Aspects philosophiques du langage mathématique utilisé pour

Aspects philosophiques du langage
mathématique utilisé pour décrire la
nature
Organiser la complexité du système du
monde grâce à de « bons » langages
Jacques Printz, Professeur au Cnam
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Les langages de la « philosophie
naturelle » aujourd’hui
Le langage géométrique
Le langage des nombres
Aspects dénombrement
et de la mesure des grandeurs
Aspects
métriques
Le langage des formes continues et de leur
dynamique
Le langage des formes discrètes
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A.Grothendieck, Récoltes & Semailles
p48
Traditionnellement on distingue trois types de « qualité » ou d’ « aspects » des choses de
l’Univers qui soient l’objet de la réflexion mathématique : ce sont le nombre, la grandeur, et la
forme. On peut aussi les appeler l’aspect « arithmétique », l’aspect « métrique » (ou
analytique), et l’aspect « géométrique » des choses.
…
La structure d’une chose n’est nullement une chose que nous puissions "inventer". Nous pouvons
seulement la mettre à jour patiemment, humblement en faire connaissance, la "découvrir". S’il y
a inventivité dans ce travail, et s’il nous arrive de faire oeuvre de forgeron ou d’infatigable
bâtisseur, ce n’est nullement pour "façonner", ou pour "bâtir", des "structures". Celles-ci ne nous
ont nullement attendues pour être, et pour être exactement ce qu’elles sont ! Mais c’est pour
exprimer, le plus fidèlement que nous le pouvons, ces choses que nous sommes en train de
découvrir et de sonder, et cette structure réticente à se livrer, que nous essayons à tâtons, et par un
langage encore balbutiant peut-être, à cerner. Ainsi sommes-nous amenés à constamment
"inventer" le langage apte à exprimer de plus en plus finement la structure intime de la chose
mathématique, et à "construire" à l’aide de ce langage, au fur et à mesure et de toutes pièces, les
"théories" qui sont censées rendre compte de ce qui a été appréhendé et vu. Il y a là un
mouvement de va-et-vient continuel, ininterrompu, entre l’appréhension des choses, et
l’expression de ce qui est appréhendé, par un langage qui s’affine et se re-crée au fil du travail,
sous la constante pression du besoin immédiat.
Récoltes & semailles, Alexander Grothendieck, 1983-86, jamais publié, disponible sur Internet.
Voir également Notes sur l’histoire et la philosophie des mathématiques, IV ; communications de P.Cartier et A.Herreman, IHES, Novembre
2000.
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L’étrange comportement de la lumières LASER
Quel langage pour décrire
cet étrange phénomène ?
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Mise en perspective
Depuis l’aube de la culture occidentale, avec
Pythagore, Thalès, Euclide, Archimède, … les
mathématiques sont le seul domaine de
connaissance qui n’a jamais cesser de se
perfectionner
Le théorème de Pythagore a traversé les siècle …
Elles naissent quelque part entre l’Égypte et la
Mésopotamie dont il reste qq. traces
Il y a une mathématique chinoise [et Indienne, et …]
mais qui n’est en rien comparable avec ce que
l’occident à construit, alors que la technique
chinoise a été largement supérieure, jusqu’au 18ème
siècle, avec une inversion au 19ème siècle
Voir Science and civilisation in China, Editeur Joseph Needham
Avec la science moderne, elle est la seule invention
occidentale véritablement universelle [avec le judéochristianisme]
Les mathématiques sont partout les mêmes,
indépendamment des cultures locales
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Pour les fondateurs d’écoles que furent Pythagore,
Platon, Aristote, … elles sont au cœur de tout savoir
philosophique, c’est-à-dire de la recherche d’une
certaine sagesse pour vivre ou survivre dans le
monde violent où l’activité humaine se déploie
La Grèce et l’Empire romain sont des sociétés esclavagistes !!!
Cet idéal survivra à la chute de l’Empire Romain,
pour se réincarner dans la chrétienté médiévale,
sous la formes des Arts Libéraux, transmis par
Augustin d’Hippone, Boèce, … [5ème-6ème siècles]
Tous les hommes sont égaux, aux yeux du « Dieu créateur » !!!
Jusqu’au 18ème siècle, il est inconcevable pour
un
« philosophe » de ne pas connaître le langage
mathématique, même s’il n’est pas un
mathématicien professionnel comme Pascal ou
Descartes
Kant était imprégné par les Principia
Mathematica de Newton, comme beaucoup de ses
contemporains
Elles sont un standard d’objectivité car totalement
neutres, atemporelles, et vraiment universelles
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Héritage → Les arts libéraux
Classiquement 7, parfois 8 avec la médecine,
organisés en 2 volets
le trivium, qui regroupait les disciplines littéraires :
•
•
•
la grammaire ;
la rhétorique ;
la dialectique (
incluait la logique d’Aristote).
le quadrivium, qui regroupait les disciplines scientifiques
d’alors :
•
l’arithmétique ;
•
la musique ;
•
l’astronomie ;
•
la géométrie.
Leur maîtrise était jugée indispensable avant de
s’attaquer à la philosophie, puis la théologie.
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Le programme complet, en bas reliefs,
sur nos cathédrales …
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Building cathedrals … using geometric knowledge +
Experiments
Notre dame, Paris, 1163-1250,
La rosace sud fait 13m de
diamètre
Firenze, the Dom,
Brunelleschi (1463)
During the middle-age, stone-cutters,
carpenters, ... invent a geometrical
technique to draw blueprints, that is
the ancestor of « géométrie
descriptive » created by Gaspard
Monge [1746-1818]
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Une fascination pour la logique et la
géométrie
Lorsqu’ils découvrent Aristote, les Maîtres du
Moyen-âge sont comme fascinés par sa logique et
son mode d’exposition
• Après la « physique », la métaphysique … [terme non utilisé par Aristote]
• La raisonnement du 1er moteur « immobile » [qui anticipe de façon
fascinante le "More is different” …]
Et aussi par Euclide
• Une fois les postulats fixés, le reste en découle mécaniquement, et pour
eux, les cathédrales en sont une preuve existentielle ; seuls, les
postulatum et le plan d’assemblage [intégration]sont à discuter
« Nous sommes comme des nains montés sur les épaules de géants ; nous voyons plus loin qu’eux ; et
les formes de leur pensée, que la vétusté avait dévitalisées, nous les revivons par une certaine nouveauté
de leur contenu ».
Maître Bernard de Chartres, rapporté par Jean de Salisbury dans son Metalogicon.
