‫بسمه تعالی‬
‫شناسائی سیستم‬
‫دکتر علی کریم پور‬
8 ‫گزارش تمرین شماره‬
‫امیر فیاض‬
8303013138
Exercise. 6-2.
Consider the ARX model structure
y (t )  a1 y (t  1)  ...  ana y (t  na ) 
b1u (t  1)  ...  bnb u (t  nb )  e(t )
where b1 is known to be 0.5. Write the corresponding predictor in the following linear
regression form.
yˆ (t |  )   T (t )   (t )
: ‫پاسخ‬
: ‫ به صورت زیر است‬ARX ‫مدل‬
y(t )  a1 y(t  1)  ...  ana y(t  na )  b1u(t  1)  ...  bnb u(t  nb )  e(t )
: ‫با این فرض داریم‬
Aq   1  a1 q 1  ...  a na q  na
Bq   0.5q 1  b2 q 2  ...  bnb q nb
: ‫ به صورت زیر خواهیم داشت‬φ ‫ و‬θ ‫فلذا با در نظر گرفتن‬
  a1 a 2 ... a n b2 b3 ... bn
a
b

T
 (t )   y(t  1) ...  y(t  na ) u(t  2) ... u(t n b )T
: ‫و ̂𝑦 به صورت زیر بدست می آید‬
yˆ (t |  )   T (t )  0.5  u (t  1)
: ‫که می توان به شکل زیر نوشت‬
yˆ (t |  )   T (t )   (t )
Exercise. 6-3.
Show that Bilinear Parameterization minimization problem is an special case of
ˆN(i 1)  ˆN(i )   N(i ) RN(i )  V (ˆN(i ) , Z N )
1
: ‫پاسخ‬
: ‫در این روش داریم‬
  
T

yˆ (t |  )  yˆ (t |  , )
: ‫𝜃( 𝑁𝑉 به صورت زیر تعریف می شود‬, 𝑍 𝑁 ) ‫همچنین‬
𝑁
1
𝑉𝑁 (𝜃, 𝑍 𝑁 ) = 𝑉𝑁 (𝜌, 𝜂, 𝑍 𝑁 ) = ∑(𝑦(𝑡) − 𝑦̂(𝑡| 𝜌, 𝜂))2
𝑁
𝑖=1
𝜌̂𝑁 (𝑖) = arg min 𝑉𝑁 (𝜌, 𝜂̂ 𝑁 (𝑖−1) , 𝑍 𝑁 )
𝜌
𝜂̂ 𝑁 (𝑖) = arg min 𝑉𝑁 (𝜌̂𝑁 (𝑖) , 𝜂, 𝑍 𝑁 )
𝜂
: ‫ خواهیم داشت‬   
 
1
 
1
ˆ N(i 1)  ˆ N( i )   N( i) R N(i)
ˆ N(i 1)  ˆ N(i )   N( i) R N(i)

T
‫پس برای‬
V (  ,ˆ N( i 1) , Z N )
V ( ˆ N( i ) , , Z N )
.‫ در آورد‬Bilinear Parameterization ‫ آن را به شکل‬، ‫پس می توان با نوشتن رابطه ی فوق به شکل ماتریسی‬
Example. 6-3.
Suppose :
y  1 u  u4  e
Suppose e is a white Gaussian noise with variance 0.5
Run LSE method and Ridge Method to determine the parameters.
: ‫پاسخ‬
: ‫کد متلب‬
u=[0:0.01:2];
e=normrnd(0,0.5,[1 201]);
a=[1 -1 0 0 1];
phi=[u.^0;u;u.^2;u.^3;u.^4]';
y_math=phi*a';
y_sensed=phi*a'+e';
theta_LSE=inv(phi'*phi)*phi'*y_sensed
theta_Ridge=inv((phi'*phi)+(0.1*eye(5)))*phi'*y_sensed
theta_LSE =
1.0686
-1.4363
1.1038
-0.8414
1.2092
theta_Ridge =
0.9943
-0.8363
-0.0989
0.0275
1.0029
‫نتایج کد فوق که به همراه نتایج حاصله‪ ،‬آورده شده است در جدول زیر آمده است ‪:‬‬
‫‪Ridge‬‬
‫‪0.9943‬‬
‫‪-0.8363‬‬
‫‪-0.0989‬‬
‫‪0.0275‬‬
‫‪1.0029‬‬
‫‪LSE‬‬
‫‪1.0686‬‬
‫‪-1.4363‬‬
‫‪1.1038‬‬
‫‪-0.8414‬‬
‫‪1.2092‬‬
‫)‪A(real‬‬
‫‪1‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫مشاهده می شود که در روش ‪ Ridge‬مقادیر پارامتر ها بسیار نزدیکتر به واقعیت‪ ،‬شناسایی شده اند‪.‬‬
‫‪A0‬‬
‫‪A1‬‬
‫‪A2‬‬
‫‪A3‬‬
‫‪A4‬‬

منابع چهل و دومین دوره آزمون پذيرش دستيار تخصصي

سينا پورخطايي منصف

تبدیلات لاپلاس در یک نگاه

Menschen begegnen Menschen 27.05.2016