تبدیلات لاپلاس در یک نگاه

: ‫تبدیالت الپالس‬
‫ عددی اختیااری ي بشرتتاز اواايی‬s‫ تعزیف شدٌ است ي‬0, ٌ‫ در باس‬f(x) ‫فزض کىیم کٍ تابع‬
: ‫ را بٍ صًرت سیز ومایش ای دَىد کٍ بزابز است با‬f(x) ‫ تبدیل الپالسی‬. (s  0) ‫صفز باشد‬

L f ( x)   e sx . f ( x)dx
0
. ‫ َوتٍ تبدیل الپالسی ای تًیىد‬e  sx ٍ‫کٍ ب‬
) ‫ ایه اوتگزال واسزٌ باید َمگزا باشد (یعىی بیىُایت وشًد‬، ‫بزای بٍ دست آيردن تبدیل الپالسی‬
...............................................
: ‫هثال‬

L1   e sx (1)dx  lim b0
0
1 b
 sesx dx

0
s
1
1
 Limb0 ( (e sx ) |b0 )  Lim( (e sb  e s ( 0) ))
s
s
1
1 
1 1
1
1
1
  (e s ( )  e0 ) 
(e  1)   (   1) 
(0  1)   L1 
s
s
s e
s
s
s
...............................................
: ‫هثال‬

b
0
0
Lx   e sx ( x)dx  Limb  xe sedx
‫ حل‬ xe  sx dx 
u  x  du  dx

*
 1 sx
 sx
dv  e dx  v  s e
x
1
x
1
*


 e sx    dx   e sx 
 sesx dx

s
s
s
(s)(s)

 x sx 1 sx
e  2e *
s
s
x
1
*


Limb (( e sx  2 e sb ) |b0 )
s
s
1
(0) s ( 0) 1 s ( 0) 
 b
 Lim ( e sb  2 e sb )  (
e
 2e
)
s
s
s
 s

.‫ادااٍ دَید‬
...............................................
:‫چند قاعده وهثال‬
*) Lx n  
 
1) L x 4 
n!
n N
s n1
4!
s5
 
2) L x10 
10!
s11
*) Le ax  
1
sa
 
1) L e 2 x 
 
1
s2
2) L e 3 x 
1
s3
 14 x 
1
L e  
  s1
4
*) Lsin ax 
a
s  a2
1) Lsin 3x 
3
9
s2
2
2) Lsin(2 x) 
2
s 4
2
1
x 

3) L sin( )  3
3  s2  1

9
*) Lcos ax 
s
s  a2
2
1) Lcos 3x 
s
s 9
2
x
s

2) L cos  
4  s2  1

16
...............................................
: ‫توریي‬
 21 

L x  
s
 
...............................................
: ‫خواص تبدالت الپالس‬
1) Lcf ( x)  c.L f ( x)
2) L f ( x)  g ( x)  L f ( x)  Lg ( x)
3) f ( x).g ( x)  L f ( x).Lg ( x)
 f ( x)  L f ( x)
4) L

 g ( x)  Lg ( x)
...............................................
: ‫هثال‬
1  cos 2 x 
1 
 cos 2 x 
L sin 2 x  L
  L   L

2


2
 2 



1
1
1
1
s
1
s
L1  Lcos 2 x  ( s)  ( 2
)

2
2
2
2
2 s 4
2s 2( s  4)
...............................................
:‫هثال‬
 
 e x  e x  1
1
x
x
Lsinh x  L
 Le  L e
2
2
2



 
1 1
1 1
1 1
1
1 s  1  ( s  1)
(
) (
) (

) (
)
2 s 1 2 s 1 2 s 1 s 1 2
s2 1

1
s 1
2
...............................................
:‫توریي‬
Lcosh x 
s
s 1
2
...............................................
: ‫هثال‬
Lx   e sx xdx   e sx xdx   e sx xdx   e sx xdx   e sx xdx  ....

