Virginie Ehrlacher et Gabriel Stoltz
Analyse spectrale
14 janvier 2015
Cours ENPC - IMI - 2ème année
Table des matières
Partie I Transformée de Fourier et applications
1
2
Transformation de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1 Transformation de Fourier dans L1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Définition et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Transformée de Fourier inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Transformation de Fourier des fonctions indéfiniment dérivables à décroissance
rapide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Définition de l’espace S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Transformation de Fourier dans S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 L’espace des distributions tempérées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Définition des distributions tempérées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Convergence et dérivation dans S ′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Distributions tempérées particulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4 Transformation de Fourier dans S ′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Applications aux espaces de Lebesgue et de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Isométrie de la transformation de Fourier dans L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Espaces de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Résolution d’équations aux dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Equation de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Equation de Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Fonctions caractéristiques et transformées de Fourier de mesures . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.1 Premières propriétés des fonctions caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.2 Le théorème de Bochner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Formule de Lévy-Khintchine et processus de Lévy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
4
4
6
8
9
10
11
12
12
14
15
17
19
19
23
28
28
29
31
31
33
40
Echantillonnage et transformée de Fourier discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
Partie II Introduction à la théorie spectrale
3
Introduction à la théorie spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1 Opérateurs linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Opérateurs bornés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3 Inverse d’un opérateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.4 Adjoint d’un opérateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Théorie spectrale des opérateurs bornés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
50
50
50
54
55
58
VI
Table des matières
3.2.1 Théorie générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Cas des opérateurs bornés autoadjoints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Quelques éléments sur la théorie spectrale des opérateurs non bornés . . . . . .
3.2.4 Invariance par transformation unitaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Opérateurs compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Rappels et compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Définition et premières propriétés des opérateurs compacts . . . . . . . . . . . . . .
3.3.3 Le théorème de Rellich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.4 Théorie spectrale des opérateurs compact autoadjoints . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.5 Opérateurs à résolvante compacte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Equation de la chaleur et équation des ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 Equation de Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.3 Equation de Fokker-Planck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Une introduction à la théorie des semi-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Semi-groupes uniformément continus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2 Semi-groupes fortement continus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.3 Générateur infinitésimal d’un semi-groupe fortement continu . . . . . . . . . . . . .
3.5.4 Caractérisation des générateurs infinitésimaux des semi-groupes fortement
continus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
63
66
66
67
67
68
72
74
78
78
78
81
84
85
85
87
89
Rappels et compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1 Distributions à support compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
93
Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
91
Partie I
Transformée de Fourier et applications
1
Transformation de Fourier
1.1 Transformation de Fourier dans L1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Définition et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Transformée de Fourier inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Transformation de Fourier des fonctions indéfiniment dérivables à
décroissance rapide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Définition de l’espace S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Transformation de Fourier dans S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 L’espace des distributions tempérées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Définition des distributions tempérées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Convergence et dérivation dans S ′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Distributions tempérées particulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4 Transformation de Fourier dans S ′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Applications aux espaces de Lebesgue et de Sobolev . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Isométrie de la transformation de Fourier dans L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Espaces de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Résolution d’équations aux dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Equation de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Equation de Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Fonctions caractéristiques et transformées de Fourier de mesures . .
1.6.1 Premières propriétés des fonctions caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.2 Le théorème de Bochner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Formule de Lévy-Khintchine et processus de Lévy . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
6
8
9
10
11
12
12
14
15
17
19
19
23
28
28
29
31
31
33
40
La transformation de Fourier a une définition simple pour des fonctions intégrables, et bon
nombre d’ouvrages commencent par définir cette opération pour des fonctions L1 (Rn ), avant de
considérer d’autres espaces fonctionnels. Nous suivons dans ce chapitre une approche classique,
suivie par exemple dans [6], qui consiste à définir la transformation de Fourier sur des espaces de
fonctions régulières et décroissant rapidement (espaces de Schwartz), puis, par dualité, à définir
la transformée de Fourier dans un sous-espace des distributions (distributions tempérées). De
nombreuses applications et des résultats supplémentaires peuvent alors être déduits de ce cadre
général pour des espaces fonctionnels particuliers – notamment les espaces de Lebesgue Lp (Rn )
(pour 1 6 p 6 +∞) et les espaces de Sobolev Hs (Rn ) (pour s ∈ R).
4
1 Transformation de Fourier
1.1 Transformation de Fourier dans L1
1.1.1 Définition et premières propriétés
Définition 1.1 (Transformée de Fourier des fonctions intégrables). Soit f ∈ L1 (Rn ). On
appelle transformée de Fourier de f la fonction notée fˆ définie en tout point ξ ∈ Rn par
ˆ
fˆ(ξ) =
f (x) e−iξ·x dx.
(1.1)
Rn
Proposition 1.1 (Propriétés de la transformée de Fourier dans L1 ). Soit f ∈ L1 (Rn ). La
transformée de Fourier de f vérifie les propriétés suivantes :
6 kf kL1 ;
(1) fˆ ∈ L∞ (Rn ) et fˆ
L∞
(2) fˆ ∈ C 0 (Rn ) et fˆ tend vers 0 à l’infini ;
Preuve. La preuve de cette proposition repose sur des techniques classiques de la théorie de l’intégration. Pour tout ξ ∈ Rn ,
ˆ
ˆ
ˆ −iξ·x
f (x) e
dx 6
|f (x)| dx = kf kL1 ,
f (ξ) = Rn
Rn
ce qui prouve la première assertion.
La continuité de la fonction ξ 7→ fˆ(ξ) repose sur la continuité de l’application ξ 7→ f (x) e−iξ·x
à x fixé, associée à un théorème de continuité des fonctions définies par une intégrale (qui découle
lui-même directement du théorème de convergence dominée, voir [5, Théorème 4.45]).
Enfin, la limite de fˆ à l’infini peut s’obtenir par exemple par un argument de densité. Si
φ ∈ D(Rn ) (l’espace des fonctions régulières à support compact), on montre par intégration par
parties que
ˆ
ˆ
−ix·ξ
φ(x) e−ix·ξ dx,
dx = iξj
∂xj φ(x) e
Rn
Rn
d’où
ˆ
|ξj | Rn
φ(x) e
−ix·ξ
ˆ
dx 6
Rn
∂x φ(x) dx 6
j
ˆ
Rn
n
X
k=1
!
|∂xk φ(x)| dx.
Ainsi, en sommant, et avec la notation |ξ| = |ξ1 | + · · · + |ξn |,
!
ˆ
n
X
1
ˆ |∂xk φ(x)| dx −−−−−→ 0.
φ(ξ) 6
|ξ| Rn
|ξ|→+∞
k=1
Ensuite, par densité de D(Rn ) dans L1 (Rn ) (pour la norme L1 ), on peut trouver, pour tout
f ∈ L1 (Rn ), une suite (φk )k∈N de fonctions de D(Rn ) qui converge en norme L1 vers f . En
utilisant la première assertion de la proposition, il résulte que
ˆ ˆ f − φk ∞ 6 kf − φk kL1 −−−−−→ 0.
L
k→+∞
Cela signifie donc que la suite de fonctions (φˆk )k∈N converge uniformément sur Rn vers la fonc⊓
tion fˆ. Comme chaque φˆk tend vers 0 à l’infini, il en est de même pour fˆ.
⊔
Corollaire 1.1. La transformée de Fourier F : f 7→ fˆ est une application linéaire continue de
L1 (Rn ) sur L∞ (Rn ) et
|||F |||L(L1 (Rn ),L∞ (Rn )) = 1.
1.1 Transformation de Fourier dans L1
5
Preuve. Il est clair que l’application F est linéaire. On déduit en outre de la première assertion
de la Proposition 1.1 que F envoie L1 (Rn ) dans L∞ (Rn ) et que pour tout f ∈ L1 (Rn ),
ˆ
f ∞ 6 kf kL1 .
L
Ceci montre que F est continue de L1 (Rn ) dans L∞ (Rn ), et |||F |||L(L1 (Rn ),L∞ (Rn )) 6 1.
Pour voir que la norme triple de F est exactement égale à 1, il suffit de remarquer que pour
tout f ∈ L1 (Rn ) avec f (x) > 0 pour presque tout x ∈ Rn ,
ˆ
kf kL1 =
f (x) dx = (F f )(0) 6 fˆ ∞ ,
L
Rn
⊓
⊔
ce qui montre l’inégalité inverse |||F |||L(L1 (Rn ),L∞ (Rn )) > 1.
Un des intérêts majeurs de la transformation de Fourier est que celle-ci permet de transformer
certaines opérations linéaires fondamentales (dérivation, convolution, translation) en des opérations plus simples. Il existe aussi d’autres propriétés structurelles, pour les dilatations, translations
ou produits tensoriels.
Théorème 1.1 (Transformée de Fourier et dérivation). Si f ∈ L1 (Rn ) et
alors
∂f
∈ L1 (Rn ),
∂xj
‘
∂f
(ξ) = i ξj fˆ(ξ).
∂xj
Si f ∈ L1 (Rn ) et x 7→ xj f (x) ∈ L1 (Rn ) pour tout 1 6 j 6 n, alors F f ∈ C1 (Rn ) et
’
ˆ
(x
j f )(ξ) = i ∂ξj f (ξ).
Preuve. La preuve de la seconde assertion repose sur le théorème de dérivation des intégrales
à paramètres (voir [5, Théorème 4.46]). Pour la première assertion, on procède à nouveau par
densité. Le résultat est immédiat pour une fonction régulière à support compact, grâce à une
intégration par parties. Le résultat s’en suit par densité des fonctions C ∞ (Rn ) à support compact
dans l’ensemble des fonctions intégrables de dérivées intégrables (voir par exemple [3, Section IX]).
On rappelle que la convolution de deux fonctions f, g est définie par
ˆ
ˆ
(f ⋆ g) (x) =
f (x − y) g(y) dy =
f (y) g(x − y) dy.
Rn
Rn
Théorème 1.2 (Transformée de Fourier et convolution). Si f ∈ L1 (Rn ) et g ∈ L1 (Rn ),
alors f ⋆ g ∈ L1 (Rn ) et
f‘
⋆ g = fˆ gˆ.
Preuve. Posons h = f ⋆ g. Alors
h(x) =
ˆ
Rn
f (y) g(x − y) dy
est définie presque partout et de classe L1 par le théorème de Fubini. En effet, posons F (x, y) =
f (y) g(x − y). Alors F est mesurable et
ˆ ˆ
ň
ã ň
ã
|F (x, y)| dx dy =
|f |
|g| < +∞,
Rn
Rn
Rn
Rn
en effectuant d’abord l’intégration en x puis celle en y (ce qui est légitime car on travaille avec des
fonctions positives). On vérifie ensuite facilement que
6
1 Transformation de Fourier
khkL1 (Rn ) 6 kF kL1 (Rn ×Rn ) .
On peut ainsi considérer la transformée de Fourier de h. Par le théorème de Fubini toujours, et
avec le changement de variable z = x − y,
ˆ ň
ˆ ˆ
ã
ˆ
h(ξ)
=
f (y) g(x − y) dy e−ix·ξ dx =
f (y) g(x − y) e−ix·ξ dx dy
Rn
Rn
Rn Rn
ˆ ˆ
=
f (y) e−iy·ξ g(x − y) e−i(x−y)·ξ dx dy
Rn Rn
ˆ
ň
ã
−iy·ξ
−i(x−y)·ξ
=
f (y) e
g(x − y) e
dx dy
Rn
Rn
ň
ã ň
ã
=
f (y) e−iy·ξ dy
g(z) e−iz·ξ dz
Rn
Rn
= fˆ(ξ) gˆ(ξ),
⊓
⊔
qui est bien la relation annoncée.
Théorème 1.3. Soit f ∈ L1 (Rn ).
(i) pour a ∈ Rn , on note τa la translation de vecteur a, i.e. τa φ(x) = φ(x − a). Alors,
−iξ·a ˆ
τd
f,
af = e
et
ia·x f = τ fˆ ;
e÷
a
(ii) pour la conjugaison complexe,
”
f (ξ) = fˆ (−ξ) ;
(iii) pour λ ∈ R∗ , la transformée de Fourier de fλ (x) = f (λx) est la fonction
Å ã
1 ˆ ξ
f
;
fˆλ : ξ 7→
|λ|n
λ
(1.2)
(iv) Si f est un produit tensoriel f (x) = f1 (x1 ) f2 (x2 ) avec x = (x1 , x2 ), xi ∈ Rni , n = n1 + n2 ,
et fi ∈ L1 (Rni ), alors
fˆ(ξ) = fˆ1 (ξ1 ) fˆ2 (ξ2 ).
(1.3)
Les trois premières propriétés se montrent très simplement (par des changements de variables :
x 7→ x − a pour la première, x 7→ λx pour la troisième ; et un calcul direct pour la deuxième),
la dernière propriété étant une conséquence directe du théorème de Fubini. Notons que le choix
λ = −1 dans la troisième propriété permet de discuter la parité de la transformée de Fourier de
fonctions paires ou impaires, la transformée de Fourier ayant la même parité que la fonction.
1.1.2 Exemples
Commençons par un résultat très utile pour la suite.
Proposition 1.2 (Transformée de Fourier des gaussiennes). Soit α > 0. On a la relation
◊
e−α|x|2 (ξ) =
π n/2
α
e−|ξ|
2
/4α
.
1.1 Transformation de Fourier dans L1
7
On déduit de la proposition précédente que la transformée de Fourier de la gaussienne
Å
ã
|x|2
g(x) = C exp − 2
2σ
de variance σ 2 est la gaussienne
gˆ(ξ) = 2πσ 2
n/2
Å
ã
σ 2 |ξ|2
C exp −
2
de variance σ −2 . La transformée de Fourier d’une gaussienne très piquée sera donc très plate et
réciproquement.
Preuve. Commençons par prouver ce résultat en dimension 1. La transformée de Fourier
ˆ
2
fˆ(ξ) =
e−α x e−ixξ dx
R
est de classe C1 (et même C∞ ), et une intégration par parties montre que cette fonction est solution
sur R de l’équation différentielle du premier ordre
ξ ˆ
f (ξ) = 0.
fˆ′ (ξ) +
2α
2
On en déduit donc que fˆ(ξ) = C e−ξ /4α , où C est une constante dont on obtient la valeur par
…
ˆ
π
−αx2
ˆ
f (0) = C =
.
e
dx =
α
R
Ce résultat est étendu à la dimension n > 2 en écrivant
2
e−α|x| =
n
Y
2
e−αxj ,
j=1
et en utilisant le résultat de tensorisation (1.3).
⊓
⊔
A titre d’entraînement, nous vous recommandons de calculer quelques transformées de Fourier
ci-dessous.
Exercice 1.1. Soit R > 0. Montrer que la transformée de Fourier de l’application
®
1 si |x| 6 R,
x ∈ R 7→
0 si |x| > R,
est la fonction ξ 7→
2 sin(Rξ)
.
ξ
Exercice 1.2. Soit R > 0. Montrer que la transformée de Fourier de l’application

|x|

si |x| 6 R,
1−
x ∈ R 7→
R
0
si |x| > R,
Å
est la fonction ξ 7→ R
sin(Rξ/2)
Rξ/2
ã2
.
Exercice 1.3. Soit α > 0. Montrer que la transformée de Fourier de l’application x ∈ R 7→ e−α|x|
2α
.
est la fonction ξ 7→ 2
α + ξ2
8
1 Transformation de Fourier
1.1.3 Transformée de Fourier inverse
Définition 1.2 (Transformée de Fourier inverse). Soit f ∈ L1 (Rn ). On note fˇ la fonction
définie en tout ξ ∈ Rn par
ˆ
1
f (x) eiξ·x dx.
(1.4)
fˇ(ξ) =
(2π)n Rn
Notons que la transformation F −1 : f 7→ fˇ est très similaire à la transformation F définie
par (1.1), à deux changements près : le signe dans l’exponentielle, et le facteur de normalisation
(2π)−n .
Nous pouvons énonçer maintenant le théorème d’inversion de Fourier dans L1 , qui sera généralisé par la suite à certaines distributions.
Théorème 1.4. Soit f ∈ L1 (Rn ) telle que fˆ soit aussi dans L1 (Rn ). Alors
ˇ
f = fˆ
et
(1.5)
ˆˇ
f = f,
(1.6)
1
n
ces égalités étant entendues en tant que fonctions de L (R ).
L’espace des fonctions L1 dont la transformée de Fourier est aussi dans L1 est donc stable par
transformation de Fourier et la transformation F −1 est l’inverse de la transformation de Fourier
F sur cet espace. Cet espace n’est pas vide car il contient par exemple les gaussiennes. Notons
que la formule (1.5) s’écrit aussi
ˆ
1
f (x) =
fˆ(ξ) eiξ·x dξ.
(2π)n Rn
Preuve. On voit déjà qu’il suffit de montrer l’une des deux égalités, par exemple la première
(l’autre s’en déduit en remplaçant f (x) par f (−x)). La preuve qui suit est un peu pénible (dans son
argument final de densité), et cela justifiera pleinement l’introduction des distributions tempérées,
qui permettront de montrer très rapidement et très efficacement le résultat.
Commençons par montrer le résultat pour φ ∈ D(Rn ) donnée. Soit ε > 0. On considère
ˆ
1
ˆ eix·ξ dξ
φε (x) =
χ(εξ) φ(ξ)
(2π)n Rn
où la fonction χ(x) = e−|x|
2
/2
est une gaussienne de variance 1. Montrons tout d’abord que le
ˇ
membre de droite de l’égalité ci-dessus tend simplement vers φˆ par le théorème de convergence doˆ e−ix·ξ . La convergence ponctuelle
minée de Lebesgue appliqué à la suite de fonctions ξ 7→ χ(εξ) φ(ξ)
est évidente, le seul point délicat est de montrer que la suite de fonctions est bornée uniformément
ˆ Ce dernier point se montre facilement en généralisant la preuve du
par la fonction intégrable |φ|.
Théorème 1.1, qui permet de montrer que, pour tout m > 0, il existe Cm > 0 tel que
ˆ
|φ(ξ)|
6
Cm
.
1 + |ξ|m
Montrons ensuite que φε (x) → φ(x). Comme la fonction (ξ, y) 7→ χ(εξ) φ(y) est dans L1 (Rn × Rn ),
une application du théorème de Fubini donne
ˆ
ň
ã
1
−iy·ξ
φε (x) =
χ(εξ)
φ(y) e
dy eix·ξ dξ
(2π)n Rn
Rn
ˆ
ň
ã
1
i(x−y)·ξ
φ(y)
χ(εξ) e
dξ dy
=
(2π)n Rn
Rn
ˆ
y−x
1
φ(y) χ
ˆ
dy,
=
(2πε)n Rn
ε
1.2 Transformation de Fourier des fonctions indéfiniment dérivables à décroissance rapide
où on a utilisé la propriété (1.2). Avec le changement de variables u = (x − y)/ε,
ˆ
ˆ
1
1
φε (x) =
φ(x + εu) χ(u)
ˆ
du −→ φ(x)
χ(u)
ˆ
du
(2π)n Rn
(2π)n Rn
9
(1.7)
lorsque ε → 0, à nouveau par une application du théorème de convergence dominée de Lebesgue.
2
La Proposition 1.2 montre que χ(u)
ˆ
= (2π)n/2 e−|u| /2 , et donc
ˆ
ˆ
2
1
1
e−|u| /2 du = 1.
χ(u)
ˆ
du
=
n
n/2
(2π) Rn
(2π)
Rn
ˇˆ
cette convergence ayant lieu en tout
Ainsi, on a bien la convergence simple φε (x) → φ(x) = φ(x),
n
x ∈ R . On peut également montrer la convergence de φε vers φ dans L1 (Rn ) en remarquant que
ˆ ˆ
ˆ
2
1
1
−|u|2 /2
kφε − φkL1 6
|φ(x + εu) − φ(x)| e
dx du =
dφ (εu) e−|u| /2 du,
(2π)n/2 Rn Rn
(2π)n/2 Rn
en application du théorème de Fubini, et où on a introduit dφ (v) = kφ(· + v) − φkL1 . On note que
0 6 dφ (v) 6 2kφkL1 et que dφ (η) → 0 lorsque η → 0 (par un théorème de convergence dominée).
On en déduit, à nouveau par un théorème de convergence dominée, que kφε − φkL1 → 0 lorsque
ε → 0.
Pour conclure dans le cas général d’une f ∈ L1 (Rn ) telle que fˆ ∈ L1 (Rn ), on procède par
densité, en définissant toujours
ˆ
1
χ(εξ) fˆ(ξ) eix·ξ dξ
fε (x) =
(2π)n Rn
ˇ
La convergence fε → fˆ intervient par exemple au sens des distributions. En effet, en appliquant
un théorème de convergence dominée,
ˆ
ˆ
ˇ
fˆϕ
fε ϕ →
Rn
Rn
n
pour toute fonction ϕ ∈ D(R ), l’espace des fonctions C ∞ à support compact.
La convergence fε → f est à comprendre dans L1 . Pour montrer ceci, considérons η > 0. On
choisit φ ∈ C ∞ à support compact telle que kf − φkL1 6 η/3. Alors,
kfε − f kL1 6 kfε − φε kL1 + kφε − φkL1 + kφ − f kL1 .
Le second terme tend vers 0 lorsque ε → 0, et est donc plus petit que η/3 si ε 6 εη . Pour le
premier terme, on écrit
ˆ
ˆ ˆ
1
|fε (x) − φε (x)| dx 6
|f (x + εu) − φ(x + εu)| χ(u)
ˆ
du dx
(2π)n Rn Rn
Rn
ˆ
η
kf − φkL1
χ(u)
ˆ
du = kf − φkL1 6
6
(2π)n
3
n
R
en appliquant le théorème de Fubini. Ainsi, kfε − f kL1 6 η si ε 6 εη , ce qui montre bien la
convergence de fε vers f en norme L1 (Rn ). A fortiori, on a la convergence au sens des distributions.
L’unicité de la limite au sens des distributions montre que f = fˆˇ au sens des distributions, et
⊓
finalement dans L1 car f ∈ L1 (voir [5, Théorème 7.1]).
⊔
1.2 Transformation de Fourier des fonctions indéfiniment dérivables à
décroissance rapide
L’espace de Schwartz est composé de fonctions régulières qui décroissent rapidement (plus que
polynômialement) à l’infini. Une propriété très importante de cet espace est qu’il est stable par
la transformation de Fourier, contrairement à l’espace des fonctions intégrables, et contrairement
aussi à l’espace des fonctions tests régulières à support compact D(Rn ). Il servira donc par la suite
d’espace de fonctions test pour définir la transformation de Fourier de distributions particulières.
10
1 Transformation de Fourier
1.2.1 Définition de l’espace S
Pour des multi-indices α = (α1 , . . . , αn ) ∈ Nn et β = (β1 , . . . , βn ) ∈ Nn , on définit |α| =
β1
αn
βn
1 α2
α1 + · · · + αn , et les notations xβ et ∂ β signifient respectivement xα
1 x2 · · · xn et ∂x1 · · · ∂xn . Par
ailleurs, α! = α1 ! . . . αn ! et α 6 β si et seulement si αi 6 βi pour tout 1 6 i 6 n.
Définition 1.3 (Espace de Schwartz). On dit qu’une fonction φ : Rn → R de classe C∞ est
à décroissance rapide si pour tout p > 0,
Np (φ) = sup sup kxα ∂ β φkL∞ < +∞.
|α|6p |β|6p
On note S (Rn ) l’espace vectoriel des fonctions C ∞ à décroissance rapide.
Exercice 1.4. Vérifier que les gaussiennes sont dans S (Rn ).
Définition 1.4 (Convergence dans S ). On dit qu’une suite (φn )n∈N de fonctions de S (Rn )
converge dans S(Rn ) vers φ ∈ S (Rn ) si et seulement si
∀p ∈ N,
Np (φn − φ) −−−−−→ 0.
n→+∞
Remarque 1.1 (Topologie de l’espace de Schwartz). L’application φ ∈ S (Rn ) 7→ kφkα,β =
kxα ∂ β φkL∞ est une semi-norme, car
(1) pour tout φ ∈ S (Rn ), kφkα,β > 0
(2) pour tout (φ, ψ) ∈ S (Rn )2 , kφ + ψkα,β 6 kφkα,β + kψkα,β ;
(3) pour λ ∈ R, kλ φkα,β = |λ| kφkα,β .
De plus, S (Rn ) est séparé car la famille dénombrable de semi-normes (k · kα,β )α,β∈Nn est telle
que, si kφkα,β = 0 pour tout α, β ∈ Nn , alors φ = 0. Ainsi, l’espace vectoriel S (Rn ) est ce qu’on
appelle un espace localement convexe, qu’on peut munir de la distance
ρ(φ, ψ) =
X
aα,β
α,β∈Nn
kφ − ψkα,β
,
1 + kφ − ψkα,β
où les coefficients (aα,β )α,β∈Nn sont tels que
aα,β > 0,
X
aα,β = 1.
α,β∈Nn
On peut également montrer que S (Rn ) est complet pour cette distance, ce qui en fait un espace
de Fréchet. On pourra consulter [10, Chapitre 5] pour plus de précisions à ce sujet.
On a évidemment D(Rn ) ⊂ S (Rn ). Mais on a en fait un résultat plus fort.
Proposition 1.3. L’espace D(Rn ) est dense dans S (Rn ) (pour la topologie associée à S ).
Preuve. Soit φ ∈ S (Rn ) et χ ∈ D(Rn ), à valeurs dans [0, 1], telle que χ(x) = 1 sur la boule unité
B(0, 1). On considère la suite (φk )k∈N∗ définie par
x
φk (x) = φ(x) χ
.
k
Il est clair que pour tout k ∈ N∗ , φk ∈ D(Rn ). Pour tout β ∈ Nn , la formule de Leibniz montre
que
x
h
x i
X Åβ ã 1
β−γ
γ
∂
φ(x)
∂
χ
−
.
∂ β (φ − φk )(x) = ∂ β φ(x) 1 − χ
γ k |γ|
k
k
|γ|>1, γ6β
Il existe donc une constante Cα,β < +∞ telle que
1.2 Transformation de Fourier des fonctions indéfiniment dérivables à décroissance rapide
α β
x ∂ (φ − φk )
L∞
C
α,β
6 sup xα ∂ β φ(x) +
k
|x|>k
X
|γ|>1, γ6β
α β−γ φ
x ∂
L∞
11
.
Pour α et β fixés, chacun des deux termes du membre de droite de l’inégalité ci-dessus tend vers
0 lorsque k tend vers +∞. On a donc pour tout α > 0 et β > 0,
α β
x ∂ (φ − φn ) ∞ −→ 0
L
⊓
⊔
lorsque k → +∞. La suite (φn )n>1 converge donc vers φ dans S (Rn ).
Concluons cette section par un résultat utile pour la suite.
Proposition 1.4. L’espace S (Rn ) est stable par dérivation et par multiplication par des polynômes. De plus il existe une constante Cn telle que, pour tout p ∈ N,
(1.8)
∀φ ∈ S (Rn ),
sup sup xα ∂ β φ 1 6 Cn Np+n+1 (φ).
|α|6p |β|6p
L
Preuve. Les premières affirmations sont des conséquences directes de la Définition 1.3. Pour montrer l’inégalité (1.8), commençons par remarquer que
ˆ −1
X
1+
dx < +∞.
|xj |n+1
I=
Rn
16j6n
Soit alors p > 0. Pour tout |α| 6 p et |β| 6 p, on a
Ñ
é
X
1
α β n+1
α β
X
|xj |
x ∂ φ(x)
x ∂ φ 1 = 1 +
n+1 L
1
+
|x
|
j
16j6n
1
16j6n
L
é
Ñ
X
1
n+1
α
β
X
6
1
+
|x
|
x
∂
φ(x)
j
n+1 |x
|
1
+
j
16j6n
L∞ 16j6n
L1
6 Cn Np+n+1 (φ),
⊓
⊔
avec par exemple Cn = (n + 1)I.
Exercice 1.5. En corollaire de ce résultat, montrer que S (Rn ) ⊂ Lp (Rn ) pour tout 1 6 p 6 +∞,
et que S (Rn ) est dense dans Lp (Rn ) si 1 6 p < +∞.
Correction 1.1. On a bien sûr S (Rn ) ⊂ L∞ (Rn ) par définition de S (Rn ), et S (Rn ) ⊂ L1 (Rn )
par le résultat précédent. Pour le cas 1 < p < +∞, on écrit
ˆ
ˆ
p
p−1
p
1/p
1−1/p
kφkLp =
|φ| 6 kφkL∞
|φ| = kφkp−1
Nn+1 (φ)1/p .
(1.9)
L∞ kφkL1 6 Cn N0 (φ)
Rn
Rn
La propriété de densité est une conséquence directe de l’inclusion D(Rn ) ⊂ S (Rn ) et de la densité
de D(Rn ) dans Lp (Rn ) si 1 6 p < +∞.
1.2.2 Transformation de Fourier dans S
Toute fonction de S (Rn ) étant intégrable, on peut définir la transformation de Fourier sur
le sous-espace S (Rn ) ⊂ L1 (Rn ), dense dans L1 (Rn ), en restreignant la Définition 1.1 à l’espace S (Rn ). Le point remarquable est que la transformée de Fourier d’une fonction de S (Rn )
est elle aussi dans S (Rn ).
12
1 Transformation de Fourier
Théorème 1.5. L’espace S (Rn ) est stable par transformée de Fourier, et pour tout p ∈ N il existe
′
telle que
une constante Cn,p
∀φ ∈ S (Rn ),
Ä ä
′
Np+n+1 (φ).
Np φˆ 6 Cn,p
De plus la transformée de Fourier F définit un isomorphisme séquentiellement bicontinu 1 de
S (Rn ) dans lui-même, d’inverse F −1 défini par (1.4).
Preuve. Soit p > 0. Pour tout |α| 6 p et |β| 6 p, plusieurs utilisations successives du Théorème 1.1
montrent que
Ÿ
α βˆ α β ξ ∂ φ(ξ) ∞ = ∂ x φ .
∞
L
L
Ensuite, la Proposition 1.1 et (1.8) donnent
′ ′
α βˆ ‹n,p sup sup xα ∂ β φ(x)
ξ ∂ φ(ξ) ∞ 6 ∂ α xβ φ(x) 1 6 C
L
L
|α′ |6p
|β ′ |6p
L1
′
6 Cn,p
Np+n+1 (φ).
