ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE DE LAUSANNE Exercices

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´ ERALE
´
ECOLE
POLYTECHNIQUE FED
DE LAUSANNE
Prof. Harald Brune
Exercices de Physique du Solide
Corrig´
e de la S´
erie No. 20
3 Avril 2014
1. Absorption dans les semiconducteurs - Exciton
Rappel du mod`ele de Bohr pour l’atome d’hydrog`ene
- Terme potentiel
Energie d’interaction coulombienne entre proton et ´electron : Epot = −
Force d’attraction : F = −∇Epot = −
1 e2
4πε0 r
1 e2
4πε0 r2
- Terme cin´etique
Mouvement `a force centrale (m = masse de l’´electron, masse du proton),
v2
acc´el´eration centrifuge : a = −
r
v2
Force centrifuge : F = ma = −m
r
2
2
v
1 e
= −m
A l’´equilibre : −
2
4πε0 r
r
1
1 e2
Energie cin´etique : Ecin = mv 2 =
2
4πε0 2r
- Energie totale : E = Epot + Ecin = −
1 e2
1 e2
1 e2
+
=−
4πε0 r
4πε0 2r
4πε0 2r
- Hypoth`ese de Bohr : quantification du moment cin´etique angulaire (n entier positif) :
L = mvrn = n~
Avec l’´equation d’´equilibre des forces et la condition sur le moment cin´etique, pour chaque
n on a (quantification des rayons des orbites) :
mv 2
1 e2
1 2
1 2
=
→ (mvrn )2 =
e mrn → (n~)2 =
e mrn
2
rn
4πε0 rn
4πε0
4πε0
rn =
4πε0 2 2
~ n = a0 n 2
2
me
1
o`
u on a d´efini le rayon de Bohr a0 :
a0 =
~2 4πε0
≈ 0.53 ˚
A
m e2
L’´energie est aussi quantifi´ee :
EnH = −
1 e2
m e4
1
EH
=− 2
=
−
4πε0 2rn
2 ~ (4πε0 )2 n2
n2
avec E H l’´energie de liaison dans l’´etat fondamental :
EH =
m e4
≈ 13.6 eV ≡ 1 Ry
2 ~2 (4πε0 )2
Transposition a` l’exciton
En tant qu’´etat `a deux particules charg´ees, interagissant seulement par l’attraction coulombienne, l’exciton peut ˆetre trait´e avec le mod`ele de l’atome d’hydrog`ene. On consid`ere
l’´electron et le trou comme des particules de masse me et mt respectivement qui ressentent
une attraction coulombienne ´ecrant´ee par la constante di´electrique εr du milieu.
Pour d´ecrire l’exciton, on fait les substitutions suivantes :
m → µ et e2 →
e2
εr
avec µ la masse effective r´eduite :
1
1
1
=
+
.
µ
me mt
(a) L’´energie de liaison dans l’´etat fondamental de l’exciton est donn´ee par :
E ex =
1 µ
µ e4
= 2 EH
2
2
2 ~ (4πε0 εr )
εr m
L’´energie des niveaux discrets de l’exciton est donn´ee par :
Enex = −
1 µ EH
ε2r m n2
(b) Le rayon dans l’´etat fondamental (´equivalent du rayon de Bohr) vaut :
aex
0
~2 4πε0 εr
m
=
= ε r a0
2
µe
µ
(c) Dans le cas du GaAs on obtient :
µ = 0.056 m
E ex ≈ 4.6 meV
˚
aex
0 = 230 a0 ≈ 122 A
Dans le spectre d’absorption, la transition excitonique est observ´ee `a une ´energie
´egale a` Egap − E ex .
Pour pouvoir observer des effets excitoniques dans le GaAs il faut que l’´energie
thermique kB T soit bien inf´erieure `a l’´energie de liaison de l’exciton. L’´energie de
liaison de l’exciton dans le GaAs correspond `a une temp´erature de ≈ 50 K. Il faut
donc refroidir `a une temp´erature inf´erieure, ce qui se fait normalement avec un
cryostat `a helium liquide.
2
Absorbance
Egap
0
1.512
1.514
1.516
1.518
1.520
Energie (eV)
Figure 1 – Spectre d’absorption du GaAs `a T = 5.6 K. Les premiers niveaux d’´energie
de l’exciton Enex sont indiqu´es par les traits rouges.
2. Surface de Fermi d’un m´
etal
La surface de Fermi du cuivre est quasi sph´erique. Toutefois les cous (necks) pr`es des
zones de contact entre la surface de Fermi est le bord de la premi`ere zone de Brillouin
constituent des r´egions qui s’´ecartent notablement de la sph´ericit´e.
orbite de cou
(neck)
[100]
orbite de ventre
(belly)
[ 111]
Figure 2 – Surface de Fermi du cuivre, orbites de ventre et de cou.
Pour un champ appliqu´e dans la direction [100] (parall`element a` une des faces du cube fcc
du cuivre) les orbites extrˆemes dans l’espace k correspondent `a la circonf´erence maximale
de la sph`ere. On appelle ce type d’orbite extrˆeme orbite “de ventre” (belly en anglais).
Par contre, lorsque le champ est appliqu´e dans la direction [111] (parall`element a` une des
diagonales du cube fcc du cuivre), on peut identifier deux familles d’orbites extrˆemes : des
orbites de ventre similaires a` celles trouv´ees avant, ainsi que une deuxi`eme famille, qui
correspond aux orbites pour lesquelles la surface de Fermi a` proximit´e du bord de la zone
de Brillouin peut ˆetre approxim´ee par un cylindre d’axe parall`ele au champ. Ces orbites
extrˆemes sont appel´ees orbites “de cou” (neck en anglais).
Ces deux familles d’orbites extrˆemes dominent le spectre de r´esonance cyclotronique. Les
orbites de ventre (et donc la fr´equence correspondante) sont insensibles aux changements
d’orientation de B (comme pour des ´electrons libres), alors que les orbites de cou n’existent
que pour B//h111i.
3

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