1
0
2
0
2
1
3
4
2
3
3
4
2
3
 0   e sx dx  2 e sx dx  3 e sx dx  .....
1
1
2
3
  e sx |12  e sx |32  e sx |34 ....
s
s
s
1
2
3 4 s
  (e 2 s  e s )  (e 3s  e 2 s ) 
(e  e 3s )  ...
s
s
s
1
  e 2 s  e s  2e 3s  2e 2 s  3e 4 s  3e 3s  .....
s



es
es
1
1
(1  e s  e 2 s  e 3s  .....) 
(
)
s
s
s
s 1 e
s(e  1)
 Lx 
1
s(e  1)
s
...............................................
: ‫تابع پله ای واحد‬
1

u ( x  c)  u c ( x)  
0

xc
xc
...............................................
: ‫هثال‬
L
uc ( x)
c0

c

0
0
c
  e sxuc ( x)dx   e sxuc ( x)dx   e sx .uc ( x)dx

 1 b

 0   e sx dx  Limb    sesx dx 
c
 s c

1
1
 Limb ( e sx |bc )  Limb ( (e sb  e sc ))
s
s
1
e  sc
  (e   e sc ) 
s
s
...............................................


)shifting(: ‫قضیه تغییر هکاى‬
if L f ( x)  F (s) Then L e ax . f ( x)  F (s  a)
...............................................
: ‫هثال‬


L e 2 x .x10 
10!
( s  2)11
 
 10 10!
 L x  s11 
...............................................
: ‫هثال‬


L e 3 x . sin 4 x 
4
( s  3)  16
4 

 Lsin 4 x  s 2  16 
............................................. ..
: ‫هثال‬
 2 x 21 
Le .x  



s2
  1 

 L x 2  

s 
  
...............................................
: ٌ‫ آوگا‬، n  N ‫ ي‬L f ( x)  F (s) ‫اتز‬: ‫قضیه‬


L x n . f ( x)  (1) n
dn
F ( s)
ds n
...............................................

: ‫هثال‬

L x 2 sin 2 x *
‫ (حل‬Lsin 2 x 
*  (1)
2
s 4
2
d2
2
( 2
)
2
ds s  4
...............................................
: ‫هثال‬
L{x 3 .e 6 x }
‫ حل‬L{e 6 x } 
1
s6
1
2
‫ )لذا‬L{x .x }  (1)1
1
d

(
)
ds s
.......................................... .....
: ‫هثال‬
5

1
L{x 2 }  L{x 3 .x 2 }
d3

 (1) . 3 (
)
ds
s
3
: ‫واروى تبدیل الپالسی‬
‫ وشاان اای دَىاد ي آن را نىایه‬L-1 ‫ يارين تبدیل الپالسی رابا‬، L{ f ( x)}  F (s) ٍ‫فزض کىید ک‬
: ‫تعزیف ای کىیم‬
L1{F (s)}  f ( x)
1
1) L1{ }  1
s
*) L{x
n
}
1
2) L1{ 2 }  x
s
n
xn
 L { n1 } 
s
n!
1
s n1
1
...............................................
: ‫هثال‬
10!
1
x 98
L1{ 99 } 
L1{ 11 }  x10
s
98!
s
1
1
L{e ax } 
 L1{
}  e ax
sa
sa
...............................................
: ‫هثال‬
1) L1{
1
}  e3 x
s 3
2) L1{
1
}  e 4 x
s4
2
1
2
4) L1{
}  2e5 x
}  L1{
}  e 3 x
s 5
2s  6
s3
a
1
1
L{sin ax}  2
 L1{ 2
}  sin ax
2
2
s a
s a
a
3) L1{
...............................................
: ‫هثال‬
L1  {
1
1
s2 
4
}  2 sin
*) L{cos ax} 
x
2
s
s
 L1{ 2
}  cos ax
2
s a
s  a2
2
...............................................
: ‫هثال‬
 2s 
L1  2
  2 cos 3x
s  9