On en déduit que la transformation de Fourier est un endomorphisme séquentiellement continu
sur S (Rn ). Le fait que pour tout φ ∈ S (Rn ),
ˇ
φˆ = φ
et
φˆˇ = φ,
est une conséquence directe du Théorème 1.4.
Bien noter qu’au contraire de S (Rn ), l’espace D(Rn ) n’est pas stable par transformation de
Fourier (ce résultat sera prouvé plus tard).
1.3 L’espace des distributions tempérées
1.3.1 Définition des distributions tempérées
Comme l’espace des fonctions test D(Rn ) n’est pas stable par transformation de Fourier, on a
dû introduire un espace de fonctions test plus grand, S (Rn ). Suivant la philosophie générale de la
théorie des distributions, on introduit le dual topologique de l’espace des fonctions test (l’ensemble
des formes linéaires sur l’espace des fonctions test), qui est par conséquent un sous-ensemble de
l’espace D′ (Rn ) des distributions.
Définition 1.5. On note S ′ (Rn ) l’espace vectoriel des formes linéaires sur S (Rn ) qui vérifient
la propriété de continuité suivante : il existe un entier p et une constante C tels que
∀φ ∈ S (Rn ),
| hT, φiS ′ ,S | 6 C Np (φ).
(1.10)
Les éléments de S ′ (Rn ) sont appelés les distributions tempérées, ou parfois les distributions à
croissance lente.
1. On rappelle qu’un isomorphisme est une application d’un espace vers un autre qui préserve la structure algébrique, dont l’inverse est bien défini et préserve lui aussi la structure algébrique. Ici, la préservation
de la structure algébrique revient simplement à dire que l’application est linéaire.
On rappelle également qu’une application T : E → F est séquentiellement continue si T un converge
dans F vers T u lorsque un converge vers u dans E. La convergence dans les espaces S (Rn ) n’étant, dans
la Définition 1.4, liée à aucune norme ou même distance, seule la convergence séquentielle fait sens en
effet.
La bicontinuité séquentielle signifie que T et son inverse sont toutes deux des applications séquentiellement continues.
1.3 L’espace des distributions tempérées
13
Théorème 1.6. Tout élément de S ′ (Rn ) définit une distribution.
Preuve. Soit T ∈ S ′ (Rn ), p ∈ N et C > 0 tels que
∀φ ∈ S (Rn ),
| hT, φiS ′ ,S | 6 CNp (φ).
Comme D(Rn ) est un sous-ensemble de S (Rn ), il est clair que T est une forme linéaire sur D(Rn ).
Soit K un compact de Rn et R > 1 tel que K ⊂ BR (0). On a, pour tout φ ∈ D(Rn ) à support
dans K,
|hT, φiS ′ ,S | 6 CNp (φ) = C sup sup xα ∂ β φ(x) ∞ 6 C Rp sup ∂ β φ ∞ .
L
|α|6p |β|6p
|β|6p
L
Ceci montre que T définit donc une distribution d’ordre inférieur ou égal à p.
⊓
⊔
Exercice 1.6. Montrer que δa (pour a ∈ Rn donné) est une distribution tempérée d’ordre 0, et
que la valeur principale est une distribution tempérée d’ordre 1 (exactement, i.e. elle ne peut pas
être d’ordre 0).
Correction 1.2. On a |hδa , φiS ′ ,S | = |φ(a)| 6 N0 (φ), ce qui prouve le premier résultat. La valeur
principale est définie par la limite suivante
ˆ 1
ˆ
ˆ
≠ Å ã ∑
1
φ(x) − φ(0)
φ(x)
φ(x)
vp
= lim
dx =
dx +
dx.
,φ
ε→0
x
x
x
′
−1
R\[−1,1] x
R\[−ε,ε]
S ,S
La première intégrale est bien définie car on peut écrire
ˆ
φ(x) − φ(0) 1 x ′ =
φ 6 sup |φ′ (x)| 6 N1 (φ).
x
x
x∈[−1,1]
0
Pour la seconde intégrale, on écrit
ˆ
ˆ
ˆ +∞
xφ(x) 1
φ(x) dx 6 2 sup |xφ(x)|
dx 6 2N1 (φ).
dx = R\[−1,1] x2
R\[−1,1] x
x2
x∈R
1
Ceci montre donc que la valeur principale est une distribution d’ordre au plus 1. Pour montrer
que cette distribution tempérée n’est pas d’ordre 0, on pourra se reporter à [5, Exercice 7.2], ou
considérer l’exemple simple suivant. On introduit une suite de fonctions (φn ) de S (Rn ), à valeurs
dans [0, 1]. La fonction φn est égale à 1 sur [2, n] et à support dans [1, n+1]. On a donc N0 (φn ) = 1
alors que
ˆ n
∑
≠ Å ã
n
1
1
>
, φn
dx = ln
,
vp
x
2
2 x
S ′ ,S
⊓
⊔
qui tend vers +∞ lorsque n → +∞.
Exercice 1.7. Montrer, par un exemple, que la distribution
ˆ
hTf , φiD′ ,D =
fφ
Rn
n’est pas, en général, une distribution tempérée, même si f est régulière.
2
Correction 1.3. On peut choisir f (x) = e|x| , qui est bien une fonction L1loc (Rn ) et définit donc
une distribution. En revanche, ce n’est pas une distribution tempérée car le crochet de dualité
2
⊓
n’est pas fini pour φ(x) = e−|x| par exemple.
⊔
Remarque 1.2 (Abus de notation). Par abus de notation, on notera par la même lettre une
distribution tempérée et sa restriction à D(Rn ). Cela permet notamment d’écrire
∀φ ∈ D(Rn ) ⊂ S (Rn ),
hT, φiS ′ ,S = hT, φiD′ ,D .
14
1 Transformation de Fourier
L’épithète “tempérées” provient du résultat suivant, pour lequel nous renvoyons le lecteur au
Théorème IV de [13, Chapitre VII].
Théorème 1.7. Pour qu’une distribution T ∈ D′ (Rn ) soit dans S ′ (Rn ), il faut et il suffit qu’elle
soit la dérivée d’une fonction continue à croissance lente, i.e. il existe une fonction continue bornée
f : Rn → R, k ∈ N et p ∈ Nn tels que
Ä
ä
T = ∂ p (1 + |x|2 )k/2 f (x) .
1.3.2 Convergence et dérivation dans S ′
Définition 1.6 (Convergence dans S ′ ). On dit que la suite (Tk )k∈N d’éléments de S ′ (Rn )
converge dans S ′ (Rn ) vers T si on a
∀φ ∈ S (Rn ),
hTk , φiS ′ ,S −→ hT, φiS ′ ,S .
Théorème 1.8. Toute suite (Tk )k∈N de distributions tempérées qui converge dans S ′ (Rn ) vers la
distribution tempérée T converge aussi dans D′ (Rn ) vers la distribution T .
La preuve de ce théorème est immédiate par la définition de la convergence au sens des distributions, et l’inclusion D(Rn ) ⊂ S (Rn ).
Définition-Théorème 1.1 (Dérivation au sens de S ′ ). Soit T ∈ S ′ (Rn ). La dérivée de T
∂T
par rapport à la variable xj est l’élément de S ′ (Rn ), noté
, défini par
∂xj
≠
∑
≠
∑
∂φ
∂T
∀φ ∈ S (Rn ),
,φ
= − T,
.
∂xj
∂xj S ′ ,S
S ′ ,S
La distribution définie par
par T .
∂T
est la dérivée (au sens des distributions) de la distribution définie
∂xj
∂T
définit une forme linéaire sur S (Rn ), et que cette distribution coïncide
∂xj
avec la dérivée de T au sens de D′ (Rn ). Comme
≠
≠
∑
ã
Å
∂T ∑
∂φ
∂φ
6 C Np+1 (φ),
,φ
6 C Np
= T,
∂xj
∂xj S ′ ,S ∂xj
S ′ ,S
Preuve. Il est clair que
on a bien
∂T
∈ S ′ (Rn ).
∂xj
⊓
⊔
Théorème 1.9. Si Tk −−−−−→ T dans S ′ (Rn ), alors ∂ α Tk −−−−−→ ∂ α T dans S ′ (Rn ).
k→+∞
k→+∞
n
Preuve. Soit φ ∈ S (R ). On a
h∂ α Tk , φiS ′ ,S = (−1)|α| hTk , ∂ α φiS ′ ,S −→ (−1)|α| hT, ∂ α φiS ′ ,S = h∂ α T, φiS ′ ,S ,
⊓
⊔
ce qui est bien la convergence au sens de S ′ .
Finissons par quelques exemples qui montrent qu’en effet S ′ (Rn ) est strictement inclus dans
D′ (Rn ).
Exercice 1.8. Montrer que la suite des sommes partielles
fN (x) =
N
X
xk
k=0
k!
est une suite d’éléments de S ′ (R) qui converge dans D′ (R), mais pas dans S ′ (R).
1.3 L’espace des distributions tempérées
15
Correction 1.4. On voit que fN (x) converge simplement vers f (x) = ex . Considérons une fonction φ ∈ D(R), avec R > 0 tel que supp(φ) ⊂ [−R, R]. Alors, par convergence dominée,
hfN , φiD′ ,D =
ˆ
R
−R
fN φ →
ˆ
R
−R
ex φ(x) dx = hf, φiD′ ,D .
Ceci montre que fN converge vers f au sens des distributions. En revanche, la suite (fN ) ne peut
pas converger au sens des distributions tempérées : en effet, si elle convergeait, le Théorème 1.8
montre que sa limite serait nécessairement f . Or, f n’est pas une distribution tempérée parce que
son crochet de dualité contre la fonction de S (R)
Å
ã
1p
1 + x2
φ(x) = exp −
2
⊓
⊔
par exemple n’est pas bien défini.
Exercice 1.9. Soit (ak )k∈N une suite réelle. Montrer que la suite
X
ak δk
TN =
−N 6k6N
converge dans D′ (R). Montrer que si |ak | 6 C(1 + |k|)p alors la convergence a aussi lieu dans
S ′ (R). Fournir un exemple de série qui ne converge pas dans S ′ (R).
1.3.3 Distributions tempérées particulières
Le théorème suivant permet d’identifier certains sous-espaces de distributions comme des sousespaces de distributions tempérées. On verra par la suite qu’on peut donc définir une notion de
transformation de Fourier pour ces distributions particulières (voir Section 1.3.4).
Théorème 1.10 (Distributions tempérées particulières). L’espace S ′ (Rn ) contient
(1) les polynômes sur Rn ;
(2) les fonctions Lp (Rn ) pour tout 1 6 p 6 +∞, et l’injection Lp (Rn ) ֒→ S ′ (Rn ) est séquentiellement continue ;
(3) l’espace E ′ (Rn ) des distributions à support compact (voir la Section 4.1 pour la définition).
Preuve. La preuve du premier point est évidente par les propriétés de S (Rn ) : pour un polynôme
p(x) = am xm + · · · + a0 de degré m, on a, pour φ ∈ S (Rn ),
ˆ
p(x) φ(x) dx 6 C Nm+n+1 (φ)
hTp , φiS ′ ,S = Rn
par la propriété (1.8).
Pour le deuxième point, considérons f ∈ Lp (Rn ) (1 6 p 6 +∞). Pour 1 6 p′ 6 +∞ tel que
1
1
+
= 1,
p p′
′
S (Rn ) ⊂ Lp (Rn ) par (1.9), et f définit ainsi une forme linéaire sur S (Rn ). Vérifions la propriété
de continuité.
(i) Si f ∈ L1 (Rn ) on a
ˆ
|hf, φiS ′ ,S | = R
f φ 6 kf kL1 kφkL∞ = kf kL1 N0 (φ).
n
16
1 Transformation de Fourier
(ii) Si f ∈ L∞ (Rn ) on a, par (1.8),
ˆ
|hf, φiS ′ ,S | = R
f φ 6 kf kL∞ kφkL1 = C0 kf kL∞ Nn+1 (φ).
n
(iii) Si f ∈ Lp (Rn ) avec 1 < p < +∞, on peut écrire
f = f χ|f |<1 + f χ|f |>1 = f∞ + f1
avec
f∞ ∈ L∞ (Rn ) et f1 ∈ L1 (Rn ).
On a donc
|hf, φiS ′ ,S | = |hf∞ , φiS ′ ,S +hf1 , φiS ′ ,S | 6 kf1 kL1 N0 (φ)+C0 kf∞ kL∞ Nn+1 (φ) 6 C Nn+1 (φ).
Ceci montre donc que la forme linéaire induite par f est bien une distribution tempérée. Vérifions à présent la continuité séquentielle de l’injection. Considérons pour cela une suite (fk )k∈N
convergeant dans Lp (Rn ) vers f ∈ Lp (Rn ). On a, pour tout φ ∈ S (Rn ),
ˆ
|hfk , φiS ′ ,S − hf, φiS ′ ,S | 6 (fk − f )φ 6 kfk − f kLp kφkLp′ −→ 0,
Rn
ce qui donne la continuité séquentielle pour la convergence au sens de S ′ (Rn ).
Soit enfin T ∈ E ′ (Rn ). Soit p son ordre, K un voisinage compact de Supp(T ) et χ ∈ D(Rn )
valant 1 sur K (voir [5, Section 7.4]). Posons, pour tout φ ∈ C∞ (Rn ),
hT, φiE ′ ,C∞ = hT, χφiD,D′ .
Cette définition est indépendante de χ. Soit en effet χ1 et χ2 dans D(Rn ) valant 1 sur K ; alors,
hT, χ1 φiD,D′ − hT, χ2 φiD,D′ = hT, (χ1 − χ2 )φiD,D′ .
La fonction φe = (χ1 − χ2 )φ étant nulle sur K, voisinage compact de Supp(T ), on a
hT, (χ1 − χ2 )φiD,D′ = 0.
On a ainsi associé à une distribution à support compact une forme linéaire sur C∞ (Rn ). Comme
S (Rn ) ⊂ C∞ (Rn ), on peut ensuite définir
hT, φiS ′ ,S = hT, φiE ′ ,C∞ .
Finalement,
hT, φiS ′ ,S = hT, χφiD′ ,D 6 CK ′ sup k∂ α (χφ)kL∞ 6 C sup k∂ α φkL∞ 6 C Np (φ),
|α|6p
|α|6p
ce qui est bien la propriété de continuité (1.10) demandée.
⊓
⊔
Remarque 1.3 (Injection continue). On peut donc écrire
D(Rn ) ֒→ S (Rn ) ֒→ L2 (Rn ) ֒→ S ′ (Rn ) ֒→ D′ (Rn ),
où la notation A ֒→ B signifie que A s’injecte dans B et que l’injection de A dans B est séquentiellement continue.
1.3 L’espace des distributions tempérées
17
1.3.4 Transformation de Fourier dans S ′
Comme il est d’usage en théorie des distributions, les opérations ou actions effectuées sur les
distributions sont définies en effectuant ladite opération sur la fonction test. Il en va de même
pour la transformation de Fourier.
Définition-Théorème 1.2 (Transformée de Fourier d’une distribution tempérée). Soit
T ∈ S ′ (Rn ). La transformée de Fourier de T est la distribution tempérée notée F T définie par
¨
∂
∀φ ∈ S (Rn ),
hF T, φiS ′ ,S = T, φˆ ′
= hT, F φiS ′ ,S .
(1.11)
S ,S
La transformation de Fourier ainsi définie est une extension de la définition classique de la transformation de Fourier sur L1 (Rn ).
Au risque de nous répéter : comme la transformée de Fourier d’un élément de D(Rn ) n’est pas
dans D(Rn ) (mais seulement dans S (Rn )), on ne peut pas définir la transformée de Fourier
d’une distribution quelconque par une relation analogue à (1.11), et il faut donc se limiter aux
distributions tempérées.
Preuve. Vérifions d’abord que F T est bien une distribution tempérée. Il est clair que F T est une
forme linéaire sur S (Rn ). Il reste à s’assurer que F T vérifie la propriété de continuité (1.10). Soit
φ ∈ S (Rn ). On a
¨
∂
ˆ 6 C ′ Np+n+1 (φ).
hF T, φiS ′ ,S = T, φˆ ′ 6 C Np (φ)
S ,S
On a donc bien F T ∈ S ′ (Rn ). Soit maintenant u ∈ L1 (Rn ). On a pour tout φ ∈ S (Rn ),
ˆ
ˆ
ň
ã
¨
∂
hF u, φiS ′ ,S = u, φˆ ′ =
u φˆ =
u(x)
φ(y) e−ix·y dy dx.
S ,S
Rn
Rn
Rn
Comme (x, y) 7→ u(x) φ(y) e−ix·y appartient à L1 (Rn ×Rn ), une application du théorème de Fubini
montre que
ˆ ň
ã
hF u, φiS ′ ,S =
u(x) e−ix·y dx φ(y) dy = hv, φiS ′ ,S ,
Rn
avec
v(y) =
Rn
ˆ
u(x) e−ix·y dx = u
ˆ(y).
Rn
On retrouve donc bien la définition usuelle de la transformée de Fourier sur L1 (Rn ).
⊓
⊔
Remarque 1.4 (Notations). La transformée de Fourier de la distribution T est noté F T et pas
Tˆ. On réserve en effet la notation ˆ· aux fonctions L1 pour lesquelles la transformée de Fourier
F est définie sous la forme intégrale de l’équation (1.1). Lorsque f ∈ L1 , les deux notations sont
possibles mais on privilégie la notation fˆ.
Théorème 1.11 (Transformée de Fourier inverse des distributions tempérées). La
transformée de Fourier est un isomorphisme séquentiellement bicontinu de S ′ (Rn ) sur lui-même,
d’inverse F −1 défini par
∀φ ∈ S (Rn ),
hF −1 T, φiS ′ ,S = T, φˇ S ′ ,S
= T, F −1 φ S ′ ,S .
Preuve. La continuité séquentielle de F se vérifie sans difficultés : soit (Tk )k∈N une suite de S ′ (Rn )
et φ ∈ S (Rn ), on a
ˆ S ′ ,S −→ hT, φi
ˆ S ′ ,S = hF T, φiS ′ ,S .
hF Tk , φiS ′ ,S = hTk , φi
k→+∞
18
1 Transformation de Fourier
On vérifie de même que F −1 est un endormorphisme séquentiellement continu sur S ′ (Rn ).
Soit maintenant T ∈ S ′ (Rn ). On a, pour tout φ ∈ S (Rn ), et en utilisant (1.5),
E
D
−1
= hT, φiS ′ ,S .
F F T, φ S ′ ,S = F T, φˇ S ′ ,S = T, φˆˇ
S ′ ,S
Donc F −1 F T = T et de même F F −1 T = T .
Théorème 1.12 (Dérivation et transformée de Fourier). Soit T ∈ S ′ (Rn ). Alors
S ′ (Rn ) et
Å
F
Preuve. Soit φ ∈ S (Rn ). On a
≠
Å
F
∂T
∂xj
ã
∑
∂T
∂xj
⊓
⊔
∂T
∈
∂xj
ã
= i ξj F T.
(1.12)
∏
Æ
∑
∂T ˆ
∂ φˆ
,φ
= − T,
∂xj
∂xj S ′ ,S
S ′ ,S
¨
∂
÷
= − T, −i
ξj φ ′ = − hF T, −i ξj φiS ′ ,S
≠
,φ
=
S ′ ,S
S ,S
= hi ξj F T, φiS ′ ,S ,
ce qui montre (1.12). Noter qu’on a pu donner un sens à cette distribution car ξ 7→ ξj φ(ξ) est une
⊓
fonction de S (Rn ) lorsque φ ∈ S (Rn ) (on le vérifie).
⊔
Exercice 1.10. Montrer que δa ∈ S ′ (Rn ) et que F δa (ξ) = e−ia·ξ . De même, montrer que x 7→
eia·x ∈ S ′ (Rn ) et que F (eia·x ) = (2π)n δa .
Correction 1.5. On a vu à l’Exercice 1.6 que δa est une distribution tempérée. On peut donc
considérer sa transformée de Fourier. Pour φ ∈ S (Rn ),
ˆ
¨
∂
b
=
φ(x) e−ia·x dx = e−ia·x , φ S ′ ,S .
hF δa , φiS ′ ,S = δa , φb ′ = φ(a)
S ,S
Rn
La fonction x 7→ eia·x est dans L∞ (Rn ) donc dans S ′ (Rn ) par le Théorème 1.10. On a
ˆ
¨
∂
ia·x ia·x b
ia·x
b
F e , φ S ′ ,S = e , φ ′ =
φ(x)e
dx
S ,S
Rn
Ä
ä
= (2π)n F −1 φb (a) = (2π)n φ(a) = (2π)n hδ, φiS ′ ,S ,
ce qui montre le résultat annoncé.
Exercice 1.11. Calculer F
X
!
δn .
n∈Z
Correction 1.6. Commençons par vérifier que la série
X
SN =
δn
−N 6n6N
converge dans S ′ (Rn ) vers la série
S∞ =
X
δn .
n∈Z
Notons pour ce faire que si φ ∈ S (R), on a
|φ(x)| =
2N2 (φ)
|(1 + x2 )φ(x)|
6
,
1 + x2
1 + x2
⊓
⊔
1.4 Applications aux espaces de Lebesgue et de Sobolev
19
et donc la somme suivante est absolument convergente :
X
X
hSN , φiS ′ ,S =
φ(n) →
φ(n) = hS∞ , φiS ′ ,S ,
−N 6n6N
n∈Z
la série limite S∞ étant par ailleurs dans S ′ (R) car
X
hS∞ , φiS ′ ,S 6 2
1
1 + n2
n∈Z
!
N2 (φ).
Par continuité séquentielle de la transformée de Fourier (Théorème 1.11), on a
F SN → F S∞ .
Or,
hF SN , φiS ′ ,S
¨
∂
= SN , φb
S ′ ,S
∞
=
X
=
X
Ñ
−N 6n6N
∫
b
φ(n)
=
e−inx , φ
−N 6n6N
ˆ
R
X
é
e−inx
φ(x) dx
−N 6n6N
.
S ′ ,S
On vérifie par ailleurs (avec des manipulations tout à fait similaires à celles faites pour montrer la
convergence de la série SN ) que la série
X
TN =
e−inx
−N 6n6N
converge dans S ′ (Rn ) vers la série limite
T∞ =
X
e−inx .
n∈Z
On en déduit, par unicité de la limite dans S ′ (R), que
!
X
X
F
e−inx ,
δn =
n∈Z
n∈Z
relation connue sous le nom de formule de Poisson (voir le Chapitre 2).
⊓
⊔
Remarque 1.5 (Transformée de Fourier et convolution). Comme dans le cas L1 , la transformée de Fourier agit sur les convolutions en les transformant en produit. La situation est cependant
plus complexe car l’existence de la convolution de deux distributions tempérées (que nous n’avons
pas définie, d’ailleurs) n’est pas plus assurée que le produit de deux distributions. Cependant, si
tous les termes sont bien définis, on retrouve la propriété
F (T1 ⋆ T2 ) = F (T1 ) × F (T2 ).
1.4 Applications aux espaces de Lebesgue et de Sobolev
1.4.1 Isométrie de la transformation de Fourier dans L2
Nous avons défini la transformée de Fourier sur l’espace S ′ qui contient (largement !) L2 .
Pourquoi donc consacrer maintenant une section à la transformée de Fourier dans L2 ? La réponse
est fournie par le théorème suivant :
20
1 Transformation de Fourier
Théorème 1.13 (Isométrie de la transformée de Fourier). Les transformations
1
F
(2π)n/2
et (2π)n/2 F −1 sont des isométries de L2 (Rn ) inverses l’une de l’autre :
∀f ∈ L2 (Rn ),
∀f ∈ L2 (Rn ),
F f ∈ L2 (Rn )
et
F −1 f ∈ L2 (Rn )
et
1
kF f kL2 = kf kL2 ,
(2π)n/2
(2π)n/2 F −1 f L2 = kf kL2 .
Preuve. L’idée de la preuve est de montrer l’isométrie des transformations sur S (Rn ), et d’en
déduire l’isométrie sur L2 (Rn ) par densité de D(Rn ) ⊂ S (Rn ) dans L2 (Rn ) (qui montre que
la transformée de Fourier s’étend de manière unique, et coincide avec sa définition au sens de
S ′ (Rn )).
Soit (φ, ψ) ∈ S (Rn )2 . Comme la fonction (x, ξ) 7→ e−ix·ξ φ(x) ψ(ξ) appartient à L1 (Rn × Rn ),
une application du théorème de Fubini donne
ˆ
1
1
ˆ
ˆ ψ(ξ) dξ
(φ, ψ)L2 =
φ(ξ)
(2π)n
(2π)n Rn
ˆ ň
ã
1
−ix·ξ
φ(x) e
dx ψ(ξ) dξ
=
(2π)n Rn Rn
ˆ
ˆ
Å
ã
−n
ix·ξ
ψ(ξ) e
dξ dx
=
φ(x) (2π)
n
Rn
ˆR
ˇ dx
=
φ(x) ψ(x)
Rn
= φ, ψˇ L2 .
ˆ on a
Appliquant cette formule avec ψ = φ,
1 1 Ä ˆ ˆä
ˆ2
ˇˆ
= (φ, φ)L2 = kφk2L2 .
φ
=
φ,
φ,
φ
φ
=
L2
L2
(2π)n
(2π)n
L2
L’identité ci-dessus, connue sous le nom de formule de Plancherel , montre que (2π)−n/2 F est
une isométrie sur S (Rn ).
La fin de la démonstration repose sur un argument de densité classique qu’il est bon de
connaître. Soit f ∈ L2 (Rn ). L’espace S (Rn ), qui contient D(Rn ) est dense dans L2 (Rn ). Considérons donc une suite (φk )k∈N d’éléments de S (Rn ) qui converge vers f dans L2 (Rn ). La suite
(φk )k∈N converge, donc est de Cauchy dans L2 (Rn ). La suite des transformées de Fourier (φˆk )k∈N
est alors elle-aussi une suite de Cauchy puisque
ˆ
∀ 0 6 k 6 l,
φk − φˆl 2 = (2π)n/2 kφk − φl kL2 .
L
La complétude de L (R ) montre que la suite (φˆk )k∈N converge dans L2 (Rn ) vers une certaine
fonction g ∈ L2 (Rn ). Or, on sait par le Théorème 1.10 que la convergence dans L2 (Rn ) entraîne
la convergence dans S ′ (Rn ). Donc (φˆk )k∈N converge dans S ′ (Rn ) vers la distribution tempérée
g. Mais d’autre part, (φk )k∈N converge vers f dans L2 (Rn ), donc dans S ′ (Rn ). Il résulte du
Théorème 1.11 que (φˆk )k∈N = (F φk )k∈N converge vers F f dans S ′ (Rn ). L’unicité de la limite
dans S ′ (Rn ) (conséquence de l’unicité de la limite dans D′ (Rn )) implique F f = g dans S ′ (Rn ),
et donc F f ∈ L2 (Rn ) et (φˆk )k∈N converge vers F f dans L2 (Rn ). En passant à la limite dans la
relation
1 ˆ 2
∀k ∈ N,
φk 2 = kφk k2L2 ,
n
L
(2π)
on obtient l’égalité
1
2
kF f kL2 = kf k2L2 .
(2π)n
2
n
L’application (2π)−n/2 F est donc une isométrie sur L2 (Rn ). En remplaçant φ par F −1 φ, on
⊓
montre qu’il en est de même de (2π)n/2 F −1 .
⊔
1.4 Applications aux espaces de Lebesgue et de Sobolev
21
Remarque 1.6 (Interprétation physique). Pour f ∈ L2 (Rn ), on a la formule de Plancherel
ˆ
ˆ
1
2
|f (x)|2 dx.
(1.13)
|F
f
(ξ)|
dξ
=
(2π)n Rn
n
R
Il arrive souvent en physique ou en mécanique que l’énergie d’un champ sur Rn s’exprime précisément sous la forme d’une intégrale sur l’espace du carré du champ (penser à l’énergie cinétique
d’un écoulement, à l’énergie d’un champ électromagnétique, à l’énergie de déformation élastique
linéaire d’un matériau homogène isotrope). L’égalité (1.13) signifie que l’énergie du champ peut
alors être calculée indifféremment dans l’espace réel ou dans l’espace réciproque.
Exercice 1.12 (Formule de Parseval). Montrer, en utlisant une formule de polarisation, que
si f et g sont dans L2 (Rn ),
ˆ
ˆ
(2π)n
f (x) g(x) dx =
F f (ξ) F g(ξ) dξ.
Rn
Rn
Exercice 1.13 (Démonstration alternative de la formule de Plancherel). On considère
une fonction f ∈ S (Rn ) et on note g(x) = f (−x). Montrer que
ˆ b 2 iξ·y
(f ⋆ g) (y) = (2π)−n
f (ξ) e dξ.
Rn
En déduire la formule de Plancherel en prenant y = 0.
Exercice 1.14 (Transformée de Wigner). Pour f, g ∈ L2 (Rn ) données, on définit la transformée de Wigner Wf,g des fonctions f et g par
ˆ
y iy·ξ
y 1
g x+
f x−
e dy.
Wf,g (x, ξ) =
n
(2π) Rn
2
2
Montrer que
Fx Wf,g (η, ξ) =
η η
1 b
f
ξ
+
,
g
b
ξ
−
(2π)n
2
2
y y
Fξ Wf,g (x, y) = f x −
,
g x+
2
2
où Fz indique que l’on effectue une transformée de Fourier partielle dans la variable z uniquement.
En déduire que
ˆ
ˆ
1 b
f (ξ)b
Wf,g (x, ξ) dξ = f (x)g(x),
g (ξ).
Wf,g (x, ξ) dx =
(2π)n
Rn
Rn
Montrer enfin, à l’aide d’une transformée de Fourier partielle dans la variable x, que si ψ ∈
C0 (R, H2 (Rn )) ∩ C1 (R, L2 (Rn )) vérifie
i
∂ψ
1
= − ∆ψ,
∂t
2
alors la transformée de Wigner Wψ,ψ de ψ vérifie l’équation de transport libre
∂Wψ,ψ
+ ξ · ∇x Wψ,ψ = 0.