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Organiser la complexité de la nature
/1
Pour appréhender la complexité et espérer
l’organiser pour la comprendre et s’en
servir, il faut commencer par la décrire
C’est, de mon point de vue, la « ligne de partage des
eaux » entre les deux cultures [NB : Européenne et Chinoise]
Monde quantitatif qui
nécessite des abandons
et des conventions pour
agir collectivement avec
rigueur
→ Ockham, Newton :
« Hypothese non fingo »
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Monde qualitatif qui
reste flou et imprécis, un
monde d’opinions et
d’interprétations, qui ne
permet pas le travail
collectif rigoureux, mais
suffisant pour le « vivre
ensemble »
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Organiser la complexité de la nature
/2
Le quantitatif est une abstraction qui
« mutile » toujours la réalité
Novalis « Les théories sont des filets : seul celui qui lance, pêchera »
que K.Popper a placé en exergue de son livre Logik der Forschung
Particulièrement évident avec les
grandes théories que sont la relativité et la
mécanique quantique
L’oublier conduit droit au scientisme
dogmatique étroit et au réductionnisme
stérile, voire criminel
Cf. le sinistre épisode de l’eugénisme en Europe et aux États-unis, le
darwinisme social, la guerre qui régénère, la sociobiologie, …
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Bifurcations … et hybridations → Les
grandes étapes
Euclide et la méthode hypothético-déductive
+ les constructions géométriques
La séparation radicale du temporel et du
spirituel du monde judéo-chrétien + l’idée de
transcendance
En Chine, pas de transcendance → Selon François Julien[un
« philosophe » sinologue ???], c’est une « culture de l’immanence »
Approche de la vérité par le débat contradictoire et la reconnaissance
par les pairs
Les Questionatae Disputatae des 12ème 13èmes siècles
Les mathématique sont le langage du
« grand livre de la nature »
Galilée
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Bifurcations … et hybridations
La crise des fondements, la diagonale de
Cantor et les théorèmes de Gödel
Les 23
problèmes de Hilbert, dont le 6ème,
Axiomatisation de la physique
Le monde n’est pas newtonien, sauf à notre
échelle
La théorie de la calculabilité, la thèse de
Church-Turing et l’invention des 1ers
ordinateurs
La logique de l’émergence, “ More is
different”, la complexité et la science des
systèmes, l’évolution
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Le théorème de Pythagore … version
géométrique et les irrationnels
a
b
c
Surface du carré
intérieur : c2
b
Surface du carré
extérieur :
(a+b)2
→ a2+b2+2ab
Surface du
triangle
rectangle :
1/2×a×b
d
Ne peut pas être
représenté sous
la forme d’une
fraction x/y
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1ère manifestation des difficultés occasionnées
par l’existence des 2 infinis :
L’∞ dénombrable → les entiers
L’∞ continu/géométrique → les « réels »
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Les « Questions disputées »
Les débats théologiques du haut Moyenâge, aux XIIème et XIIIème siècles poussent l’
« art » d’argumenter à un degré extrême
qu’on ne retrouve dans aucune autre culture
comparable
Totalement non transposable en Chine ; cf. l’expérience pédagogique de
« La main à la pâte »
C’est la notion de « débat contradictoire »
qui a fait la célébrité des Écoles de
théologie de Paris, surnommé à cette
époque, l’ « Athènes du Nord »
C’est encore la structure que l’on retrouve
dans nos modernes Ph.D.
Cf. La description d’un séminaire de recherche, par David Deutsch,
dans L’étoffe de la réalité, chap. 13, pages 384,…
rend caduque la « théorie » des paradigmes de T.Kuhn
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La « diagonale » de Cantor
Vieux problème qui remonte à Pythagore et à la
découverte des « irrationnels » :
Comment s’organise la représentation de nos
perceptions ?
• Le nombre, ce que l’on peut séparer et donc compter
Le dénombrable ; la quantité [inclut l’aspect « métrique » et la
mesure, via des étalons de mesure]
• La forme, ce que l’on « voit » ou la musique que l’on entend
Le continu géométrique
Peut-on faire rentrer l’un dans l’autre ?
Réponse : NON
1 → a11, a12, …
2 → a21 , a21
3 → a31, a32, a33, a34, …
…→
n→
…
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Le langage géométrique
Des grecs … jusqu’à Newton
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La théorie des épicycles
Soleil
Terre
En géométrie cela donnera
naissance à la théorie des
courbes dites « roulettes »
Les horloges astronomiques sont des modèles mécaniques du
système géocentrique qui implémentent la théorie des épicycles
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Modélisation mathématique : les
trajectoires …
On remplace la description en
extension du phénomène, par un
calcul effectué à l’aide d’un
modèle
Description en
intension
Les tables « Rodolphine » de
Tycho Brahé, par les lois de
Kepler
Avec l’arrivée des ordinateurs,
on va pouvoir remplacer les
tables par un calcul fait en temps
réel, hic et nunc !
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Comment parler de l’infini ?
/1
Les grecs ne savent pas !!!
Achille et la tortue
La naissance du calcul infinitésimal
• Newton, Leibniz
Représentation analytique
• Descartes [1596-1650]
Différents infinis
• Cantor → le dénombrable, le continu, …
Représentation des lignes par leurs
caractéristiques infinitésimales
Droite « normale » à
la tangente
Droite sécante
Point mobile
PM
Tangente au point A
dy
A
dx
D’un point de vue géométrique, il n’y a
aucun doute que la tangente existe !
Mais du point de vue analytique, on a
une expression qui n’a pas de sens :
Pente
dy 0
= ???
dx 0
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Cercle
« osculateur »
RC
Trois caractéristiques
Direction
Courbure
Torsion
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Comment parler de l’infini ?
/2
[C*]
La méthode des
tangentes de Newton
Les suites et séries infinies :
La suite x0, x1, X2, … converge peut-être
vers le point qui nous intéresse ?!
D’où l’intérêt pour les suites ∞, les
développements dits « en série », etc. …
etc. qui vont bouleverser les mathématiques
européennes au 17ème siècle.
La motivation de tout cela, c’est le besoin de
précision et de vérité sur la position exacte
des planètes dans le ciel
Peut-on calculer le
point d’intersection ?
Et c’est ce qui va fasciner les astronomes
chinois que Mattéo Ricci, le Jésuite
mathématicien formé par Cristopher Clavius,
à Rome, va rencontrer durant sa mission …
Et le premier livre européen traduit en
Chinois sera les Éléments d’Euclide
x3
x2
x1
x0
Convergence très rapide
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Les sommations infinies
Recherche des zéros d’une fonction
Développements limités [Taylor, Mac
Laurin, …]
[
2
n
h
h
f (a + h ) = f (a ) + h × f ' (a ) + × f '' (a ) + ... + × f n (a ) + ε
n!
2!
]
Tangente
Développement des fonctions en séries
A l’aide de polynômes
A l’aide de fonctions périodiques
Intégration
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La bifurcation/singularité Euclide
/1
Pourquoi Euclide a-t-il joué un rôle aussi important ?
Quel est le centre/foyer de son apport fondamental ?
Réponse : la méthode axiomatique proposée dans
les Éléments
• Comment passer du « simple » [les axiomes] au « complexe » [les
théorèmes] ???
De façon sûre et organisée
C’est le modèle des Sommes Théologiques du
Moyen-âge, comme celle de Thomas d’Aquin
C’est le modèle des Principia mathematica
En 1899, D.Hilbert, met à jour les Éléments …
Les fondements de la géométrie
Rôle de la géométrie dans l’éducation mathématique
en Europe … jusqu’aux réformes catastrophiques
des « Maths modernes »
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La bifurcation/singularité Euclide
/2
Est fondamental, ce qui doit être compris
préalablement, pour comprendre la réalité à
un niveau suffisamment profond
• Pour Euclide, ce niveau fondamental est celui des axiomes ;
le reste est purement mécanique selon des règles logiques
partagées
Une discussion sérieuse ne peut donc
porter que sur les axiomes et les règles de
la logique [d’où l’importance d’Aristote]
• C’est en germe, ce qui sera formalisé par Hilbert dans le
6ème problème [diapo #50]
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First scientific contact between China
and Europe
Matteo Ricci [1552-1610]
During the three years Ricci spent in Nanchang, he wrote eleven
letters. Nanchang was the capital of Jiang-si 江西, very famous
for the number and learning of its educated men. It must be
noted here that by now Li –matou (Ricci Matteo) was already well
known among the circle of letterati and therefore in whatever
town Li-matou sought a new field of apostolate he was preceded
by his reputation and he found powerful friends to protect him. At
Nanchang, Li-matou is received by the Governor of Jiangxi, Lu
Wan gai 陸萬垓. Governor Lu quickly issues the necessary
permit, wh ile Ricci is welcomed by two Imperial princes: the
Prince of Jian‟an and the Prince of Le an 建安王和樂安王, who
happen to live in Nanchang. We can fairly say that Nanchang is
the place where the full blossoming of “Li-matou, the Scholar
from the West (西儒) ” takes place. At Nanchang, a great change
takes place in Ricci's life. The “Bonze from the West” 「西方和尚
」turns into “The Scholar from the West” 「西儒」. Another
common title given to Ricci is “xi-tai”「西泰」(the scholar from
the far West) Ricci starts wearing the dress of the scholar, he
grows hair and beard as the scholars did, and he begins to don
that special hat (created by himself and which will become Ricci's
icon). In his letters he says: “to wear a scholar's hat that
resembles a bishop's mitre”. In his letters you can feel Ricci's joy
in describing his new scholar's dress. In this “new fine silk robe”,
the real Ricci comes out. He decides to be carried by four
servants on a palanquin (as all scholars did) on visits to other
scholars.
