Integrazione definita
Sia [a, b] ⊂ R un intervallo chiuso e limitato.
Sia f : [a, b] → R limitata.
Def. Trapezoide di f sull’intervallo [a, b] `e la regione di piano
delimitata dall’asse y = 0, dalle rette x = a e x = b e dal grafico
di f . Viene indicato con T (f ; a, b).
y
f (x)
y
f (x)
b
a
b
c
Paola
Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 14/15
x
a
Integrazione definita
x
cap9b.pdf
1
Integrale di Riemann
(Bernhard Riemann 1826-1866)
Obiettivo: calcolare l’area del trapezoide T (f ; a, b).
Riemann ha suddiviso il problema in 2 passi.
y
f (x)
prendere f a scala e definire l’integrale
1.
per funz. a scala.
prendere f generica limitata e definire
l’integrale per funz. limitate sfrut2.
tando quello che ha trovato per le funzioni a scala
c
Paola
Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 14/15
Integrazione definita
x0 x1 x2 x3
y f (x)
x
b
a
x
cap9b.pdf
2
Integrale di Riemann di funzioni a scala
Def. Siano x0 , x1 , . . . , xn (con a = x0 < x1 < . . . < xn−1 < xn = b
e n ∈ N) (n + 1) punti distinti e ordinati in [a, b]. Essi inducono
una suddivisione di [a, b] in n sottointervalli (x0 , x1 ), (x1 , x2 ), · · · ,
(xn−1 , xn ).
Def. f : [a, b] → R `e detta funzione a scala se esite una
suddivisione di [a, b] in n sottointervalli tale che f `e costante su
ogni sottointervallo, cio`e esistono c1 , c2 , . . . , cn ∈ R, tali che
f (x) = ck
∀x ∈ (xk−1 , xk )
(o equivalentemente f |(xk−1 ,xk ) = ck
y
c2
c3
c4
c1
f (x)
x0 x1 x2
x3 x4
c
Paola
Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 14/15
per k = 1, . . . , n
per k = 1, . . . , n)
Oss. Nei punti xk la funzione f
pu`o assumere un qualsiasi valore
finito reale, non necessariamente
coincidente con ck o ck+1 .
x
Integrale di Riemann di funzioni a scala
cap9b.pdf
3
Def. Denotiamo con S([a, b]) = {funzioni a scala su [a, b]}
Def. Siano {x0 , x1 , . . . , xn } i punti di una suddivisione in [a, b] e sia
f a scala su [a, b] t.c.
f |(xk−1 ,xk ) = ck
per k = 1, . . . , n
Si definisce integrale definito della funzione a scala f su [a, b] il
numero reale
Z
b
f (x)dx =
a
n
X
k=1
ck (xk − xk−1 )
y
1
−0.4
f (x) =
0.5
in (0, 1)
in (1, 1.5)
in (1.5, 2)
f (x)
1
c
Paola
Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 14/15
Z
0
1
1.5 2
x
2
f (x)dx = 1.25
0
Integrale di Riemann di funzioni a scala
cap9b.pdf
4
Oss.
Z
b
f (x)dx non dipende dal valore che f assume in un
a
numero finito di punti:
y
y
f2 (x)
f1 (x)
x0 x1
x2
x3
x
x0 x1
x2
x3
x
Queste due funzioni hanno lo stesso integrale.
c
Paola
Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 14/15
Integrale di Riemann di funzioni a scala
cap9b.pdf
5
Teorema 1. Siano f , g due funzioni a scala su [a, b] t.c.
f (x) ≤ g (x), ∀x ∈ [a, b]. Allora
Z
y
b
a
f (x)dx ≤
Z
f (x)
x0 x1 x2
c
Paola
Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 14/15
b
g (x)dx.
a
g (x)
x3
x4
x
Integrale di Riemann di funzioni a scala
cap9b.pdf
6
Integrale di Riemann di funzioni limitate
Sia f limitata in [a, b] (non necessariamente continua)
Siano if = inf f (x) e sf = sup f (x).
