TESspé_DNS3corrige_20142015

TES Spécialité Maths
Eléments de correction du DNS n°3 du 20 Novembre 2014
Objectifs : utiliser l’informatique pour modéliser un coût moyen
résoudre un problème à l’aide d’un graphe
Modéliser par une fonction
(d’après le livre Déclic TES)
Une micro entreprise artisanale fabrique des décorations de Noël.
Sa directrice a noté trois coûts moyens de production.
Les quantités sont en centaines de décorations et les coûts en euro par décoration. Ils ne
tiennent pas compte des coûts fixes.
Quantité (en centaine)
Coût moyen unitaire (en €)
x
y
1
3,6
Les points A (1 ; 3,6), B (3 ; 2) et C (8 ; 5) ci-contre
correspondent aux trois coûts moyens connus.
1. Le coût moyen peut-il être modélisé par :
a) une fonction affine ?
Non car les points sont loin d’être alignés !
b) une fonction du second degré ?
Pourquoi pas !
2. a) A l’aide du logiciel Geogebra, déterminer
alors la fonction du second degré qui modélise le
coût moyen.
3
2
8
5
b) Etudier alors les variations de cette fonction du second degré et en déduire pour
quelle quantité de décorations le coût moyen est minimum ? Calculer alors le
coût total de cette production.
Dans cette question, on travaille avec un coût moyen. Or celui-ci n’a de sens
que si la quantité de centaines de décorations est strictement positive, donc
pour tout x > 0, f (x) = 0,2x2  1,6x + 5 donc f ’ (x) =0,4x  1,6
0,4x  1,6 = 0
a = 0,4 donc a > 0
0,4x = 1,6
x=
1,6
0,4
x =4
x
0
Signe de f ′(x)
4
‒
0
+
+
Variation de f
1,8
D’après ce tableau de variation,, f admet un minimum sur [ 0 ; + ∞[ égal à 1,8 et
il est atteint pour x égal à 4.
On en déduit que le coût moyen est minimum pour une production de 400
décorations et qu’il vaut 1,80 € par décoration.
Le coût total pour 400 décorations sera de 4001,8 € soit 720€
3. Soit C(x) le coût total en fonction de la quantité x en centaines de décorations.
a) Exprimer le coût total C(x) en fonction de x et préciser son unité
CM(x) =
C(x)
donc C(x) = x  CM(x) = x ( 0,2x2  1,6x + 5 )
x
C(x) = 0,2x3  1,6x2 + 5x
Comme x est en centaines d’unités et CM(x) en euros par unité, C(x) est en
centaines d’euros.
b) Etudier le sens de variation du coût total.
pour tout x ≥ 0, C(x) = 0,2x3  1,6x2 + 5x
donc
C’ (x) = 0,2 3 x2  1,6 2 x + 5
C’ (x) = 0,6 x2  3,2 x + 5
On étudie le signe de 0,6 x2  3,2 x + 5
Δ = b2 ‒ 4ac = (  3,2)2 ‒ 4  0,6  5 = 10,24 ‒ 12 =  1,76
Δ < 0 donc ce trinôme du second degré n’admet pas de racine :
De plus, a = 0,6 donc a >0
0
x
+
+
Signe de C′(x)
Variation de C
0
c) Etudier le sens de variation du coût marginal.
Cm(x) = C’ (x) = 0,6 x2  3,2 x + 5
Il s’agit donc de calculer C’m(x)
Pour tout x ≥ 0 C’m(x) = 0,62 x  3,2 = 1,2 x  3,2
1,2x  3,2 = 0
a = 1,2 donc a > 0
1,2x = 3,2
x=
3,2
1,2
x=
8
3
x
8
3
0
Signe de C’m(x)
‒
0
+
+
5
Variation de Cm
8
Cm( )
3
d) Déterminer pour quelle quantité de décorations, arrondies à l’unité près, le coût
marginal est égal au coût moyen. On pourra utiliser une méthode graphique ou/et
une méthode algébrique.
On cherche donc x strictement positif tel que Cm(x) = CM(x)
0,6 x2  3,2 x + 5 = 0,2x2  1,6x + 5
0,4x2  1,6x =0
x (0,4x  1,6) =0
x = 0 ou 0,4x  1,6 =0
x = 0 ou x = 4
or x ne peut pas être égal à zéro (voir le sens du coût moyen) donc x = 4
Le coût marginal est égal au coût moyen lorsque l’entreprise produit 4
centaines de décorations.
Le coût marginal est égal au coût moyen lorsque le coût moyen est
minimum.
Organisation de travaux (d’après le livre Odyssée TES)
Le tableau ci-dessous présente les diverses étapes nécessaires à la réalisation d’une salle
polyvalente dans une commune.
Travaux
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
Désignation
Terrassement, fondations
Charpente verticale
Charpente toiture
Couverture
Maçonnerie, première étape
Maçonnerie, seconde étape
Plomberie
Coulage dalle de béton
Chauffage
Plâtres et finitions
Installation mobilier
Présentation aux responsables communaux
Travaux
précédents
A
B
C, F
B
H, E
A
G
H, E
I, D
J
K
Construire un graphe orienté dont les sommets représentent les tâches à effectuer et où les
arêtes X → Y indiquent que la tâche Y ne peut être réalisée que lorsque la tâche X l’a été.
Quelles sont les tâches qui peuvent être entreprises simultanément ? Faire apparaître la
réponse sur le graphe en le réorganisant éventuellement.
B et G
simultanément
C, E et H
simultanément
F et I
simultanément

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