All he had learned in Rome from his professors (especially
Christopher Clavius), about geometry, mathematics,
astronomy, the art of drawing maps, making globes,
constructing all sorts of clocks…), becomes very precious
©2014
/ Évolution
du langage
mathématique
material/J.Printz
for dialogue
with Chinese
scholars.
Letter from Matteo Ricci, in Chinese.
He was the first European to master Chinese
language and writing system.
The first European book translated in Chinese was
Euclid’s elements, a major geometry text book.
Page 27
La passion du dessin … et de la
géométrie
Au moment de la « Renaissance » et du
Quattrocento en Italie, les peintres qui sont
souvent des Mathematicus découvrent [ou
redécouvrent] l’art de la perspective
Comment représenter l’espace [3D] sur des
plans [2D] plus faciles à transporter et à
manipuler
• 1ère correspondance d’espace à espace
Cf. les plans échelle 1 de certaines cathédrales
©2014 /J.Printz / Évolution du langage mathématique
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Perspectives
Mais derrière ces représentations
intuitives, il y a en filigrane la
puissante théorie des
transformations géométriques
[géométrie projective du 19ème
siècle avec Poncelet, Darboux, … ]
©2014 /J.Printz / Évolution du langage mathématique
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Anamorphoses …
©2014 /J.Printz / Évolution du langage mathématique
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Un exemple : le langage des infiniment
petits et la naissance du Calculus
Source : Amir Alexander, Infinitesimal – How a dangerous mathematical theory shaped
the modern world, Scientific American, 2014.
Un extrait publié en français dans Pour la Science, Juin 2014, N°440.
©2014 /J.Printz / Évolution du langage mathématique
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Histoire d’une controverse
L’histoire démarre aux alentours des années 1500, à propos de la rectification des courbes et du calcul
des surfaces et des volumes, par des méthodes de sommation infinies.
À l’époque on ne sait pas ce qu’est une limite (cf. le paradoxe d’Achille et la tortue) ;
∞
on manipule des quantités qui reviennent à faire des quotients 0 ou
, sans trop savoir ce que cela veut
∞
0
dire ?!
Le marquis de l'Hôpital publie L‘ Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes, un
livre de mathématiques écrit en 1696. Il est le premier livre en français à traiter de calcul différentiel (la
première moitié du calcul infinitésimal de Gottfried Wilhelm Leibniz) ; l'Hôpital s'est appuyé sur les cours
que lui avait donnés Jean Bernoulli.
Principe de Cavalieri, énoncé par Bonaventura Cavalieri [1598-1647] :
Une surface est une juxtaposition de « lignes » parallèles. Pour Cavalieri, des lignes parallèles sont des
segments de droites parallèles ou des arcs de cercles concentriques. Chaque ligne est appelée un
indivisible de la surface à quarrer. Si deux surfaces sont constituées de lignes de mêmes longueurs, elles
sont égales.
Un principe analogue existe pour les volumes et établit que les volumes de deux objets sont égaux si les
sections transversales correspondantes sont, dans tous les cas, égales. Deux sections transversales
correspondent si elles sont des intersections de l'objet avec des plans équidistants d'un plan de base
donné.
→ La méthode sera violement contestée par les mathématiciens jésuites, successeurs de Christopher
Clavius, en particulier Habacuc [Paul] Guldin, car en contradiction avec l’approche constructive
préconisée par Euclide [la méthode dite hypothético-déductive, pilier de la science moderne].
[JPZ] Derrière tout raisonnement, il y a une conception du monde ; en l’occurrence, ici, celui d’Aristote
et de Thomas d’Aquin [1225-1274], le Docteur Angélique. Depuis Carnot, Poincaré, Einstein, Planck, Bohr
… notre monde n’est définitivement plus aristotélicien ⇒ Tout changer, pour que rien ne change …
©2014 /J.Printz / Évolution du langage mathématique
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Antériorité ?
Christopher Clavius
•
•
•
•
L’ « Euclide du XVIème siècle »
Né le 25 mars 1538 à Bamberg et mort le 12
février 1612 à Rome
Primauté des mathématiques pour
comprendre le monde et sa perfection …
Professeur de Matteo Ricci [né en Italie en
1552 –1610, mort à Pékin] au Collège Jésuite
de Rome, le traducteur des Éléments en
Chinois …
Galileo Galilei
•
Né à Pise le 15 février 1564 et mort à Arcetri,
près de Florence, le 8 janvier 1642 (à 77 ans).
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La méthode des indivisibles de
Bonaventura Cavalieri
2 parallèles
Aire d’une ellipse
S=a×b
On fait
glisser
a
a
S = π×a2
2a
S = π×a2×b/a = π×a×b
2b
b
On fait glisser avec un coefficient
d’amplification constant
Généralisation à toutes surfaces
et aux volumes
Surface dont on
connaît l’aire
Surface inconnue mais divisible
que l’on peut déduire par
glissement et amplification
©2014 /J.Printz / Évolution du langage mathématique
Comme leur nom l’indique, les « indivisibles » ne sont pas
divisibles. Dans le langage aristotélicien/thomiste de l’époque,
cela ne choquait pas, et correspondait à une image que l’on se
faisait de la matière, constituée de petits morceaux agrégés les
uns aux autres.
D’où l’impossibilité d’appréhender correctement le paradoxe
d’Achille et la tortue.
Ne connaissant pas la notion de limite, une somme ∞ ne pouvait
être que ∞. Jongler avec les ∞ts petits était donc dangereux et
risquait d’introduire des élément subjectifs, là où on voulait
précisément retrouver la pureté logique du Créateur. Clavius,
Guldin, … ne faisait, au fond, qu’anticiper une rigueur qui ne sera
clairement établie que vers la fin du 19ème siècle avec Cauchy,
Bolzano, Weierstrass, …
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La surface de la cycloïde
[Chaînette de Pascal]
La surface sous la cycloïde est égale à 3
fois celle du cercle qui la génère.
Principe du raisonnement : On fait glisser, sans les
déformer, les « tranches » du ½ cercle, à gauche, ce
qui dessine une lunule dont la surface est celle du
½ cercle
Critique : raisonnement « visuel », considéré
comme non rigoureux, car la preuve donnée n’est
pas constructive, au sens des constructions
géométriques « à la règle et au compas », façon
Euclide.
Mais ça marche, dans certain cas …
Il faudra attendre l’analyse non standard, de
Abraham Robinson (Années 60s) pour clarifier
définitivement ce qui « marchait » très bien !!!
Lunule obtenue par
glissement du ½ cercle
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Apories mathématiques
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Page 36
Qu’est ce qu’une preuve ?
Le théorème de Pythagore
La somme des n premiers nombres
1+2+3+…+n ? [raisonnement du jeune Euler]
1+2 +3 +…+n
n + n-1 + n-3 + … + 1
=?
=?
n × (n + 1)
2
Raisonnement
par induction
n×(n+1)
La preuve du Grand théorème de Fermat
Andrew Wile, 1994-95, 300-400 pages
∀n > 2, l' équation x n + y n = z n , n' a pas de solution entière
Raisonnements par l’absurde, par analogies, par
des modèles, par calculs, par simulations, …
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Page 37
Reconnaissance de la preuve
Qu’est-ce qui garantit qu’une « preuve » est autre
chose qu’une simple opinion ?
• Cf. le débat actuel sur la « sociologisation » de la science, lancé suite à
la publication du livre de T.Kuhn, Structure des révolutions scientifiques
[1962]
Les « vérités » scientifiques sont des constructions
bien particulières
• Il y a un juge de paix objectif L’expérience
• Chacun peut se les approprier, s’il en fait l’effort ; rien n’est secret, ni
caché une seule exigence, la cohérence logique
• Elles ont des conséquences « pragmatiques » que chacun peut
constater Le GPS, les ordinateurs, …
La « paradigmologie » est un bel exemple de
confusion des esprits et d’insignifiance
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Page 38
Qu’est ce que le hasard ?