a≤x≤b
a≤x≤b
Se f `e limitata, allora if , sf ∈ R
y
f (x)
sf
if
a
c
Paola
Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 14/15
b
x
Integrale di Riemann di funzioni limitate
cap9b.pdf
7
Funzioni a scala minoranti
Def. Sf− = {g ∈ S([a, b]) : g (x) ≤ f (x), ∀x ∈ [a, b]} `e
l’ insieme delle funzioni a scala g (in verde) che minorano f (in
azzurro).
y
y
sf
sf
if
if
a
b
y
x
a
b
x
sf
if
a
c
Paola
Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 14/15
b
x
Integrale di Riemann di funzioni limitate
cap9b.pdf
8
Insieme degli
integrali di funzioni
a scala minoranti
Z
b
If− =
a
g (x)dx, g ∈ Sf−
`e l’ insieme (⊂ R) degli integrali
delle funzioni a scala che minorano f .
y
y
sf
sf
if
if
a
b
y
x
a
b
x
sf
if
a
c
Paola
Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 14/15
b
x
Integrale di Riemann di funzioni limitate
cap9b.pdf
9
Funzioni a scala maggioranti
Def. Sf+ = {h ∈ S([a, b]) : h(x) ≥ f (x), ∀x ∈ [a, b]} `e
l’ insieme delle funzioni a scala h (in rosso) che maggiorano f (in
azzurro).
y
y
sf
sf
if
if
a
b
y
x
a
b
x
sf
if
a
c
Paola
Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 14/15
b
x
Integrale di Riemann di funzioni limitate
cap9b.pdf
10
Insieme degli
integrali di funzioni
a scala maggioranti
Z
If+ =
b
a
h(x)dx, h ∈ Sf+
`e l’ insieme (⊂ R) degli integrali
delle funzioni a scala che maggiorano f .
y
y
sf
sf
if
if
a
b
y
x
a
b
x
sf
if
a
c
Paola
Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 14/15
b
x
Integrale di Riemann di funzioni limitate
cap9b.pdf
11
Integrale inferiore e superiore
y
.
a
b
x
Def. Si definisce integrale inferiore di f (limitata) su [a, b]
l’estremo superiore dell’insieme If− degli integrali delle funzioni
minoranti f , cio`e:
Z b
−
−
g (x)dx : g ∈ Sf
Iinf (f , a, b) = sup If = sup
a
Def. Si definisce integrale superiore di f (limitata) su [a, b]
l’estremo inferiore dell’insieme If+ degli integrali delle funzioni
maggioranti f , cio`e:
Z b
+
+
h(x)dx : h ∈ Sf
Isup (f , a, b) = inf If = inf
c
Paola
Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 14/15
a
Integrale di Riemann di funzioni limitate
cap9b.pdf
12
Teorema. Sia f limitata su [a, b]. Allora
Iinf (f , a, b) ≤ Isup (f , a, b)
Dim. Sia g una qualsiasi funzione a scala minorante f e sia h una
qualsiasi funzione a scala maggiorante f . Quindi abbiamo
g (x) ≤ f (x) ≤ h(x)
∀x ∈ [a, b]
Per il Teorema 1 si ha:
Z
|a
b
Z
b
g (x)dx ≤
h(x)dx .
{z } | a {z }
=A∈If−
=B∈If+
Poich`e h `e arbitraria in If+ , sto dicendo che A `e un minorante
dell’insieme If+ , allora A `e minore o uguale del pi`
u grande dei
+
+
minoranti di If (=inf If ), cio`e:
Z b
g (x)dx = A ≤ inf(If+ ).
a
c
Paola
Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 14/15
Integrale di Riemann di funzioni limitate
cap9b.pdf
13
Poich`e g `e arbitraria in If− , l’ultima disuguaglianza scritta dice che
inf(If+ ) `e un maggiorante dell’insieme If− e, come tale, `e maggiore
o uguale del pi`
u piccolo dei maggioranti di If− (=sup If− ), cio`e:
Iinf (f , a, b) = sup(If− ) ≤ inf(If+ ) = Isup (f , a, b)
ovvero la tesi.
Quindi pu`o succedere che
Iinf (f , a, b) = Isup (f , a, b)
oppure
Iinf (f , a, b) < Isup (f , a, b)
c
Paola
Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 14/15
Integrale di Riemann di funzioni limitate
cap9b.pdf
14
Funzioni integrabili secondo Riemann
Def. Sia f limitata in [a, b]. Diciamo che f `e integrabile secondo
Riemann su [a, b] se l’integrale superiore ed inferiore di f
coincidono, cio`e se
Iinf (f , a, b) = Isup (f , a, b).