∂t
La proposition suivante fournit une méthode de calcul de la transformée de Fourier des fonctions
f de classe L2 (Rn ) qui ne sont pas dans L1 (Rn ), et permet de comprendre le sens à donner à des
intégrales telles que
ˆ
f (x) e−ix·ξ dξ.
Rn
Essentiellement, il faut voir la transformée de Fourier de f comme la limite au sens de L2 (Rn ) (ou
de S ′ (Rn )) des transformées de Fourier de la fonction restreinte f χ{|x|<R} .
22
1 Transformation de Fourier
Proposition 1.5. Soit f ∈ L2 (Rn ), et
gR (ξ) =
ˆ
f (x) e−ix·ξ dx.
|x|<R
Alors gR converge vers F f dans L2 (Rn ). De plus, si la fonction
ˆ
gR (ξ) =
f (x) e−ix·ξ dx −−−−−→ g(ξ)
R→+∞
|x|<R
p.p.,
alors g ∈ L2 (Rn ) et F f = g.
Preuve. Soit fR = f χ{|x|<R} . Il est clair que la famille de fonctions (fR )R>0 est dans L2 (Rn ) et
tend vers f dans L2 (Rn ). Il en résulte que F fR = fˆR = gR converge vers F f dans L2 (Rn ) lorsque
R tend vers l’infini. Il existe donc une suite extraite (gRk )k∈N (avec Rk → +∞), qui converge
⊓
presque partout vers fˆ. On en déduit que fˆ = g.
⊔
Transformation de Fourier sur les espaces Lp
On a montré que la transformation de Fourier est une application linéaire bornée de L1 (Rn )
dans L∞ (Rn ) (voir Corollaire 1.1) et de L2 (Rn ) dans lui-même (Proposition 1.13). Une question
naturelle est ce qu’il en est des fonctions dans les espaces Lp (Rn ) pour 1 6 p 6 2. Remarquons
pour commencer qu’une fonction f ∈ Lp (Rn ) (1 6 p 6 2) peut se décomposer sous la forme
f = f1 + f2 ,
f1 = f χ|f |>1 ∈ L1 (Rn ), f2 = f χ|f |61 ∈ L2 (Rn ).
Ceci montre que fˆ ∈ L∞ (Rn ) + L2 (Rn ) ⊂ L2loc (Rn ).
On a cependant un meilleur résultat par ce qu’on appelle une inégalité d’interpolation. On peut
en effet montrer que la transformation de Fourier est une application linéaire bornée pour tous
les espaces Lp (Rn ) d’exposants intermédaires entre 1 et 2, avec pour images des espaces Lq (Rn )
d’exposants intermédiaires entre +∞ et 2. Plus précisément,
Théorème 1.14 (Inégalité de Hausdorff-Young). Pour 1 6 p 6 2, et 2 6 q 6 +∞ défini par
1 1
+ = 1,
p q
la transformation de Fourier est une application linéaire continue bornée de Lp (Rn ) dans Lq (Rn ),
avec
|||F |||L(Lp (Rn ),Lq (Rn )) 6 (2π)n/q .
La démonstration repose sur le théorème suivant. 2
Théorème 1.15 (Théorème d’interpolation de Riesz-Thorin). Soit T une application linéaire de Lp0 (Rn ) ∩ Lp1 (Rn ) dans Lq0 (Rn ) ∩ Lq1 (Rn ) (1 6 p0 , p1 , q0 , q1 6 +∞), avec
kT f kLqj 6 Mj kf kLpj ,
j = 0, 1.
Pour tout 0 < t < 1, on a, pour f ∈ Lp0 (Rn ) ∩ Lp1 (Rn ),
kT f kLqt 6 M01−t M1t kf kLpt ,
où les exposants pt et qt sont donnés par
1−t
t
1
=
+ ,
pt
p0
p1
1
1−t
t
=
+ .
qt
q0
q1
2. Nous ne présentons pas la preuve, qui demande des connaissances en analyse complexe. Le lecteur
intéressé se reportera à [11, Section IX.4] ou [15, 14].
1.4 Applications aux espaces de Lebesgue et de Sobolev
23
Dans le cas de la transformée de Fourier, p0 = 1, q0 = +∞, p1 = q1 = 2, M0 = 1 et M1 = (2π)n/2 .
−1
= 1 et M1t = (2π)n/qt . On obtient kF f kLq 6
= 1 − t/2, qt = t/2 soit p−1
On a donc p−1
t + qt
t
n/q
n
(2π) kf kLp pour f ∈ S (R ), et on utilise la densité de S (Rn ) dans Lp (Rn ) pour démontrer le
Théorème 1.14.
Remarque 1.7 (Constante optimale). La constante donnée par le Théorème 1.14 n’est toutefois pas optimale. Il est montré dans [1] que
ï 1/p . 1/q òn/2
q
p
n/2
.
(1.14)
|||F |||L(Lp (Rn ),Lq (Rn )) = (2π)
2π
2π
On peut vérifier que la norme de l’opérateur ne peut en effet pas être plus petite en considérant le
cas de la gaussienne :
2
2
f (x) = e−x /2 ,
fˆ(ξ) = (2π)n/2 e−ξ /2 .
On a alors
kf kpLp =
ˆ
e−px
2
ň
/2
e−pt
dx =
Rn
2
ãn
/2
dt
R
Å
=
2π
p
ãn/2
.
De même, on obtient kfˆkqLq = (2π)(1+q)n/2 q −n/2 , et ainsi
ï 1/p . 1/q òn/2
kfˆkqLq
p
q
n/2
.
p = (2π)
kf kLp
2π
2π
1.4.2 Espaces de Sobolev
La transformation de Fourier permet de caractériser la régularité des fonctions : plus une fonction est régulière, plus sa transformée de Fourier décroît rapidement à l’infini. Ceci est lié en effet à
la décroissance de l’amplitude des modes rapides, i.e. qui varient sur des échelles spatiales courtes,
les irrégularités locales provenant précisément des ces modes-là. Afin d’étudier des fonctions de
régularité arbitraire, on définit les espaces de Sobolev d’exposant réel sur Rn .
Définition-Théorème 1.3 (Espaces de Sobolev d’exposants réels). Pour tout s ∈ R, on
pose
ˆ
ß
™
Hs (Rn ) = u ∈ S ′ (Rn ) u
(1 + |ξ|2 )s |ˆ
u(ξ)|2 dξ < +∞ .
(1.15)
ˆ ∈ L1loc (Rn ),
Rn
Muni du produit scalaire noté (·, ·)Hs et défini par
∀(u, v) ∈ Hs (Rn )2 ,
(u, v)Hs =
ˆ
Rn
(1 + |ξ|2 )s u
ˆ(ξ) vˆ(ξ) dξ,
(1.16)
l’espace Hs (Rn ) est un espace de Hilbert.
Remarque 1.8 (Injections continues). Si s1 6 s2 , on a (1 + |ξ|2 )s1 6 (1 + |ξ|2 )s2 pour tout
ξ ∈ Rn , et donc Hs2 (Rn ) ⊂ Hs1 (Rn ).
Preuve. Il est clair que (·, ·)H s est un produit scalaire. Pour montrer la complétude, il suffit de
remarquer que pour toute suite (uk )k∈N de Hs (Rn ), la suite (vk )k∈N définie par
est une suite de L2 (Rn ) vérifiant
vk (ξ) = (1 + |ξ|2 )s/2 u
ˆk (ξ),
∀ 0 6 k 6 l,
kuk − ul kHs = kvk − vl kL2 .
Si la suite (uk )k∈N est de Cauchy dans Hs (Rn ), la suite (vk )k∈N est de Cauchy dans L2 (Rn ), et
converge donc dans L2 (Rn ) vers v ∈ L2 (Rn ). Posons
ã
Å
vˆ
,
u = F −1
(1 + |ξ|2 )s/2
alors u ∈ Hs (Rn ) et (uk )k∈N tend vers u dans Hs (Rn ), ce qui achève de montrer la complétude.
⊓
⊔
24
1 Transformation de Fourier
La définition (1.15) des espaces de Sobolev sur H s (Rn ) coïncide, lorsque s est entier, avec la
définition plus usuelle suivante.
Proposition 1.6 (Espaces de Sobolev
n
Hs (Rn ) = u ∈ L2 (Rn )
d’exposants entiers). Soit s ∈ N. Alors
o
α
∂ u ∈ L2 (Rn ), ∀α ∈ Nn , |α| 6 s ,
(1.17)
et la norme définie sur Hs (Rn ) par le produit scalaire (1.16) est équivalente à celle définie par le
produit scalaire
ˆ
X
(u, v) =
∂ α u(x) ∂ α v(x) dx.
α∈Nn , |α|6s
Rn
Preuve. Montrons le résultat pour H1 (Rn ). Soit u appartenant à l’espace H1 (Rn ) défini par (1.17).
∂u
∈ L2 (Rn ) pour tout 1 6 j 6 n. Ainsi,
On a alors u ∈ L2 (Rn ) et
∂xj
(i) u ∈ S ′ (Rn ) (puisque L2 (Rn ) ⊂ S ′ (Rn )),
(ii) u
ˆ ∈ L2 (Rn ) ⊂ L1loc (Rn ) (puisque u ∈ L2 (Rn )),
Å
(iii) ξj u
ˆ ∈ L2 (Rn ) pour tout 1 6 j 6 n puisque ξj u
ˆ = −iF
ã
∂f
.
∂xj
Il en résulte que u appartient à l’espace H1 (Rn ) défini par (1.15). La réciproque se démontre en
utilisant les mêmes arguments.
Par ailleurs, pour s > 1, il existe deux constantes c, C > 0 telles que
X
c (1 + |ξ|2 )s 6
|ξ α |2 6 C (1 + |ξ|2 )s .
|α|6s
Ceci montre que la norme
kuk2Hs ,usuel =
X
|α|6s
k∂ α uk2L2 =
ˆ
Rn
X
|α|6s
|ξ α | |ˆ
u(ξ)|2 dξ
est équivalente à la norme Hs (Rn ) définie par (1.16) pour s > 1.
⊓
⊔
Remarque 1.9 (Espaces de Sobolev d’exposants entiers relatifs). On peut en fait montrer
une propriété similaire pour des entiers négatifs, la preuve étant toutefois plus compliquée. Nous
présentons ici la preuve uniquement dans le cas où s = −1 par souci de simplification. Rappelons
que la définition de l’espace H−1 (Rn ) vue précédemment est la suivante :
n
o
H−1 (Rn ) := u ∈ D′ (Rn ) ∃C > 0, ∀φ ∈ D(Ω), |hu, φiD′ ,D | 6 CkφkH1 .
(1.18)
Montrons que cet espace coïncide avec la définition de l’espace Hs (Rn ) donnée dans la définition (1.15) pour s = −1.
• Commençons par prouver que Hs (Rn ) ⊂ H−1 (Rn ) où ce dernier espace est défini par (1.18).
Soit u ∈ Hs (Rn ). Comme u ∈ S ′ (Rn ), nécessairement u ∈ D′ (Rn ). Soit maintenant φ ∈
D(Rn ). On sait que u
b ∈ L1loc (Rn ), donc quitte à ce qu’elle soit infinie, on peut donner un
sens à l’intégrale
ˆ
ˇ dξ.
u
ˆ(ξ)φ(ξ)
Rn
En utilisant l’inégalité de Cauchy-Schwarz, on obtient
1.4 Applications aux espaces de Lebesgue et de Sobolev
ˆ
Rn
ˇ dξ =
u
ˆ(ξ)φ(ξ)
ˆ
Rn
ň
ˇ
|ˆ
u(ξ)|(1 + |ξ|2 )−1/2 (1 + |ξ|2 )1/2 φ(ξ)|
dξ
6
Rn
=
=
=
=
ã−1/2 ň
|ˆ
u(ξ)|2 (1 + |ξ|2 )−1 dξ
Rn
Lj
2
ˇ
(1 + |ξ|2 )|φ(ξ)|
dξ
25
ã1/2
2 å1/2
1
2 ˆ
(1 + |ξ| ) φ(ξ) dξ
kukHs (Rn )
n
(2π)
Rn
ň
2 ã1/2
1
2 ˆ
s
n
φ(ξ)
kuk
(1
+
|ξ|
)
dξ
H (R )
(2π)n
Rn
1
s (Rn ) φ
kuk
H
n
H1 (Rn )
(2π)
1
kukHs (Rn ) kφkH1 (Rn ) .
(2π)n
Donc, pour tout φ ∈ D(Rn ),
ˇ S ′ ,S 6
|hu, φiD′ ,D | = |hu, φiS ′ ,S | = hF u, φi
1
kukHs (Rn ) kφkH1 (Rn ) ,
(2π)n
d’après le calcul précédent. Donc u appartient bien à l’espace H−1 (Rn ) défini par (1.18).
• Montrons à présent la réciproque. Soit u ∈ H−1 (Rn ) défini par (1.18). Commençons par
montrer que u ∈ S ′ (Rn ). D’après la définition de H−1 (Rn ), il existe une constante C > 0
telle que pour tout φ ∈ D(Rn ),
!
n
X
j
k∂ φkL2 .
|hu, φiD′ ,D | 6 CkφkH1 6 C kφkL2 +
j=1
En utilisant (1.9), on a donc
|hu, φiD′ ,D | 6 CNn+2 (φ) + nNn+3 (φ).
Donc u définit bien une distribution tempérée, et sa transformée de Fourier u
b également. De
plus, par densité de D(Rn ) dans S (Rn ), nécessairement, pour tout φ ∈ S (Rn ),
|hu, φiS ′ (Rn ),S (Rn ) | 6 CkφkH1 (Rn ) .
En revanche, comme u ∈
/ L2 (Ω), il n’est pas évident que u
b ∈ L1loc (Rn ) ! Mais nous laissons
le lecteur vérifier que nous pouvons définir une distribution tempérée T = (1 + |ξ|2 )−1/2 u
ˆ(ξ)
comme suit : pour tout φ ∈ S (Rn ),
¨
∂
hT, φiS ′ ,S = u
ˆ, (1 + | · |2 )−1/2 φ ′ .
S ,S
Nous allons en fait montrer que cette distribution tempérée T peut être étendue de manière
unique à une application linéaire continue sur L2 (Rn ). Pour cela, comme S (Rn ) est dense
dans L2 (Rn ), il suffit de montrer qu’il existe une constante C > 0 telle que pour tout φ ∈
S (Rn ),
|hT, φiS ′ ,S | 6 CkφkL2 .
Nous commençons tout d’abord par remarquer que pour toute fonction φ ∈ S (Rn ), et pour
ˇ
ˆ
On a donc en particulier
tout ξ ∈ Rn , φ(ξ)
= (2π)n φ(−ξ).
Ä Ä
ää
F F (1 + | · |2 )−1/2 φ (ξ) = (2π)n F −1 F (1 + | · |2 )−1/2 φ (−ξ)
= (2π)n (1 + |ξ|2 )−1/2 φ(−ξ).
Ceci entraîne que pour tout φ ∈ S (Rn ),
26
1 Transformation de Fourier
¨
∂
ˆ, (1 + | · |2 )−1/2 φ(·) ′ |hT, φiS ′ (Rn ),S (Rn ) | = u
S ,S
¨
Ä
ä∂
= u, F (1 + | · |2 )−1/2 φ
S ′ ,S
Ä
ä
6 C F (1 + | · |2 )−1/2 φ 1
H
ň
Ä Ä
ää 2 ã1/2
=C
(1 + |ξ|2 ) F F (1 + | · |2 )−1/2 φ (ξ) dξ
Rn
= C(2π)
ň
n
ã1/2
2
2 −1
Rn
(1 + |ξ| )(1 + |ξ| )
Rn
|φ(ξ)|2 dξ
ň
= C(2π)n
ã1/2
2
|φ(−ξ)| dξ
= C(2π)n kφkL2 .
Donc la distribution tempérée (1 + | · |2 )−1 u
ˆ peut s’étendre de manière unique à une application linéaire continue sur L2 (Rn ), et d’après le théorème de représentation de Riesz, comme
L2 (Rn ) est un espace de Hilbert, (1 + | · |2 )−1 u
ˆ peut donc être identifié de manière unique à
un élément de L2 (Rn ), autrement dit on peut écrire
ˆ
(1 + |ξ|2 )−1 |ˆ
u(ξ)|2 dξ < +∞.
Rn
De plus, comme (1 + | · |2 )−1 u
ˆ ∈ L2 (Rn ), on voit immédiatement que cela implique nécessai2
rement que u
ˆ = (1 + | · | )(1 + | · |2 )−1 u
ˆ est une fonction de L1loc (Rn ). Nous avons donc bien
s
n
montré que u ∈ H (R ).
La transformation de Fourier permet de montrer très facilement le résultat suivant qui relie
la décroissance, ou plus exactement l’intégrabilité, de la transformée de Fourier à l’infini avec la
régularité locale de la fonction d’origine.
Théorème 1.16. Soit n ∈ N∗ , k ∈ N et s ∈ R vérifiant s > k + n/2. Si u ∈ Hs (Rn ), alors
u ∈ Ck (Rn ) et toutes ses dérivées jusqu’à l’ordre k tendent vers zéro à l’infini.
Preuve. Nous donnons la preuve de ce résultat pour k = 0 et laissons le lecteur compléter la preuve
pour |k| > 0. Soit donc s > n/2 et u ∈ Hs (Rn ). On a
Ä
ä
u
ˆ(ξ) = (1 + |ξ|2 )s/2 u
ˆ(ξ)
1
.
(1 + |ξ|2 )s/2
Comme u ∈ Hs (Rn ), on a par hypothèse
(1 + |ξ|2 )s/2 u
ˆ(ξ) ∈ L2 (Rn ),
et d’autre part
1
∈ L2 (Rn )
(1 + |ξ|2 )s/2
puisque s > n/2. On en déduit u
ˆ ∈ L1 (Rn ). La Proposition 1.1 peut aussi être utilisée avec F −1
⊓
au lieu de F , ce qui montre que u = F −1 u
ˆ est continue et tend vers zéro à l’infini.
⊔
Exercice 1.15 (Un résultat de régularité elliptique). Résoudre l’équation
−∆u + u = f
pour f ∈ L2 (R3 ). Montrer que l’unique solution u est continue et bornée.
1.4 Applications aux espaces de Lebesgue et de Sobolev
27
Correction 1.7. On procède par analyse/synthèse. Supposons pour commencer que la solution
existe avec u ∈ S ′ (R3 ). En appliquant la transformée de Fourier, on voit que
(1 + |ξ|2 )b
u(ξ) = fb(ξ),
et donc que u ∈ H 2 (R3 ) (par (1.15)) avec
Ç
u = F −1
fb
1 + |ξ|2
å
.
Ceci donne également l’unicité de la solution, et montre que l’égalité −∆u + u = f a lieu au sens
⊓
L2 (R3 ). On vérifie ensuite facilement que la solution u convient.
⊔
Exercice 1.16. Faire de même pour
−∆u + b · ∇u + αu = f
avec f ∈ L2 (R3 ), b ∈ R3 et α > 0.
Quelques compléments
Remarque 1.10 (Calcul pseudo-différentiel). Les espaces Hs (Rn ) sont d’un usage tout à fait
naturel pour ce qu’on appelle le calcul pseudo-différentiel. Le calcul différentiel usuel considère des
opérateurs P qui à une distribution u donnée associent des distributions du type
X
Pu =
aα ∂ α u,
|α|6m
où aα ∈ R sont des coefficients données. Lorsque u ∈ D(Rn ), on a
ˆ
X
−n
P u(x) = (2π)
eix·ξ p(x, ξ)ˆ
u(ξ) dξ,
p(x, ξ) =
aα (iξ)α .
Rn
|α|6m
La formule ci-dessus fait encore sens si pour des fonctions p(x, ξ) plus générales, en introduisant
une dépendance explicite en x
X
p(x, ξ) =
aα (x)(iξ)α ,
|α|6m
et/ou en autorisant des puissances réelles de ξ. On parle ainsi de calcul pseudo-différentiel
√ (par
1+∆
opposition au calcul différentiel décrit
ci-dessus).
Par
exemple,
on
peut
définir
l’opérateur
p
par le biais du symbole p(x, ξ) = 1 + |ξ|2 .
On a également une caractérisation alternative des espaces de Sobolev d’exposant réel positif
non entier, qui peut être utile pour des extensions sur des espaces Lp . La transformée de Fourier
n’apparait plus de manière explicite mais joue un grand rôle dans la preuve. On traite le cas
0 < s < 1.
Proposition 1.7 (Espaces de Sobolev d’exposants non-entiers). Si s ∈]0, 1[, alors Hs (Rn )
est l’ensemble des fonctions u ∈ L2 (Rn ) telles que
ˆ
|u(x + y) − u(x)|2
dx dy < +∞.
|y|n+2s
Rn ×Rn
De plus, la norme
ň
kukHs ,non−entier =
Rn ×Rn
|u(x + y) − u(x)|2
dx dy + kuk2L2
|y|n+2s
est équivalente à la norme définie par (1.16)
ã1/2
28
1 Transformation de Fourier
Pour les exposants s > 1, on considère la partie entière de s, notée E(s), et on demande alors que
∂ α u ∈ L2 (Rn ) pour |α| 6 E(s), et que ∂ α u ∈ Hs−E(s) (Rn ) au sens de la définition ci-dessus pour
tout α ∈ Nn tel que |α| = E(s).
Preuve. Pour y ∈ Rn fixé, on a, par isométrie de la transformée de Fourier sur L2 (Rn ),
I(u) =
ˆ
Rn
ˆ
Rn
|u(x + y) − u(x)|2
dx dy = (2π)−n
|y|n+2s
ˆ
Rn
ˆ
Rn
2
|ˆ
u(ξ)|2 1 − eiy·ξ dξ dy.
|y|n+2s
On effectue ensuite le changement de variable z = y|ξ| dans le membre de droite :
Lj å
ˆ
ã2
Å
ξ
−n
2s
2
−n−2s
|z|
1 − exp iz ·
I(u) = (2π)
|ξ| |ˆ
u(ξ)|
dz dξ.
|ξ| n
n
R
R
L’intégrale apparaissant entre parenthèses au membre de droite, considérée comme une fonction
de ξ, est homogène de degré 0 (si on remplace ξ par αξ avec α ∈ R∗ , on ne change pas la valeur
de la fonction), invariante par rotation. On en déduit que c’est une constante, et finalement
ˆ
|ξ|2s |ˆ
u(ξ)|2 dξ,
I(u) = Cs
Rn
ce qui montre que I(u) + kuk2L2 est équivalent à (u, u)Hs , et conclut la preuve.
⊓
⊔
1.5 Résolution d’équations aux dérivées partielles
Nous concluons ce chapitre en montrant comment l’utilisation de la transformée de Fourier
permet de résoudre des problèmes d’équations aux dérivées partielles rencontrés en physique.
1.5.1 Equation de la chaleur
On considère l’équation de la chaleur, qui est le problème de Cauchy suivant :
ß
∂t f − ∆f = 0 sur R∗+ × Rn ,
f (0, ·) = f0 sur Rn .
(1.19)
On peut montrer l’existence et l’unicité d’une solution f (t, ·) ∈ S ′ (Rn ) pour tout t > 0 si f0 ∈
S ′ (Rn ) (voir [6, Section XIV.2.2] ; nous ne présentons pas les détails ici car cela demanderait
d’introduire la convolution de deux distributions). Il existe d’autres théories qui permettent de
caractériser l’évolution pour des conditions intitiales L2 (Rn ) (théorie de Hille-Yosida).
Exercice 1.17. Montrer, en utilisant une transformée de Fourier sur la variable spatiale, que la
solution est
ˆ
2
f (t, x) = (4πt)−n/2
f0 (y) e−|x−y| /4t dy.
Rn
Correction 1.8. On introduit pour cela la transformée de Fourier partielle (i.e. seulement sur la
variable d’espace) de la fonction (t, x) 7→ f (t, x) :
ˆ
fˆ(t, ξ) =
f (t, x) e−ix·ξ dx.
Rn
Alors, (1.19) devient
®
∂t fˆ + |ξ|2 fˆ = 0 sur
fˆ(0, ·) = fˆ0 sur
R∗+ × Rn ,
Rn .
(1.20)
1.5 Résolution d’équations aux dérivées partielles
29
2
On en déduit que fˆ(t, ξ) = fˆ0 (ξ) e−t|ξ| . Par transformée de Fourier inverse, on voit que f (t, ·) =
f0 ⋆ Gt , avec
2
Gt (x) = (4πt)−n/2 e−|x| /4t .
(1.21)
Pour une condition initiale f0 convenable, on a
ˆ
f (t, x) = (4πt)−n/2
f0 (y) e−|x−y|
2
/4t
dy.
(1.22)
Rn
Cette expression a un sens en tant que telle si f0 ∈ L∞ (Rn ) par exemple. Si f0 est continue, on
a bien la convergence ponctuelle f (t, x) → f0 (x) pour tout x ∈ Rn lorsque t → 0 car Gt ⇀ δ0
au sens de D′ (Rn ) lorsque t → 0. On voit donc dans cet exemple l’intérêt de la transformée de
⊓
Fourier, qui permet d’avoir une expression explicite de la solution.
⊔
Exercice 1.18 (Problème de Cauchy inhomogène). Donner la forme de la solution pour le
problème de Cauchy inhomogène ∂t f − ∆f = g sur R∗+ × Rn , avec (t, x) 7→ g(t, x) donnée.
1.5.2 Equation de Schrödinger
En mécanique quantique, l’état d’un système est décrit à tout temps par une fonction ψ(t, ·) ∈
L2 (Rn , C) telle que
ˆ
|ψ(t, x)|2 dx = 1.
Rn
2
Ainsi, |ψ(t, x)| peut s’interpréter comme la densité d’une mesure de probabilité (qui est la probabilité pour une particule telle qu’un électron d’être présente dans une région donnée de l’espace
physique Rn ). L’évolution temporelle en repère Galiléen de la fonction d’onde d’une particule isolée
de masse m est régie par l’équation de Schrödinger :
i~
~2
∂ψ
=−
∆ψ,
∂t
2m
où ~ est la constante de Planck réduite. Après adimensionnalisation, il suffit de considérer le
problème
∂ψ
i
= −∆ψ,
(1.23)
∂t
avec une condition initiale ψ(0, x) = ψ0 (x). Nous ne précisons pas plus ici le cadre théorique qui
permet de montrer l’existence et l’unicité d’une solution pour une condition initiale ψ0 ∈ L2 (Rn )
(voir à ce sujet [11] par exemple).
Une transformation de Fourier partielle (seulement sur les variables d’espace) montre que la
solution formelle de (1.23) est telle que
ˆ ξ) = e−it|ξ|2 ψˆ0 (ξ).
ψ(t,
2
Ainsi, si ψ0 ∈ L2 (Rn ), on a ψˆ0 ∈ L2 (Rn ) et donc, comme la fonction ξ 7→ e−it|ξ| est bornée,
ˆ ·) ∈ L2 (Rn ). Par ailleurs, comme kψ(t,
ˆ ·)kL2 = kψˆ0 kL2 , on a kψ(t, ·)kL2 = 1 si initialement
ψ(t,
kψ0 kL2 = 1. L’opérateur d’évolution préserve donc la norme L2 . Par transformée de Fourier inverse,
la forme générale de la solution est
ˆ
2
ei(x·ξ−t|ξ| ) ψˆ0 (ξ) dξ.
(1.24)
ψ(t, x) = (2π)−n
Rn
On montre qu’il est possible de réécrire le membre de droite comme une convolution entre ψ0 et
Gt (x) = (4πt)−n/2 e−inπ/4 ei|x|
2
/4t
,
voir [6, Section XIV.4.1]. On peut aussi noter que ce noyau de convolution peut formellement être
obtenu en remplaçant t par it dans le noyau de la chaleur (1.21).
30
1 Transformation de Fourier
Inégalité de dispersion
Une conséquence remarquable du fait que ψ(t, ·) = Gt ⋆ ψ0 est le résultat suivant :
Proposition 1.8 (Effet régularisant de l’équation de Schrödinger). Si p > 2 et t 6= 0, alors
′
la solution de l’équation de Schrödinger (1.23) avec condition initiale ψ0 ∈ Lp (où p′ = p/(p − 1)
est l’exposant conjugué de p) est telle que
kψ(t, ·)kLp 6 (4π|t|)−n( 2 − p ) kψ0 kLp′ .
1
1
Une telle inégalité est appelée “inégalité de dispersion”. En effet, alors que la norme L2 de la
fonction est préservée, la norme Lp pour p > 2 tend vers 0 lorsque t → +∞. Cela traduit un
certain étalement de la fonction.
Preuve. Pour ψ0 ∈ S (Rn ), on a, au vu de la forme du noyau de convolution,
kψ(t, ·)kL∞ 6 (4π|t|)−n/2 kψ0 kL1 .
On utilise ensuite le théorème d’interpolation 1.15 (avec t = 1 − 2/p) pour conclure.
⊓
⊔
Paquet d’onde gaussien
Afin d’observer de manière plus précise le phénomène de déformation de l’enveloppe d’une
particule quantique (à peu près) localisée, nous traitons une situation dans laquelle tous les calculs
ont le mérite de pouvoir être menés de manière exacte. Plaçons nous dans le cas n = 1 (l’espace
ambiant est R) avec la condition initiale
Å
ψ0 (x) =
1
2πσ02
ã3/4
ã
Å
|x|2
exp iξ0 · x − 2 ,
4σ0
qui est bien de norme L2 égale à 1. Il s’agit d’une onde de De Broglie d’impulsion p0 = ~ξ0 contenue
dans une enveloppe gaussienne. On a
ψˆ0 (ξ) =
Å
σ02
π
ã3/4
2
2
e−σ0 (ξ−ξ0 ) .
L’évolution temporelle s’obtient sans difficulté de principe 3 en calculant de manière exacte l’intégrale (1.24). L’expression de ψ(t, x) à tous temps est cependant assez compliquée, et nous ne nous
intéressons ci-dessous qu’à la probabilité de présence, pour laquelle on obtient (en repassant dans
les unités physiques)
2 !
Å
ã3/2
ã2
Å
x − pm0 t
~
1
2
2+
σ
,
σ(t)
=
exp
−
t2 .
