3 Die letzte Rechnung f¨uhrt man z.B. von Hand oder mit Satz III.4.18 aus dem Skript aus. 2 Punkte.