In tal caso si definisce integrale definito di f su [a, b] il valore reale
finito
Z b
f (x)dx = Iinf (f , a, b) = Isup (f , a, b)
a
Se I = [a, b], scritture equivalenti sono:
Z
f (x)dx =
[a,b]
c
Paola
Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 14/15
Z
f (x)dx =
I
Z
b
f (x)dx
a
Integrale di Riemann di funzioni limitate
cap9b.pdf
15
La funzione di Dirichlet
f (x) =
1
0
se x ∈ Q ∩ [0, 1]
se x ∈ (R \ Q) ∩ [0, 1]
y
1
x
0
1
Tutte le funzioni a scala maggioranti f sono h(x) ≥ 1 e tutte le
funzioni a scala minoranti f sono g (x) ≤ 0.
Allora Iinf (f , a, b) = sup If− = 0 e Isup (f , a, b) = inf If+ = 1 , sono
diversi, quindi la funzione di Dirichlet non `
e integrabile
secondo Riemann.
c
Paola
Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 14/15
Integrale di Riemann di funzioni limitate
cap9b.pdf
16
Classe delle funzioni integrabili (MOLTO IMPORTANTE)
Teorema. Sono integrabili secondo Riemann, su un intervallo
chiuso e limitato [a, b] le seguenti funzioni:
1
le funzioni continue su [a, b]
2
le funzioni limitate su [a, b] e discontinue in un numero finito
di punti (discontinuit`
a di tipo salto, eliminabile o seconda
specie)
3
le funzioni monotone su [a, b]
4
le funzioni monotone a tratti su [a, b] (ovvero per le quali
esiste una suddivisione di [a, b] t.c. f `e monotona su ogni
sottointervallo della suddivisione)
N.B. Se una funzione `e monotona o monotona a tratti, allora `e
integrabile anche se ha infiniti punti di discontinuit`a, mentre se
non `e monotona, allora `e integrabile solo se ha un numero finito di
punti di discontinuit`a (si veda l’esempio della funzione di Dirichlet).
c
Paola
Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 14/15
Integrale di Riemann di funzioni limitate
cap9b.pdf
17
Prime propriet`a dell’integrale di Riemann.
Sia f una funzioni integrabile su [a, b]. Allora:
1
2
f `e integrabile su ogni sottointervallo [c, d] ⊂ [a, b]
la funzione |f | `e integrabile su [a, b]
Def. Diciamo che f `e localmente integrabile su un intervallo I ⊆ R
(I non necessariamente limitato) se f `e integrabile su un qualsiasi
intervallo chiuso e limitato contenuto in I .
Def. Sia f integrabile su un intervallo [a, b] e siano c, d ∈ [a, b]
due punti qualsiasi tali che a ≤ c ≤ d ≤ b. Poniamo:
Z
Zd
c
c
f (x)dx = −
Z
d
f (x)dx
c
f (x)dx = 0
c
c
Paola
Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 14/15
Integrale di Riemann di funzioni limitate
cap9b.pdf
18
Propriet`a dell’integrale definito (importante)
Teorema. Siano f e g integrabili su un intervallo chiuso e limitato
I . Allora:
1) Additivit`
a: ∀a, b, c ∈ I
Z
b
f (x)dx =
a
Z
c
f (x)dx +
Z
b
f (x)dx.
c
a
2) Linearit`
a: ∀α, β ∈ R, ∀a, b ∈ I
Z
b
(αf (x) + βg (x))dx = α
a
c
Paola
Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 14/15
Z
b
f (x)dx + β
a
Z
b
g (x)dx.
a
Propriet`
a dell’integrale definito
cap9b.pdf
19
3) Positivit`
a: Se f ≥ 0 in [a, b] ⊂ I , allora
Z
a
b
f (x)dx ≥ 0.