Le « hasard »
des biologistes
Le « hasard »
des physiciens
Activité du soleil
Flux continu de particules énergétiques qui
arrivent sur terre de façon imprévisible
Le « hasard » des
mathématiciens
Dans une suite de tirages le nombre de P et le
nombre de F sont de plus en plus voisins, ce que
l’on peut écrire :
# P N grand
 →1
#F
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# P −# F Ngrand
→ 0
Page 39
Le démon de Maxwell
→ Lutter contre le hasard ?!
Monde des processus de la nature, y
compris les activités humaines
Le « Démon » est l’architecte de la partie
organisée de la nature, celle des machines
et des organisations créées par l’Homme
Frontière du système, sous la surveillance
de l’architecte
Dedans / Dehors
Espace des interactions organisées sous le
contrôle de l’architecte
Par son action, l’architecte fabrique de
l’ordre. Pour cela, il consomme de l’énergie.
Pour faire le tri entre les processus
automatisables et ceux qui ne le sont pas,
sélectionner les interactions permises,
l’architecte à besoin d’information.
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Page 40
Ingénierie du hasard
→ Les erreurs de parité mémoire et les CCE
Quelle est la probabilité d’une double
altération dans une mémoire de N mots ?
Cristal
detransistors
Si
≈ 100
à 120
→ 1 Md d’atomes de Si
Mot mémoire : 32 bits
Fonctionnel
Ce qui est vu par le programme
• 1 bit de parité (sans
correction)
• CCE : 7 ou 11 bits
selon exigence de
fiabilité
Non fonctionnel du point de vue
du programme et du programmeur
ça ne sert à rien, ... mais si on
→
l’enlève
Ce qui est vu par la machine
Besoin de fiabilité : Faire en sorte que la probabilité de panne
soit très au delà de la durée d’une session de travail
Le calcul du code CCE est fondé sur le
« paradoxe » de la date de naissance →
©2014 /J.Printz / Évolution du langage mathématique
N×
π
2
Page 41
Les doubles négations ???
La règle du tiers exclus
Élément, ou classe
d’éléments sur lesquels
on travaille
La première négation nous
fait sortir du domaine dont on
parle
Ce dont on parle
+
+
+
+
Ce dont on pourrait parler
[l’univers du discours]
Le reste du monde
La deuxième négation nous
ramène des éléments
étrangers au domaine dont
on parle → Incohérence
logique garantie !!!
Ex falso sequitur ad
quodlibet
©2014 /J.Printz / Évolution du langage mathématique
Page 42
Généraliser … pour simplifier
En mathématique, la simplification d’un problème
passe souvent par une généralisation … mais pas
toujours
• Exemples : l’engendrement des « nombres », depuis les entiers
« naturels » jusqu’aux quantité « imaginaires » ; la géométrie projective
de Victor Poncelet ; etc. … etc.
• Nombreux exemples en informatique
Cas du jeux de billard
Billard virtuel « infini » et
trajectoire virtuelle qui devient
une droite
Billard réel et trajectoire
réelle complexe
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La rencontre de deux boules
devient un problème trivial
Page 43
1ère mise en correspondance de 2
groupes fondamentaux
→ Les logarithmes
Groupe multiplicatif
•
•
•
•
•
•
•
Multiplication
Division
Puissance
Exposant
1 [neutre]
2
… etc.
Log
Exp
Groupe additif
•
•
•
•
•
•
•
Addition
Soustraction
Multiple
Coefficient
0 [neutre]
0,30103…
… etc.
Émergence de la notion d’isomorphie qui permet
d’étudier le groupe avec la représentation la plus
commode, selon la nature du problème posé
Les espaces abstraits
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Page 44
La représentation géométrique des
« imaginaires »
Jean-Robert Argand, mathématicien Suisse, publie
dans l’anonymat le plus complet son « Essai sur une
manière de représenter les quantité imaginaires dans les
constructions géométriques », en 1806.
Les 2 composantes du nombre complexe
représentent un point du plan
Le produit de 2 nombres complexes est
l’équivalent d’une rotation dans le plan
Cette interprétation va faire émerger un nouveau
type de correspondance Plan → Plan et donner
naissance à un nouvel ensemble de fonctions plus
générales :
Les fonctions analytiques et plus généralement
les fonctions holomorphes [Transformations conformes]
©2014 /J.Printz / Évolution du langage mathématique
Page 45
Correspondances de surfaces
Fonctions holomorphes
http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_holomorphe
http://fr.wikipedia.org/wiki/Transformation_conforme
Conforme
Anti-conforme
Une transformation conforme dans le plan, f est une transformation d'un domaine du
plan dans un plan, cette transformation conservant (localement) les angles entre
deux courbes orientées, c'est-à-dire que si deux courbes C1 et C2 se coupent en A,
et que leurs vecteurs tangents en A (dans le sens de l'orientation) forment un angle
α, les vecteurs tangents en f(A) aux deux courbes images f(C1) et f(C2) forment
également l'angle α. Autrement dit, f est localement une similitude directe.
Les transformations qui inversent les angles sont dites anti-conformes ; ce sont
les composées des précédentes par les réflexions.
Une excellente référence ; Jacques Harthong, Cours d’analyse
©2014 /J.Printz / Évolution du langage mathématique
Page 46
Transformation conforme
En géométrie, ce sont des inversions [Transformation de droites en cercles]
Az + B
za
Cz + D
Tiré du cours d’analyse de Jacques Harthong
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Page 47
Fractales et dimensions → Lignes et
surfaces
Mouvement brownien
B.Mandelbrot : Qu’elle est la longueur de la côte
de Bretagne ?
Courbes 1D remplissant une portion du
plan 2D
Courbe de Peano
http://www.mathcurve.com/fractals/peano/peano.shtml
Image tirée de J.Perrin, Les atomes
Deux points infiniment
distants sur la ligne peuvent
être infiniment proches sur
la surface
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Page 48
Intuition et contre intuition → Encore la
notion de limite
Le cercle qui se transforme en droite ?!
½ cercle
¼ cercle
A force de fragmentation le ½ cercle initial se
rapproche du diamètre.
Si c’est une ligne « sans épaisseur, dit
Euclide », sa longueur reste π×R
Mais si c’est un tube ?!
Dans le monde réel, ni les points, ni les lignes
n’existent !!! Il n’y a que des volumes. Une ligne
est un tube, une surface, une plaque.
Nombres réels, fonctions généralisées, …
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Page 49
Artefacts mathématiques et réalité
physique
L’abbé Edmée Mariotte
[1620-1684]
Attention à ne pas confondre la
« réalité » mathématique, et la
réalité physique !!!
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Page 50
C’est quoi, une théorie physique ???
Ce que nous disent les physiciens :
Les mathématiques de Ludwig Boltzmann sont jugées peu rigoureuses par Henri Poincaré,
et de ce fait ne peuvent pas être enseignées – Idem, en moins violent, avec Maxwell …
dont il réécrira, en partie, le Traité dans ses cours de physique théorique
• Pierre Duhem : … C’est un système de propositions mathématiques, déduites
d’un petit nombre de principes, qui ont pour but de représenter aussi simplement,
aussi complètement et aussi exactement que possible, un ensemble de lois
expérimentales
6ème problème de Hilbert : Le traitement mathématique des
axiomes de la physique
• Traiter sur ce modèle [celui de la géométrie des Éléments, et des Fondements
…] les branches de la physique où les mathématiques jouent un rôle
prépondérant … entre autre, le Calcul des Probabilité et la Mécanique
Cf. John von Neumann et son livre Fondements mathématiques de la mécanique quantique
Une théorie physique [c’est-à-dire un modèle] est faite de 3
parties
• Des axiomes issus du monde physique
• Un formalisme, aussi parfait que possible
Les mathématiques dans leur
ensemble, et pas seulement la logique d’Aristote révisée Frege/Russel
• Une interprétation
C’est-à-dire, en application de la thèse de Church-Turing, une machine informationnelle, un
logical design, façon von Neumann
⇒ C’est donc un langage, au sens Saussure, avec ses
signifiants et ses signifiés.
