TP Filtrage numérique

Électronique PSI
TP Filtrage numérique
On cherche à réaliser un filtrage numérique passe-bas puis passe-bande d’un signal
périodique et à mettre en évidence la limitation introduite par l’échantillonnage.
I. Introduction
I.1. Du filtrage analogique au filtrage numérique
Jusqu’à présent seuls des filtres analogiques ont été mis en œuvre selon une chaîne de
traitement que l’on peut représenter ci-dessous :
Signal
analogique
Composants
électroniques
actifs ou passifs
Signal
analogique
Figure 1 : Filtrage analogique
On s’intéresse dans ce TP à un filtrage « numérique » qui est réalisé par un calculateur1
sur un signal numérisé au préalable par un CAN. La figure ci-dessous présente le chaîne
de traitement que nous allons utiliser :
𝑆𝑛
𝑒(𝑡)
𝐸𝑛
CAN
Affichage
Calculateur
Signal
Signal
Signal
analogique
numérique
numérique
Figure 2 : Filtrage numérique
I.2. Exemple du filtre passe-bas
Q1. Rappeler la forme canonique de la fonction de transfert d’un filtre passe-bas d’ordre
1 de gain statique
et la pulsation de coupure c . En déduire l’équation
différentielle vérifiée par en faisant intervenir la constante de temps du filtre (que
l’on exprimera en fonction de ).
On note :
–
la période d’échantillonnage des signaux,
–
et les valeurs respectives de ( ) et ( ) aux instants
.
Q2. Si la période d’échantillonnage est « petite » donner une approximation à l’ordre 1
de la dérivée ) à l’instant en faisant intervenir et
.
)
Le calculateur peut être un ensemble de circuits intégrés, des processeurs programmables ou encore un
logiciel dans un ordinateur qui est le cas proposé ici.
1
1
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Q3. En déduire la relation donnant
en fonction
et
pour un filtre passe-bas du
premier ordre. Quel nom donne-t-on en maths à cette méthode de résolution d’une
équation différentielle ?
(
Métho
)
’Eul r
I.3. Schéma de l’expérience
On donne ci-dessous le schéma de principe de l’expérience :
𝑒(𝑡)
Filtre
analogique
𝑠
Oscilloscope
(𝑡)
GBF
𝑒(𝑡)
𝐸𝑛
CAN : carte
Sysam-SP5
Feuille de
calcul
Latis-Pro
𝑆𝑛
Affichage
fenêtre
Latis-Pro
Figure 3
( )
– Le filtrage analogique (passe-bas) est effectué avec un filtre
. On note
le signal de sortie de ce filtre.
– Le signal ( ) est numérisé par le CAN de la carte Sysam-SP5 (entrée EA0).
– Le filtrage numérique est effectué via la feuille de calcul de Latis-Pro.
– Le signal filtré numériquement est ensuite converti en analogique noté ( ) par le
CNA de la carte Sysam-SP5 et envoyer sur une de ses sorties.
I.4. Filtre analogique – réponse harmonique
Q4. Faire le schéma d’un filtre passe-bas
. Pour
pour avoir une fréquence de coupure du filtre analogique de
, calculer la résistance
.
La carte Sysam-SP5 étant limitée en entrée à
, régler le GBF pour qu’il délivre une
tension sinusoïdal d’amplitude
et de fréquence
.
Réaliser le montage du filtre analogique et vérifier son fonctionnement (comportement
haute et basse fréquence, fréquence de coupure etc.).
Faire des mesures de tensions permettant de tracer la courbe du gain en dB de ce filtre
] (on utilisera avantageusement le mode « Pas à pas » ).
dans l’intervalle [
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II. Filtre numerique passe-bas d’ordre 1
II.1. Paramétrage
Paramétrage du CAN
Acquérir sur l’entrée EA0 le signal ( ) du GBF avec 20 000 points et 2 µs de période
d'échantillonnage.
Q5. Calculer la fréquence d'échantillonnage associée à cette CAN.
500 kHz
Paramétrage du calculateur
Q6. Dans la feuille de calcul, entrer les lignes de commandes suivantes en précisant la
signification de chaque ligne :
Lignes de commande
Signification
Te=2e–6
Fe=1/Te
Fc=1590
tau=1/(2*PI*Fc)
S=Table(0)
S=S[n–1]+Te/tau*(EA0[n–1]–S[n–1])
Fixe dans la feuille de calcul la période
’é h tillo
g
C l ul l fréqu
’é h tillo
g
Fixe la valeur de la fréquence de coupure du
filtre
Calcul de la constante de temps
Initialise la nouvelle fonction ( )
calcule les valeurs des s[n]
S=Table(0) ne sert pas à grand-chose : o p ut m ttr ’import qu ll v l ur utr qu
0.