Inoltre, se f `e continua, allora
Z
b
f (x)dx = 0 ⇐⇒ f ≡ 0.
a
4) Confronto: Se f ≤ g in [a, b] ⊂ I , allora
Z
b
a
f (x)dx ≤
Z
b
g (x)dx.
a
5) Maggiorazione: ∀a, b ∈ I
Z b
Z
f (x)dx ≤
a
c
Paola
Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 14/15
a
b
|f (x)|dx.
Propriet`
a dell’integrale definito
cap9b.pdf
20
Area del trapezoide per una funzione integrabile
y
f (x)
y
f (x)
b
a
b
a
x
L’area del trapezoide T (f ; a, b) `e:
c
Paola
Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 14/15
Z
a
x
b
|f (x)|dx
Propriet`
a dell’integrale definito
cap9b.pdf
21
Media integrale
Def. Sia f integrabile su [a, b]. Definiamo media integrale (o valor
medio) di f su [a, b] il valore reale
Z b
− f (x)dx =
a
1
b−a
Z
b
f (x)dx.
a
Teorema della media integrale
Sia f integrabile su [a, b]. Allora
Z b
inf f (x) ≤ − f (x)dx ≤ sup f (x).
a≤x≤b
a
a≤x≤b
Inoltre se f `e continua su [a, b], allora esiste almeno un punto
Z b
c ∈ [a, b] tale che − f (x)dx = f (c).
a
c
Paola
Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 14/15
Media integrale
cap9b.pdf
22
Dimostrazione del teorema della media integrale
Per definizione di inf e sup si ha
inf f (x) ≤ f (x) ≤ sup f (x)
a≤x≤b
a≤x≤b
e, applicando l’integrale ai tre termini della disuguaglianza si ha:
Z b
Z b
( inf f (x)) dx = (b − a) inf f (x) ≤
f (x)dx ≤
a≤x≤b
a≤x≤b
a
a
|
{z
}
costante
Z b
( sup f (x)) dx = (b − a) sup f (x)
a≤x≤b
a a≤x≤b
{z
}
|
costante
Dividendo per (b − a) si ha la tesi.
Se poi f `e continua, per Weierstrass
si ha inf f = min f = m,
Rb
sup f = max f = M e m ≤ −a f (x)dx ≤ M. Applicando il teorema
dei valori intermedi a f sull’intervallo [xm , xM ] (xm `e un punto di
minimo assoluto e xM `e un punto di massimo assoluto) allora f
assume tutti i valori compresi traR m e M, ovvero
b
∃c ∈ [xm , xM ] ⊆ [a, b] : f (c) = −a f (x)dx.
c
Paola
Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 14/15
Media integrale
cap9b.pdf
23
Funzione integrale
Sia f definita su un intervallo I ⊂ R e sia localmente integrabile su
I . Sia x0 ∈ I fissato. Definiamo Funzione integrale di f la funzione
Z x
f (t)dt
Fx0 (x) =
x0
Oss. Per la definizione di integrale definito, si ha
Z x0
Fx0 (x0 ) =
f (t)dt = 0.
x0
Quando la scelta di x0 sar`
a ininfluente, esso verr`
a omesso dalla
scrittura di Fx0 . F(x) star`
a ad indicare una qualsiasi funzione
integrale.