©2014 /J.Printz / Évolution du langage mathématique
Page 51
Que conclure ?
Le monde est-il mathématique ???
©2014 /J.Printz / Évolution du langage mathématique
Page 52
Pourquoi tant de mathématiques ?
SCIENCE ET METHODE (H. Poincaré)
Le but principal de l’enseignement mathématique est de développer
certaines facultés de l’esprit et parmi elles l’intuition n’est pas la moins
précieuse. C’est par elle que le monde mathématique reste en contact
avec le monde réel et quand les mathématiques pures pourraient s’en
passer, il faudrait toujours y avoir recours pour combler l’abîme qui
sépare le symbole de la réalité.
L’ingénieur doit recevoir une éducation mathématique complète, mais à
quoi doit-elle lui servir ? à voir les divers aspects des choses et à les voir
vite ; il n’a pas le temps de chercher la petite bête. Il faut que, dans les
objets physiques complexes qui s’offrent à lui, il reconnaisse
promptement le point où pourront avoir prise les outils mathématiques
que nous lui avons mis en main.
Henri Poincaré, 1854-1912
Behind each human decision, human errors may occur, and, as we say “To err is
human”. Questions are: How to avoid errors ? How to eliminate errors ? And last
one: How to cope with the unavoidable remaining errors ?
Solutions: Product architecture + Teams organization
Methods: Problem solving & System thinking at large The best teachers are our
own errors [If we analyze them]! And mathematical reasoning …
©2014 /J.Printz / Évolution du langage mathématique
Page 53
Prédire n’est pas expliquer
Avec le développement de la mécanique quantique,
certains scientifiques ont parlé de l’ « efficacité
déraisonnable des mathématiques » [Eugène Wigner, …]
• De fait, la capacité prédictive est époustouflante …
• Sans la logique du “ More is different”, sans les CCE et la compression
des données, les communications modernes n’existeraient pas !!! Ni
l’ordinateur …
Mais par rapport aux « questions éternelles » de la
philosophie ???
D’où venons nous ? Pourquoi y a-t-il quelque
chose plutôt que rien ? …
à quoi les mathématiques peuvent-elles bien nous
servir, ou nous aider ?!
• La thèse de Church-Turing nous dit que tout ce qui est compréhensible et
communicable se réduit à un schéma de calcul, et que là est « L’étoffe de
la réalité », David Deutsch ?! Une réalité qui émerge progressivement ...
©2014 /J.Printz / Évolution du langage mathématique
Page 54
Mutations …
Il y a concomitamment à la crise des fondements, et
à sa résolution [Thèse de Church-Turing], une évolution
remarquable du langage mathématique
• La relation prend le pas sur les arguments de la relation
La relation est une clé [un « programme »] qui
établit une correspondance entre deux ou plusieurs
domaines de représentations
Ces domaines sont ce que nos théories
successives, via nos perceptions, tamisent
Le tamis judéo-chrétien est différent du tamis chinois, différent …
Grothendieck a poussé cette vision du monde à
l’extrême en retravaillant, via la géométrie
algébrique, la correspondance fondamentale entre
le langage des nombres et celui des formes
géométriques
Paradoxalement, le modèle standard des particules
nous dit la même chose
l’énergie qui fait que la
matière tient, est essentiellement dans l’interaction
Le matérialisme est mort, mais son cadavre bouge encore
©2014 /J.Printz / Évolution du langage mathématique
Page 55
Héritage …
Sans la précision et la rigueur implacable du
scalpel/langage mathématique, notre
perception de la réalité aurait été différente :
• Impossibles, la taille précise des engrenages de nos
machines, et plus généralement l’optimisation de nos
procédés
• Incompréhensibles, les paradoxes de l’infini
• Inexplicables, le comportement de la lumière et les
phénomènes optiques Le monde quantique en général
• Impensables, le traitement du hasard et sa domestication qui
nous permettent de perfectionner les œuvres de la nature
• … etc. … etc. …
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Page 56
Une nature qui calcule ...
De toute évidence, la nature a produit au
cours de l’évolution des êtres capables de
« calculs » à très grandes échelles
• Une toile d’araignée – L’anticipation du comportement de la
proie calculée par le prédateur – Etc.
• Comportements collectifs tout à fait surprenant comme la
migration sur 4 générations des papillons monarques
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Éviter la combinatoire des mots et
« l’insignifiance » [René Thom]
Cf. N° spécial de la Recherche, Juillet Août
2014
La Réalité
n’existe pas
Exemple typique
d’un énoncé
dénué de sens !!!
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Page 58
Bibliographie …
Quelques ouvrages de réflexion sur la nature des
mathématiques et de leur relation avec la réalité
Henri Poincaré, La science et l’hypothèse [1908] ; Science et méthode [1909] ; La
valeur de la science [1911] ; Dernières pensées [1913]
Léon Brunschvicg, Les étapes de la philosophie mathématique [1912]
Ferdinand Gonseth, Les fondements des mathématiques – De la géométrie d’Euclide à la
relativité générale et à l’intuitionnisme [1926] ; Les mathématiques et la réalité – Essai sur
la méthode axiomatique [1936]
Top 10
Hermann Weyl, Philosophy and mathematics and natural science [1927-1949]
François Le Lionnais, Les grands courants de la pensée mathématique [1962]
Albert Lautman, Essai sur l’unité des mathématiques [1977]
Hourya Sinaceur, Corps et modèles – Essai sur l’histoire de l’algèbre réelle [1991]
Jean Largeault, Intuitionnisme et théorie de la démonstration [1992, recueil de
textes de l’école de Hilbert] ; Intuition et intuitionnisme [1993]
Roger Penrose, The road to reality – A complete guide to the laws of the universe [2004,
traduction A la découverte des lois de l’univers]
Francis Bailly, Giuseppe Longo, Mathématiques et sciences de la nature [2006]
David Ruelle, L’étrange beauté des mathématiques [2008]
David Deutsch, L’étoffe de la réalité [en anglais The fabric of reality], 1997 ; The
beginning of infinity – Explanations that transform the world, 2012
©2014 /J.Printz / Évolution du langage mathématique
Page 59
Compléments
Réunion Santa CaFe au Cnam,
le 15/09/2014
©2014 /J.Printz / Évolution du langage mathématique
Page 60
Complément Santa CaFé du 15/09
Ingénierie du hasard et réflexion sur les
très grands nombres utilisés dans les
théories de l’information
Le langage des formes discrètes et la
théorie des automates
©2014 /J.Printz / Évolution du langage mathématique
Page 61
Réflexion sur les grands nombres
associés à l’information
A propos du « hasard » des
biologistes
©2014 /J.Printz / Évolution du langage mathématique
Page 62
Bien comprendre la notion d’échelle
→ Pour utiliser correctement le calcul des probabilités [*1]
Le niveau méso du monde humain et du
monde de la vie
• Toutes nos unités physiques on une origine humaine
La coudée, le pouce, le pied, la livre, le cheval-vapeur, ...