Exécuter le calcul et tracer sur la même fenêtre graphique ( ) et ( ).
Commenter l'allure obtenue pour ( ) en particulier au début du signal.
Pour bien voir ce qu'il se passe, faire plusieurs acquisitions successives avec la touche
F10 et ne pas hésiter à dilater l'échelle de temps au voisinage de l’origine. On doit voir
que le régime sinusoïdal forcé est établi pour
comme pour un filtre analogique.
Paramétrage du CNA
P r métr r l’émissio omm suit :
cocher « sortie active »,
NE PAS décocher mode GBF (dans ce mode SA1 émet en boucle le signal ( )),
cliquer sur « courbe » et choisir « S ».
Si on décoche le mode GBF, on peut alors voir le régime transitoire ?
Visualiser alors sur un oscilloscope les signaux ( ) et ( ). Attention, il y a un lent
éfil m t ’u sig l p r r pport à l’ utr .
Expliquer pourquoi : P s
r l tio
ph s sur l’é r
l’os illos op
r l
tr it m t umériqu ’ st p s simult é. Ceci étant cela semble être dû aussi à un
changement de fréquence.
On peut stabiliser artificiellement les 2 courbes en modifiant la fréquence du GBF au
1/10 de hertz près. De fait le déphasage entrée-sorti ’ p s
s s. C tt st bilis tio
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s mbl possibl qu pour f multipl u sig l f. E pr tiqu il f ut fig r l’ ffi h g
appuyant sur RUN/STOP. ? en régime permanent, l’entrée et la sortie du filtre
numérique ont la même fréquence mais en intégrant le régime transitoire, la salve émise
p r L tispro ’ p s x t m t l mêm fréqu
qu l sig l ’ tré ??
Il faudrait voir si Latis Pro tient compte des conditions initiales
II.2. Réponse harmonique du filtre numérique
Dans cette expérience on modifie uniquement la fréquence du signal d’entrée sans toucher
à la fréquence d’échantillonnage (500 kHz).
Observer l’action du filtre numérique sur divers signaux de diverses fréquences. Estimer
en particulier le gain de ce filtre pour la fréquence de coupure.
Faire les mesures de tensions permettant de tracer la courbe du gain en dB de ce filtre
]. On superposera cette courbe du gain en dB à celle du
dans l’intervalle [
filtre analogique.
II.3. Influence de la fréquence d’échantillonnage
On cherche à mettre en évidence l’effet de repliement du spectre lié à l’échantillonnage.
Modifier à la fois dans les paramètres d’acquisition de la carte et dans la feuille de calcul
la période d’échantillonnage pour avoir une fréquence
.
Pour observer le comportement du filtre pour un signal d’entrée de fréquence
. Expliquer.
E prép r tio l t st été f it v T
µs soit f
. L sig l ’ tré était de
5200 Hz soit
.
On cherche à observer l’influence de la fréquence d’échantillonnage sur le gain du filtre
numérique.
Pour
, faire les mesures de tensions permettant de tracer la courbe du gain
]. On superposera cette courbe aux
en dB de ce filtre dans l’intervalle [
deux autres courbes obtenues aux paragraphes I.4 et II.2.
II.4. Réponse indicielle
III. Filtre numerique passe bande
III.1. Transposition de l’équation différentielle dans la feuille de
calcul
On considère un filtre passe-bande
suivante avec
et
( )
que l’on écrit sous la forme
:
(
)
(
On passe à l’équation différentielle :
4
)
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On cherche à établir l’expression de en fonction des valeurs issues de la numérisation
des signaux et . Pour cela, on transpose l’équation différentielle sous forme discrète
en faisant une approximation à l’ordre 1 des dérivées premières et secondes :
d
)
)
)
)
d
On a alors :
)
e
)
d
)
d
e
d
)
d
)
d
)
d
(
e
e
)
e
e
e
En remplaçant dans l’équation différentielle transposée, on obtient :
(
)
(
e
)
On en déduit l’expression :
(
)
(
)
On entrera cette expression dans la feuille de calcul de Latis-Pro sous la forme :
[ ]
[
]
[
]
(
( [
[
]
]
[
[
])
])
[
]
III.2. Paramétrage de Latis-Pro
Il faut désormais préciser à Latis-Pro les valeurs:
– des paramètres de l’acquisition du signal d’entrée :
totale d’acquisition ;
– des paramètres du filtre passe-bande :
;
– de pour les 2 premiers instants : [ ] et [ ].