c
Paola
Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 14/15
Funzione integrale
cap9b.pdf
24
Esempio di funzione integrale
funzione integranda f(t)=sin(t)/t
1
0.5
0
−0.5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
8
9
10
t
funzione integrale F(x)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
1
2
3
4
5
6
7
x
Fx0 (x) =
c
Paola
Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 14/15
Z
x
f (t)dt,
x0
x0 = 1
Funzione integrale
cap9b.pdf
25
Esempio di funzione integrale
funzione integranda f(t)=sin(t)/t
1
0.5
0
−0.5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
8
9
10
t
funzione integrale F(x)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
1
2
3
4
5
6
7
x
Fx0 (x) =
c
Paola
Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 14/15
Z
x
f (t)dt
x0
Funzione
integrale
cap9b.pdf
26
Esempio di funzione integrale
funzione integranda f(t)=sin(t)/t
1
0.5
0
−0.5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
8
9
10
t
funzione integrale F(x)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
1
2
3
4
5
6
7
x
Fx0 (x) =
c
Paola
Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 14/15
Z
x
f (t)dt
x0
Funzione
integrale
cap9b.pdf
27
Esempio di funzione integrale
funzione integranda f(t)=sin(t)/t
1
0.5
0
−0.5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
8
9
10
t
funzione integrale F(x)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
1
2
3
4
5
6
7
x
Fx0 (x) =
c
Paola
Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 14/15
Z
x
f (t)dt
x0
Funzione
integrale
cap9b.pdf
28
Esempio di funzione integrale
funzione integranda f(t)=sin(t)/t
1
0.5
0
−0.5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
8
9
10
t
funzione integrale F(x)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
1
2
3
4
5
6
7
x
Fx0 (x) =
c
Paola
Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 14/15
Z
x
f (t)dt
x0
Funzione
integrale
cap9b.pdf
29
Esempio di funzione integrale
funzione integranda f(t)=sin(t)/t
1
0.5
0
−0.5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
8
9
10
t
funzione integrale F(x)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
1
2
3
4
5
6
7
x
Fx0 (x) =
c
Paola
Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 14/15
Z
x
f (t)dt
x0
Funzione
integrale
cap9b.pdf
30
Esempio di funzione integrale
funzione integranda f(t)=sin(t)/t
1
0.5
0
−0.5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
8
9
10
t
funzione integrale F(x)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
1
2
3
4
5
6
7
x
Fx0 (x) =
c
Paola
Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 14/15
Z
x
f (t)dt
x0
Funzione
integrale
cap9b.pdf
31
Esempio di funzione integrale
funzione integranda f(t)=sin(t)/t
1
0.5
0
−0.5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
8
9
10
t
funzione integrale F(x)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
1
2
3
4
5
6
7
x
Fx0 (x) =
c
Paola
Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 14/15
Z
x
f (t)dt
x0
Funzione
integrale
cap9b.pdf
32
Esempio di funzione integrale
funzione integranda f(t)=sin(t)/t
1
0.5
0
−0.5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
8
9
10
t
funzione integrale F(x)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
1
2
3
4
5
6
7
x
Fx0 (x) =
c
Paola
Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 14/15
Z
x
f (t)dt
x0
Funzione
integrale
cap9b.pdf
33
Esempio di funzione integrale
funzione integranda f(t)=sin(t)/t
1
0.5
0
−0.5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
8
9
10
t
funzione integrale F(x)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
1
2
3
4
5
6
7
x
Fx0 (x) =
c
Paola
Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 14/15
Z
x
f (t)dt
x0
Funzione
integrale
cap9b.pdf
34
Esempio di funzione integrale
funzione integranda f(t)=sin(t)/t
1
0.5
0
−0.5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
8
9
10
t
funzione integrale F(x)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
1
2
3
4
5
6
7
x
Fx0 (x) =
c
Paola
Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 14/15
Z
x
f (t)dt
x0
Funzione
integrale
cap9b.pdf
35
Funzioni Lipschitziane
Def. Sia I ⊂ R un intervallo e sia f : I → R. Diciamo che f `e
lipschitziana se ∃L ≥ 0:
|f (x2 ) − f (x1 )| ≤ L|x2 − x1 |,
∀x1 , x2 ∈ I
f (x2 ) − f (x1 ) ≤ L, cio`e
o equivalentemente (quando x1 6= x2 ) se x2 − x1 f ha tutti i rapporti incrementali limitati da un numero reale
positivo L < +∞.
Se f `e lips con costante L, disegno le rette con coeff. angolare
+L e −L passanti per un punto del
grafico di f . Il grafico della funzione si trova nella parte di piano
colorata, qualunque sia il punto del
grafico che prendo come punto di
passaggio di entrambe le due rette.
(lips.m)
c
Paola
Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 14/15
Funzione integrale
cap9b.pdf
36
y
y
f (x) =
√
3
x
x
x
Oss. Se la funzione ha un punto a tangenza verticale in un
intervallo I , allora non `e lips. su I . Se L `e finito, la regione di
piano colorata esclude necessariamente dei punti del grafico (vicino
al punto a tang. verticale)
Oss. Se una funzione ha punti angolosi in I (ma non punti a
tangenza verticale), allora `e lips. su I (figura a destra).
Teorema.
