GW 1 – H Grundkurs Wahrscheinlichkeitsre. / Statistik, Aufgabe 1 – Hinweise zur Lösung 1) a) Es handelt sich um die Anzahl der 22-elementigen Teilmengen aus einer 30-elementigen Menge. Die Formel dafür kennst du oder kannst sie nachschlagen. Um diese Zahl vernünftig ausrechnen zu können, musst du die Regel benutzen  n  =  n  . Wenn du willst, kannst du die Faktoren im Nenner alle wegkürzen, k  n − k  bevor du zum Taschenrechner greifst. b) Es sind zwei aus den vier Lehrern auszuwählen, vier aus den acht Schülern und die restliche Zahl der Teilnehmer aus der restlichen Zahl der Bewerber. Die Lehrer-, Schüler- und „Sonstigen“-Gruppen lassen sich beliebig kombinieren, ihre Anzahlen musst du also multiplizieren. Um die Anzahl der „Sonstigen“-Gruppen zu berechnen, brauchst du, wie eben, die „Symmetrie“ der Binominalkoeffizienten. Wieder lässt sich vieles wegkürzen. 2. Jede der 30 Personen erscheint mit der Wahrscheinlichkeit 0,85 zur Abreise. Sie bilden also eine Bernoullikette der Länge 30. P0,85(k£22) kannst du im Prinzip aus einer Tabelle der kumulierten Bernoullizahlen ablesen. Die Schwierigkeit liegt in der Höhe der Grundwahrscheinlichkeit: Die meisten Tabellen enthalten nur p-Werte bis 0,5. Die Werte für höheres p findest du aber auch, und zwar in der Tabelle für 1 – p, wobei die k-Werte rückwärts gezählt werden und der in der Tabelle gefundene Wert erst noch von 1 abgezogen werden muss, bevor er richtig ist. Wie das geht wird klarer, wenn du bei der Tabelle nebenan auf die getönten Felder achtest. [Abgelesener Wert: 0.2537] 3. a) Die Bedingung für stochastisch unabhängige Ereignisse kennst du oder kannst sie nachschlagen. P(D), P(T) und P( D ∩ T ) günstige Fälle . Bei erhältst du sehr einfach nach dem Rezept mögliche Fälle D ∩ T sind dabei günstig nur die Damen, die tanzen wollen, möglich aber die gesamte Reisegruppe! Kumulierte Binominalverteilung n = 25 k P(X£ £k) ↓ p = 0.15 0 0.0172 24 1 0.0931 23 2 0.2537 22 3 0.4711 21 4 0.6821 20 5 0.8385 19 6 0.9305 18 7 0.9745 17 8 0.9920 16 9 0.9979 15 10 0.9995 14 11 0.9999 13 12 1.0000 12 13 1.0000 11 p=0,85 ↑ k 1-P(X£ £k) b) Das ist viel einfacher, als es auf den ersten Blick aussieht, weil ja nur zwei Herren dabei sind. Die Damen können sich zwischen diesen beliebig aufstellen (Anzahl der 9-tupel ohne Zurücklegen). Nicht vergessen, dass die Herren auch zwei Möglichkeiten haben! 4. a) Der Kauf von 12 Losen ist eine Bernoullikette der Länge 12. Du berechnest bequemer die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses, nämlich weniger als 2 Treffer zu ziehen. Wenn du die Zahlen (für n = 12) in deinen Tabellen nicht findest, musst du zum Taschenrechner greifen. Es sind zwei Bernoullizahlen zu addieren (für X = 0 und für X = 1). Wenn du die Formel für diese nicht kennst, kannst du sie nachschlagen. Du sparst etwas Rechenaufwand, wenn du 0,811 ausklammerst. Vergiss am Schluss nicht, das Ergebnis von 1 abzuziehen! Seite 1 von 2 GW 1 – H b) Auch hier nimmst du dir wieder das Gegenereignis vor, nämlich unter n Losen keinen Treffer zu haben. Die Wahrscheinlichkeit, nacheinander n Nieten zu ziehen, kannst du als Bernoullizahl auffassen, du kannst sie dir aber auch unmittelbar überlegen (eine Niete, und noch ‘ne Niete, ...). Sie soll jedenfalls < 0,1 sein. Dies ergibt eine Ungleichung, bei der n im Exponenten steht. Du musst also logarithmieren (natürlicher oder 10er-Logarithmus, das ist egal). Achtung bei der dann folgenden Division: Die Zahl ist negativ (auch wenn du’s ihr nicht gleich ansiehst), das Vorzeichen kehrt sich also um! – Klar, nur auch die Art kriegst du ja ein einleuchtendes Ergebnis für n. Die Sache mit den Irrtumswahrscheinlichkeiten klingt ziemlich kompliziert. Letzten Endes kommt es aber gar nicht darauf an, was da vermutet wird, und auch nicht, welche Konsequenzen daraus gezogen werden, ob nun mehr als 15 Lose Treffer sind oder nicht. Ausrechnen musst du nur, mit welcher Wahrscheinlichkeit dieses Ereignis eintritt. Also: Eine Bernoullikette der Länge 100. c) Hier musst du festhalten: Es ist p = 0,2, egal ob daran Zweifel bestehen oder nicht. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass 15 oder weniger Gewinnlose gezogen werden, entnimmst du einer Tabelle der kumulierten Bernoullizahlen. Für den Fall, dass du keine passende hast, fügen wir hier eine bei. 1 d) Hier musst du genauso festhalten: Es ist p = . Die 6 Wahrscheinlichkeit dafür, dass trotzdem mehr als 15 Gewinnlose gezogen werden, findest du in den Tabellen nicht – aber die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses. k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 Kumulierte Bernoullizahlen n = 100 p=0,2 p= 1 6 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0000 0.0004 0.0000 0.0013 0.0001 0.0038 0.0003 0.0095 0.0009 0.0213 0.0023 0.0427 0.0057 0.0777 0.0126 0.1297 0.0253 0.2000 0.0469 0.2874 0.0804 0.3877 0.1285 0.4942 0.1923 0.5994 0.2712 0.6965 0.3621 0.7803 0.4602 0.8481 0.5595 0.8998 0.6540 0.9369 0.7389 0.9621 0.8109 0.9783 0.8686 0.9881 0.9125 0.9938 0.9442 0.9969 0.9658 0.9985 0.9800 0.9993 0.9888 0.9997 0.9939 0.9999 0.9969 1.0000 0.9984 1.0000 0.9993 1.0000 0.9997 1.0000 0.9999 1.0000 0.9999 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 Seite 2 von 2