, nombre de points et durée
Dans la feuille de calcul
Q7. Dans la feuille de calcul, entrer les lignes de commandes suivantes en précisant la
signification de chaque ligne :
Lignes de commande
Signification
Te=2e–6
Fixe dans la feuille de calcul la période
’é h tillo
g : cette valeur doit absolument
orr spo r à ll
l’ quisitio
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Fe=1/Te
omega0=6283
F0=omega0/(2*PI)
C l ul l fréqu
’é h
tillo
g
Fixe la valeur de la pulsation centrale du filtre
passe bande
Calcul de la fréquence centrale du filtre passe
bande
Initialise la nouvelle fonction ( )
S[1]=0
S[2]=0
S[n]=2*S[n-1]-S[n-2]omega0*Te/Q*(S[n-1]-S[ncalcule les valeurs des S[n]
2])+H0*omega0*Te/Q*(EA0[n-1]EA0[n-2])-omega0^2*Te^2*S[n-2]
Le régime transitoire n'est pas contrôlable: il se moque des valeurs initiales qu'on lui
donne: il remplace bien au début dans le tableur les deux premières valeurs par ce qu'on
lui dit... avant de les modifier. Le régime établi est bien (on a bien sélectionné le
fondamental),mais ça reste la méthode d'Euler, laborieuse et imprécise (avec Q=10,
trop grand, l'amplitude de la sinusoïde n'est pas bonne: il faut diminuer Q et il faudrait
diminuer aussi le pas).
III.3. Expériences
Diagramme de Bode – Analyse fréquentielle
On cherche à tracer le diagramme de Bode du gain du filtre numérique passe-bande et à
retrouver ses caractéristiques par une modélisation.
Paramétrer le filtre numérique pour avoir une fréquence centrale de 500 Hz, un gain
statique de 1 et un facteur de qualité égal à 10.
Q8. On souhaite tracer le diagramme de Bode de ce filtre pour des fréquences comprises
entre 50 Hz et 50 kHz. Est-ce que la période d’échantillonnage
s permet d’avoir
toujours
?
Q9. Pour les basses fréquences, la période du signal étant plus élevée, il faut veiller à ce
que le calcul soit effectué sur une durée qui dépasse le régime transitoire. Avec un
facteur de qualité de 10, à quel type de régime transitoire doit-on s’attendre ?
Q10. La durée du régime transitoire étant de l’ordre de
où est la période du
signal d’entrée, en déduire un ordre de grandeur de la durée totale d’acquisition et du
nombre de points nécessaires pour que le signal filtré atteigne le régime sinusoïdal
permanent (tout en gardant la même période d’échantillonnage).
Faire alors les mesures permettant de tracer le diagramme de Bode du gain en dB de ce
filtre passe-bande numérique en ajustant au besoin le nombre de points.
Filtrage d’un signal non sinusoïdal
Mettre en œuvre le filtre numérique étudié précédemment pour mettre en évidence les
différentes harmoniques présentes dans un signal créneau de fréquence
. On
proposera par exemple de filtrer de manière sélective les premiers harmoniques du
spectre correspondant et on vérifiera la concordance (fréquence en amplitude) avec le
spectre de Fourier d’un signal créneau.
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Toute la difficulté consiste ici à jouer sur le nombre de points et la période
’é h tillo
g : trop de points donne des temps de calcul trop long (1 minute pour
50000 points) et une fréquence trop élevée donne un pas trop grand dans la méthode
’Eul r qui r
l filtr i opér t. E pr tiqu l’ mplitu
u sig l filtré iv rg si
l pério
’é h tillo
g
vi t trop gr
s s qu j’ i pu i
tifi r à p rtir
quelle valeur de
tt iv rg
l’ mplitu s pro uis it. Voir les acquisitions de
1 à 4 pour un signal triangulaire et de a à f pour un signal créneau.
𝑒(𝑡)
Signal
analogique
CAN
𝐸𝑛
Signal
numérique
Calculateur
Filtre
analogique
𝑒(𝑡)
𝑠
𝑆𝑛
Signal
numérique
CNA
(𝑡)
Oscilloscope
GBF
𝑒(𝑡)
EA0
Carte
SA1
Sysam-SP5
Calculateur
Latis-Pro
Filtre numérique
7
𝑠(𝑡)
𝑠(𝑡)
Signal
analogique

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