Se f `e lipschitziana in un intervallo I , allora ivi `e anche continua.
c
Paola
Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 14/15
Funzione integrale
cap9b.pdf
37
... torniamo alla funzione integrale:
Teorema.
Sia f : [a, b] → R, integrabile e sia F(x) una funzione integrale di
f . Allora:
1) se f `e limitata su [a, b], allora F `e lips su [a, b] (⇒ f continua
in [a, b]).
2) se f ≥ 0 su [a, b], allora F `e crescente su [a, b]
c
Paola
Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 14/15
Funzione integrale
cap9b.pdf
38
Primo teorema fondamentale del calcolo integrale
Sia f : [a,
→ R continua. Sia x0 fissato in [a, b] e sia
Z b]
x
f (t)dt una sua funzione integrale.
F(x) =
x0
Allora F `e derivabile in [a, b] e si ha
F ′ (x) = f (x)
, ∀x ∈ [a, b]
ovvero la funzione integrale di f `e una primitiva di f su [a, b] .
Dim. Sappiamo che F `e derivabile in [a, b] se `e derivabile in ogni
punto x ∈ [a, b]. Prendo un generico punto x ∈ [a, b] e dimostro
F(x) − F(x)
.
che F `e derivabile in x, cio`e che esiste finito lim
x→x
x −x
Prendo x > x (il ragionamento per x < x `e analogo).
c
Paola
Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 14/15
Teoremi fondamentali del calcolo integrale
cap9b.pdf
39
F(x) − F(x)
lim
x→x
x −x
Z x
Z x
1
= lim
f (t)dt −
f (t)dt
x→x x − x
x0
Z xx0
1
f (t)dt
= lim
x→x Z
x −x x
x
= lim − f (t)dt.
x→x x
Per il teorema della media integrale, poich`e f `e continua,
Z x
∃z ∈ (x, x) t.c. − f (t)dt = f (z)
x
e, sempre perch`e f `e continua, si ha
lim f (z) = f (x),
z→x
quindi
Z x
F(x) − F(x)
= lim − f (t)dt = lim f (z) = f (x).
lim
x→x x
z→x
x→x
x −x
c
Paola
Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 14/15
Teoremi fondamentali del calcolo integrale
cap9b.pdf
40
Poich`e f `e continua in [a, b], ivi `e anche limitata (per Weierstrass)
F(x) − F(x)
e quindi f (x) ∈ R. Allora anche lim
∈Re
x→x
x −x
F(x) − F(x)
= f (x).
F ′ (x) = lim
x→x
x −x
Poich`e x era arbitrario in [a, b], concludiamo che F `e derivabile in
ogni punto x ∈ [a, b] e F ′ (x) = f (x), cio‘e F(x) `e una primitiva di
f (x).
Corollario. Se x `e un punto di salto per f allora x `e un punto
angoloso per F.
c
Paola
Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 14/15
Teoremi fondamentali del calcolo integrale
cap9b.pdf
41
Secondo Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale
Sia f continua su [a, b] e sia G una primitiva di f su [a, b]. Allora
Z
a
b
f (x)dx = [G (x)]ba = G (x)|ba = G (b) − G (a)
Dim. Sia Fa (x) la funzione integrale Fa (x) =
Z
x
f (t)dt. Il primo
a
teorema fondamentale del calcolo ci garantisce che Fa (x) `e una
primitiva di f (x).
Sia G una primitiva qualsiasi e ricordiamo che tutte le primitive di
f differiscono di una costante additiva, quindi esiste c ∈ R tale che
Fa (x) = G (x) + c. Allora
Z b
f (t)dt = Fa (b) = Fa (b) − Fa (a)
| {z }
a
=0
= (G (b) + c) − (G (a) + c) = G (b) − G (a)
c
Paola
Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 14/15
Teoremi fondamentali del calcolo integrale
cap9b.pdf
42
Conseguenza del Teorema fondamentale del Calcolo
Integrale.
Sia f derivabile in un intervallo I . Per ogni x, x0 ∈ I , si ha
Z x
f (x) = f (x0 ) +
f ′ (t)dt
x0
Dim. Sia F una primitiva di f˜, allora ∃c ∈ R : F (x) = Fx0 (x) + c.