ρ(t, x) = |ψ(t, x)| =
0
2πσ 2 (t)
2σ 2 (t)
2mσ0
(1.25)
Cette expression montre que l’enveloppe de la fonction d’onde reste de forme gaussienne, et que
son centre se déplace de manière rectiligne et uniforme à la vitesse de groupe p0 /m. La largeur
de cette gaussienne augmente progressivement au cours du temps. Cette vitesse d’étalement est
d’autant plus rapide que la particule est légère et initialement localisée (σ0 petit). Ce résultat a
une portée très générale en mécanique quantique, et montre que même si on a réussi à détecter
une particule dans une zone de l’espace, on va la perdre par la suite.
3. Quoiqu’un peu d’analyse complexe soit utile à cette fin...
1.6 Fonctions caractéristiques et transformées de Fourier de mesures
31
1.6 Fonctions caractéristiques et transformées de Fourier de mesures
1.6.1 Premières propriétés des fonctions caractéristiques
La fonction caractéristique d’une variable aléatoire X de loi µ (où µ est une mesure de probabilité sur R, c’est-à-dire une mesure positive de masse totale égale à 1) est définie par 4
ˆ
φ(ξ) =
e−ixξ µ(dx) = E e−iξX .
R
On a bien sûr |φ(ξ)| 6 µ(R) = 1 si ξ ∈ R. On montre que µ est caractérisée de manière unique
par sa fonction caractéristique (voir la Proposition 1.10)
Remarque 1.11. Il est en fait plus usuel de considérer E eiξX comme fonction caractéristique
en théorie des probabilités. Comme ce cours est plutôt un cours sur la transformation de Fourier,
nous préférons adopter une autre convention, qui est plus naturelle au vu du Chapitre 1. Toutefois,
la convention usuelle des ouvrages de théorie des probabilités peut être retrouvée en remplaçant ξ
par −ξ, ou en prenant le complexe conjugué.
Il est utile pour la suite d’introduire la fonction de répartition
F (x) = P(X 6 x) = µ(] − ∞, x]).
Le connaissance de F est équivalente à la connaissance de µ. Rappelons au passage le résultat
suivant (voir par exemple [2]) :
Proposition 1.9 (Propriétés de la fonction de répartition). Une fonction F : R → R
est une fonction de répartition associée à une mesure de probabilité si et seulement si elle est
croissante, continue à droite, et
lim F (x) = 0,
x→−∞
lim F (x) = 1.
x→+∞
La fonction caractéristique a quant à elle les propriétés suivantes.
Théorème 1.17. La fonction caractéristique φ(ξ) d’une mesure de probabilité µ est une fonction
uniformément continue de ξ, qui est définie positive au sens suivant : pour tout n ∈ N⋆ , et pour
tout n-uplets (ρ1 , . . . , ρn ) ∈ Cn et (ξ1 , . . . , ξn ) ∈ Rn ,
n
X
i,j=1
φ(ξi − ξj ) ρi ρj > 0.
(1.26)
Preuve. Soit n ∈ N∗ , et deux n-uplets (ξ1 , . . . , ξn ) ∈ Cn et (ρ1 , . . . , ρn ) ∈ Rn . Alors,
2
ˆ
ˆ X
n
n
n
X
X
−i(ξi −ξj )x
−iξj x φ(ξi − ξj ) ρi ρj =
e
µ(dx) =
ρi ρj
ρj e
µ(dx) > 0.
R
R j=1
i,j=1
i,j=1
La continuité uniforme se prouve par une application du théorème de convergence dominée : pour
(ξ, η) ∈ R2 donnés,
ˆ
ˆ −i(ξ−η)x
−iξx
−iηx
|φ(ξ) − φ(η)| = e
−e
µ(dx) 6
− 1 µ(dx).
e
R
R
Ainsi, la continuité uniforme de φ revient à montrer la continuité en ξ = 0 de l’application
4. On se reportera par exemple au Cours d’Analyse de première année de l’Ecole des Ponts pour des
rappels utiles sur la théorie de l’intégration, et en particulier la définition des intégrales par rapport à une
mesure positive quelconque.
32
1 Transformation de Fourier
ˆ −iξx
ξ 7→
− 1 µ(dx),
e
R
qui est elle-même une conséquence
du théorème
de convergence dominée de Lebesgue, appliqué à
la suite de fonctions fξ (x) = e−iξx − 1. On a en effet fξ (x) → 0 pour tout x ∈ R lorsque ξ → 0,
⊓
et l’intégrabilité de la fonction car 0 6 fξ (x) 6 2.
⊔
Donnons à présent quelques exemples de fonctions caractéristiques. Le lecteur pourra vérifier dans
chaque cas l’uniforme continuité de la fonction.
Exemple 1.1 (Distribution dégénérée). Dans le cas où µ = δa pour a ∈ R (on est dans une
situation déterministe puisque la variable aléatoire étudiée a toujours pour valeur a !), φ(ξ) = e−iaξ .
Exemple 1.2 (Distribution binômiale). Lorsqu’une variable aléatoire X suit une distribution
binômiale de paramètres p ∈ [0, 1] et n ∈ N∗ ,
Å ã
n k
P(X = k) =
p (1 − p)n−k = pk ,
p
pour 0 6 k 6 n. On a
µ(x) =
n
X
pk δ k ,
k=0
et alors
φ(ξ) =
n
X
k=0
n
pk e−ikξ = p e−iξ + (1 − p) .
Exemple 1.3 (Distribution gaussienne). Pour une distribution gaussienne de moyenne M et
de variance σ 2 , la mesure de probabilité est absolument continue par rapport à la mesure de
Lebesgue sur R, et on a µ(dx) = f (x) dx, avec la densité
Å
ã
(x − M )2
1
.
f (x) = √ exp −
2σ 2
σ 2π
La fonction caractéristique correspondante est
ˆ
ˆ
ã
ã
Å
Å
1
e−iM ξ
(x − M )2
y2
√
φ(ξ) = √
dx
=
dy
exp −iξx −
exp
−iyξ
−
2σ 2
2σ 2
σ 2π R
σ 2π R
ã
Å
σ2 ξ2
= exp −iM ξ −
2
par la Proposition 1.2.
Exemple 1.4 (Distribution de Poisson). Pour une distribution de Poisson de paramètre λ,
la mesure de probabilité a pour support N, et pour expression
µ(dx) =
+∞
X
n=0
e−λ
λn
δn (dx).
n!
La fonction caractéristique correspondante est
φ(ξ) =
+∞
X
e−λ
n=0
λn −inξ
e
= exp λ(e−iξ − 1) .
n!
D’un point de vue plus probabiliste, le processus de Poisson peut être défini comme
X
T n = τ1 + · · · + τn ,
1t>Tn ,
Nt =
n>1
où les (τi )i>1 sont des variables aléatoires indépendantes distribuées selon une loi exponentielle de
paramètre λ. Ainsi, pour une réalisation donnée des (τi )i>1 , la fonction t 7→ Nt est constante par
morceaux, et a des sauts de magnitude 1 aux temps t = Tn (n > 1).
1.6 Fonctions caractéristiques et transformées de Fourier de mesures
33
Concluons cette section par un résultat d’unicité qui montre qu’une mesure de probabilité est
entièrement caractérisée par sa fonction caractéristique.
Proposition 1.10. Si deux mesures de probabilité µ1 et µ2 ont la même fonction caractéristique,
alors µ1 = µ2 .
Preuve. Soit φ la fonction caractéristique commune de µ1 et µ2 . On a ainsi l’égalité ponctuelle
F µ1 (ξ) = F µ2 (ξ) = φ(ξ), ces fonctions étant continues et bornées. On en déduit que F µ1 = F µ2
dans S ′ (R) et ainsi que µ1 = µ2 dans S ′ (R) donc dans D′ (R). Pour montrer l’égalité µ1 = µ2 en
tant que mesures de probabilité, il s’agit de montrer que
ˆ
ˆ
f dµ1 =
f dµ2
(1.27)
R
R
pour toute fonction f continue bornée. A ce stade, on n’a cette égalité que pour des fonctions
f ∈ D(R), et il faut donc utiliser un argument de densité pour étendre l’égalité à une classe de
fonctions plus large. On procède en deux étapes successives.
En premier lieu, on montre l’égalité pour toute fonction continue à support compact. Pour ce
faire, on choisit une fonction continue à support compact f . Pour tout ε > 0, il existe fε ∈ D(R)
telle que kf − fε kL∞ 6 ε. Ainsi,
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
f dµ1 −
f dµ2 6 (f − fε ) dµ1 + (f − fε ) dµ2 6 2ε.
R
R
R
R
Ceci montre donc l’égalité (1.27) pour les fonctions continues à support compact.
Pour étendre le résultat aux fonctions continues et bornées, on introduit une suite de fonctions
(ϕn )n∈N , continues à support compact, et telles que, pour tout x ∈ R, la suite (ϕn (x))n∈N est
croissante et converge vers 1 lorsque n → +∞. Fixons alors f continue bornée. On a, pour tout
n ∈ N,
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
f dµ1 −
6 f (1 − ϕn ) dµ1 + f (1 − ϕn ) dµ2 + f ϕn dµ1 −
.
f
dµ
f
ϕ
dµ
2
n
2
R
R
R
R
R
R
Le dernier terme est nul car f ϕn est continue à support compact. Ainsi,
ˆ
ˆ
ˆ
ã
ň
f dµ1 −
∞
f dµ2 6 kf kL
(1 − ϕn ) dµ1 + (1 − ϕn ) dµ2 ,
R
R
R
R
et le membre de droite de l’inégalité ci-dessus converge vers 0 par le théorème de convergence
⊓
monotone. Au final, on a donc bien (1.27) pour des fonctions continues bornées.
⊔
1.6.2 Le théorème de Bochner
Il existe une réciproque au Théorème 1.17, qui exprime que toute fonction continue définie
positive (au sens de (1.26)), et normalisée (φ(0) = 1) est une fonction caractéristique d’une mesure de probabilité (et d’une seule, au vu du résultat d’unicité donné par la Proposition 1.10).
Ainsi, les propriétés des fonctions caractéristiques énoncées au Théorème 1.17 sont non seulement
nécessaires, mais aussi suffisantes.
Théorème 1.18 (Bochner). Si φ : R → C est une fonction définie positive, continue en 0,
et telle que φ(0) = 1, alors il existe une mesure de probabilité µ sur R dont φ est la fonction
caractéristique.
La preuve que nous présentons est reprise de [16, Section 2]. Il existe d’autres preuves, plus
élégantes pour un analyste, mais qui utilisent des résultats avancés de la théorie de l’intégration,
voir Remarque 1.13. Avant cela, nous avons besoin de quelques résultats préliminaires.
34
1 Transformation de Fourier
Lemme 1.1 (Propriétés des fonctions définies positives). Soit φ : R → C une fonction
définie positive. Alors,
(1)
(2)
(3)
(4)
φ(0) ∈ R et φ(0) > 0 ;
φ(−ξ) = φ(ξ) ;
|φ(ξ)| 6 φ(0) ;
pour tout (ξ, η) ∈ R2 , on a
|φ(ξ) − φ(η)|2 6 4 φ(0) |φ(0) − φ(ξ − η)|.
Si φ est continue en 0, alors φ est uniformément continue ;
(5)
si φ est continue en 0, alors, pour toute fonction ϕ ∈ L2 (R) ∩ L1 (R), à support compact,
ˆ
(1.28)
φ(ξ − η) ϕ(ξ) ϕ(η) dξ dη > 0.
R2
Preuve. Considérons la définition (1.26) avec n = 2, ξ1 = ξ ∈ R, ξ2 = 0, ρ1 = ρ ∈ C et ρ2 = 1.
Alors,
φ(0) + φ(ξ) ρ + φ(−ξ) ρ + φ(0) |ρ|2 > 0.
(1.29)
La propriété (1) se montre en prenant ρ = 0. On en déduit que φ(ξ) ρ + φ(−ξ) ρ ∈ R pour tout
ρ ∈ C. Comme φ(ξ) ρ + φ(ξ) ρ est aussi réel, on en déduit par soustraction que (φ(ξ) − φ(−ξ)) ρ est
réel pour tout ρ ∈ C. Le choix ρ = i(φ(ξ) − φ(−ξ)) donne i|φ(ξ) − φ(−ξ)| ∈ R, soit φ(ξ) = φ(−ξ),
ce qui montre le second point.
Pour le troisième point : (1.29) peut se réécrire, par la propriété (2),
φ(0) + 2Re φ(ξ) ρ + φ(0) |ρ|2 > 0.
Si φ(0) = 0, alors, prenant ρ = −φ(ξ), on obtient −|φ(ξ)|2 > 0 et donc φ(ξ) = 0 pour tout ξ ∈ R.
Si φ(0) > 0, on peut considérer ρ = −φ(ξ)/φ(0), et on trouve alors que φ(0)2 > |φ(ξ)|2 . Dans les
deux cas, on a le résultat attendu.
Avec le choix ξ1 = ξ, ξ2 = η, ξ3 = 0, la propriété (4) peut être vue comme une conséquence du
fait que la matrice
é
Ñ
é Ñ
φ(0) φ(ξ − η) φ(ξ)
φ(0) φ(ξ − η) φ(ξ)
φ(η − ξ) φ(0) φ(η) = φ(ξ − η) φ(0) φ(η)
φ(−ξ) φ(−η) φ(0)
φ(ξ)
φ(η) φ(0)
est définie positive par (1.26). En particulier, son déterminant est positif, soit
0 6 φ(0)3 + φ(ξ − η)φ(η)φ(ξ) + φ(ξ − η)φ(η)φ(ξ) − φ(0) |φ(ξ)|2 + |φ(η)|2 + |φ(ξ − η)|2
= φ(0)3 − φ(0) |φ(ξ) − φ(η)|2 + |φ(ξ − η)|2
− φ(0) − φ(ξ − η) φ(η)φ(ξ) − φ(0) − φ(ξ − η) φ(η)φ(ξ)
6 φ(0)3 − φ(0) |φ(ξ) − φ(η)|2 + |φ(ξ − η)|2 + 2φ(0)2 |φ(0) − φ(ξ − η)| ,
où on a utilisé la propriété (3). Comme
φ(0)2 − |φ(ξ − η)|2 = φ(0) − |φ(ξ − η)| φ(0) + |φ(ξ − η)| 6 φ(0) + |φ(ξ − η)| |φ(0) − φ(ξ − η)|,
on a alors
1.6 Fonctions caractéristiques et transformées de Fourier de mesures
35
|φ(ξ) − φ(η)|2 6 φ(0)2 − |φ(ξ − η)|2 + 2 φ(0) |φ(0) − φ(ξ − η)|
6 3 φ(0) + |φ(ξ − η)| |φ(0) − φ(ξ − η)|
6 4 φ(0) |φ(0) − φ(ξ − η)| .
On en déduit immédiatement l’uniforme continuité de la fonction si on a continuité en 0.
Pour montrer le dernier point, considérons une fonction continue ϕ à support compact K. Pour
tout N ∈ N∗ , la fonction K N → C définie par
(ξ1 , . . . , ξN ) 7→
N
X
i,j=1
φ(ξi − ξj )ϕ(ξi )ϕ(ξj )
est continue et à valeurs positives. Son intégrale par rapport à la mesure dξ1 . . . dξN est donc
encore positive. Calculons cette intégrale :
I=
ˆ
N
X
K N i,j=1
φ(ξi − ξj )ϕ(ξi )ϕ(ξj ) dξ1 . . . dξN =
N ˆ
X
i,j=1
KN
φ(ξi − ξj )ϕ(ξi )ϕ(ξj ) dξ1 . . . dξN > 0.
Lorsque i = j (ce qui se produit N fois), on intègre une fonction d’une seule variable, et l’intégrale
correspondante vaut
ˆ
N λLeb (K)N −1 φ(0)
R
|ϕ|2 .
Lorsque i 6= j, la somme des N (N − 1) intégrales correspondantes est
ˆ
Leb
N −2
N (N − 1)λ (K)
φ(ξ − η)ϕ(ξ)ϕ(η) dξ dη.
R2
L’intégrale au membre de droite est bien définie car ϕ ∈ L1 (R) et φ ∈ L∞ (R) par le point (3). Au
final,
ˆ
ˆ
λLeb (K)
I
06
=
φ(0) |ϕ|2 .
φ(ξ − η)ϕ(ξ)ϕ(η) dξ dη +
N (N − 1)λLeb (K)N −2
N −1
R2
R
⊓
⊔
On obtient alors (1.28) dans la limite N → +∞.
Lemme 1.2 (Convergence d’une suite de fonctions caractéristiques). Soit (φn )n>1 une
suite de fonctions caractéristiques associées à une famille de mesures de probabilité (µn )n>1 . On
suppose que la limite
lim φn (ξ) = φ(ξ)
n→+∞
existe pour tout ξ ∈ R, et que la fonction φ est continue en ξ = 0. Alors φ est la fonction
caractéristique d’une mesure de probabilité µ.
Notons que, comme φn (0) = 1, on a φ(0) = 1. Cette remarque est importante pour la preuve du
lemme.
Remarque 1.12 (Convergence faible). La preuve de ce lemme montre qu’en fait µn converge
faiblement vers µ, au sens où, pour toute fonction continue bornée h : R → R, on a
ˆ
ˆ
lim
h(x) µn (dx) =
h(x) µ(dx).
n→+∞
R
R
En théorie des probabilités, on parle de convergence en loi.
36
1 Transformation de Fourier
Preuve. La preuve est menée en trois temps. On construit tout d’abord une limite possible pour la
suite des fonctions de répartition (par un argument de compacité, connnu sous le nom de théorème
de Helly-Bray), on montre ensuite que cette limite est bien une fonction de répartition, et, enfin,
on prouve que cette fonction de répartition limite est bien associée à φ.
Etape 1 : construction de la limite. Notons (Fn )n>1 la suite des fonctions de répartition
associées à la suite des mesures (µn )n>1 . Soit (r1 , r2 , . . . ) une énumération des nombres rationnels.
Pour tout j > 1, on considère la suite réelle (Fn (rj ))n>1 , qui est bornée inférieurement par 0 et
supérieurement par 1. Par le procédé d’extraction diagonale, on peut donc extraire une sous-suite
(Gk )k>1 = (Fnk )k>1 telle que la limite
lim Gk (r) = br
k→+∞
existe pour tout r ∈ Q. La monotonie des fonctions de répartition Fn implique que r 7→ br est
croissante sur Q. On construit à présent une fonction G à partir du squelette 5 {br }r∈Q , en posant
G(x) = inf br .
r>x
Etape 2 : la limite est une fonction de répartition. On montre facilement que G est croissante, et est à valeurs dans [0, 1]. Montrons que G est continue à droite. Considérons pour ce faire
une suite décroissante (xm )m>1 telle que xm → x par valeurs supérieures. Pour tout r ∈ Q tel que
r > x, il exite M < +∞ tel que xm < r pour m > M . Ceci montre donc que G(x) = inf m>1 G(xm )
et donc la continuité à droite.
Montrons à présent qu’en tout point de continuité de G (i.e. les points x ∈ R auxquels la limite
à gauche et à droite coïncident), on a
lim Gk (x) = G(x).
k→+∞
Soit r > x un nombre rationnel. Alors, Gk (x) 6 Gk (r) et, comme Gk (r) → br = G(r) lorsque
k → +∞, on en déduit que
lim sup Gk (x) 6 br .
k→+∞
En prenant l’infimum sur les nombres rationnels r > x, on conclut finalement
lim sup Gk (x) 6 G(x).
k→+∞
Considérons à présent y < x. Il existe r ∈ Q tel que y < r < x, d’où G(y) 6 br , et, comme Gk est
croissante pour tout k > 1,
lim inf Gk (x) > lim inf Gk (r) = br > G(y).
k→+∞
k→+∞
Cette inégalité étant vraie pour tout y < x,
lim inf Gk (x) > sup G(y) = G(x),
k→+∞
y<x
puisque x est par hypothèse un point de continuité de G. Au final, on a donc
lim sup Gk (x) 6 G(x) 6 lim inf Gk (x),
k→+∞
k→+∞
ce qui montre que
lim sup Gk (x) = lim inf Gk (x) = lim Gk (x) = G(x).
k→+∞
k→+∞
k→+∞
5. On va voir dans ce qui suit qu’il suffisait de partir d’un ensemble {rj }j∈Z dénombrable dense, pas
forcément Q.
1.6 Fonctions caractéristiques et transformées de Fourier de mesures
37
Pour montrer que G est une fonction de répartition, il faut 6 (et il suffit, au vu de la Proposition 1.9) de montrer que G a les bonnes limites en ±∞. On a, pour tout n > 1, en utilisant le
théorème de Fubini,
å
ˆ Ç
ˆ
ˆ R
ˆ R
1
sin(Rx)
1
−iξx
φn (ξ) dξ =
e
dξ µn (dx) =
µn (dx)
2R −R
2R −R
Rx
R
R
ˆ ˆ
ˆ
sin(Rx) sin(Rx) sin(Rx) µn (dx) =
µn (dx) +
6
Rx Rx Rx µn (dx)
R
|x|<K
|x|>K
Å
ã 1
1
µn |x| > K
=1− 1−
µn |x| > K ,
6 µn ] − K, K[ +
RK
RK
où on a utilisé les majorations | sin x| 6 |x| et | sin x| 6 1 pour passer de l’avant-dernière à la
dernière ligne. Ainsi,
1
1−
2R
ã ã
Å
Å
1
1
µn |x| > K
1 − Fn (K) + Fn (−K) ,
> 1−
φ(ξ) dξ > 1 −
RK
RK
−R
ˆ
R
et donc, avec le choix K = 2/R,
Å
1 − Fn
2
R
ã
å
Ç
ˆ R
ã
Å
1
2
φn (ξ) dξ .
+ Fn −
62 1−
R
2R −R
On peut montrer la convergence du membre de droite avec un théorème de convergence dominée
(car on a convergence ponctuelle des φn par hypothèse, et que la suite des φn est uniformément
intégrable car ce sont des fonctions bornées que l’on intègre sur un compact fixe). On a convergence
à gauche si ±2/R sont des points de continuité de G. Or, les points de discontinuité sont au plus
dénombrables, 7 et on peut donc choisir R pour que 2/R soit un point de continuité. Passant à la
limite k → +∞ pour la suite extraite Fnk = Gk , on obtient
å
Ç
ˆ R
Å
ã
Å ã
2
1
2
φ(ξ) dξ .
+G −
62 1−
1−G
R
R
2R −R
Comme φn (0) = 1 pour tout n ∈ N, on en déduit que φ(0) = 1. On utilise alors la continuité de φ
en ξ = 0 pour conclure que, dans la limite R → 0,
1 − lim G(x) + lim G(x) 6 0,
x→+∞
x→−∞
soit nécessairement, puisque G est croissante à valeurs dans [0, 1],
lim G(x) = 1,
x→+∞
lim G(x) = 0.
x→−∞
Ceci montre que G est une fonction de répartition, et on note µ la mesure de probabilité associée.
Etape 3 : la fonction de répartition limite est bien associée à φ. On utilise enfin un
résultat de théorie des probabilité qui énonce que si Gk (x) = Fnk (x) → G(x) en tout point de
continuité de G, alors φnk (ξ) → ψ(ξ), où ψ est la fonction caractéristique associée à G. L’unicité
de la limite montre que ψ = φ, et donc que G est la fonction de répartition associée à φ.
Notons µ la mesure associée à G. Pour une fonction continue bornée h quelconque, montrons
que
6. Il reste en effet du travail ! Prendre le cas Fn = χx>n par exemple, i.e. µn = δn . Dans ce cas, on a
G(x) = 0 pour tout x ∈ R, qui n’est pas une fonction de répartition... C’est ce qu’on appelle une perte de
masse à l’infini.
7. Ceci provient du fait qu’il existe un nombre rationnel situé entre la limite à gauche et la limite à
droite de la fonction en un point de discontinuité.
38
1 Transformation de Fourier
lim
k→+∞
ˆ
R
h(x) µnk (dx) →
ˆ
h(x) µ(dx)
R
lorsque k → +∞. On obtiendra le résultat attendu avec hξ (x) = e−iξx (et ce, pour tout ξ ∈ R).
Fixons à présent ε > 0, et choisissons deux points de continuité a, b de G tels que G(a) 6 ε et
G(b) > 1 − ε. Comme Gk (x) → G(x) aux points de continuité, il existe K ∈ N tel que Gk (a) 6 2ε
et Gk (b) > 1 − 2ε si k > K. Par ailleurs, la fonction h est continue sur le compact [a, b] et donc
uniformément continue. On peut donc découper l’intervalle ]a, b] en un nombre fini M de sousintervalles Ii =]ai−1 , ai ], avec 1 6 i 6 M , a0 = a, aM = b, chaque ai étant un point de continuité
de G et |h(x) − h(y)| 6 ε si (x, y) ∈ Ii2 . Ainsi, la fonction
H(x) =
M
X
h(ai ) χIi (x)
i=1
est telle que |h(x) − H(x)| 6 ε pour tout (x, y) ∈]a, b]2 , et H(x) = 0 si x 6∈ [a, b]. On a donc,
en décomposant l’intégration sur R en une intégration sur les intervalles disjoints ] − ∞, a], ]a, b],
]b, +∞[,
ˆ
ˆ
h(x) µ(dx) −
H(x) µ(dx) 6 khkL∞ µ ] − ∞, a] + µ ]b, −∞[ + εµ ]a, b]
R
R
6 khkL∞ (1 − G(b) + G(a)) + ε 6 2khkL∞ + 1 ε.
De même, pour k > K,
ˆ
ˆ
h(x) µn (dx) −
H(x) µnk (dx) 6 khkL∞ (1 − Gk (b) + Gk (a)) + ε 6 4khkL∞ + 1 ε.
k
R
R
Or, les {ai } étant des points de continuité de G,
ˆ
H(x) µnk (dx) =
R
M
X
i=1
M
X
f (ai ) G(ai ) − G(ai−1 )
f (ai ) Gk (ai ) − Gk (ai−1 ) −−−−−→
k→+∞
i=1
=
ˆ
H(x) µ(dx).
R
On a donc finalement, par une inégalité triangulaire,
ˆ
ˆ
h(x) µ(dx) 6 6khkL∞ + 2 ε.
lim sup h(x) µn (dx) −
n→+∞
R
R
ce qui montre bien la convergence escomptée.
⊓
⊔
Nous pouvons à présent mener la
Preuve (du Théorème 1.18). Le Lemme 1.2 montre qu’il suffit de construire une famille de fonctions
caractéristiques telles que, pour tout t ∈ R, on a φn (t) → φ(t) lorsque n → +∞. La preuve peut
être décomposée en deux étapes.
Etape 1 : Si φ est intégrable, alors
ˇ
f (x) = φ(x)
=
1
2π
ˆ
φ(ξ) eixξ dξ
R
est continue et bornée. Par ailleurs, f (x) > 0 pour tout x ∈ R. En effet, en utilisant un théorème
de convergence dominée, puis le changement de variable (η, η ′ ) 7→ ξ = η − η ′ ,
1
R→+∞ 2π
f (x) = lim
ˆ Rˆ R
ã
Å
′
1
|ξ|
φ(ξ) eixξ dξ = lim
1−
φ(η − η ′ ) eix(η−η ) dη dη ′ .
R→+∞ 2πR 0
R
−R
0
ˆ
R
1.6 Fonctions caractéristiques et transformées de Fourier de mesures
39
Définissant ϕ(ξ) = eixξ χ|ξ|6R (bornée à support compact), l’inégalité (1.28) montre que
ˆ
0
R
ˆ
0
R
′
φ(η − η ) e
ix(η−η ′ )
′
dη dη =
ˆ ˆ
R
R
φ(η − η ′ ) ϕ(η) ϕ(η ′ ) dη dη ′ > 0,
d’où on déduit que f (x) > 0. Définissons la fonction
ˆ x
f (y) dy.
F (x) =
−∞
Il s’agit de montrer que F est une fonction de répartition (i.e. que sa limite lorsque x → +∞ est
bien égale à 1), et que φ est bien la fonction caractéristique associée à la mesure de probabilité de
densité f , ce qui revient à justifier la transformée de Fourier inverse. Pour ce faire, définissons
fσ (x) = f (x) e−σ
2
x2 /2
,
qui est intégrable car f est bornée (notons que f n’est pas intégrable a priori), et procédons par
une preuve similaire à la preuve du Théorème 1.5. On a
ˆ
ˆ ˆ
2 2
1
fσ (x) e−ixξ dx =
e−i(ξ−η)x φ(η) e−σ x /2 dx dη
2π R R
R
ˆ
2
2
1
=
φ(η) √
e−(ξ−η) /2σ dη,
(1.30)
2
2πσ
R
en effectuant la transformée de Fourier de la gaussienne. Avec ξ = 0,
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
2
2
2
2
1
1
√
e−η /2σ dη 6 φ(0)
e−η /2σ dη = φ(0) = 1,
fσ (x) dx =
|fσ (x)| dx 6
|φ(η)| √
2
2
2πσ
2πσ
R
R
R
R
où on a utilisé le point (3) du Lemme 1.1. Dans la limite σ → 0, le lemme de Fatou montre que f
est intégrable et
ˆ
06
f (x) dx 6 1.
R
On peut alors utiliser un argument de convergence dominée, la famille de fonctions (fσ )σ>0 étant
uniformément dominée par la fonction intégrable f . Ainsi, en passant à la limite σ → 0 dans
(1.30), on obtient
ˆ
f (x) e−ixξ dx.
φ(ξ) =
R
Ceci montre en premier lieu que F est bien une fonction de répartition car F (R) = φ(0) = 1, et
également que φ est bien la fonction caractéristique associée à F .
2
2
Etape 2 : Dans le cas général, on vérifie facilement que la fonction ξ 7→ φ(ξ) eiξy e−y /2σ est
également continue et définie positive pour tout y ∈ R et σ > 0, et donc la fonction suivante l’est
également :
ˆ
2
2
2 2
1
φ(ξ) eiξy e−y /2σ dy = φ(ξ) e−σ ξ /2 .
φσ (ξ) = √
2
2πσ R
L’étape précédente montre que φσ est bien la fonction caractéristique d’une mesure de probabilité
µσ . Par ailleurs, φσ (ξ) → φ(ξ) lorsque σ → 0. Le Lemme 1.2 permet de conclure que φ est bien la
⊓
fonction caractéristique d’une mesure de probabilité, ce qui conclut la preuve.