Échelle million/milliard → 106, 109 maximum
Les connexions des 1011 neurones de notre cerveau ≈ 1015 (mais 100.000
connexions pour les neurones du cervelet)
Un corps humain ≈ 75×1012 cellules ; ≈ 25×1026 molécules
Il y a une individualité propre au vivant (antinomique avec le hasard)
Le niveau des particules élémentaires de la
micro physique
Le nombre d’Avogadro → 6,02×1023 (la « molécule-gramme »)
Les particules n’ont pas vraiment d’individualité propre (Cf. le laser)
©2014 /J.Printz / Évolution du langage mathématique
Page 63
Échelle de l’information produite et/ou
manipulée par les humains
Le niveau macro de l’information que nous
produisons et utilisons
L’information contenu dans un livre de 250 pages (environ 1 million de
signes typographiques ; soit 15-20.000 instructions source)
(10 ) , avec la ponctuation (cf. la
Nombre de livres possibles : 30
6
nouvelle de J-L.Borgès, La bibliothèque de Babel)
L’information contenu dans une mémoire d’ordinateur de 8 Gigaoctets,
(2 ) configurations possibles
; soit 2
36
soit
8×230
octets =
236 bits
Exprimé en nombres flottants
• 1,8×101.477.121 livres différents
• 8×1020.686.623.783 configurations mémoires possibles
Pour mémoire, un génome humain c’est 3,6 Md de bases (4 lettres
ATGC)
©2014 /J.Printz / Évolution du langage mathématique
Page 64
Les unités de Planck et l’univers
Temps de Planck :
5,4×10-44 sec
Longueur de Planck :
1,6×10-35 mètre
Constante de Planck :
6,6×10-34 Joule/sec
Énergie de Planck :
≈2×109 Joules
Age de l’univers : 13,7 Md d’années → 1017 sec
Taille de l’univers visible : 15 milliards d’années
lumière
→ ≈ 1,4×1026 m, soit en UP ≈9×1060 up
Nombre d’atomes (d’hydrogène) estimé de l’univers
→ ≈ 5×1080 (Ch.Magnan, Collège de France)
En UP :
Age : 2×1050 Tplck
Taille : 9×1060 Lplck
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Page 65
Ramener le patrimoine applicatif des
connaissances d’une entreprise à l’échelle
humaine (1/2)
Un grand fichier de 20 millions d’articles, avec une
fiche par page (environ 4.000 caractères)
• 20 millions de pages → 50.000 livres
Un programme de 20.000 lignes de code source,
documenté et validé, représente le travail de 2 ou 3
bons programmeurs en un an
• 1 livre de 400 pages
Un patrimoine de 100 millions de lignes de code
source, c’est :
• 5.000 livres de 400 pages
• Un coût de reconstruction : de l’ordre de 25.000 HA brut (Coût réel net
×3-4)
2.500 projets d’environ 10 HA (2 livres par projet)
©2014 /J.Printz / Évolution du langage mathématique
Page 66
Ramener le patrimoine applicatif des
connaissances d’une entreprise à l’échelle
humaine (2/2)
Éléments comparatifs :
Une grande bibliothèque → 10 à 50 millions
de livres ⇒ Un immeuble
Inutilisable sans une organisation rigoureuse de l’information
Rôle fondamental des tables de matières, des indexes, des thesaurus, …
pour naviguer dans l’information
Mais :
Le génome humain (nano échelle) → 1.000
livres
Le cerveau humain → 100 milliards (1011) de
neurones et 1 million de milliards de
connexions (1015)
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Page 67
Synoptique Information Univers 1/2
Les quantités d’information qui nous sont
accessibles dans notre univers humain sont
sans commune mesure avec ce que l’on
connaît des constantes de l’univers
physique et des interactions élémentaires
A supposer qu’on ait une machine capable
de générer des livres au rythme du temps
de Planck, on voit bien qu’il y a un problème
avec le hasard des biologistes [J.Monod, H.Atlan,
J-C.Ameisen, ...]
©2014 /J.Printz / Évolution du langage mathématique
Page 68
Synoptique quantité d’Information et
taille de l’Univers 2/2
Age de l’univers, en unité UP : 2×1050 Tplck
Durée nécessaire pour fabriquer la
bibliothèque de Babel :
→ 1,8×101.477.121 livres différents
Soit en unités UP :
→ 1,8×101.477.121×5,4×10-44 ≈ 9,7×101.477.077 Tplck
Et l’apparition du 1er doublon
→ ≈ 12,3×10738.536
On peut dormir tranquille avant l’arrivée du 1er clone !!!
©2014 /J.Printz / Évolution du langage mathématique
Page 69
Le langage des formes discrètes et de
leurs combinaisons
Comment est née la théorie des
automates
©2014 /J.Printz / Évolution du langage mathématique
Page 70
Émergence du discontinu en physique
La quantification de l’énergie [Planck, 1858-1947]
sonne comme un coup de tonnerre dans le
ciel « continu » de l’univers newtonien
C’est l’effet photoélectrique – Interaction lumière/électricité
Les représentations « habituelles » utilisées
en physique vont s’avérer inadéquates pour
capter la complexité du monde atomique,
ainsi que la logique étendue façon Russel
avec le langage des Principia … et les modes
de raisonnement communément admis
Mais les représentation « discrètes » sont
déjà bien connues, ne serait-ce que par les
langues et les grammaires comparées
©2014 /J.Printz / Évolution du langage mathématique
Page 71
Une personnalité « Fil rouge »
John von Neumann [1903-1957]
Von Neumann a accompagné toute cette
séquence, et il y a joué un rôle majeur [Voir les
recensions de S.Ulam, P.Halmos et C.Shannon] avec des
contributions de 1er plan [Théorie des ensembles et
logique, Mécanique quantique, Théorie des jeux, Théorie des automates, …]
Dès les années 43-46, il participe activement
à la genèse de la cybernétique, et il jette
toutes les bases de la théorie des automates
[ Œuvres complètes, Vol. 5]
“ I am thinking about something much more important than bombs. I am
thinking about computers” [1946], rapporté par G.Dyson, Turing’s
cathedral – The origins of digital universe.
©2014 /J.Printz / Évolution du langage mathématique
Page 72
Calculabilité – Théorie des automates
Ce qu’on a appelé « crise des fondements »
a été l’occasion
• D’une clarification radicale de la notion de fonction
Fonctions calculable au sens de Church-Turing ; avec 2 mécanismes
[ 2 langages qui seront démontrés équivalents] : 1) Machine de Turing
et 2) Lambda-calcul
• D’une refondation complète de notre façon de raisonner
de façon à prendre en compte l’irréversibilité du monde
macroscopique où toute transformation/perception requiert
de l’énergie d’interaction et du temps pour construire un état
énergétique stable susceptible d’être observé
l’information est donc doublement quantifiée, tout à un
coût, rien n’est instantané
“ It from bit symbolizes the idea that every item of the physical world
has at bottom an immaterial source and explanation …” [J.A.Wheeler ; Voir
la page de commentaires]
©2014 /J.Printz / Évolution du langage mathématique
Page 73
Du monde clos au monde ouvert …
Dans l’univers en création / transformation
que nous percevons, la base de nos
raisonnements ne peut pas reposer sur la
notion d’ensembles fermés et immuables
• Poincaré/Russel Ensembles prédicatifs
• Russel/Whitehead 1ère théorie des types logiques
• Le défi logique de la mécanique quantique … ne trouve pas
sa solution dans une extension/reformulation de la logique
dont Gödel vient de montrer la limitation
Les mathématiques sont le « langage de
programmation » de notre compréhension
du monde
Métamorphose du calcul [G.Dowek]
©2014 /J.Printz / Évolution du langage mathématique
Page 74
Contexte d’apparition de la notion
d’automate
Les 1ers réseaux téléphoniques, début du 20ème siècle
...
Points d’entrée
Central Téléphonique
Usagers
Apparition des 1ers
protocoles au niveau
des usagers qui sont
des suites ordonnées
d’actions à effectuer
Points de sortie
...
Le problème : quel est le volume optimal
des équipements nécessaires pour
réaliser l’interconnexion des usagers ???
Exemple : avec 10 millions d’usagers, il faudrait,
en liaisons directes → 1014 équipements
L’ « intelligence » du central
©2014 /J.Printz / Évolution du langage mathématique
Solution : hiérarchiser les équipements du
central, de façon à maximiser leur partage
entre tous les usagers
Les ressources ne sont pas attribuées en
propres aux usagers mais à la demande
Page 75
Dans les 1ers ordinateurs, il faut
également se partager les ressources
Dans le Logical Model de von Neumann, 2 ressources jouent un rôle fondamental :
1. La mémoire :
Les instructions du calcul + Les données du calcul, ainsi que les résultats intermédiaires [y compris les
calculs communs → Notion de Sous-programme] à mémoriser se partagent la mémoire.