Abbiamo anzitutto che F ′ (x) = Fx′ 0 (x) = f˜(x) e poi:
F (x) − F (x0 ) = Z
(Fx0 (x) + c) −Z (Fx0 (x0 ) + c) Z
= Fx0 (x) =
x
x
x
f˜(x)dx =
=
Fx′ 0 (t)dt =
F ′ (t)dt
x0
x0
ovvero
F (x) = F (x0 ) +
Z
x0
x
F ′ (t)dt
x0
Poich`e ogni funzione derivabile `e primitiva della sua derivata ,
basta sostituire f ad F nell’ultima formula scritta e si ottiene la
tesi.
c
Paola
Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 14/15
Teoremi fondamentali del calcolo integrale
cap9b.pdf
43
Regole di integrazione
Integrazione per parti
Se f , g ∈ C 1 ([a, b]), allora
Z
Z b
′
f (x) g (x)dx = f (b)g (b) − f (a)g (a) −
a
b
f (x)g ′ (x)dx
a
Integrazione per sostituzione
Sia ϕ : [α, β] → [a, b], ϕ ∈ C 1 ([α, β]). Sia f (y ) continua su [a, b]
e sia F (y ) una sua primitiva. Allora
Z
β
′
f (ϕ(x))ϕ (x)dx =
α
Z
ϕ(β)
f (y )dy
ϕ(α)
Se ϕ `e biettiva, allora si ha anche
Z
b
f (y )dy =
a
c
Paola
Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 14/15
Z
ϕ−1 (b)
f (ϕ(x))ϕ′ (x)dx
ϕ−1 (a)
Teoremi fondamentali del calcolo integrale
cap9b.pdf
44
Integrazione di funzioni con simmetria
Teorema (utilissimo per evitare conti inutili)
Sia a ∈ R+ e sia f integrabile su [−a, a].
Z a
Z a
f (x)dx
f (x)dx = 2
Se f `e pari, allora
0
−a
Z a
Se f `e dispari, allora
f (x)dx = 0.
−a
c
Paola
Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 14/15
Teoremi fondamentali del calcolo integrale
cap9b.pdf
45
Funzioni integrabili non elementarmente
Alcune funzioni sono integrabili in senso indefinito, cio`e sono la
derivata di una primitiva, ma la loro primitiva non `e esprimibile in
termini di funzioni elementari. Diciamo allora che queste funzioni
sono integrabili ma non elementarmente.
Esempi:
cos(x) sin(x)
sin(x) cos(x) e x x 2 −x 2 log x
,
,
,e ,e ,
, cos(x 2 ), sin(x 2 ),
,
x
x
x
1+x
x2
x2
sono tutte funzioni continue sul loro dominio e quindi integrabili
(grazie al teorema fondamentale del calcolo integrale), ma non
possiamo scrivere le loro primitive in termini di funzioni elementari.
Tuttavia la primitiva `e sempre esprimibile mediante una funzione
integrale.
Sia I ⊂ R un intervallo contenuto nel dominio di f . Scelto x0 ∈ I ,
una primitiva di f `e
Z x
F (x) =
f (t)dt
∀x ∈ I .
c
Paola
Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 14/15
x0
Teoremi fondamentali del calcolo integrale
cap9b.pdf
46
Esempio.
sin(t)
f (t) =
. Esprimo una qualsiasi primitiva di f come funzione
t
integrale.
Possiamo prendere x0 = 1/2(6= 0). Una primitiva di f `e
Z x
sin(t)
dt
F (x) =
t
1/2
Non aggiungo la costante dell’integrazione indefinita perch`e questo
`e un integrale definito e la scelta del punto x0 = 1/2 fissa una e
una sola tra tutte le primitive possibili: quella che in x = 1/2 vale
0.
4
3.5
3
2.5
F(x)
2
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
1
2
3
c
Paola
Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 14/15
4
5
6
x
7
8
9
10
Teoremi fondamentali del calcolo integrale
cap9b.pdf
47
Riferimenti bibliografici
Canuto, Tabacco. Cap 9.3, 9.5, 9.6, 9.7, 9.8, 9.9
c
Paola
Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 14/15
Teoremi fondamentali del calcolo integrale
cap9b.pdf
48
© Copyright 2024 ExpyDoc