⊔
Remarque 1.13 (Extension au cas des distributions). Le théorème de Bochner-Schwartz
est l’extension du théorème de Bochner au cas des distributions. Cette généralisation repose sur
(1.28) : on dit qu’une distribution T ∈ D′ (R) est définie positive si, pour toute fonction test
ϕ ∈ D(R),
hT, ϕ
e ⋆ ϕiD′ ,D > 0,
40
1 Transformation de Fourier
où ϕ(x)
e
= ϕ(−x). On montre alors qu’une distribution est définie positive si et seulement si c’est
la transformée de Fourier d’une mesure tempérée positive (au sens de S ′ (R)), une mesure positive
µ(dx) sur R étant dite tempérée s’il existe k ∈ N tel que
ˆ
(1 + |x|)−k µ(dx) < +∞.
R
Notons qu’une mesure tempérée définit bien une distribution tempérée.
1.7 Formule de Lévy-Khintchine et processus de Lévy
Les processus de Lévy sont une classe très importante de processus stochastiques, utilisés
dans de nombreux domaines d’applications, en finance bien sûr, mais également en physique, en
ingénierie de la fiabilité, etc. Intuitivement, un processus de Lévy peut être vu comme la somme
d’un mouvement Brownien (une diffusion stochastique presque sûrement continue) et d’une infinité
de processus de Poisson élémentaires indépendants. Ces derniers sont à l’originie de sauts donc de
discontinuités dans la trajectoire, mais ces discontinuités n’apparaissent pas à endroit fixe. Pour
être précis, donnons la
Définition 1.7 (Processus de Lévy). Soit (Ω, B, P) un espace probabilisé. Un processus stochastique (Xt )t>0 , à valeurs dans Rn , est un processus de Lévy (également appelé processus à
incréments stationnaires et indépendants) si
(1) pour presque tout ω ∈ Ω, t 7→ Xt (ω) est continue à droite sur [0, +∞[, avec des limites à
gauche sur ]0, +∞[ ;
(2) pour 0 6 t0 < t1 < · · · < tn , les variables aléatoires Yj = Xtj − Xtj−1 (1 6 j 6 n) sont
indépendantes ;
(3) la loi de Xt+h − Xt dépend de h > 0 mais pas de t.
En fait, nous n’aurons pas besoin de toutes ces notions probabilistes par la suite. Nous nous
concentrerons sur une certaine propriété des processus de Lévy, l’indéfinie divisibilité.
Définition 1.8 (Mesure de probabilité indéfiniment divisible). Soit µ une mesure de probabilité sur R, et φµ sa fonction caractéristique. On dit que µ est indéfiniment divisible si, pour
tout n ∈ N, il existe une mesure de probabilité µn sur R dont la fonction caractéristique φµn est
telle que
φµ (t) = φµn (t)
n
.
Exercice 1.19. Montrer que la distribution dégénérée, la distribution gaussienne et la distribution
de Poisson sont indéfiniment divisibles.
On peut également caractérister l’indéfinie divisibilité par une propriété de convolution. Pour deux
mesures de probabilité µ1 , µ2 sur R, on définit une nouvelle mesure de probabilité µ1 ⋆ µ2 sur R
en précisant son action sur les fonctions test (mesurables bornées)
ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ϕ(x) (µ1 ⋆ µ2 )(dx) =
ϕ(x + y) µ1 (dx) µ2 (dy) =
ϕ(x + y) µ2 (dy) µ1 (dx).
R
R
R
R
R
En appliquant cette formule au cas où ϕ est une fonction caractéristique, la mesure d’un ensemble
borélien B ∈ B(R) est
ˆ
ˆ
(µ1 ⋆ µ2 )(B) =
µ1 (B − y) µ2 (dy) =
µ2 (B − x) µ1 (dx).
R
R
Lorsque µ1 et µ2 ont toutes les deux des densités f1 (x) et f2 (x) par rapport à la mesure de
Lebesgue dx, on retrouve le produit de convolution usuel :
1.7 Formule de Lévy-Khintchine et processus de Lévy
ň
(µ1 ⋆ µ2 )(dx) = f1 ⋆ f2 (x) dx =
R
41
ã
f1 (x − y) f2 (y) dy dx.
En effet, une application du théorème de Fubini donne
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ
ϕ(x)f1 (x − y)f2 (y) dx dy
ϕ(x + y) f1 (x) f2 (y) dx dy =
ϕ(x) (µ1 ⋆ µ2 )(dx) =
R R
R
ˆR R
ϕ(x) (f1 ⋆ f2 )(x) dx.
=
R
Muni de cette définition, on peut énoncer la
Proposition 1.11. Une mesure de probabilité µ sur R est indéfiniment divisible si et seulement
si, pour tout n ∈ N, il existe une mesure de probabilité µn sur R telle que
µ = µn ⋆ · · · ⋆ µn ,
où la convolution est effectuée n − 1 fois.
La preuve de cette proposition est une application immédiate du théorème de Bochner. D’un
point de vue plus probabiliste, et pour revenir aux processus de Lévy, on peut dire qu’une variable
aléatoire X de loi µ est indéfiniment divisible s’il existe une mesure de probabilité µn sur R telle
(n)
(n)
que, si X1 , . . . , Xn sont des variables aléatoires indépendantes de loi µn , alors
(n)
Sn = X1
+ · · · + Xn(n)
a même loi que X. Il est clair que si (Xt )t>0 est un processus de Lévy, alors la loi de X1 est indéfiniment divisible. La réciproque, à savoir que toute mesure de probabilité indéfiniment divisible
est la loi de X1 pour un certain processus de Lévy (Xt )t>0 , est la conséquence du résultat suivant,
central dans la théorie des processus de Lévy, qui donne la forme générale de la transformée de
Fourier des mesures de probabilité indéfiniment divisibles.
Théorème 1.19 (Formule de Lévy-Khintchine). Une variable aléatoire X à valeurs dans R,
de loi µ, est indéfiniment divisible si et seulement si sa fonction caractéristique est de la forme
φ(ξ) = eψ(ξ) ,
avec
ψ(ξ) = ib ξ −
σ2 ξ2
+
2
ˆ Å
e−iξy − 1 −
R
(1.31)
iξy
1 + y2
ã
ν(dy),
(1.32)
avec b ∈ R, σ > 0 et ν une mesure positive telle que
ˆ
min(1, y 2 ) ν(dy) < +∞.
R
Remarque 1.14. Il existe des formulations alternatives de (1.32). Par exemple, certains auteurs
préfèrent écrire
ˆ σ2 ξ2
+
ψ(ξ) = ibξ −
e−iξy − 1 − iξ 1|y|61 ν(dy).
2
R
Cette formulation est bien équivalente, quitte à changer b.
Une preuve est disponible dans [2], par exemple. Un processus (Xt )t>0 est un processus de Lévy
si et seulement si X1 est indéfiniment divisible, et on montre que la fonction caractéristique de Xt
est
φt (ξ) = etψ(ξ) .
(1.33)
On peut motiver la formule de Lévy-Khintchine (qui semble compliquée !) en l’explicitant dans
des cas simples, mais prototypiques du cas général :
42
1 Transformation de Fourier
(i) la fonction caractéristique au temps t d’un mouvement Brownien de dérive b et de variance σ :
dXt = b + σdWt
est de la forme
φBrownien
(ξ) = e−itbξ−σ
t
2
tξ 2 /2
car, si X0 = x, alors Xt est distribué selon une loi gaussienne centrée en x + bt et de
variance tσ 2 . On a bien la forme (1.33), avec, dans (1.32), ν(dy) = 0.
(ii) un processus de Poisson de support αN a, quant à lui, une fonction caractéristique de la
forme
φPoisson = exp λ(e−iαξ − 1) ,
et donc la somme de N processus de Poisson indépendants, de paramètres (λi , αi ), a pour
fonction caractéristique
φPoisson,N (ξ) =
N
Y
i=1
ã
ň
(e−iyξ − 1)ρ(dy) ,
exp λi (e−iαi ξ − 1) = exp
R
où la mesure finie ρ est une mesure discrète :
ρ(dy) =
X
λ i δ αi .
i=1
On a donc bien une fonction caractéristique du type (1.31), avec, dans (1.32), σ = 0, ν(dy) =
ρ(dy), et
ˆ
y
ρ(dy) ;
b=
2
R 1+y
(iii) en pratique, il est plus intéressant d’avoir un processus de Poisson dont les tailles de saut ne
sont pas fixées à l’avance, mais ont une certaine distribution. Un processus de Poisson composé est une généralisation du processus de Poisson discuté dans l’Exemple 1.4. Introduisons
pour cela un processus de Poisson Nt de paramètre λ, et une suite de variables aléatoires
indépendantes (Yi )i>1 de loi α. Alors le processus de Poisson composé associé à ces deux
objets est
Nt
X
Yi .
Xt =
i=1
Les trajectoires de ce processus sont continues à droite avec des limites à gauche, et en fait
constantes par morceaux avec des sauts distribués selon α. On vérifie facilement que c’est
un processus de Lévy. Sa loi au temps t n’est pas connue explicitement, mais sa fonction
caractéristique est facile à obtenir. En effet, la loi de Y1 + · · · + Yn est αn = α ⋆ · · · ⋆ α (où
on a effectué n − 1 convolutions), et la loi de Xt est
+∞
X
n=0
e−λt
αn
(λt)n .
n!
Cette formule peut s’obtenir de la même manière que celle donnant la loi de Poisson, quitte
à introduire en plus la loi de la hauteur des sauts Y1 + · · · + Yn . La fonction caractéristique
associée est alors
n
Å ˆ ã
+∞
λt
α
ˆ
(ξ)
X
= e−λt exp λt α
ˆ (ξ) = exp λt
e−iyξ − 1 α(dy) .
e−λt
φt (ξ) =
n!
R
n=0
On a bien la forme (1.33), avec, dans (1.32), σ = 0, ν(dy) = λ α(dy), et
ˆ
y
b=
ν(dy).
2
R 1+y
1.7 Formule de Lévy-Khintchine et processus de Lévy
43
Un processus de Lévy général est la somme d’un mouvement Brownien t 7→ bt + σdWt et d’un
processus de saut Zt , avec possiblement une infinité de sauts. La condition
ˆ
min(1, y 2 ) ν(dy) < +∞.
R
assure qu’il n’y a pas trop de sauts (au sens : pas trop souvent et/ou pas de trop gros sauts). On
montre en effet que la mesure ν décrit les sauts au sens suivant : pour tout ensemble fermé A ⊂ R
avec 0 6∈ A, ν(A) est le nombre moyen de sauts de X dont la taille tombe dans A sur l’intervalle
de temps [0, 1].
2
Echantillonnage et transformée de Fourier discrète
L’objet principal de ce chapitre est d’étudier la transformée de Fourier de fonctions échantillonnées. Par soucis de simplification, nous ne considérerons dans ce chapitre que des fonctions
définies sur R, les résultats s’étendant cependant aux cas multidimensionnels. Nous limitons de
plus notre étude à l’échantillonnage uniforme, où les échantillons sont espacés régulièrement, bien
que l’échantillonnage non-uniforme soit aussi utilisé dans la pratique. Nous verrons que l’échantillonnage uniforme d’une fonction continue f à un pas T peut être vu comme le peigne de Dirac :
fT = T
+∞
X
f (nT ) δnT .
n=−∞
Pour mesurer la perte d’information subie en remplaçant f par fT , on fera le lien entre leurs
transformées de Fourier fˆ et fˆT . Grâce à la théorie de Fourier des distributions tempérées vue au
chapitre précédent, nous pouvons donner un sens à la transformée de Fourier de fT .
Partie II
Introduction à la théorie spectrale
3
Introduction à la théorie spectrale
3.1 Opérateurs linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Opérateurs bornés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3 Inverse d’un opérateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.4 Adjoint d’un opérateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Théorie spectrale des opérateurs bornés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Théorie générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Cas des opérateurs bornés autoadjoints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Quelques éléments sur la théorie spectrale des opérateurs non bornés .
3.2.4 Invariance par transformation unitaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Opérateurs compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Rappels et compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Définition et premières propriétés des opérateurs compacts . . . . . . . . . .
3.3.3 Le théorème de Rellich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.4 Théorie spectrale des opérateurs compact autoadjoints . . . . . . . . . . . . . .
3.3.5 Opérateurs à résolvante compacte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Equation de la chaleur et équation des ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 Equation de Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.3 Equation de Fokker-Planck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Une introduction à la théorie des semi-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Semi-groupes uniformément continus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2 Semi-groupes fortement continus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.3 Générateur infinitésimal d’un semi-groupe fortement continu . . . . . . . . .
3.5.4 Caractérisation des générateurs infinitésimaux des semi-groupes
fortement continus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
50
50
54
55
58
58
63
66
66
67
67
68
72
74
78
78
78
81
84
85
85
87
89
91
Nous présentons dans cette section les fondements de la théorie spectrale des opérateurs (définis
en Section 3.1). Cette théorie est particulièrement utile et importante dans l’étude des équations
aux dérivées partielles. En effet, un des buts premiers de l’étude d’un opérateur est la détermination de son spectre (Section 3.2), qui est la généralisation en dimension infinie de l’ensemble
des valeurs propres d’une matrice. Dans les cas les plus agréables, notamment pour les opérateurs
dits compacts (Section 3.3) on peut déterminer complètement de manière qualitative le spectre
d’un opérateur, et ensuite l’approcher numériquement. Ceci permet de résoudre des problèmes
d’évolution en mécanique, physique, etc, comme l’équation de la chaleur, l’équation de ondes, ou
l’équation de Schrödinger (voir Section 3.4).
50
3 Introduction à la théorie spectrale
3.1 Opérateurs linéaires
3.1.1 Définition
Soient E, F deux espaces de Banach. Un opérateur linéaire est une application linéaire A :
D(A) ⊂ E → F , i.e.
∀(x, y) ∈ D(A)2 ,
A(x + y) = Ax + Ay,
On a bien sûr A(0) = 0. Le domaine de l’opérateur
Ax a un sens en tant qu’élément de F :
n
D(A) = x ∈ E
On dit qu’un opérateur A est borné si
kAk =
∀λ ∈ C, A(λx) = λAx.
est l’ensemble des éléments de E pour lesquels
o
Ax ∈ F .
kAxkF
= sup kAxkF < +∞.
x∈E\{0} kxkE
|x|61
sup
(3.1)
Exemple 3.1 (Laplacien). Si E = F = L2 (Rd ), on peut définir l’opérateur A = −∆ de domaine
D(A) = H2 (Rd ). On pourrait toutefois considérer un opérateur de domaine plus petit, par exemple
restreint aux fonctions C∞ (Rd ) à support compact. Notons que −∆ n’est pas un opérateur borné
de E dans E. Il suffit de considérer la suite fn (x) = nd/2 χ(nx) avec χ ∈ D(Rd ). On a alors
k∆fn kL2
k∆χkL2
= n2
−→ +∞
kfn kL2
kχkL2
lorsque n → +∞.
On verra par la suite qu’il est important de définir à la fois l’action de l’opérateur (appliquer
−∆ ici) et son domaine (sur quel ensemble de fonctions il agit). Deux opérateurs ayant la même
action sont a priori différents si leurs domaines sont différents. On ne peut pas toujours comparer
les domaines de deux opérateurs en terme d’inclusion, mais lorsque cela est possible, on parle
d’extension.
Définition 3.1 (Extension d’un opérateur). On dit qu’un opérateur A2 est une extension de
l’opérateur A1 , et on note A1 ⊂ A2 si D(A1 ) ⊂ D(A2 ) et A1 x = A2 x pour tout x ∈ D(A1 ).
On supposera toujours dans ce cours que le domaine D(A) est dense dans E, i.e. que tout élément
x ∈ E peut être approché par une suite (xn )n>1 d’éléments de D(A) tels que kx − xn kE → 0
lorsque n → +∞.
3.1.2 Opérateurs bornés
On note L(E, F ) l’espace vectoriel des opérateurs bornés. En général, les opérateurs ne sont
pas bornés, comme le montre l’Exemple 3.1.
Exercice 3.1. Montrer que k · k définie par (3.1) est une norme.
Correction 3.1. Le seul point éventuellement délicat est de montrer l’inégalité triangulaire kA +
Bk 6 kAk + kBk. Pour ce faire, on fixe f ∈ E\{0} et on écrit
k(A + B)f kF 6 kAf kF + kBf kF 6 kAk + kBk kf kE .
Ceci montre que
k(A + B)f kF
6 kAk + kBk,
kf kE
d’où le résultat en prenant le supremum sur f ∈ E\{0}.
⊓
⊔
3.1 Opérateurs linéaires
51
Exercice 3.2. Soient E, F, G trois espaces de Banach, et A ∈ L(E, F ) et B ∈ L(F, G). Montrer
que BA ∈ L(E, G) et kBAk 6 kAkkBk.
Correction 3.2. C’est une conséquence immédiate de la série suivante d’inégalités :
kBAf kG 6 kBkkAf kF 6 kBkkAkkf kE ,
d’où on déduit que
sup kBAf kG 6 kBkkAk,
kf kE 61
⊓
⊔
et donc kBAk 6 kAkkBk.
Remarque 3.1 (Extension d’un opérateur borné). Notons que si D(A) est dense dans E et
kAxkF
< +∞,
x∈D(A)\{0} kxkE
sup
alors on peut étendre de manière unique l’opérateur A de domaine D(A) à un opérateur borné sur
tout l’espace E. Il suffit pour cela que F soit un espace de Banach, E étant un espace vectoriel
normé.
Lemme 3.1. Un opérateur A est borné si et seulement si il est continu.
Preuve. Supposons A borné. Soit ε > 0. Alors, en choisissant
δ=
ε
> 0,
kAk
on a kAx − AykF 6 kAkkx − ykE 6 ε si kx − ykE 6 δ. Ceci montre donc que A est continu.
Réciproquement, supposons A continu. La continuité en 0 montre qu’il existe r > 0 tel que
kAxkF 6 1 pour tout kxkE 6 r. Quitte à remplacer r par min(r, 1), on peut supposer r 6 1. On
a alors, par linéarité de l’application A,
sup kAxkF =
kxkE 61
1
1
sup kAxkF 6 < +∞,
r kxkE 6r
r
⊓
⊔
ce qui montre que l’opérateur A est borné.
Exemple 3.2 (Opérateurs de shift). On considère E = F = lp (N, C) (pour 1 6 p 6 +∞), où
(
)
+∞
X
lp (N, C) = (x1 , x2 , . . . , xn , . . . ) ∈ CN |xi |p < +∞ ,
1 6 p < +∞,
n=1
et
ß
l (N, C) = (x1 , x2 , . . . , xn , . . . ) ∈ CN
∞
™
sup |xi | < +∞ .
i∈N
On définit les opérateurs (bornés) de shift à droite et de shift à gauche, de domaine lp (N, C), par
τd (x1 , x2 , . . . , xn , . . . ) = (0, x1 , x2 , . . . , xn , . . . )
et
τg (x1 , x2 , . . . , xn , . . . ) = (x2 , x3 , . . . , xn , . . . ).
Il est immédiat que kτd xk = kxk pour tout x ∈ l∞ (N, C) et donc kτd k = 1. Pour τg , on note tout
d’abord que kτg xk 6 kxk, avec égalité par exemple pour x = (0, 1, 0, . . . ), ce qui donne kτg k = 1.
Exercice 3.3 (Opérateur de convolution). Soit E = F = L2 (Rd ) et k ∈ L1 (Rd ). Montrer que
l’opérateur T : E → E d’action T f = k ⋆ f est bien défini et est borné avec kT k 6 kkkL1 .
52
3 Introduction à la théorie spectrale
Correction 3.3. Il y a deux manières de montrer que T f ∈ L2 (Rd ) :
(i) On peut utiliser un calcul direct :
2
ˆ ˆ
2
kT f kL2 =
k(x − y)f (y) dy dx
d
d
ˆR ňR
ã ň
ã
2
6
|k(x − y)| dy
|k(x − y)| |f (y)| dy dx
d
Rd
Rd
ˆR ˆ
= kkkL1
|k(x − y)| |f (y)|2 dx dy
d
d
ˆR ˆR
= kkkL1
|k(z)| |f (y)|2 dz dy
Rd
Rd
= kkk2L1 kf k2L2 .
(ii) On peut également se souvenir que la transformée de Fourier transforme un produit de convolution en produit standard :
F (T f ) = F (k)F (f ).
Cette propriété, montrée dans le cas où k, f ∈ L1 (Rd ) (voir le Théorème 1.2), peut s’étendre
au cas présent en considérant l’opérateur Te : S (Rd ) → L2 (Rd ) défini par
T f = k ⋆ f = F −1 F (k)F (f ) .
Comme F (k) est bornée (par la Proposition 1.1) et que F (f ) ∈ L2 (Rd ), on a bien T f ∈
L2 (Rd ) par l’isométrie de la transformée de Fourier sur L2 (voir le Théorème 1.13) avec
l’estimation
kT f kL2 6 kF (k)kL∞ kT f kL2 6 kkkL1 kT f kL2 .
On peut alors, par densité, définir k ⋆ f pour tout f ∈ L2 (Rd ).
Dans les deux cas, on a en fait montré que kT k 6 kkkL1 .
⊓
⊔
Exercice 3.4 (Opérateur intégral). On considère E = L1 ([0, 1], R), F = C 0 ([0, 1], R), et k ∈
C 0 ([0, 1]2 , R). On rappelle que la norme sur l’espace de Banach F est kgkF = supx∈[0,1] |g(x)|. On
considère l’opérateur K défini par
ˆ 1
k(x, y)f (y) dy.
Kf (x) =
0
Vérifier que Kf ∈ F lorsque f ∈ E puis que K ∈ L(E, F ).
Correction 3.4. Pour montrer que K est à valeurs dans F , on pourrait utiliser le Théorème 4.45
de [5] (dont il faudrait au préalable vérifier précisément toutes les hypothèses), mais nous préférons
donner ici une preuve directe vu la simplicité du cas.
Soit f ∈ E donnée. On fixe ε > 0. Par uniforme continuité de k sur [0, 1]2 , il existe δ > 0 tel
que
ε
.
|x − x′ | 6 δ ⇒ k(x, y) − k(x′ , y) 6
kf kL1
On en déduit que, si |x − x′ | 6 δ, alors
ˆ
ˆ
1
1
′
′
|Kf (x) − Kf (x )| = k(x, y) − k(x , y) f (y) dy 6
k(x, y) − k(x′ , y)|f (y)| dy
0
0
′
6 kf kL1 sup k(x, y) − k(x , y) 6 ε,
y∈[0,1]
ce qui montre la continuité de la fonction Kf , et donc Kf ∈ F . Ensuite,
(3.2)
3.1 Opérateurs linéaires
kKf kF = sup |Kf (x)| 6
x∈[0,1]
ˆ
0
53
1
|k(x, y)| |f (y)| dy 6 kkkF kf kL1 ,
⊓
⊔
ce qui montre que K ∈ L(E, F ) avec kKk 6 kkkF .
Exemple 3.3 (Opérateur de multiplication). Soit E = F = L2 (Rd ). Pour une fonction V ∈
L∞ (Rd , C) donnée, on peut définir un opérateur borné A (donc de domaine D(A) = L2 (Rd )) par
Aφ = V φ.
Pour une fonction mesurable V qui n’est pas bornée, il faudrait restreindre le domaine de l’opérateur aux fonctions φ ∈ L2 (Rd ) telles que
ˆ
|V φ|2 < +∞.
Rd
Il n’est toutefois pas clair que l’on obtiendrait ainsi un sous-ensemble dense de L2 (Rd ). C’est
toutefois le cas si V ∈ L1loc (Rd ) car D(Rd ) ⊂ D(A) dans ce cas, et D(Rd ) est dense dans L2 (Rd ).
Exercice 3.5. Montrer que si dans l’Exemple 3.3 la fonction V est continue et bornée, alors
kAk = sup |V (x)|.
x∈Rd
Correction 3.5. On montre facilement que kAk 6 supx∈Rd |V (x)|. Pour obtenir l’égalité, on distingue deux cas.
(i) Supposons pour commencer qu’il existe x0 ∈ Rd tel que supx∈Rd |V (x)| = |V (x0 )|. Fixons
ε > 0. Il existe δ > 0 tel que |V (x)| > |V (x0 )| − ε si |x − x0 | 6 δ. En introduisant
φε (x) = |B(x0 , δ)|−1/2 1B(x0 ,δ) ,
on voit que kφε kL2 = 1 et
kAφε k2L2 =
1
|B(x0 , δ)|
ˆ
B(x0 ,δ)
2
|V (x)|2 dx > (|V (x0 )| − ε) ,
ce qui donne
kAk = sup kAφkL2 > kAφε kL2 = |V (x0 )| − ε.
kφk61
En passant à la limite ε → 0, on montre ainsi que kAk > |V (x0 )|, et finalement l’égalité.
(ii) Si le sup n’est pas atteint, on commence par fixer ε > 0. Il existe alors xε ∈ Rd tel que
|V (xε )| > supx∈Rd |V (x)| − ε/2. On procède ensuite comme ci-dessus en introduisant δ tel
que |V (x)| > |V (xε )| − ε/2 si |x − x0 | 6 δ.
Noter que l’on aurait aussi pu utiliser une suite d’approximations de l’identité et un théorème de
⊓
convergence dominée.
⊔
Concluons cette section par un résultat important.
Proposition 3.1. Si F est un espace de Banach et E un espace normé, alors L(E, F ) est un
espace de Banach.
Preuve. Considérons une suite de Cauchy (An )n>0 de L(E, F ) pour la norme donnée par (3.1).
Alors, pour tout ε > 0, il existe Nε ∈ N tel que
kAn − Am k 6 ε
(3.3)
si n, m > Nε . En particulier, la suite (kAn k)n>0 est bornée, et il existe C > 0 tel que 0 6 kAn k 6
C < +∞ pour tout n ∈ N. Pour x ∈ E donné, on a
54
3 Introduction à la théorie spectrale
kAn x − Am xkF 6 εkxkE
(3.4)
si n, m > Nε . La suite (An x)n>0 est ainsi une suite de Cauchy de l’espace de Banach F , et admet
donc une limite ax ∈ F . On peut construire un opérateur limite A en posant Ax = ax . On vérifie
facilement que A est linéaire (par unicité de la limite). Par ailleurs, en passant à la limite m → +∞
dans (3.4), on obtient
kAn x − AxkF 6 εkxkE ,
et donc, pour n > Nε ,
kAxkF 6 kAn x − AxkF + kAn xkF 6 (C + ε)kxkE .
Ainsi, A est dans L(E, F ) et on peut passer à la limite dans (3.3) (ou prendre le supremum sur
les x ∈ E avec kxkE 6 1) et obtenir que, pour tout ε > 0, il existe Nε ∈ N tel que
kAn − Ak 6 ε
⊓
⊔
pour tout n > Nε , ce qui montre bien que An → A dans L(E, F ).
3.1.3 Inverse d’un opérateur
Pour un opérateur A de domaine D(A), on définit son image
n
Ran(A) = A D(A) = y ∈ F ∃x ∈ D(A),
et son noyau
o
y = Ax ,
n
o
Ker(A) = x ∈ D(A) Ax = 0 .
On dit que A est injectif si Ker(A) = {0}, et que A est surjectif si Ran(A) = F . L’opérateur est
bijectif s’il est à la fois injectif et surjectif.
Exemple 3.4. L’opérateur de shift à droite est injectif, mais pas surjectif car (1, 0, . . . ) 6∈ Ran(τd ).
L’opérateur de shift à gauche est surjectif, mais pas injectif.
Si A est injectif, on peut définir l’opérateur inverse, de domaine D(A−1 ) = Ran(A) ⊂ F , à valeurs
dans D(A) ⊂ E, par
x = A−1 y ⇐⇒ y = Ax.
Il n’y a aucune raison a priori que l’inverse soit borné. Ceci motive la définition suivante.
Définition 3.2 (Opérateur inversible). On dit qu’un opérateur A de domaine D(A) est inversible si A : D(A) ⊂ E → F est bijectif et a un inverse A−1 : F → D(A) ⊂ E borné (comme
opérateur de F dans E).
Enonçons une propriété qui nous sera utile par la suite, et qui permet de conclure à l’inversibilité
d’un opérateur linéaire borné dès qu’il est bijectif (la preuve, omise, repose sur le lemme de Baire,
voir par exemple [10]).
Proposition 3.2. Si A ∈ L(E, F ) et A est une bijection de E vers F , alors A−1 ∈ L(F, E).
Exercice 3.6. On considère H = L2 (Rd ) et l’opérateur T de domaine D(T ) = H2 (Rd ) défini par
T f = −∆f . Montrer que l’opérateur (1 + T )−1 est bien défini comme un opérateur de L(L2 (Rd ))
et qu’en fait (1 + T )−1 ∈ L(L2 (Rd ), H2 (Rd )) (on pourra résoudre l’équation u − ∆u = f pour
f ∈ L2 (Rd )).
3.1 Opérateurs linéaires
55
Correction 3.6. On considère l’équation u − ∆u = f ∈ L2 (Rd ). Une transformée de Fourier
montre que (1 + |ξ|2 )ˆ
u = fˆ et donc
Ç
å
fˆ
−1
u=F
.
1 + |ξ|2
On voit sur cette expression que u ∈ H2 (Rd ) (voir (1.15) ainsi que l’exercice 1.15), et que kukH2 =
⊓
kf kL2 . Ainsi, k(1 + T )−1 kL(L2 (Rd ),H2 (Rd )) = 1.
⊔
Remarque 3.2 (De l’importance du domaine). Considérons l’espace de Banach des fonctions
continues E = F = C0 ([0, 1], R), muni de la norme
kf k = sup |f (t)|.
t∈[0,1]
On peut définir un opérateur AM de domaine “maximal” D(AM ) = C1 ([0, 1], R) par
AM f =
df
.
dt
On peut également en définir plusieurs restrictions, qui ont la même action de dérivation, mais
ont des domaines plus petits, en fonction des conditions de bord que l’on souhaite imposer (ou qui
sont imposées par la physique du problème) :
n
o
• l’opérateur Ak (pour k ∈ R), de domaine D(Ak ) = f ∈ C1 ([0, 1], R) f (0) = kf (1) , avec
o
n
D(A0 ) = f ∈ C1 ([0, 1], R) f (0) = 0 ,
o
n
D(A∞ ) = f ∈ C1 ([0, 1], R) f (1) = 0 ;
n
o
• l’opérateur A00 de domaine D(A00 ) = f ∈ C1 ([0, 1], R) f (0) = f (1) = 0 ;
• l’opérateur Am de domaine “minimal” D(Am ) = D(]0, 1[, R).