La mémoire commune permet d’intervertir les rôles Instructions/Données [Permutation Dedans/Dehors]
2. L’organe de calcul [Unité centrale] qui contient, sous la forme de circuits prédéfinis, l’ « intelligence »
de la machine → Les instructions [Statements] de base [les axiomes] de la machine.
Leurs combinaisons vont permettre d’effectuer n’importe quel calcul, au sens de Church-Turing Le
langage interne de la machine, par opposition avec ce que le programmeur écrit [Le langage externe]
Les problèmes :
Organisation et partage des équipements requis [complexité
Ultra high complexity, Hixon Lectures]
Pour la machine Whirlwind : 60.000 lampes, 1.750.000 diodes, 13.000 transistors, … → 250 tonnes.
Fiabilité de l’ensemble
Réparation Self-reproducing automata [Who will watch the watchman ?!]
Codage/décodage de l’information + CCE, selon les organes physiques de la machine [Transducteurs de
tout type]
Interactions homme/machine
Etc. …
Dés le début de l’aventure, tout ce milieu [Teological society, Macy’s conferences] s’interroge sur
l’organisation et le fonctionnement des organismes vivants [Exemple : la thèse de C.Shannon, 1936-40,
s’intitule An algebra for theoretical genetics] von Neumann et Wiener sont à la manœuvre, très activement.
©2014 /J.Printz / Évolution du langage mathématique
Page 76
Le découvreur des neurones
La découverte des neurones par Santiago Ramón y Cajal [01/05/1852 – 17/10/1934 ], Prix Nobel 1906
©2014 /J.Printz / Évolution du langage mathématique
Page 77
Tissu cérébral réel
Un enchevêtrement apparemment
inextricable mais qui « marche » …
100 milliards de neurones dans un cerveau humain [1011], et ≈ 1015 connexions
©2014 /J.Printz / Évolution du langage mathématique
Page 78
Schémas anatomiques
Neurone standard [Cortex]
8 à 10.000 connexions
Cellule de Purkinje [Cervelet de chat]
Jusqu’à 100.000 connexions
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Page 79
Comment représenter graphiquement
les neurones ?
Images originales des neurones formels de l’article de W.Mc Culloch & W.Pitts
Warren Mc Culloch
November 16, 1898 – September 24, 1969
Neurologue
Walter Pitts
23 April 1923 – 14 May 1969
Logicien
Tous deux participent aux Macy’s conferences
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Page 80
Les neurones formels de l’IA
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Page 81
VLSI – Intégration des composants
Aujourd’hui, un chip de 3-4 cm2 peut
contenir 3-5 milliards de composants
Le problème : comment
organiser le chip pour qu’il
soit « newtonien » ? [c’est-à-dire
déterministe]
©2014 /J.Printz / Évolution du langage mathématique
Page 82
Quelques résultats intéressants
Équivalence des machines de Turing et du
λ-Calcul [Voir les entrées Wikipédia + livres de J-Y.Girard]
• Thèse de Church-Turing [+ compléments David Deutsch]
• Non terminaison du calcul
Classement des langages [Noam Chomsky]
Équivalence Automates / Grammaires
• L’automate donne une vision opérationnelle [Comment ça
marche ?!] C’est le langage des ingénieurs, constructif
par nature
• La grammaire donne une vision déclarative C’est une
forme logique « hors temps/ressources » qui contient toutes
les potentialités de l’automate correspondant.
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Page 83
Hiérarchie et puissance expressive
Automates à états finis
• Langages réguliers
Automates à piles
• Langages “ context-free” déterministes
Machines abstraites déterministe [ou NON]
• Tout système est un agencement de machines abstraites coopérantes
Tout système a un langage explicite ou implicite / « caché »
Reste à découvrir sa grammaire ?!
Machines de Turing
• Tout ce qui est humainement exprimable et qui a un sens
Théorie de la complexité algorithmique et théorie
de l’information algorithmique
• Fondamentales pour l’étude de la complexité
• Taille d’un langage / taille de sa-ses grammaire[s]
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Page 84
Théorie de la complexité
La théorie des automates met en évidence
2 aspects fondamentaux de la complexité :
• Complexité algorithmique
Quantité de calcul nécessaire pour résoudre tel problème dont on a une
formulation algorithmique [Thèse de Church-Turing]
• Complexité textuelle [Information algorithmique]
Taille du texte, en nombre d’instructions d’une machine de Turing [à
une constante près, à cause de l’universalité de la MT]
Applications très importantes en matière de
calculabilité
• « Énergie » calculatoire nécessaire pour résoudre le
problème – « Énergie humaine » pour produire [c’est un
« calcul », au sens large] le texte de l’algorithme
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Exemples
Grammaire des expressions arithmétiques :
Automate à 2 états reconnaissant les mots
contenant un nombre impair de lettres a
exp ::= exp + exp
| exp × exp
| (exp)
Règles récursives
| num
num ::= chiffre num
| chiffre
chiffre ::= 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9
Arbres syntaxiques
e
s
En observant la correspondance
{e} → {s} on peut [re]construire
l’automate et/ou la grammaire des
langages associés au transducteur
Pour observer, il faut interagir,
donc échanger de l’énergie codée
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Combinatoire
Opérandes sur 32 bits
Opérande N°1
232
1
Opération sur 32
bits
états possibles
Résultat
1
32
32
Opérande N°2
En théorie, 264 combinaisons à tester pour valider l’automate
Problème de l’architecte : Organiser l’automate pour réduire drastiquement le
nombre de cas à tester
Autre problème de l’architecte : Nombre d’opérations théoriquement
possibles et identification des fonction génératrices
Il s’agit cette fois de calculer le nombre de fonctions f avec 2 opérandes de 32 bits qui calculent un résultat sur 32
bits
( )
( )
Card [ f ] → 2
64
32 2
Ordre de grandeur → 1020, un très [très …] grand nombre [*C]
Combinaisons des opérandes : 232×232 cas possibles
Combinaisons du résultat : 232 cas possibles
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Exemple : Une boite de vitesse
automatique
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Description d’une boite de vitesse
Représentation à l’aide d’un graphe états/transitions
5 états :
• Point morts PM
Marche
Arrêt
SI vitesse = 0
• Marche avant 1 AV1
• Marche avant 3 AV3
T3
T1
• Marche avant 2 AV2
AR
E2
E1
PM
AV1
T4
E3
• Marche arrière AR
+ 2états Marche/Arrêt
T6
T2
T5
T7
AV2
10 Transitions autorisées :
Représentées par des → (flèches)
+ 2 transitions Marche/Arrêt
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E4
T10
T8
T9
AV3
E5
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Représentation matricielle
Ligne →
Colonne
M
PM
AR
AV1
AV2
AV3
A
M
PM
AR
AV1
AV2
AV3
A
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Exemple : Une saisie d’information à
l’écran
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Saisie écran d’un N° de sécurité sociale
Boutons
de saisie
Cas N°1
Sexe
Année
Marche
Mois
Département
N° État civil
Début de l’activation de l’écran de saisie
Début
La saisie des information se fait dans
l’ordre S/A/M/D/EC.
Toute erreur provoque une
réinitialisation du processus de saisie.
S
Fin
A
• 8 états
• 12 transitions (6 nominales
+ 6 erreurs)
Erreur
M
D
Inconvénient :
• toute erreur entraîne une nouvelle
saisie complète
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EC
Arrêt
Fin de l’activation
de l’écran de saisie
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Saisie du N° avec contrôle pas à pas
Cas N°2
La saisie des information se fait dans l’ordre
S/A/M/D/EC.
Début
Les erreurs associées à un champ de saisie
sont contrôlées immédiatement.
S
Err#1
A
Err#2
M
Err#3
D
Err#4
EC
Err#5
Fin
Tous les messages sont spécifiques.