1
2
L{x } 

1
1
1 2
 L { }
x
s
s

1
: ‫هثال‬
1
}
s  3s  2
1
1
 1[(s  2)  ( s  1)]
1
1


 1[

]
2
s  3s  2 ( s  2)(s  1)
( s  2)(s  1)
s 1 s  2
L1{
L1{
2
1
1
1
1
1
}  L1{

}  L1{
}  L1{
}  e2 x  e x
s  3s  2
s  2 s 1
s2
s 1
2
...............................................
)‫ ( بزای سااویکٍ قابل تجشیٍ وباشد‬: ‫هثال‬
1
}
s  2s  5
1
1
1
2
1
 L1{ 2
}  L1{
}  L1{
}  e x . sin 2 x
2
2
2
s  2s  4  1
( s  1)  4
2
( s  1)  2
2
L1{
2
...............................................
: ٌ‫[ تعزیف شدٌ ي اشتق پذیز باشد آوگا‬0,) ٍ‫ در فاصل‬f(x) ‫ اتز تابع‬: ‫قضیه‬
I ) L{ y}  sL{ y}  y(0)
II ) L{ y}  s 2 L{ y}  sy(0)  y(0)
III ) L{ y}  s 3 L{ y}  s 2 y(0)  sy(0)  y(0)
IV ) L{ y ( n) }  s n L{ y}  s n1 y(0)  s n2 ( y(0))  ...  y ( n1) (0)
...............................................
‫ ي‬y(0)  1 ٍ‫ با استفادٌ اس تبدیل الپالسی اعادلٍ دیفزاوویل سیز را با استفادٌ اس شازای ايلیا‬: ‫هثال‬
.‫ دادٌ شدٌ آن را حل کىید‬y(0)  1
y  3 y  2 y  3e x
‫(حل‬
‫ابتدا اس طزفیه الپالس ای تیزیم‬
L{ y  3 y  2 y}  L{3e x }
L{ y}  3L{ y}  2L{ y}  3L{e x }
( s 2 L{ y}  sy(0)  y(0))  3( sL{ y}  y(0))  2 L{ y}  3(
s 2 L{ y}  s  1  3sL{ y}  3  2 L{ y} 
1
)
s 1
3
s 1
3
s 1
s2
3
L{ y}  2

2
s  3s  2 ( s  1)(s  3s  2)
L{ y}(s 2  3s  3)  s  2 
L{ y}  L1
L{ y}  {
1
3
1
1

 L1{L{ y}}  L1{
}  3L1{
}
2
2
s  1 ( s  1)(s  3s  2)
s 1
( s  1) ( s  2)
1
1
}  3L1{
}*
2
s 1
( s  1) ( s  2)
: ‫تجزیه قسوت دوم‬
1
A
B
c



2
( s  1) ( s  2) ( s  1) ( s  1)
( s  2)
2
1  A(s  1)(s  2)  B(s  2)  c(s  1) 2
s  1  1  A(0)  B(1  2)  c(0)  B  1
s  2  1  A(2  1)(0)  B(0)  c(2  1) 2  c  1
s  0  1  A(0  1)(0  2)  (1)(0  2)  (1)(0  1) 2  2 A  1  2  1  A  1
* ٍ‫) اداا‬
 y  L1{
1
1
1
1
}  3L1{
}  3L1{
}  3L1{
}
2
s 1
s 1
( s  1)
s2
 y  e x  3e x  3xe x  3e2 x
 y  2e x  3xe x  3e3 x
...............................................
: ‫قضیه ههن‬
If
L{ f ( x)}  F (s)
Then
L{

f ( x)
}  F (u )du
s
x

...............................................
: ‫هثال‬
L{
sin x
}
x
: ٍ‫حال با تًجٍ بٍ ایىک‬
L{sin x} 
1
s 1
2
: ‫لذا‬
F ( s) 
1
s 1
2
: ‫پس‬
f (u ) 
1
u 1
2
: ‫با تًجٍ بٍ قضیٍ قبل‬
L{


sin x
1
}   f (u )du  
du
2
s
s u 1
x

 arctan s 

2
 arctan( s)
:‫ بٍ دست بیايرید‬: ‫هثال‬


0
sin x
dx  ?
x
: ‫ اس طزفی با تًجٍ بٍ قومت قبل داریم‬: ‫حل) ابتدا حواب ای کىیم‬
 sin x   sx sin x
L
dx
 e
x
 x  0