On a bien sûr Am ⊂ A00 ⊂ Ak ⊂ AM pour tout k ∈ R ∪ {+∞}. Ces différents opérateurs, bien
qu’ayant la même action, ont des comportements très différents en ce qui concerne leur injectivité
ou leur surjectivité. Ainsi,
• AM n’est pas injectif car toutes les fonctions f + c pour f ∈ D(AM ) fixé et c ∈ R quelconque
ont la même image ;
• Ak est inversible si et seulement si k 6= 1, et
Lj t
ˆ 1 å
1
−1
f .
f +k
Ak f : t 7→
1−k
t
0
On vérifie en particulier que A−1
f (0) = kA−1
k ®
k f (1) ; ´
ˆ t
ˆ 1
−1
−1
0
• A00 est inversible sur D(A00 ) = f ∈ C ([0, 1], R) f (et en
f = 0 et A00 f : t 7→
0
0
ˆ 1
g ′ = g(1)−g(0) = 0,
particulier A−1
00 f ∈ D(A00 )). Notons en effet que si g ∈ D(A00 ), on a
ce qui motive la définition de D(A−1
00 ) = Ran(A00 ) ;
• finalement, Am n’est inversible que sur D(]0, 1[, R) ∩ D(A−1
00 ).
0
3.1.4 Adjoint d’un opérateur
Pour définir les opérateurs adjoints, on se place sur un espace de Hilbert H, et on considère
des opérateurs T : D(T ) ⊂ H → H.
56
3 Introduction à la théorie spectrale
Adjoint d’un opérateur borné
Définition 3.3 (Adjoint d’un opérateur borné). Soit H un espace de Hilbert, muni d’un
produit scalaire (complexe) noté (·, ·), et T ∈ L(H). L’adjoint de T est l’opérateur T ∗ défini par
(T u, v) = (u, T ∗ v).
∀(u, v) ∈ H × H,
On dit que T est auto-adjoint si T ∗ = T .
Exemple 3.5. On vérifie facilement que l’adjoint sur l2 (N, C) de l’opérateur τd de shift à droite
est τg , l’opérateur de shift à gauche (et réciproquement).
Exercice 3.7. Vérifier que l’opérateur T : L2 ([a, b]) → L2 ([a, b]) qui est tel que T f (x) =
V (x) f (x) avec V ∈ L∞ ([a, b], R) est autoadjoint.
Correction 3.7. On montre facilement que T est borné avec kT k 6 kV kL∞ . On écrit ensuite,
pour f, g ∈ L2 ([a, b]),
ˆ b
ˆ b
Vfg =
f V g = (T f, T g)L2 ,
(T f, g)L2 =
a
a
⊓
⊔
ce qui donne le résultat.
“ :
Exercice 3.8 (Opérateurs de Hilbert-Schmidt). On considère un opérateur intégral K
2
d
H → H avec H = L (R , C) et
ˆ
“ (x) =
Kf
K(x, y)f (y) dy
Rd
“ ∈ L(H) et que
pour une fonction K ∈ L2 (R2d , C) appelée noyau. Montrer que K
ň ˆ
ã1/2
“
|K(x, y)|2 dx dy
.
K 6 kKkL2 =
Rd
Rd
“∗ est un opérateur intégral de noyau K(y, x).
Montrer également que K
Correction 3.8. Une inégalité de Cauchy-Schwarz montre que, pour f ∈ L2 (Rd ),
2
ˆ ˆ
“ 2
dx
K(x,
y)f
(y)
dy
=
Kf
2
L
Rd
Rd
ˆ ň
ã ň
ã
6
|K(x, y)|2 dy
|f (z)|2 dz dx
Rd
=
Rd
2
kKkL2 (R2d )
Rd
kf k2L2 (Rd ) ,
“ ∈ L(H) avec kKk
“ 6 kKkL2 (R2d ) . Par ailleurs, pour f, g ∈ L2 (Rd ),
ce qui montre que K
Lj
å
ˆ
ã
ň
ä ˆ
Ä
“
Kf, g =
K(y, x)g(y) dy dx,
K(t, s)f (s) ds g(t) dt =
f (x)
Rd
Rd
Rd
Rd
ce qui montre que
“∗ g(x) =
K
ˆ
K(y, x)g(y) dy.
Rd
Ainsi, le noyau de cet opérateur est K(y, x).
⊓
⊔
Voici quelques propriétés de l’adjoint d’un opérateur borné (voir [7, Section 4.2]), que l’on pourra
vérifier en exercice.
Proposition 3.3. Si T ∈ L(H) alors T ∗ ∈ L(H), kT ∗ k = kT k et T ∗∗ = T . Si T1 , T2 ∈ H, alors
(T1 T2 )∗ = T2∗ T1∗ .
3.1 Opérateurs linéaires
57
Adjoint d’un opérateur non borné
La définition de l’opérateur adjoint est un peu plus délicate pour des opérateurs non-bornés,
et nécessite quelques concepts supplémentaires.
Définition 3.4. Soient E, F deux espaces de Banach. Un opérateur T : D(T ) ⊂ E → F est fermé
si pour toute suite (un )n>0 de D(T ) telle qu’il existe u ∈ E et v ∈ F avec
kun − ukE −→ 0,
kT un − vkF −→ 0,
on a u ∈ D(T ) et v = T u.
Exemple 3.6. Considérons E = F = L2 (Rd ) et T = −∆ de domaine D(T ) = H2 (Rd ). Soit
(un )n>0 une suite de H2 (Rd ), et u, v ∈ L2 (Rd ) tels que kun − ukL2 → 0 et k − ∆un − vkL2 → 0
lorsque n → +∞. On a donc en particulier un → u au sens des distributions, et donc −∆un → −∆u
dans D′ (Rd ). Par ailleurs, −∆un → v dans L2 (Rd ). Ceci montre donc que −∆u = v ∈ L2 (Rd ), et
u ∈ H2 (Rd ). Donc T est fermé.
Exemple 3.7. En revanche, si le domaine est mal choisi, il est possible qu’un opérateur ne soit
pas fermé. Par exemple, pour E = F = L2 ([0, 1]), l’opérateur de dérivation de domaine D(T ) =
C1 ([0, 1]) défini par T u = u′ n’est pas fermé. En effet, la suite
Å
ã
1 2
1
x−
+ 2
un (x) =
2
n
1
est telle que un → u dans L2 ([0, 1]) avec u(x) = x − . Cependant, u 6∈ D(T ). L’opérateur T
2
n’est pas fermé car son domaine est trop petit.
Exercice 3.9. Soit T un opérateur non-borné fermé, de domaine dense. Montrer que si A est un
opérateur borné sur H alors T + A est fermé.
Définition 3.5. Soit H un espace de Hilbert et T : D(T ) ⊂ H → H. L’adjoint de T est l’opérateur
fermé défini sur le domaine
n
o
D(T ∗ ) = u ∈ H il existe Cu < +∞ tel que ∀w ∈ D(T ), |(T w, u)| 6 Cu |w|H
o
n
= u ∈ H il existe v ∈ H tel que ∀w ∈ D(T ), (T w, u) = (w, v)
par T ∗ u = v.
Notons que (T v, u) = (v, T ∗ u) pour tout (u, v) ∈ D(T ∗ ) × D(T ). La preuve de l’équivalence entre
les deux définitions ci-dessus est une conséquence du théorème de Riesz et de la densité de D(T )
dans H (ce qui permet d’établir l’unicité de la représentation).
Exercice 3.10. Vérifier que T ∗ est fermé.
Enonçons à présent quelques propriétés de l’adjoint d’un opérateur (voir [7, Section 4.2]).
Proposition 3.4. Soit H un espace de Hilbert et T : D(T ) ⊂ H → H un opérateur fermé. Alors
D(T ∗ ) est dense dans H et T ∗∗ = T .
La notion d’opérateur auto-adjoint est également un peu plus subtile que pour les opérateurs
bornés.
Définition 3.6. Soit H un espace de Hilbert. Un opérateur T : D(T ) ⊂ H → H est symétrique
si T ∗ est une extension de T , c’est-à-dire D(T ) ⊂ D(T ∗ ) et T ∗ u = T u pour tout u ∈ D(T ) (i.e.
pour tout (u, v) ∈ D(T )2 , on a (T v, u) = (v, T u)).
L’opérateur T est autoadjoint si T ∗ = T , c’est-à-dire que T est symétrique et D(T ∗ ) = D(T ).
58
3 Introduction à la théorie spectrale
Notons donc que le caractère auto-adjoint d’un opérateur dépend fortement des domaines qui sont
choisis, comme l’illustre l’exercice suivant (tiré de [11, Section X.1]).
Exercice 3.11 (Extensions auto-adjointes). On considère l’opérateur T sur H = L2 ([0, 1], C)
de domaine
o
n
D(T ) = f ∈ H1 ([0, 1], C) f (0) = f (1) = 0 ,
défini par T f = if ′ . Montrer que T est symétrique, et que D(T ∗ ) = H1 ([0, 1], C). Ceci montre que
T n’est pas autoadjoint. La raison est que les conditions de bord sont si fortes dans D(T ) qu’il n’y
en a pas besoin dans D(T ∗ ). Il faut donc étendre le domaine de D(T ) de telle manière à ce que
D(T ) = D(T ∗ ). Considérons à cette fin la famille d’opérateurs Aα de domaines
o
n
D(Aα ) = f ∈ H1 ([0, 1], C) f (0) = αf (1)
pour α ∈ C tel que |α| = 1, d’action Aα f = if ′ . Montrer que Aα est une extension de T , et que
Aα est autoadjoint (en fait, on pourrait même montrer que toute extension auto-adjointe de T est
de la forme Aα pour un certain |α| = 1).
3.2 Théorie spectrale des opérateurs bornés
On va à présent étudier de plus près l’inversibilité d’opérateurs bornés d’un espace de Banach E dans lui-même. De telles considérations sont particulièrement intéressantes lorsqu’il s’agit
de résoudre une équation du type
(λ Id − A)u = f
avec u, f ∈ E et λ ∈ C. En effet, si l’inverse de l’opérateur λ Id − A est bien défini, alors u =
(λ Id − A)−1 f est l’unique solution de cette équation.
3.2.1 Théorie générale
On peut définir aisément l’inverse d’un opérateur Id − A lorsque A est de norme suffisamment
petite par le biais d’une série infinie. Plus précisément, la notion pertinente est le rayon spectral.
Lemme 3.2 (Rayon spectral). Soit A ∈ L(E). Alors la limite suivante existe :
r(A) = lim kAn k1/n = inf kAn k1/n ,
n→+∞
n>1
et est appelée rayon spectral. On a en particulier r(A) 6 kAk.
On peut avoir r(A) < kAk. Le cas le plus frappant est celui des opérateurs nilpotents, c’est-à-dire
tels qu’il existe N ∈ N tel que AN = 0. Dans ce cas en effet, r(A) = 0. Par exemple, l’opérateur
borné sur E = R2 dont la représentation matricielle dans la base canonique est
Å ã
01
00
est tel que kAk = 1 mais A2 = 0 et donc r(A) = 0.
Preuve. On suit la preuve de [8, Section I.4.2]. Pour n, m ∈ N, on a clairement
kAn+m k 6 kAn k kAm k,
kAn k 6 kAkn ,
(3.5)
avec la convention A0 = Id. Ces inégalités proviennent de l’inégalité générale kABk 6 kAk kBk
pour A, B ∈ L(E) (voir Exercice 3.2). Notons
an = ln kAn k.
3.2 Théorie spectrale des opérateurs bornés
59
Alors an /n 6 ln kAk. Il s’agit de montrer que la suite (an /n)n>0 converge.
Les inégalités (3.5) montrent que an+m 6 an +am . Pour m ∈ N∗ donné, considérons n = qm+r
avec q, r ∈ N et r < m. Alors, an 6 qam + ar et ainsi
q
1
an
6 am + ar .
n
n
n
Lorsque n → +∞, q/n → 1/m alors que les valeurs de r sont limitées à 0, . . . , m − 1. Ainsi,
1
ar −→ 0
r=0,...,m−1 n
sup
lorsque n → +∞, et donc
lim sup
n→+∞
am
an
6
.
n
m
Comme m est arbitraire, on en déduit que
lim sup
n→+∞
Par ailleurs, on a trivialement
lim inf
n→+∞
et on en déduit donc
lim sup
n→+∞
an
am
6 inf
.
m>1 m
n
an
am
> inf
,
m>1 m
n
an
am
an
6 inf
6 lim inf
.
n→+∞ n
m>1 m
n
Les inégalités ci-dessus sont finalement des égalités, ce qui montre que la suite (an /n)n>0 est bien
⊓
convergente.
⊔
Exercice 3.12. Montrer que r(τg ) = r(τd ) = 1.
Correction 3.9. On remarque tout d’abord que kτd xk = kxk sur tous les espaces E = lp (N, C)
(1 6 p 6 +∞), et donc kτdn k = 1 pour tout n ∈ N. Ceci montre bien sûr que r(τd ) = 1.
Pour l’autre opérateur, on note que kτgn xk 6 kxk sur tous les espaces E = lp (N, C) (1 6 p 6
+∞). Par ailleurs, l’élément xn = (xn,1 , xn,2 , . . . ) avec xn,m = δn,m est tel que kτgn xn k = kxn k.
⊓
Ainsi, kτgn k = 1 pour tout n ∈ N et r(τg ) = 1.
⊔
On peut à présent définir l’inverse de l’opérateur Id − A lorsque A a un rayon spectral strictement
plus petit que 1.
Lemme 3.3 (Série de Neumann). Soit A ∈ L(E) tel que r(A) < 1. Alors l’opérateur Id − A a
un inverse borné (Id − A)−1 ∈ L(E) et
(Id − A)−1 =
+∞
X
An .
(3.6)
n=0
Preuve. Le théorème de Cauchy-Hadamard, 1 l’hypothèse r(A) < 1 et la définition de r(A)
montrent que la série du membre de droite de (3.6) converge en norme dans L(E). En effet,
+∞
X
n=0
z n kAn k
converge
|z| 6 r(A)−1 et donc pour z = 1. On montre P
ensuite facilement que (Id −
P+∞ pour
n
n
N +1
A) n=0 A = Id en passant à la limite dans l’égalité (Id − A) N
(utilin=1 A = Id − A
N 1/N
N
N
ser kA k
→ r(A) < 1 et donc kA k 6 (1 − ε) pour N > Nε ). Ceci donne le résultat
⊓
escompté.
⊔
1. Ce résultat dit que le rayon de convergence R de la série a0 +a1 z +a2 z 2 +. . . est R =
1
lim sup |an |1/n
n→+∞
.
60
3 Introduction à la théorie spectrale
Définition-Théorème 3.1. Soit E un espace de Banach et T ∈ L(E).
(1) On appelle ensemble résolvant de T l’ensemble
n
o
ρ(T ) = λ ∈ C, λ − T inversible .
L’ensemble résolvant ρ(T ) est un ouvert de C.
(2) Pour λ ∈ ρ(T ), on note R(λ) = (λ − T )−1 . La famille d’opérateurs linéaires bornés
(R(λ))λ∈ρ(T ) est appelée la résolvante de T . La fonction λ 7→ R(λ) est analytique de ρ(T )
dans L(E) et on a, pour tout (λ, µ) ∈ ρ(T ) × ρ(T ), l’identité de la résolvante
R(λ) − R(µ) = (µ − λ)R(λ)R(µ).
(3) On appelle spectre de T l’ensemble
n
σ(T ) = C \ ρ(T ) = λ ∈ C,
L’ensemble σ(T ) est un compact de C.
o
λ − T non inversible .
(4) On a σ(T ) ⊂ D(0, r(T )) (disque centré en 0, de rayon r(T )) et σ(T ) ∩ C(0, r(T )) 6= ∅ (cercle
de centre 0, de rayon r(T )). En particulier le spectre d’un opérateur borné n’est jamais vide.
(5) L’ensemble σ(T ) se décompose en l’union disjointe
σ(T ) = σp (T ) ∪ σr (T ) ∪ σc (T ),
avec
n
o
σp (T ) = λ ∈ C, λ − T non injectif ,
n
o
σr (T ) = λ ∈ C, λ − T injectif et (λ − T )E 6= E ,
o
n
σc (T ) = λ ∈ C, λ − T injectif et (λ − T )E 6= (λ − T )E = E .
L’ensemble σp (T ) est appelé le spectre ponctuel de T , σc (T ) le spectre continu de T , σr (T ) le
spectre résiduel de T .
Notons que les trois types de spectre définis ci-dessus ont été classés par ordre croissant de défaut
d’inversibilité : pour le spectre ponctuel, on a un défaut d’injectivité ; pour le spectre résiduel, on
a un défaut majeur de surjectivité (même en prenant l’adhérence de l’image de E on ne retrouve
pas E) ; pour le spectre continu, l’inverse est bien défini sur un domaine dense, mais n’est pas
borné.
Remarque 3.3. Notons que σp (T ) est l’ensemble des valeurs propres de T , i.e. l’ensemble des
λ ∈ C tels qu’il existe u ∈ E \ {0} tel que
T u = λu.
En dimension finie, un opérateur linéaire injectif est bijectif. Ainsi,
σ(T ) = σp (T )
est simplement l’ensemble des valeurs propres de T dans ce cas.
Remarque 3.4 (Autre décomposition du spectre). Dans certains cas, il est plus commode de
décomposer σ(T ) sous la forme σ(T ) = σd (T ) ∪ σess (T ), où σd (T ) ⊂ σp (T ) est le spectre discret,
qui est composé des valeurs propres isolées de multiplicité finie :
o
n
σd (T ) = λ ∈ C 0 < dim(Ker(λ − T )) < +∞, ∃ε > 0, ]λ − ε, λ + ε[ ∩ σ(T ) = {λ} .
3.2 Théorie spectrale des opérateurs bornés
61
Avant de faire la preuve d’un certain nombre d’assertions du Théorème 3.1, donnons quelques
exemples de spectre résiduel et continu, afin de donner un début d’intuition sur ces notions.
Exercice 3.13 (Spectre résiduel). On considère l’opérateur de shift à droite τd dans l2 (N, C).
Vérifier que σp (τd ) = ∅ et λ − τd est injectif pour tout λ ∈ C. Montrer pour commencer que
0 ∈ σr (τd ). On pourra considérer hτd y, (1, 0, 0, ...)il2 pour tout y ∈ l2 (N,ÄC). Montrer
ä par un rai2
sonnement analogue que {λ ∈ C, |λ| < 1} ⊂ σr (τd ) en considérant xλ = 1, λ, λ , ... .
Correction 3.10. Il est clair que σp (τd ) = ∅. Considérons sinon un élément x = (x1 , x2 , . . . ) ∈
l2 (N, C) et λ ∈ C tels que τd x = λx. Ainsi, λx1 = 0, x1 = λx2 , et plus généralement xi = λxi+1 .
Si λ 6= 0, on a immédiatement x1 = x2 = · · · = 0 et donc x = 0, ce qui montre que λ 6∈ σp (τd ) et
λ − τd est injectif. Par ailleurs, 0 6∈ σp (τd ) car l’opérateur τd est injectif.
On va à présent utiliser le fait que l’on peut caractériser l’adhérence d’un sous-ensemble E
d’un espace de Hilbert comme 2 Vect(E) = (E ⊥ )⊥ . Ainsi, si E ⊥ 6= {0}, on a immédiatement
Vect(E) 6= H. On voit facilement que Ran(τd ) = l2 (N, C)\C(1, 0, 0, ...). Comme
D
E
D
E
=0
= x, τg (1, 0, 0, ...)
τd x, (1, 0, 0, ...)
l2
l2
pour tout x ∈ l2 (N, C), on en déduit que (1, 0, 0, ...) 6∈ Ran(τd ), et donc Ran(τd ) 6= l2 (N, C). Ceci
est bien la définition de 0 ∈ σr (τd ).
Notons ensuite que xλ est bien dans l2 (N, C), et
D
D
E
E
=0
(λ − τd )y, xλ
= y, λ − τg xλ
l2
l2
pour tout y ∈ l2 (N, C) car λ − τg xλ = 0. Ceci montre que xλ 6∈ Ran(λ − τd ), et donc que
⊓
λ ∈ σr (τd ).
⊔
Exercice 3.14 (Spectre continu). Soit a < b deux réels, E = L2 ([a, b], C) et T ∈ L(E) défini
par
T f (x) = x f (x).
Montrer que σ(T ) = σc (T ) = [a, b]. Procéder pour ce faire en deux étapes :
(1) Tout d’abord montrer que σ(T ) ⊂ [a, b], puis que σ(T ) = [a, b] (en supposant qu’il existe
λ ∈ [a, b] tel que λ − T soit inversible, et en considérant φ ∈ C∞ ([a, b], C) valant 1 au voisinage
de λ).
(2) Dans un second temps, montrer que σ(T ) = σc (T ). en établissant d’abord que σp (T ) = ∅, puis
en prouvant que Ran(λ − T ) = E pour tout λ ∈ [a, b]. Pour ce dernier point, pour f ∈ E
donnée, considérer la suite (ϕn )n>1 de E définie par


 f (x) si |x − λ| > 1 et x ∈ [a, b],
n
ϕn (x) = λ − x

 0
sinon.
Correction 3.11. Soit λ ∈ R\[a, b]. On commence par proposer un opérateur inverse présumé,
noté Rλ : pour f ∈ E,
f (x)
g(x) = Rλ f (x) =
(3.7)
λ−x
est encore dans E, et
⊥
2. Noter en effet que si on considère un ensemble E, alors Vect(E) = E ⊥ par linéarité et continuité
du produit scalaire. On utilise ensuite le fait que si V est un sous-espace vectoriel fermé d’un espace de
Hilbert, alors V est un espace de Hilbert, qui admet donc une base orthonormée. On peut alors décomposer
orthogonalement l’espace de Hilbert H selon H = V ⊕ V ⊥ (en introduisant la projection orthogonale sur
V ), ce qui montre que V ⊥⊥ = V . Au final, avec V = Vect(E), on a Vect(E) = E ⊥⊥ .
62
3 Introduction à la théorie spectrale
ˆ
b
|g|2 6
a
1
min{|λ − a|, |λ − b|}
ˆ
a
b
|f |2 .
On remarque également que Rλ (λ − T ) = (λ − T )Rλ = Id. Ceci montre que λ − T est bijectif, et
que son inverse (λ − T )−1 = Rλ est borné. Ainsi, λ − T est inversible. On fait de même si λ ∈ C\R,
avec la majoration
ˆ b
ˆ b
1
|f |2 .
|g|2 6
|Im(λ)| a
a
Ceci montre que λ − T est bijectif d’inverse borné si λ ∈ C\[a, b], et donc C\[a, b] ⊂ ρ(T ).
Montrons ensuite 3 que σ(T ) = [a, b]. Supposons qu’il existe λ ∈ [a, b] tel que λ − T soit
inversible. On définit l’opérateur Rλ comme dans (3.7) mais restreint au sous-ensemble dense dans
L2 ([a, b]) des fonctions φ ∈ C ∞ s’annulant en λ (pour lesquelles on a donc φ(x) = (x − λ)ψ(x) par
le lemme d’Hadamard). On note cet ensemble E. On voit alors que (λ − T )Rλ = IdE . L’opérateur
λ − T étant supposé inversible, on en déduit que (λ − T )−1 peut être obtenu en étendant Rλ à
tout l’espace E. Considérons alors φ ∈ C∞ ([a, b], C) valant 1 au voisinage de λ, et f ∈ E telle que
(λ − T )f = φ. Au voisinage de λ, on a u(x) = (λ − x)−1 . Ceci n’est pas possible car x 7→ (λ − x)−1
n’est pas dans L2 ([a, b]). Au final, σ(T ) = [a, b].
Dans un second temps, montrons que σ(T ) = σc (T ). Tout d’abord, s’il existe f ∈ E telle que
(λ − T )f = 0, alors (λ − x)f (x) = 0 pour presque tout x ∈ [a, b], ce qui montre que f (x) = 0 pour
presque tout x ∈ [a, b], et donc f = 0. Ainsi, σp (T ) = ∅.
Il suffit à ce stade de montrer que Ran(λ − T ) = E est dense dans E pour tout λ ∈ [a, b]. Soit
f ∈ E, considérons la suite (fn )n>1 de E définie par

1

f (x) si |x − λ| > et x ∈ [a, b],
fn (x) =
n
 0
sinon.
Notons que la suite gn définie pour tout n ∈ N par

1
 f (x)
si |x − λ| > et x ∈ [a, b],
gn (x) = λ − x
n
 0
sinon,
est une suite de fonctions de E telle que (λ − T )gn = fn . Ceci montre que fn ∈ Ran(λ − T ). Par
⊓
ailleurs, kf − fn kL2 → 0 lorsque n → +∞. Au final, λ ∈ σc (T ).
⊔
Exercice 3.15. Le schéma de preuve ci-dessus montre qu’on peut en fait étendre l’argument à des
opérateurs plus généraux, définis sur E = L2 (Rd , C), de domaine
ˆ
ß
™
2
2
D(T ) = f ∈ E (1 + |V (x)| )|f (x)| dx < +∞ ,
Rd
pour V ∈ L∞
loc (R, R), et d’action
T f (x) = V (x) f (x).
Ainsi, pour une fonction V continue, on montrera que σ(T ) = [min V, max V ], et que σ(T ) = σc (T )
si V −1 ({λ}) est un ensemble au plus dénombrable sans point d’accumulation pour tout λ ∈ R.
Notons en revanche que si on considère une fonction V ∈ C∞ (R), valant c ∈ R dans un voisinage
] − η, η[ de l’origine, alors c ∈ σp (T ).
3. Voici une démonstration alternative à l’argument plus générale, proposée par un étudiant. On suppose
que l’opérateur λ − T est inversible. Il existe donc φ ∈ E tel que (λ − T )f = φ où φ vaut 1 au voisinage
de λ. En intégrant autour de λ (il faut modifier un peu l’argument lorsque λ = a ou b), on a
2
=
n
ˆ
λ+1/n
λ−1/n
|φ|2 =
ˆ
λ+1/n
λ−1/n
Å
|(λ − x)f (x)|2 dx 6
sup
|λ−x|61/n
|λ − x|
ã2 ˆ
λ+1/n
λ−1/n
|f |2 6
1
kf k2E .
n2
Il y a ainsi une contradiction lorsque n est assez grand, ce qui montre que λ − T n’est pas inversible.
3.2 Théorie spectrale des opérateurs bornés
63
Preuve (Théorème 3.1). Soit λ ∈ C, tel que |λ| > r(T ). En utilisant le théorème de CauchyHadamard, on voit que la série
+∞
1 X Tn
S=
λ n=0 λn
est absolument convergente donc convergente dans le Banach L(E). De plus
(λ − T )S = S(λ − T ) = I.
Donc λ ∈ ρ(T ) et S = R(λ). Il en découle que
σ(T ) ⊂ D(0, r(T )).
Soit maintenant µ ∈ ρ(T ).
λ − T = µ − T + (λ − µ)I = (µ − T ) I + (λ − µ)(µ − T )−1
est inversible si |λ − µ| k(µ − T )−1 k < 1. On en déduit
• que ρ(T ) est un ouvert de C,
• que σ(T ) est un compact de C,
• que R(λ) est analytique dans ρ(T ).
En multipliant les deux membres de l’égalité
(λ − T ) = (µ − T ) + (λ − µ)I
à gauche par R(λ) et à droite par R(µ), on obtient l’identité de la résolvante.
Supposons que σ(T ) ∩ C(0, r(T )) = ∅. Comme σ(T ) est compact, il existe ε ∈]0, r(T )[ tel que
C \ D(0, r(T ) − ε) ⊂ ρ(T ).
Comme R(λ) est analytique sur ρ(T ), il en résulte que f (z) = R(1/z) est analytique sur
D(0, (r(T ) − ε)−1 ). Or, un calcul explicite montre que le développement en série entière de f (z)
en 0 est donné par
X
f (z) = z
znT n.
n∈N
En utilisant le critère de Cauchy-Hadamard, on voit que cette série est convergente seulement pour
|z| lim sup kT n k1/n < 1,
n→+∞
et donc |z| < r(T )−1 , ce qui est en contradiction avec l’analyticité de la fonction sur D(0, (r(T ) −
⊓
ε)−1 ).
⊔
3.2.2 Cas des opérateurs bornés autoadjoints
Les opérateurs bornés auto-adjoints ont des propriétés intéressantes, qui se traduisent sur leur
spectre.
Proposition 3.5. Soit H un espace de Hilbert et T ∈ L(H). Si T est auto-adjoint, on a
σ(T ) ⊂ R.
De plus σ(T ) ⊂ [−kT k, kT k] et l’une au moins des deux extrémités du segment est dans σ(T ).
Enfin, σr (T ) = ∅ et les vecteurs propres associés à des éléments différents de σp (T ) sont orthogonaux.
64
3 Introduction à la théorie spectrale
Exercice 3.16. Prouver ce résultat. Pour cela, on établira successivement que
• si λ ∈ C est tel que α = |Im(λ)| =
6 0, alors λ − T est inversible. On montrera pour ce faire
l’inégalité de coercivité
|((λ − T )x, x)| > αkxk2 ,
en montrant au préalable que (T x, x) ∈ R et on en déduira que λ − T est injectif. Montrer
ensuite la surjectivité : V = Ran(λ − T ) = H, en établissant tout d’abord que V est fermé
dans H puis que V est dense (ce qui revient à V ⊥ = {0}).
• en déduire que σ(T ) ⊂ [−r(T ), r(T )] et que σ(T ) ∩ {−r(T ), r(T )} 6= ∅.