• 12 états (dont 5 erreurs)
• 16 transitions (dont 10 erreurs)
Avantage :
• on peut corriger une saisie erronée
Inconvénient :
• l’ordre de la saisie reste impératif
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Saisie du N° à la volée
Cas N°3
La saisie des information se fait dans un
ordre S/A/M/D/EC quelconque (tout
en pouvant privilégier la séquence).
5 choix possibles
Début
Les erreurs associées à un champ de saisie
sont contrôlées immédiatement.
S
Err#1
A
Err#2
Tous les messages sont spécifiques.
Le processus se termine quand tous les
champs sont saisis
M
Err#3
D
Err#4
EC
Err#5
C
Fin
Si chaque
champ a
été saisi
• 13 états (dont un relais C)
• 22 transitions
La souplesse d’emploi se traduit
par :
• Plus d’états
• Plus de transitions entre états
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Quelques aspects profonds de la TA en
relation avec la thèse de Church-Turing
Voir les ouvrages de David Deutsch
The fabric of reality [Traduction, L’étoffe de la réalité], 1997
The beginning of infinity, 2011
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Tout est langage …
« Derrière » [ou en association avec] tout
langage permettant à 2 entités [cf. la notion d’Unité
Active, de F.Perroux] d’échanger de l’information [ce
qui suppose qu’ils ont des « choses » en commun ⇒ ce qui leur permet
, il y a UN [ou plusieurs] automates,
explicites ou implicites, et réciproquement
d’interagir]
L’interaction
s’organise
Langage de l’interaction
e
UA#1
Automate UA#1
e
s
Grammaire de l’interaction
La « Boite Noire » devient « grise »
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s
UA#2
Automate UA#1
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Les hiérarchies de langages
Initialement, classification des langages
par Noam Chomski [On certain formal properties of grammars,
Information & Control, 1959]
• Langages : a) « réguliers », b) « context-free » et c)
« universel » [Reconnaissable par une machine de Turing]
Dans les langages de programmation
•
•
•
•
•
Langages machines/assembleurs
Langages « plats » [ou étals] ⇒ FORTRAN, COBOL
Langages hiérarchisés [à structure de blocs] ⇒ ALGOL, PL1
Langages typés [tout est nommé] ⇒ PASCAL, Ada
Langages « objets » [Une très mauvaise terminologie pour
expliciter une structure de transformation, des opérations,
entre entités, des « données »] ⇒ JAVA, C#, PYTHON, …
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“ More is different” … ou les mystères de
la pile hardware/software
Une question d’ingénierie fondamentale : les
différentes traductions sont-elles réversibles
? Doivent-elles être réversibles ??
La traduction est-elle sans perte, ou avec
perte, d’information ?
• Cas FORTRAN/COBOL ⇔ Assembleur
• Cas Typés ⇔ Non Typés
• Cas « objet » Statique ⇔ Dynamique
La pile Hardware/software est une des
meilleures illustrations de propriétés
émergentes entièrement nouvelles
• A chaque étage, son langage
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Importance of layered architecture
Microsoft
Office
Internet – Web
Information
System
Scientific
computing
Signal & Image
processing
...
Applications
Application Programming Interface – Library / Middleware
Recovery
mechanism
Operating System API (programming languages)
Non deterministic
Network stack
Operating System
Interface Hardware/Software
Deterministic
World
Recovery
mechanism
hardware Functions
OS « Boot »
Machine Architecture and language(s)
Microprocessor architecture and hardware« programming » - Buses
Nanoworld
Physical
Laws
Quantum world
Physical Architecture (cache memory, pipe-line, …)
Recovery
mechanism
Cristal de Si
Circuits Architecture and wiring (ECC)
Transistors and Silicon – Atoms & Electrons
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Page 99
Du métier ... → au Silicium
Processus
métiers/techniques
à modéliser
Innovation
(chaînes de valeurs
de l’entreprise)
Applications métiers/techniques
spécialisées et processus
informatisés
Applications métiers/techniques
génériques – Progiciels
API métiers
Mais où est la sécurité
Confidentialité, Intégrité ???
Middleware d’intégration type
Internet/W3C, ESB, ...
API système du type J2EE,
.Net, etc.
Très peu développement
en Europe
Perte de compétitivité
• 7-8 couches pour le
système d’exploitation
• Couches réseaux (OSI
7, TCP/IP 4)
Middleware et services
système type OLTP, SGBD,
CORBA, ... Administration
OS
Couches
Télécoms
Valeur relative du SI – Économie du SI /CQFD-TCO
Scripts
Paramétrage
Langages propriétaires
Patrimoine
métiers
Domaines des Outils et
méthodes de développement et
d’ingénierie durable
Interopérabilité
informatique
« sémantiquement
riche »
Actuellement 4 à 5
milliards de transistors ...
Microprocesseur
4-coeurs
Cristal de Si
Cœur N°1
Cœur N°2
Cache C1
Cache C2
Cœur N°3
Cœur N°4
Cache C3
Cache C4
Bus interne + Directory
Hardware
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Taille des transistors
→ 20nm [≈2003 atomes]
Page 100
Entrouvrir la Boite Noire
Boite Noire
Langage
Ensembles de
phrases émises …
Automate
Grammaire
Environnement
Monde réel que l’on essaye
de comprendre
Monde réel formalisé que l’on essaye de
représenter par une machine abstraite
→ Fabriquer le réel à partir d’un « plan » de
construction et de composants élémentaires
Exemples : Silicon compiler, Chaîne de montage robotisée, …
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Universalité computationnelle ... Une
nature qui calcule ?!
Universalité « classique » [Newtonienne], au
sens de Turing
• Machine « universelle » de Turing
Permet la simulation de
n’importe quelle machine
Fonctionne avec des ressources infinies
Universalité « quantique », au sens de
D.Deutsch, R.Bennet, R.Landauer, ... [Celle de
la « physique » de l’information]
• La nature utilise des moyens de calculs qu’on ne peut pas
exprimer de façon « classique » Aux niveaux atomiques
et sub-atomiques
Mécanismes physique mettant en œuvre ces propriétés
[ordinateurs « quantiques »] → Fonctionne avec des
ressources qui sont celles de la nature au niveau quantique
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« Jouer » avec la superposition …
Le phénomène quantique
intéressant est
simultanément là ET là
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Bibliographie [Les automates]
Pour une introduction : http://en.wikipedia.org/wiki/Finite-state_machine [Très bien fait, pas d’équivalent
en français]
2 français ont joué un rôle significatif dans le développement de la théorie, les professeurs Marcel Paul
Schutzenberger et Maurice Nivat ; un chercheur français, Joseph Sifakis, a obtenu un Turing Award, en
2007, pour ses travaux sur le Model checking, entièrement basés sur la théorie des automates.
Ouvrages de références, entre autres … :
B.Trakhtenbrot, Algorithmes et résolution de problèmes par des machines, Ed. Mir
Minsky, Marvin (1967), Computation: Finite and Infinite Machines (1st ed.). New Jersey: Prentice-Hall.
P.J.Denning & …, Machines, languages and computation, Prentice Hall, 1978.
Hopcroft, John; Jeffrey Ullman (1979). Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation
(1st ed.). Reading Mass: Addison-Wesley. ISBN 0-201-02988-X.
Hopcroft, John E.; Rajeev Motwani, Jeffrey D. Ullman (2001). Introduction to Automata Theory,
Languages, and Computation (2nd ed.). Reading Mass: Addison-Wesley. ISBN 0-201-44124-1.
Jean-Raymond Abrial, The B-book, Cambridge University Press
Historique :
Von Neumann, Œuvres complète, Vol.5 [lecture obligatoire pour qui veut comprendre en profondeur le
Pourquoi et le Comment]
Claude Shannon a beaucoup écrit sur les automates ; voir sa recension Von Neumann’s contributions to
automata theory.
George Dyson, Turing’s cathedral – The origins of the digital universe, Penguin, 2012.
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