0
e sx
sin x

dx   arc tan(s)
x
2
: ‫ در وظز ای تیزیم‬s  0 ‫ لذا را‬s  0 ‫ ي‬S ‫حال با اختیاری بًدن‬


0
sin x


dx   0 
x
2
2
...............................................
: ٍ‫ وشان دَید ک‬: ‫توریي‬


0
e ax  ebx
b
dx  Ln
x
a
...............................................
:‫یادآوری‬
1

u ( x  c)  
0

xc
xc
 cs
e cs
1 e
L{u ( x  c)}  L(uc ( x)} 
, L {
}  u c ( x)
s
s
...............................................
: ٌ‫ آوگا‬C>0 ‫ ي‬L{ f ( x)}  F (s) ‫ اتز‬: ‫قضیه‬
L{uc ( x). f ( x  c)}  e cs .F (s)
: ‫ي بالعکس‬
L1{e cs .F (s)}  uc ( x). f ( x  c)
...............................................
: ‫هثال‬
L{u2 ( x). cos( x  2 )  ?
L{cos x} 
s
 F ( s)
s 1
2
L{u2 ( x). cos( x  2 )}  e 2s
s
s 1
2
...............................................
: ‫هثال‬
1  e 2 s
L1{
}
s2
1
e2s
1
L1{ 2 }  L1{ }  x  L1{e 2 s . 2 }  x  u2 ( x).( x  2)
s
s
s
...............................................
: ‫هثال‬
L1{
e 3 x
}
s2  s  2
: ‫تجشیٍ کوز‬
1
[(s  1)  ( s  2)]
1
1
1 1
1
3


 (

)
2
s  s  2 ( s  1)(s  2)
( s  1)(s  2)
3 s  2 s 1
e 3 x
1
1
1
1
*)  L { 2
}  L1{e 3 x .
}  L1{e 3 x .
}
s s2
3
s2 3
s 1
1
1
 u3 ( x).e 2( x3)  u3 ( x).e ( x3)
3
3
1
...............................................
: ‫ کٍ در آن‬y  y  f (x) ‫ اعادلٍ دیفزاوویل‬: ‫هثال‬
1

f ( x)  
0

(  x
x  2 )
(x  
x  2 )
.‫ را حل کىید‬y(0)  1 ‫ ي‬y(0)  1 ‫ي‬
‫ (حل‬L{ y  y}  L{ f ( x)}

L{ y}  L{ y}   e sx f ( x)dx
0

s L{ y}  sy(0)  y(0)  L{ y}   e
0
0
2
sx
0
2
f ( x)dx   e

0

  e sx f ( x)dx
2
2
 s 2 L{ y}  s  1  L{ y}   e sx dx

2
1
1
L{ y}(s 2  1)  s  1   e sx
  (e 2s  e s )

s
s
sx
1
f ( x)dx
L{ y} 
s
1
1
1
 2
 e 2s . 2
 e s
2
s 1 s 1
s( s  1)
s( s  1)
2
L1{L{ y}}  L1{
 L1{e s .
s
1
1
1
1 2s
}

L
{
}

L
{
e
.
}
s2  1
s2  1
s( s 2  1)
1
s
1
1
}  y  L1{ 2 }  L1{ 2 }  L1{e 2s . }
s( s  1)
s 1
s 1
s
 L1{e 2s .
2
s
1
s
}  L{e s . }  L1{e s . 2 }
s 1
s
s 1
2
 y  cos x  sin x  u2 ( x)(1)  u2 ( x). cos( x  2 ) 
u ( x).(1)  u ( x). cos( x   )
...............................................
: ‫توریي‬
‫ )الف‬y  3 y  2 y  u2 ( x)
‫ (ب‬y  y  y  f (x)
2

f ( x)  
0

2 x4
‫سایر جاها‬
y(0)  0 , y(0)  1

Download Report