• montrer ensuite que si T est auto-adjoint, alors r(T ) = kT k. Pour ce faire noter que kT ∗ T k 6
kT k kT ∗ k = kT k2 , et montrer par ailleurs que kT ∗ T k > kT k2 en partant de kT ∗ T k >
sup|x|=1 |(x, T ∗ T x)|. Ainsi, kT 2 k = kT ∗ T k = kT k2 . Etablir ensuite que kT kn = kT n k pour
tout entier (en commençant par n = 2p ). Conclure.
• pour montrer que σr (T ) = ∅ si T est auto-adjoint, considérer λ ∈ σ(T ) tel que Ker(λ − T ) =
{0} et montrer que λ ∈ σc (T ). Prouver au préalable que, de manière générale,
Ran(λ − T )⊥ = Ker(λ − T ∗ ).
(3.8)
car ((λ − T )x, y) = (x, (λ − T ∗ )y).
• enfin, montrer l’assertion sur l’orthogonalité des vecteurs propres.
Correction 3.12. Soit λ ∈ C tel que α = |Im(λ)| =
6 0. Montrons que λ − T est inversible. On a
((λ − T )x, x) = −(T x, x) + Re(λ)(x, x) − iIm(λ)(x, x).
Mais (T x, x) = (x, T x) = (T ∗ x, x) = (T x, x). Donc (T x, x) est réel. Il en résulte que
|((λ − T )x, x)| > αkxk2 .
On en déduit par l’inégalité de Cauchy-Schwarz que
k(λ − T )xk > αkxk.
L’opérateur λ − T est donc injectif.
Montrons ensuite que V = Ran(λ − T ) = H. Pour cela, montrons tout d’abord que V est fermé
dans H. Soit wn = (λ − T )vn une suite dans V qui converge vers w ∈ H. En appliquant l’inégalité
de coercivité ci-dessus, on obtient
kwp − wq k > αkvp − vq k.
La suite (wn )n>0 est de Cauchy, donc la suite (vn )n>0 aussi. Elle converge donc vers un certain
v ∈ H. Par continuité de l’application T ,
wn = (λ − T )vn −→ (λ − T )v
dans H. Donc w = (λ − T )v, ce qui prouve que w ∈ V . Montrons enfin que V est dense. Une
technique standard pour montrer cela est de prouver que V ⊥ = {0} (ce qui donne V = V ⊥⊥ = H).
Soit donc w ∈ V ⊥ . Pour tout v ∈ H, on a alors
((λ − T )v, w) = 0.
En particulier, pour v = w,
((λ − T )w, w) = 0.
En utilisant l’inégalité de coercivité, on obtient w = 0, ce qui montre la densité. Comme V est
dense dans H et fermé dans H, on en déduit que V = H. Comme l’opérateur λ−T est bijectif, il est
inversible. Noter également que l’inégalité de coercivité donne la borne suivante sur la résolvante :
3.2 Théorie spectrale des opérateurs bornés
k(λ − T )−1 k 6
Le théorème 3.1 montre alors que
65
1
.
|Im(λ)|
σ(T ) ⊂ D(0, r(T )) ∩ R = [−r(T ), r(T )]
et que
σ(T ) ∩ C(0, r(T )) = σ(T ) ∩ C(0, r(T )) ∩ R = σ(T ) ∩ {−r(T ), r(T )} =
6 ∅.
Il reste donc à prouver que si T est auto-adjoint, r(T ) = kT k. Tout d’abord, notons que kT ∗ T k 6
kT k kT ∗ k = kT k2 . Par ailleurs, comme |(x, T ∗ T x)| 6 kT ∗ T k |x|2 , on a
Ç
å2
kT ∗ T k > sup |(x, T ∗ T x)| = sup kT xk2 =
|x|=1
|x|=1
= kT k2 ,
sup kT xk
|x|=1
p
p
ce qui montre que kT 2 k = kT ∗ T k = kT k2 . Par récurrence, on a ensuite kT 2 k = kT k2 . Pour
n ∈ N quelconque, on considère p tel que n 6 2p et on écrit
p
p
n
kT k2 = kT 2 k 6 kT n k kT 2
n
p
−n
k 6 kT n k kT k2
p
−n
.
Ceci montre que kT k 6 kT k. L’inégalité contraire étant par ailleurs toujours satisfaite, on
en déduit que kT kn = kT n k, et donc kT n k1/n = kT k pour tout n > 1. On a donc finalement
r(T ) = kT k.
Pour montrer que σr (T ) = ∅, on considère λ ∈ σ(T ) ⊂ R tel que Ker(λ − T ) = {0}. Or, on a
de manière générale
Ran(λ − T )⊥ = Ker(λ − T ∗ ),
qui est une conséquence facile du fait que
((λ − T )x, y) = (x, (λ − T ∗ )y).
En effet, si x ∈ Ran(λ − T ) et y ∈ Ker(λ − T ∗ ), il existe x
e tel que x = (λ − T )e
x et ainsi
(x, y) = (e
x, (λ − T ∗ )y) = 0. Ceci montre que Ker(λ − T ∗ ) ⊂ Ran(λ − T )⊥ . Par ailleurs, pour
y ∈ Ran(λ − T )⊥ , on a (y, (λ − T )x) = 0 = ((λ − T ∗ )y, x) pour tout x ∈ H, ce qui donne
(λ − T ∗ )y = 0 et donc l’inclusion contraire 4 Ran(λ − T )⊥ ⊂ Ker(λ − T ∗ ). Il ne reste plus qu’à
déduire de (3.8) dans le cas présent que Ran(λ − T )⊥ = Ker(λ − T ) = {0}, ce qui signifie que
Ran(λ − T ) = H et donc λ ∈
/ σr (T ).
Enfin, soit u et v deux vecteurs propres associés respectivement à deux éléments λ 6= µ de
σp (T ). Alors,
λ(u, v) = (T u, v) = (u, T v) = µ(u, v).
⊓
Ceci montre que (u, v) = 0.
⊔
Remarque 3.5 (Lien entre spectre d’un opérateur et de son adjoint). On peut montrer
que si T : D(T ) ⊂ H → H est fermé, alors σ(T ∗ ) est le complexe conjugué de σ(T ) (voir [7,
Section 4.2]).
Remarque 3.6 (Lien entre spectre résiduel d’un opérateur et spectre ponctuel de son
adjoint). La relation (3.8) montre de manière générale que, pour un opérateur borné T ∈ L(E),
si λ ∈ σr (T ), alors λ ∈ σp (T ∗ ). Bien sûr, dans le cas des opérateurs autoadjoints, on a T ∗ = T et
donc λ ∈ σr (T ) ∩ σp (T ) = ∅ par définition des différentes parties du spectre. Ceci montre bien que
σr (T ) = ∅ pour des opérateurs autoadjoints.
Par ailleurs, on peut montrer que si λ ∈ σp (T ), alors λ ∈ σp (T ∗ ) ∪ σr (T ∗ ).
Exercice 3.17. Donner un exemple d’opérateur borné tel que λ ∈ σp (T ∗ ) lorsque λ ∈ σp (T ), et
un exemple d’opérateur borné tel que λ ∈ σr (T ∗ ) lorsque λ ∈ σp (T ).
Correction 3.13. Le premier cas apparait pour l’opérateur λId avec λ ∈ C fixé, ou, moins trivialement, un opérateur induit par une matrice diagonale à entrées non nulles. Pour le second cas,
⊓
on peut considérer l’opérateur de shift à gauche.
⊔
4. Notons que si T est non-borné à domaine D(T ) dense dans H, on a encore le résultat car on a dans
ce cas ((λ − T ∗ )y, x) pour tout x ∈ D(T ), et donc (λ − T ∗ )y = 0.
66
3 Introduction à la théorie spectrale
3.2.3 Quelques éléments sur la théorie spectrale des opérateurs non bornés
Beaucoup de définitions et de résultats exposés dans les sections précédentes sont encore valables pour des opérateurs non bornés, à condition qu’ils soient fermés. Commençons par un
résultat important pour définir le spectre d’un opérateur.
Proposition 3.6. Soit E, F deux espaces de Banach et T : D(T ) ⊂ E → F un opérateur fermé.
Les assertions suivantes sont équivalentes :
(i) T est injectif, d’inverse T −1 : Ran(T ) → D(T ) borné ;
(ii) il existe m > 0 tel que kT ukF > mkukE pour tout u ∈ D(T ) ;
(iii) Ran(T ) est fermé dans F et Ker(T ) = {0}.
Une preuve de cette proposition est disponible dans [6, Section VI.2.3.5], et repose sur le théorème
du graphe fermé. On peut alors définir l’ensemble résolvant ρ(T ) d’un opérateur T : E → E
fermé :
n
o
ρ(T ) = λ ∈ C λ − T inversible
o
n
= λ ∈ C λ − T injectif et Ran(λ − T ) = E .
Notons en effet que le point (iii) de la Proposition ci-dessus assure que (λ − T )−1 est borné dès
que Ran(λ − T ) est fermé dans E, ce qui montre l’équivalence entre les deux définitions.
Une fois le spectre défini, on peut à nouveau classifier ses élements en spectre ponctuel (Ker(λ−
T ) 6= {0}), spectre résiduel (Ker(λ − T ) = {0} et Ran(λ − T )) 6= E), et spectre continu (Ker(λ −
T ) = {0} et Ran(λ − T )) = E, mais Ran(λ − T )) 6= E).
Exercice 3.18 (Lien entre spectre et caractère fermé d’un opérateur). Soit T : D(T ) ⊂
H → H un opérateur non-borné de domaine dense. Montrer que s’il existe λ ∈ C tel que λ − T
est inversible, alors T est fermé.
3.2.4 Invariance par transformation unitaire
Dans certains cas, il est plus facile d’étudier le spectre d’un opérateur U T U −1 que le spectre
de l’opérateur T directement. Les deux opérateurs ci-dessus ont le même spectre sous certaines
conditions sur la transformation U .
Définition 3.7. Soit H un espace de Hilbert. Un opérateur U ∈ L(H) est une isométrie si
kU xkH = kxkH pour tout x ∈ H, ou, de manière équivalente, si (U x, U y) = (x, y) pour tout
(x, y) ∈ H 2 .
Notons qu’une isométrie est telle que U ∗ U = Id, et est également une application injective. Par
exemple, l’opérateur de shift à droite est une isométrie. Cependant, une isométrie n’est pas nécessairement une bijection, ce qui motive la définition suivante.
Définition 3.8. Soit H un espace de Hilbert. Un opérateur U ∈ L(H) est unitaire si U est une
isométrie et Ran(U ) = H.
Un opérateur unitaire est donc borné, et injectif et surjectif donc bijectif. Ceci implique que U −1
existe et est borné, et donc un opérateur unitaire est inversible. On a par ailleurs U −1 = U ∗ .
Exemple 3.8. La transformée de Fourier est une transformation unitaire de L2 (Rd ) si on la normalise correctement. En effet, définissons U : L2 (Rd ) → L2 (Rd ) sur le sous-ensemble dense D(Rd )
par
Å ãd/2 ˆ
1
f (x) e−ik·x dx = fb(k),
(3.9)
U f (k) =
2π
Rd
et étendons cette définition à tout l’espace L2 (Rd ) par densité. On vérifie facilement que U est
borné, que U est une isométrie (c’est la formule de Parseval) et que U est surjectif. Donc U est
unitaire.
3.3 Opérateurs compacts
67
Exercice 3.19. Montrer que, pour tout η > 0, l’opérateur Uη : L2 (Rd ) → L2 (Rd ) tel que
Uη f (x) = η d/2 f (ηx) est une isométrie. Est-il unitaire ?
Correction 3.14. Un simple changement de variable permet de montrer que
ˆ
ˆ
kUη f k2L2 = η d
|f (ηx)|2 dx =
|f (x)|2 dx = kf k2L2 .
Rd
Rd
Pour montrer que l’opérateur Uη est unitaire, il suffit de constater qu’il est inversible, d’inverse
U1/η . En particulier, pour tout f ∈ H, on peut considérer un antécédant gη = U1/η f ∈ H tel que
⊓
Uη gη = f , ce qui montre bien que Ran(Uη ) = H.
⊔
Exercice 3.20. Montrer que pour tout a ∈ Rn , l’opérateur de translation τa , considéré sur L2 (Rn ),
et d’action
τa f (x) = f (x − a),
est un opérateur unitaire.
Correction 3.15. On procède comme dans l’exercice précédent, l’inverse étant cette fois τa−1 =
⊓
τ−a .
⊔
Proposition 3.7. Soit H un espace de Hilbert, T un opérateur borné, ou non-borné fermé de
domaine dense, et U un opérateur unitaire. On considère l’opérateur (fermé) de domaine dense
TU = U T U −1 = U T U ∗ .
Alors σ(TU ) = σ(T ), et si T est autoadjoint, TU l’est aussi.
La preuve de cette proposition est très simple, et repose sur le fait que si λ ∈ ρ(T ), alors (λ −
TU )−1 = U (λ − T )−1 U −1 , ce qui montre que λ ∈ ρ(TU ). On montre de même l’implication
contraire.
Exercice 3.21 (Spectre de l’opérateur Laplacien sur Rd ). On considère l’opérateur T de
domaine H2 (Rd ) sur l’espace de Hilbert L2 (Rd ) d’action −∆. Montrer que cet opérateur est unitairement équivalent, par une transformation unitaire U que l’on précisera, à l’opérateur TU de
domaine
ˆ
ß
™
2
d 4
2
D(TU ) = f ∈ L (R ) (1 + |x| )|f (x)| dx < +∞
Rd
défini par TU f (x) = |x|2 f (x). En déduire que σ(T ) = σc (T ) = [0, +∞[.
Montrer ensuite que σ((1 + T )−1 ) = σc ((1 + T )−1 ) = [0, 1] (on rappelle que cet opérateur est
bien défini, voir Exercice 3.6).
Correction 3.16. En utilisant pour U la transformée de Fourier unitaire (3.9), on voit que T est
en effet unitairement équivalent à la multiplication par |x|2 . En raisonnant comme dans l’Exercice 3.15, on montre alors que σ(T ) = σc (T ) = [0, +∞[.
On voit ensuite que l’opérateur (1 + T )−1 est unitairement équivalent à la multiplication par
1/(1 + |x|2 ), et son spectre est donc σ((1 + T )−1 ) = σc ((1 + T )−1 ) = [0, 1], toujours en vertu de
⊓
l’Exercice 3.15.
⊔
3.3 Opérateurs compacts
3.3.1 Rappels et compléments
Définition 3.9. Soit E un espace de Banach et K ⊂ E. On dit que K est compact si de toute
suite (un )n∈N d’éléments de K, on peut extraire une sous-suite (unk )k∈N qui converge dans K.
Proposition 3.8. Soit E un espace de Banach. Tout compact de E est fermé et borné.
68
3 Introduction à la théorie spectrale
Exercice 3.22. Prouver ce résultat.
Correction 3.17. Soit K un compact de E, u ∈ K et (un )n∈N une suite d’éléments de K qui
converge vers u. De la suite (un )n∈N , on peut extraire une sous-suite qui converge vers un certain
v ∈ K. Comme la suite (un )n∈N converge vers u, on a v = u et donc u ∈ K. Cela prouve que
K est fermé. Supposons que K ne soit pas borné. On pourrait alors construire une suite (un )n∈N
telle que pour tout n ∈ N, kun k > n. Il est clair qu’aucune sous-suite de la suite (un )n∈N n’est
⊓
convergente, ce qui met en évidence une contradiction.
⊔
On rappelle que si E est de dimension finie, la réciproque est vraie : les fermés bornés sont
compacts. On rappelle également le
Théorème 3.1 (Théorème de Riesz). Soit E un espace de Banach. La boule unité fermée
B 1 = {x ∈ E, kxk 6 1} est compacte si et seulement si E est de dimension finie.
Définition 3.10. Soit E un espace de Banach et K ⊂ E. On dit que K est relativement compact
si K est compact.
Pour prouver qu’un sous-ensemble K d’un espace de Banach E est relativement compact, il suffira
donc de prouver que de toute suite (un )n∈N d’éléments de K on peut extraire une sous-suite de
Cauchy (i.e. une sous-suite qui converge dans E).
3.3.2 Définition et premières propriétés des opérateurs compacts
Définition 3.11. Soit E et F deux espaces de Banach et T un opérateur linéaire de E dans F .
On dit que l’opérateur T est compact si pour tout B ⊂ E,
B borné dans E
⇒
T (B) relativement compact dans F.
On note K(E, F ) l’ensemble des opérateurs compacts de E dans F .
Ainsi, un opérateur compact transforme à extraction près une suite bornée en une suite convergente.
Proposition 3.9. Tout opérateur linéaire compact est continu, i.e. K(E, F ) ⊂ L(E, F ).
Exercice 3.23. Prouver ce résultat (considérer l’image de la boule unité).
Correction 3.18. Soit E et F deux espaces de Banach et T un opérateur linéaire compact de E
dans F . Soit B 1 = {x ∈ E, kxk 6 1} la boule unité fermée de E. L’ensemble B 1 étant borné, son
image par T est relativement compacte donc bornée : il existe une constante C telle que
∀x ∈ B 1 ,
kT xkF 6 C.
On en déduit que
∀x ∈ E\{0},
Å
ã
x
6 CkxkE .
kT xkF = kxkE T
kxkE F
L’opérateur linéaire T est donc continu.
⊓
⊔
Remarque 3.7 (Définition alternative). Si T ∈ L(E, F ) et E, F sont deux espaces de Banach,
E étant reflexif (on rappelle que cela signifie que E ′′ = (E ′ )′ = E), une caractérisation alternative
de la compacité est de dire que T transforme toute suite faiblement convergente en une suite
fortement convergente (à extraction près toutefois).
En effet, soit T un opérateur compact. On considère une suite (un )n>0 de E faiblement convergente, i.e. telle qu’il existe u ∈ E tel que, pour tout élément pour tout v ∈ E ′ ,
3.3 Opérateurs compacts
69
hun , viE,E ′ −→ hu, viE,E ′ .
Alors (un )n>0 est bornée (voir par exemple [6, Section VI.5.3]). Par conséquent, comme T est un
opérateur compact, on peut extraire une sous-suite telle que (T unk )k>0 converge fortement, vers
une limite notée v. Par ailleurs, T étant continu, (T un )n>0 converge faiblement vers T u. L’unicité
de la limite faible montre que v = T u, et ainsi T unk → T u lorsque k → +∞.
Réciproquement, supposons que T est tel que, pour toute suite (vn )n>0 convergeant faiblement,
il existe une sous-suite extraite (T vnk )k>0 convergeant fortement. Considérons alors une suite
(un )n>0 bornée dans E. Comme E est reflexif, le théorème de Kakutani (voir [3, Théorème III.16])
montre qu’il existe une sous-suite extraite (unk )k>0 convergeant faiblement. Alors, il existe une
sous suite extraite de la précédente, notée (T u
˜m )m>0 , qui converge fortement. Ceci montre que T
est compact.
Exercice 3.24. Montrer que les opérateurs suivants sont compacts :
• l’identité de E est compacte si et seulement si E est de dimension finie ;
• si l’un des espaces E ou F est de dimension finie, alors tout opérateur linéaire continu T de
E dans F est compact,
• si T1 et T2 sont deux opérateurs linéaires compacts de E dans F , alors T1 +T2 est un opérateur
compact ;
‹ de E est
• la restriction d’un opérateur compact T ∈ K(E, F ) à un sous-espace vectoriel E
compacte.
Correction 3.19. La première assertion est une conséquence immédiate du Théorème 3.1 .
Pour la seconde, on peut utiliser une construction explicite des suites extraites fondées sur la
compacité des intervalles de R. On considère dans les deux cas une suite d’éléments de l’image
dont les antécédants sont bornés.
• Dans le premier cas, on peut écrire E = Vect(e1 , . . . , em ) (m < +∞) pour une certaine
base {ei } d’éléments de norme 1. Une suite bornée d’éléments xn ∈ E est de la forme
xn = xn,1 e1 + · · · + xn,m em avec |xn,i | 6 C pour tout n > 0 et 1 6 i 6 m. En extrayant
successivement pour de i allant de 1 à m, on construit une suite extraite (xnk ,1 , . . . , xnk ,m )
convergeant dans Rm . On en déduit que la suite xnk converge dans E, et donc T xnk converge
dans F car T est compact donc continu.
• Considérons à présent le cas où l’image est de rang fini. Partant d’une suite bornée (un ) de
E, on a alors une suite bornée (T un ) de l’image de Ran(T ), qui est de dimension finie. Par
extraction successive sur les coordonnées de (T un ) (de manière similaire à ce qui a été fait
précédemment), on peut construire une suite extraite (unk )k∈N telle que (T unk )k∈N converge.
Pour le troisième point, si on part d’une suite bornée (un ), on commence par extraire une soussuite vk = unk telle que (T1 vk ) converge, puis on extrait de la sous-suite (vk ) une autre sous-suite
wl = vkl telle que (T2 wl ) converge lorsque l → +∞. La sous-suite (wl ) est donc bien une sous-suite
de (un ) telle que ((T1 + T2 )wl ) converge.
‹ comme une suite de E pour
Enfin, pour le dernier point, il suffit de voir une suite (un ) de E
⊓
⊔
obtenir l’existence d’une sous-suite vk = unk telle que (T vk ) converge.
Exercice 3.25. On considère l’opérateur de l’Exercice 3.4. Montrer que K ∈ K(E, F ) en admettant le résultat de compacité suivant, connu sous le nom de lemme d’Ascoli : si F est un sousensemble borné de F = C 0 ([0, 1], R) tel que la propriété d’équicontinuité suivante soit satisfaite :
pour tout ε > 0, il existe δ > 0 tel que
|x − x′ | 6 δ ⇒ ∀u ∈ F, |u(x) − u(x′ )| 6 ε,
alors F est relativement compact dans F .
Correction 3.20. En procédant comme pour montrer l’inégalité (3.2), on voit que la propriété
d’équicontinuité est satisfaite pour des fonctions f ∈ E telles que kf kL1 6 C < +∞. Ainsi, le
lemme d’Ascoli montre qu’on peut extraire d’une suite bornée de E une sous-suite convergente,
⊓
ce qui montre que l’opérateur K est compact.
⊔
70
3 Introduction à la théorie spectrale
Théorème 3.2. Soit E et F deux espaces de Banach. L’ensemble K(E, F ) est un sous-espace
vectoriel fermé de l’espace vectoriel L(E, F ).
Preuve. Il est facile de montrer que K(E, F ) est un espace vectoriel. De par la Proposition 3.9 on
sait qu’il est inclus dans L(E, F ). Il reste à prouver que c’est un sous-espace fermé de L(E, F ).
Considérons pour cela une suite d’opérateurs compacts (Tk )k∈N∗ qui converge dans L(E, F ) vers
un opérateur T ∈ L(E, F ) et montrons que T est compact. Soit donc B un borné de E, R > 0 un
réel tel que B ⊂ {x ∈ E, kxk 6 R} et (un )n∈N une suite de T (B) ; il faut montrer que de (un )n∈N
on peut extraire une sous-suite de Cauchy (ceci prouvera que T (B) est relativement compact et
donc que T est compact).
Soit (wn )n∈N une suite d’éléments de B tels que pour tout n ∈ N, T (wn ) = un . On va extraire
de (un )n∈N une sous-suite de Cauchy en utilisant un procédé diagonal : posons wn0 = wn et utilisons
le caractère compact des opérateurs Tk pour construire par récurrence pour tout k > 1 une soussuite (wnk )n∈N de (wnk−1 )n∈N telle que (Tk (wnk ))n∈N soit de Cauchy. Définissons maintenant la
suite (vn )n∈N par vn = wnn . Pour tout k ∈ N∗ , (vn )n>k est une sous-suite de (wnk )n∈N ; la suite
(Tk (vn ))n∈N est donc de Cauchy.
Posons u
en = T (vn ). La suite (e
un )n∈N est une sous-suite de (un )n∈N . Soit ε > 0 et k ∈ N∗ tel
que
ε
.
kT − Tk kL(E,F ) 6
3R
Soit ensuite N > 0 tel que ∀q > p > N ,
kTk (vp ) − Tk (vq )kF 6
ε
.
3
Il vient
∀q > p > N,
ke
up − u
eq k = kT (vp ) − T (vq )kF
6 kT (vp ) − Tk (vp )kF + kTk (vp ) − Tk (vq )kF + kTk (vq ) − T (vq )kF
6 kT − Tk kL(E,F ) (kvp kE + kvq kE ) + kTk (vp ) − Tk (vq )kF
6 ε.
⊓
⊔
La suite (e
un )n∈N est donc de Cauchy. Ceci conclut la preuve.
Une des conséquences importantes de ce résultat est que si T est une limite d’une suite d’opérateurs
(Tn )n>0 de rang fini (i.e. tels que la dimension de Ran(Tn ) est finie) :
kTn − T k −→ 0,
où la norme est définie en (3.1), alors l’opérateur limite T est compact. En général, la réciproque
est fausse : on ne peut pas approcher n’importe quel opérateur compact par une suite d’opérateurs
de rang fini. C’est cependant le cas si on considère K(E, F ) lorsque F est un espace de Hilbert,
voir [3, Section VI.1] ou la Remarque 3.9 pour le cas où E = F = H est un espace de Hilbert.
Théorème 3.3. Soit E, F et G trois espaces de Banach.
(S ∈ L(E, F ) et T ∈ K(F, G))
⇒
T ◦ S ∈ K(E, G)
(S ∈ K(E, F ) et T ∈ L(F, G))
⇒
T ◦ S ∈ K(E, G).
Exercice 3.26. Prouver ce résultat.
Correction 3.21. Soit S ∈ L(E, F ) et T ∈ K(F, G). Soit B un borné de E. L’opérateur S étant
continu, S(B) est borné dans F . L’opérateur T étant compact, il en résulte que T (S(B)) =
(T ◦ S)(B) est relativement compact dans G. D’où la première assertion.
Soit maintenant S ∈ K(E, F ) et T ∈ L(F, G). Soit B un borné de E. L’opérateur S étant
compact, S(B) est compact dans F . Donc, T étant continu, T (S(B)) est compact dans G (l’image
d’un compact par une application continue est un compact). Il en résulte que (T ◦S)(B) = T (S(B)),
⊓
qui est inclus dans T (S(B)), est relativement compact. Ceci prouve la deuxième assertion.
⊔
3.3 Opérateurs compacts
71
On déduit immédiatement des deux théorèmes ci-dessus le
Corollaire 3.1. Soit E un espace de Banach. L’ensemble des opérateurs linéaires compacts de E
dans E noté K(E) est un idéal bilatère fermé de L(E).
Concluons enfin avec deux exercices d’application.
“ de l’Exercice 3.8
Exercice 3.27 (Opérateurs de Hilbert-Schmidt). Montrer que l’opérateur K
est compact. Pour ce faire, on considère une base orthonormale {φi }i∈N de l’espace de Hilbert H.
Un élément f ∈ E peut s’écrire
f=
+∞
X
i=0
“ =
et donc Kf
+∞
X
i=0
K(x, y) =
par
P+∞
hφi , f i
L2
+∞
X
φi ,
i=0
2
|hφi , f iL2 | < +∞,
“ i . Montrer que
hφi , f iL2 ψi avec ψi = Kφ
m,n=0 cn,m φn (x)φm (y)).
+∞
X
i=0
kψi k2L2 < +∞ (on pourra écrire que
“N : E → E
On définit ensuite, pour N ∈ N, l’opérateur K
“N f =
K
N
X
i=0
hφi , f iL2 ψi .
“ “ “ est compact.
Montrer que K
− KN → 0 lorsque N → +∞ et en déduire que K
Correction 3.22. Par tensorisation, la base des fonctions (ϕij )i,j∈N telles que ϕij (x, y) = φi (x)φj (y)
est une base hilbertienne de L2 (R2d , C). On note que
ˆ ˆ
X
2
2
K(x, y)φi (x)φj (y) dx dy.
kψi k =
|cij | ,
cij =
R
j∈N
Comme
kKk2L2 =
on en déduit que
P+∞
i,j∈N
2
i=0 kψi kL2
Ñ
k(K − KN )f k2L2 6
X
R
|cij |2 < +∞,
< +∞. On a ensuite, par une inégalité de Cauchy-Schwarz,
Ñ
é
é
éÑ
X
X
X
kψi k2 .
|hf, φi i|2
kψi k2L2 6 kf k2L2
i>N +1
i>N +1
i>N +1
Ceci montre que
Ñ
kK − KN k 6
X
é1/2
i>N +1
kψi k2
,
le membre de droite tendant vers 0 lorsque N → +∞ (comme reste d’une série convergente).
On en déduit que la suite d’opérateurs de rang fini KN tend vers K, et donc, en application du
⊓
Théorème 3.2, que K est compact.
⊔
Exercice 3.28. On considère l’opérateur T : L2 (R) → L2 (R) défini par
T u(x) = V (x) (1 − ∆)−1 u (x),
où V ∈ L2 (R). Montrer que
T u(x) =
ˆ
n(x, y)u(y) dy
R
pour une fonction n ∈ L2 (R, R) que l’on déterminera et en conclure que T est compact en utilisant
le résultat de l’Exercice 3.27. Au préalable, on vérifiera
que (1 − ∆)−1 u = g ⋆ u avec g(x) = 12 e−|x|
ˆ
e−α|x| eikx dx.
en calculant la transformée de Fourier suivante :
R
72
3 Introduction à la théorie spectrale
Correction 3.23. On réécrit (1 − ∆)−1 u comme F −1 (1 + |ξ|2 )−1 u
ˆ), et g ⋆ u comme F −1 (ˆ
gu
ˆ).
Un calcul simple montre que
ˆ
ˆ 0
ˆ +∞
1
2α
1
−αx ikx
−α|x| ikx
,
+
= 2
eαx eikx dx =
e
e dx +
e
e dx =
α
+
ik
α
−
ik
k
+ α2
−∞
0
R
et donc gˆ(ξ) = (1 + |ξ|2 )−1 , ce qui permet de conclure que (1 − ∆)−1 u = g ⋆ u. Ainsi,
ˆ
1
T u(x) = V (x)(g ⋆ u)(x) =
V (x)g(x − y) u(y) dy,
2 R
ce qui montre que T peut être considéré comme un opérateur de noyau K(x, y) = V (x)g(x − y).
Une application du théorème de Fubini montre que
ˆ ˆ
|K(x, y)|2 dx dy = kgk2L2 kV k2L2 < +∞,
R
R
⊓
⊔
ce qui permet de conclure que T est compact au vu de l’exercice précédent.
3.3.3 Le théorème de Rellich
On va à présent énoncer un résultat de compacité important, qui est très utile dans l’étude
d’existence de solutions d’équations aux dérivées partielles.
Théorème 3.4. Soit Ω un ouvert borné de Rd . L’injection canonique de H10 (Ω) dans L2 (Ω) est
compacte.
Un des intérêts de ce résultat est que, si on arrive à obtenir une borne a priori H1 (Ω) sur une
suite de fonctions approchant la solution d’une équation (par exemple, en montrant qu’une énergie
est uniformément bornée), alors on peut extraire de cette suite une limite possible. Cette limite
est alors un candidat naturel pour être une solution de l’équation de départ. Dans ce chapitre, ce
résultat va nous permettre de montrer que les inverses de certains opérateurs sont compacts, ce qui
permettra de décrire complètement de manière qualitative le spectre de l’opérateur en question.
Exercice 3.29. Prouver ce résultat en procédant comme
p suit :
• traiter le cas où Ω =]0, π[. En notant ek (x) = 2/π sin(kx) le k-ième mode de Fourier
valant 0 au bord on peut caractériser les espaces L2 (0, π) et H10 (0, π) par
)
(
+∞
+∞
X
X
|ck |2 < +∞
ck ek (x),
L2 (0, π) = u(x) =
k=1
k=1
et
H10 (−π, π)
=
(
u(x) =
k=1
De plus,
kukL2 =
+∞
X
k=1
+∞
X
|ck |2
!1/2
,
ck ek (x),
+∞
X
2
2
(1 + k )|ck | < +∞ .
k=1
kukH1 =
)
+∞
X
(1 + k 2 )|ck |2
k=1
!1/2
.
En effet, pour montrer la complétude de la base des {ek } dans L2 (0, π), il suffit de prendre
une fonction de L2 (0, π), de l’antisymétriser pour en faire une fonction sur ]−π, π[, d’étendre
la fonction à tout R en la périodisant, et enfin de développer cette fonction sur la base des
sinus et cosinus (en utilisant la théorie des séries de Fourier).
Introduire
i : H10 (0, π) −→ L2 (0, π)
u 7→ u
3.3 Opérateurs compacts
73
l’injection canonique de H10 (0, π) dans L2 (0, π) et la suite d’opérateurs linéaires (iN )N ∈N∗ par
iN : H10 (0, π) −→ L2 (0, π)
u=
+∞
X
k=1
ck ek 7→ iN (u) =
N
X
c k ek .
k=1
Montrer que la suite (iN )N ∈N∗ converge vers i dans L(H10 , L2 ) et conclure.
• pour ω =]0, π[d , on montre de même que l’injection canonique de H10 (ω) dans L2 (ω) est
compacte en développant les fonctions u ∈ H10 (ω) dans la base tensorielle de Fourier :
u(x1 , x2 , · · · , xd ) =
+∞
X
k1 ,k2 ,··· ,kd =1
ck1 k2 ···kd sin(k1 x1 ) sin(k2 x2 ) · · · sin(kd xd ).
Conclure pour un ouvert borné Ω ⊂ Rd quelconque en se ramenant par homothétie et translation au cas où Ω ⊂ ω =]0, π[d , et en remarquant que l’injection iΩ de H10 (Ω) dans L2 (Ω)
peut se décomposer en
iω
p
r
iΩ : H10 (Ω) −→ H10 (ω) ֒→ L2 (ω) −→ L2 (Ω)
où p désigne l’opérateur linéaire qui transforme une fonction de H10 (Ω) en une fonction de
H10 (ω) en la prolongeant par 0 dans ω \ Ω, iω l’injection canonique de H10 (ω) dans L2 (ω) et
r l’opérateur de restriction qui à u ∈ L2 (ω) associe la fonction u|Ω (qui est dans L2 (Ω)).
Correction 3.24. Pour montrer que la suite (iN )N ∈N∗ converge vers i dans L(H10 , L2 ), on calcule
ki − iN kL(H10 ,L2 ) =
k(i − iN )(u)kL2
kukH10
u∈H10 (Ω), u6=0
sup
=
(ck )k∈N∗ 6=0,
6
(ck )k∈N∗ 6=0,
6
Psup
(1+k2 )|ck |2 <+∞
Psup
(1+k2 )|ck |2 <+∞
+∞
X
|ck |
k=N +1
+∞
X
2
!1/2
(1 + k 2 )|ck |2
k=1
+∞
X
|ck |
k=N +1
+∞
X
2
2
!1/2
!1/2
(1 + k )|ck |
k=N +1
2
!1/2
1
−→ 0.
1 + (N + 1)2 N →+∞
Par ailleurs, pour tout N ∈ N∗ , l’opérateur iN est de rang fini égal à N ; c’est donc un opérateur
compact. Il en résulte que i est limite dans L(H10 , L2 ) d’opérateurs compacts. C’est donc lui-même
un opérateur compact d’après le Théorème 3.2.
Par la même technique, on montre que si ω =]0, π[d , l’injection canonique de H10 (ω) dans L2 (ω)
est compacte ; il suffit de développer les fonctions u ∈ H10 (ω) dans la base tensorielle de Fourier :
u(x1 , x2 , · · · , xd ) =
+∞
X
k1 ,k2 ,··· ,kd =1
ck1 k2 ···kd sin(k1 x1 ) sin(k2 x2 ) · · · sin(kd xd ).
Enfin, si Ω est un ouvert borné quelconque de Rd , on peut se ramener par homothétie et translation
au cas où Ω ⊂ ω =]0, π[d . Il suffit alors de remarquer que l’injection iΩ de H10 (Ω) dans L2 (Ω) peut
se décomposer en
74
3 Introduction à la théorie spectrale
p
iω
r
iΩ : H10 (Ω) −→ H10 (ω) ֒→ L2 (ω) −→ L2 (Ω)
où p désigne l’opérateur linéaire qui transforme une fonction de H10 (Ω) en une fonction de H10 (ω)
en la prolongeant par 0 dans ω \ Ω, iω l’injection canonique de H10 (ω) dans L2 (ω) et r l’opérateur
de restriction qui à u ∈ L2 (ω) associe la fonction u|Ω (qui est dans L2 (Ω)). Comme p et r sont des
opérateurs continus et iω un opérateur compact, il en résulte que iΩ est lui-même un opérateur
⊓
compact.
⊔
Remarque 3.8 (Injection compacte de H1 (Ω) dans L2 (Ω)). Une modification de la preuve
ci-dessus permet de montrer facilement queQl’injection de H1 (Ω) dans L2 (Ω) est compacte lorsque
le domaine Ω est un parallélépipède Ω = di=1 ]ai , bi [. Pour des domaines généraux, la question
est plus difficile : ce qui pose problème dans la preuve ci-dessus, c’est de montrer que l’opérateur
d’extension (celui qui à une fonction f ∈ H1 (Ω) associe une fonction fe ∈ H1 (ω) avec ω un cube et
feΩ = f ) est bien défini et est borné. De tels résultats existent pour des domaines bornés réguliers,
voir par exemple [4, Théorème 7.1.7] et [3, Théorème IX.7].
3.3.4 Théorie spectrale des opérateurs compact autoadjoints
Les opérateurs autoadjoints compacts ont une structure spectrale très particulière, qui ressemble beaucoup à celle des opérateurs linéaires en dimension finie.
Théorème 3.5 (Diagonalisation de T). Soit H un espace de Hilbert séparable de dimension
infinie et T ∈ L(H) un opérateur auto-adjoint compact. Alors il existe une suite (µn ) de réels non
nuls, finie ou tendant vers 0, et une base hilbertienne (en ) ∪ (fn ) de H telle que
(1) σ(T ) = (µn ) ∪ {0},
(2) (fn ) est une base de Ker(T ),
(3) T en = µn en .
En outre, pour tout λ ∈ σ(T ) \ {0}, l’espace propre Eλ = Ker(λ − T ) est de dimension finie.
En fait, plusieurs cas peuvent se présenter :
(i) ou bien σ(T ) = σp (T ) = {0}, auquel cas T = 0. Dans ce cas, la base (fn ) engendre tout
l’espace, et la base (en ) est vide ;
(ii) ou bien σ(T ) = σp (T ) = {µn }n∈{1,...,N } ∪ {0}, c’est-à-dire que T est de rang fini. Dans ce
cas, la base (en ) est de cardinal fini N , et la base (fn ) est de cardinal infini ;
(iii) ou bien σ(T ) = σp (T ) = {µn }n>0 ∪ {0}, auquel cas T est non injectif. La base (en ) est de
cardinal infini, alors que la base (fn ) peut être de cardinal fini ou infini en fonction de la
dégénerescence de la valeur propre 0 ;
(iv) ou bien σp (T ) = {µn }n>0 et 0 ∈
/ σp (T ), auquel cas T est injectif. Dans ce cas, σc (T ) = {0}
car σr (T ) = ∅ (voir la Proposition 3.5).
Exercice 3.30. Nous décomposons la (longue) preuve du Théorème 3.5 en plusieurs étapes.
(1) Montrer pour commencer que
σ(T ) ⊂ σp (T ) ∪ {0} .
Pour ce faire, considérer λ ∈ R\{0} tel que λ ∈
/ σp (T ). Il s’agit de montrer que λ ∈
/ σ(T ). Pour
l’étude de la surjectivité de (λ − T ), prouver que V = Ran(λ − T ) = H en montrant que cet
espace est dense et fermé (pour ce dernier point, introduire une suite (wn )n∈N = ((λ−T )vn )n∈N
d’éléments de V qui converge vers w dans H, et montrer par l’absurde que (vn ) admet une
sous-suite bornée).
(2) Montrer que σp (T ) est ou bien une suite finie, ou bien une suite infinie qui converge vers 0
en procédant par contradiction (extraire de σp (T ) une suite (λn )n∈N de réels non nuls tous
distincts qui converge vers un réel µ 6= 0 et en ∈ Ker(λn − T ) tel que ken k = 1. Montrer qu’il
existe une sous-suite convergente, ce qui n’est pas possible car les (en ) sont orthogonaux entre
eux).
3.3 Opérateurs compacts
75
(3) A tout point λn ∈ σp (T ) tel que λn 6= 0, on associe En = Ker(λn − T ). Montrer que les espaces
En sont de dimension finie en considérant Tn = T |En = λn IdEn (avec λn 6= 0).
(4) Les espaces En sont deux à deux orthogonaux (par la Proposition 3.5). Montrer qu’ils sont
aussi orthogonaux à F = Ker(T ).
M
(5) Soit enfin E =
En . Montrer que H = E ⊕ F , où les sommes directes sont des sommes
n
orthogonales dans les deux cas (selon le point précédent). Pour ce faire, remarquer tout d’abord
que E et E ⊥ sont stables par T . On peut alors définir T˜, la restriction de T à l’ensemble fermé
E⊥ :
T˜ : E ⊥ → E ⊥
v 7→ T v.
En particulier, T˜ est auto-adjoint et compact. Donc σ(T˜) ⊂ σp (T˜)∪{0}. Montrer, en procédant
par contradiction, que σp (T˜) = {0}. En déduire r(T˜) = kT˜k = 0 et conclure que F = E ⊥ .
On conclut la preuve en notant nk la dimension de Ek , et en prenant µ1 = λ1 , · · · , µn1 =
λ1 avec (e1 , · · · , en1 ) une base orthonormale de E1 ; puis µn1 +1 = λ1 , · · · , µn1 +n2 = λ2 , et
(en1 +1 , · · · , en1 +n2 ) une base orthonormale de E2 ; etc.
Correction 3.25. Nous décomposons cette (longue) preuve en plusieurs étapes.
(1) Montrons pour commencer que
σ(T ) ⊂ σp (T ) ∪ {0} .
Pour ce faire, considérons λ ∈ R\{0} tel que λ ∈
/ σp (T ). Il s’agit de montrer que λ ∈
/ σ(T ).
Comme λ ∈
/ σp (T ), (λ − T ) injectif. Etudions alors la surjectivité en nous intéressant à V =
Ran(λ−T ), et plus particulièrement, montrons que V = H, ce qui donnera le résultat escompté.
(i) V est fermé.
En effet, soit une suite (wn )n∈N d’éléments de V qui converge vers w dans H. Soit (vn )n∈N
l’unique suite d’éléments de H définie par wn = (λ − T )vn pour tout n ∈ N. On a alors
vn =
1
[wn + T vn ].
λ
Montrons d’abord que la suite (vn ) admet une sous-suite bornée. Par l’absurde, supposons
que kvn k −→ +∞. On aurait dans ce cas
λ
vn
vn
wn
−T
=
−→ 0.
kvn k
kvn k
kvn k
En utilisant la compacité de l’opérateur T , on extrait de (vn ) une sous-suite (vnk ) telle
que
vnk
−→ u ∈ H.
T
kvnk k
D’où
vnk
1
−→ z = u
kvnk k
λ
et z vérifie (λ − T )z = 0. Il en résulte que z = 0 puisque (λ − T ) est injectif. C’est
impossible car z est limite forte de points de la sphère unité de H.
La suite (vn ) admet donc une sous-suite bornée. L’opérateur T étant compact, (vn ) admet
une sous-suite (vnk ) bornée telle qu’on ait dans H
T vnk −→ w′ .
Il en résulte que dans H
76
3 Introduction à la théorie spectrale
vnk −→ v =
1
[w + w′ ].
λ
Comme T est continu, on a finalement
w = lim wnk = lim (λ − T )vnk = (λ − T )v ∈ V,
k→+∞
k→+∞
ce qui montre bien que V est fermé.
(ii) V est dense.
En effet, soit w ∈ V ⊥ . Alors ((λ−T )v, w) = 0 pour tout v ∈ H. Comme T est auto-adjoint
et λ réel (car σ(T ) ⊂ R par la Proposition 3.5) on a en fait (v, (λ − T )w) = 0 pour tout
v ∈ H. On en déduit (λ − T )w = 0, et donc w = 0 puisque (λ − T ) est injectif.
(2) Montrons que σp (T ) est ou bien une suite finie, ou bien une suite infinie qui converge vers 0.
Dans le cas contraire, on pourrait extraire de σp (T ) une suite (λn )n∈N de réels non nuls tous
distincts qui converge vers un réel µ 6= 0. Soit en ∈ Ker(λn − T ) tel que ken k = 1. On a, pour
tout n ∈ N,
1
T en .
en =
λn
La suite (en )n∈N étant bornée et T étant compact, on peut extraire une sous-suite (T enk ) qui
converge dans H vers un certain u, et alors
enk −→
1
u.
µ
Or la suite (en ) est orthonormale par la Proposition 3.5, ce qui montre que la suite (enk ) n’est
pas de Cauchy, donc ne peut pas converger. La contradiction montre le résultat annoncé.
(3) A tout point λn ∈ σp (T ) tel que λn 6= 0, on associe En = Ker(λn − T ). Montrons que les
espaces En sont de dimension finie.
Soit en effet Tn = T |En . Il est clair que Tn = λn IdEn (avec λn 6= 0) et que Tn est compact de
En dans En (car c’est la restriction d’un opérateur compact à l’ensemble En = Ker(λn − T )).
En particulier la sphère unité de En est compacte, ce qui prouve que En est de dimension finie
(par le théorème de Riesz, voir par exemple [3, Théorème VI.5]).
(4) Les espaces En sont deux à deux orthogonaux (par la Proposition 3.5) et sont orthogonaux à
F = Ker(T ).
Pour le second point, on procède comme dans la preuve de la Proposition 3.5. En effet, soit
λn ∈ σp (T ) avec λn 6= 0, u ∈ En et v ∈ F . Alors
λn (u, v) = (T u, v) = (u, T v) = 0,
d’où (u, v) = 0 puisque λn 6= 0.
M
(5) Soit enfin E =
En . Montrons que H = E ⊕ F , où les sommes directes sont des sommes
n
orthogonales dans les deux cas (selon le point précédent).
Remarquons tout d’abord que E est T -stable. En effet, soit x ∈ E, alors on peut écrire
X
X
x=
xn ,
x n ∈ En ,
|xn |2 < +∞.
n
n
P
Comme par ailleurs (λn ) est finie ou tend vers 0 la série n λn xn converge dans H. On a donc
X
X
Tx =
λn x n ,
λ n x n ∈ En ,
|λn xn |2 < +∞,
n
n
ce qui montre que T x ∈ E. Par ailleurs, E ⊥ est T -stable. En effet, si w ∈ E ⊥ , (T w, v) =
(w, T v) = 0 pour tout v ∈ E. Ceci montre que T w ∈ E ⊥ .
3.3 Opérateurs compacts
77
Définissons maintenant T˜, la restriction de T à l’ensemble fermé E ⊥ :
T˜ : E ⊥ → E ⊥
v 7→ T v.
En particulier, T˜ est auto-adjoint et compact. Donc σ(T˜) ⊂ σp (T˜) ∪ {0}. Supposons que
σp (T˜) 6= {0}. Soit λ ∈ σp (T˜) avec λ 6= 0. Il existe v ∈ E ⊥ \ {0} tel que
T˜v = λv
d’où aussi T v = λv. Donc λ ∈ σp (T ). Ceci signifie cependant que λ = λn et que v ∈ En pour
un certain n. D’où
v ∈ En ∩ E ⊥ = {0} ,
ce qui contredit l’hypothèse v 6= 0. Il en résulte que
σ(T˜) = {0} .
Comme σ(T˜) contient −r(T˜) ou r(T˜), il s’en suit que r(T˜) = kT˜k = 0 et donc que T˜ = 0.
Finalement T˜ = T |F , ce qui signifie que F = E ⊥ (rappelons en effet que H = E ⊕ E ⊥ et que
F ⊂ E ⊥ , mais nous venons de montrer l’inclusion contraire E ⊥ ⊂ Ker(T ) = F ).
(6) Notons nk la dimension de Ek . On prend µ1 = λ1 , · · · , µn1 = λ1 , et (e1 , · · · , en1 ) une base
orthonormale de E1 ; puis µn1 +1 = λ1 , · · · , µn1 +n2 = λ2 , et (en1 +1 , · · · , en1 +n2 ) une base
orthonormale de E2 ; etc.
⊓
Ceci conclut la preuve.
⊔
Remarque 3.9. La preuve précédente montre qu’on peut écrire tout opérateur autoadjoint de
K(H) (lorsque H est un espace de Hilbert) comme une limite d’opérateurs de rang fini (voir [3]).
En effet, on peut écrire tout u ∈ H sous la forme
+∞
X
u=
un ,
n=1
et l’application T est diagonale dans cette base :
Tu =
+∞
X
λn u n ,
(3.10)
n=1
avec λn → 0 lorsque n → +∞ (éventuellement, il est possible que λn = 0 à partir d’un certain
rang). Définissant les opérateurs de rang fini TN par
TN u =
N
X
λn un ,
n=1
on voit facilement que kT − TN k 6 sup |λm | −→ 0 lorsque N → +∞.
m>N
Remarque 3.10 (Calcul fonctionnel). Notons également que la décomposition (3.10) permet
de définir des opérateurs f (T ) par la formule
f (T )u =
+∞
X
f (λn )un .
n=1
Ceci généralise les opérations faites sur les matrices symétriques réelles. La décomposition ci-dessus
reste vraie pour des opérateurs à résolvante compacte (voir Section 3.3.5).
Exercice 3.31. Montrer que l’opérateur (1 + T )−1 de l’Exercice 3.21 n’est pas compact.
Correction 3.26. On a montré que σ((1 + T )−1 ) = σc ((1 + T )−1 ) = [0, 1], ce qui montre que la
structure du spectre ne ressemble pas à celle d’un opérateur compact (dont le spectre est l’union
au plus dénombrable de valeurs propres non nulles et de 0). On en déduit que (1 + T )−1 n’est pas
compact.
78
3 Introduction à la théorie spectrale
3.3.5 Opérateurs à résolvante compacte
Un corollaire intéressant du Théorème 3.5 est qu’il permet de déterminer le spectre des opérateurs dont la résolvante est compacte. Plus précisément, on montre que le spectre de tels opérateurs
est discret (valeurs propres isolées et espaces propres associés de dimension finie).
Proposition 3.10. Soit H un espace de Hilbert séparable, et T un opérateur autoadjoint nonborné sur H. On suppose qu’il existe λ ∈ ρ(T ) ∩ R tel que R(λ) = (λ − T )−1 est un opérateur
compact de H dans H. Alors, il existe une suite de réels (µn )n>0 telle que |µn | → +∞ lorsque
n → +∞, et une base hilbertienne (en )n>0 de H telle que
σ(T ) = σp (T ) = {µn , n > 0},
avec T en = µn en et dim(Ker(µn − T )) < +∞ pour tout n > 0.
Notons que, pour λ ∈ ρ(T ), l’opérateur R(λ) = (λ − T )−1 : H → D(T ) est borné. On obtient
un opérateur compact de H dans H lorsque l’injection canonique de D(T ) dans H est compacte
(voir par exemple le cas traité à la Section 3.4.1).
Remarque 3.11. Notons qu’il est important que l’opérateur soit authentiquement non-borné, i.e.
qu’il ne soit pas borné. La preuve de ce résultat montre en effet que l’application (λ − T )−1 ne peut
pas être compacte si T est borné.
Exercice 3.32. Prouver ce résultat.
Correction 3.27. Noter que R(λ) est borné. Soit y1 , y2 ∈ H et x1 , x2 ∈ D(T ) tels que yi =
(λ − T )xi . Comme hR(λ)y1 , y2 i = hx1 , (λ − T )x2 i = h(λ − T )x1 , x2 i = hy1 , R(λ)y2 , on en déduit
que R(λ) est autoadjoint.
Comme R(λ) = (λ − T )−1 : H → H est compact, il existe une base hilbertienne (en )n>0 de
H, et une suite de valeurs propres (νn )n>0 telles que
R(λ)en = νn en ,
et νn → 0 lorsque n → +∞. Par ailleurs, notant En = Ker(νn − R(λ)), on a dim(En ) < +∞.
Notons que νn 6= 0 car λ − T est inversible, et donc R(λ) est injectif. Par ailleurs, en ∈ D(T ) et
(λ − T )en =
On a donc T en = µn en avec
µn = λ −
1
en .
νn
1
.
νn
De plus, Ker(µn − T ) = En est de dimension finie, ce qui conclut la preuve.
⊓
⊔
3.4 Applications
3.4.1 Equation de la chaleur et équation des ondes
Opérateur Laplacien sur un domaine borné
Soit Ω un ouvert borné régulier et f ∈ L2 (Ω). Le problème
ß
Chercher u ∈ H10 (Ω) tel que
−∆u = f
admet une solution et une seule et S : f 7→ u est un opérateur linéaire continu de L2 (Ω) dans
H10 (Ω) (on prouve cela en utilisant le théorème de Lax-Milgram). En fait, on peut même montrer
3.4 Applications
79
que si la frontière de Ω est suffisamment régulière (ce que nous supposerons par la suite), alors
u ∈ H2 (Ω).
On peut donc définir l’opérateur −∆−1
D (l’indice D rappelle que l’on utilise des conditions de
bord de Dirichlet)
i
2
1
2
T = −∆−1
D : L (Ω) −→ H0 (Ω) ֒→ L (Ω)
f
7→ u
7→ u,
i désignant l’injection canonique de H10 (Ω) dans L2 (Ω).
Exercice 3.33. Montrer que T est compact et auto-adjoint. 5 Montrer également que cet opérateur
est strictement positif au sens où, pour tout f ∈ L2 (Ω) avec f 6= 0, on a (T f, f )L2 > 0. En déduire
qu’il existe une suite croissante (λn )n>1 de réels strictement positifs telle que λn −→ +∞ et une
base hilbertienne (en )n>1 de L2 (Ω) tel que
ß
en ∈ H10 (Ω),
(3.11)
−∆en = λn en .
Montrer finalement que en ∈ Hm (Ω) pour tout m > 0 et donc que en ∈ C∞ (Ω).
Correction 3.28. En utilisant les Théorèmes 3.3 et 3.4, on voit que T est un opérateur compact.
Cet opérateur est en outre auto-adjoint car, pour f et g dans L2 (Ω), on obtient, en posant u = T f
et v = T g :
ˆ
(T f, g)L2 = (u, −∆v)L2 =
Ω
∇u · ∇v = (f, T g)L2 .
Enfin, l’opérateur T est strictement positif car pour tout f ∈ L2 (Ω)
ˆ
ß
u ∈ H10 (Ω)
|∇u|2 > 0
f 6= 0 ⇒
⇒ (T f, f )L2 =
u 6= 0
Ω
par l’inégalité de Poincaré. Il existe donc une suite (µn )n>1 de réels strictement positifs qui décroît
vers 0 et une base hilbertienne (en )n>1 de L2 (Ω) tel que
∀n > 1,
T en = µ n en .
Il en résulte qu’il existe une suite croissante (λn )n>1 de réels strictement positifs et une base
hilbertienne (en )n>1 de L2 (Ω) telles que λn −→ +∞ et
ß
en ∈ H10 (Ω),
−∆en = λn en .
Notons qu’on a alors en ∈ Hm (Ω) pour tout m > 0, et donc en ∈ C∞ (Ω).
⊓
⊔
Définition 3.12. Les (λn )n>1 (resp. les (en )n>1 ) sont appelées les valeurs propres (resp. les modes
propres) du Laplacien de Dirichlet.
Remarque 3.12. Notons que nous aurions aussi pu utiliser la Proposition 3.10 pour montrer ce
résultat. Pour cela, il faut en premier lieu montrer que l’opérateur de domaine D(A) = H2 (Ω) ∩
H10 (Ω) défini par Au = −∆u est autoadjoint, et ensuite procéder comme ci-dessus en montrant que
A−1 est bien défini et est compact (ce qui correspond au choix λ = 0 dans la Proposition 3.10).
5. Rappelons que u, v ∈ H2 (Ω) ∩ H10 (Ω), et que, pour un ouvert Ω régulier,
ˆ
ˆ
ˆ
∂u
(−∆u)v =
∇u · ∇v −
v dσ
Ω
Ω
∂Ω ∂n
si f ∈ H2 (Ω) et g ∈ H1 (Ω).
80
3 Introduction à la théorie spectrale
En pratique, les modes propres en et les valeurs propres λn associées ne sont pas connus
explicitement, sauf si la géométrie du domaine est très simple. Mais ils peuvent être approchées
numériquement en discrétisant le problème sur une base de Galerkin de dimension N (par exemple
par la méthode des éléments finis). Dans ce cas, on a une représentation matricielle de l’opérateur
dans la base donnée (matrice TN ∈ RN ×N , symétrique car T est auto-adjoint), et un problème aux
valeurs propres de la forme TN x = λMN x à résoudre (MN ∈ RN ×N étant la matrice de masse).
L’opérateur que l’on cherche à approcher ayant un spectre discret, on peut par ailleurs montrer
que la i-ème valeur propre de TN , notée λN
i , converge, lorsque N → +∞, vers λi , la i-ème valeur
+1
N
propre de T , et que λi 6 λN
6
λ
(en
utilisant
la formule de Courant-Fisher).
i
i
Exercice 3.34. Soit Ω ∈ Rd un ouvert régulier, et a ∈ C1 (Ω) telle que a(x) > α > 0 pour presque
tout x ∈ Ω et ∇a ∈ L∞ (Ω)d . Montrer que l’opérateur de domaine D(B) = H2 (Ω) ∩ H10 (Ω), défini
par Bu = −∇ · (a∇u), a un spectre discret.
Equation de la chaleur
Considérons à présent l’équation de la chaleur
∂t θ(t, x) = κ∆θ(t, x),
(3.12)
θ|∂Ω = 0,
avec la condition initiale θ(0, x) = θ0 (x) ∈ H10 (Ω), la conductivité thermique κ étant supposée
constante. On prendra κ = 1 par la suite pour simplifier les expressions. Développant la condition
initiale et la solution au temps t sur la base hilbertienne des modes propres (3.11) :
θ0 =
+∞
X
θ0n en ,
θ(t, ·) =
n=1
+∞
X
θn (t) en ,
n=1
on obtient par identification l’équation déterminant l’évolution des coefficients θn (t) en utilisant (3.12) :
dθn (t)
θ0 (0) = θ0n = (θ0 , en ).
= −λn θn (t),
dt
Ceci montre que θn (t) = (θ0 , en ) e−λn t . On a ainsi une solution explicite de (3.12) :
θ(t, x) =
+∞
X
(θ0 , en ) e−λn t en (x).
n=1
Remarque 3.13. On pourra comparer cette solution à celle obtenue dans le cas du Laplacien sur
Rd . La différence entre ces deux expressions provient du fait que les opérateurs −∆ sur Rd ou sur
un domaine borné ont des spectres très différents !
Equation des ondes
On considère l’équation des ondes
∂t2 u(t, x) − c2 ∆u(t, x) = g(x) cos(ωt),
u|∂Ω ,
u(0, x) = 0,
∂t u(0, x) = 0,
(3.13)
qui décrit par exemple l’évolution d’une membrane élastique initialement au repos, u étant dans ce
cas le déplacement vertical, c la vitesse du son, et g ∈ L2 (Ω) un terme source (forçage mécanique).
Cherchons à nouveau une solution en décomposant u(t) sur la base (en )n>1 des fonctions
propres du Laplacien de Dirichlet :
u(t, x) =
+∞
X
n=1
un (t)en (x).
3.4 Applications
81
En reportant cette expression dans (3.13) et en notant
g(x) =
+∞
X
gn en (x)
k=1
le développement de g sur les en , on en déduit la loi d’évolution des un (t) :
u′′n (t) + c2 λn un (t) = gn cos(ωt),
√
avec pour condition initiale un (0) = u′n (0) = 0. Il vient, en notant ωn = c λn , et en supposant
ω 6= ωn pour tout n > 1 :
cos(ωn t) − cos(ωt)
.
un (t) = c2 gn
ω 2 − ωn2
D’où finalement, la solution
u(x, t) =
+∞
X
c2 g n
n=1
cos(ωn t) − cos(ωt)
en (x).
ω 2 − ωn2
On voit sur cette expression que les fréquences de résonance du système correspondent bien aux
fréquences propres de l’opérateur sous-jacent (ici le Laplacien de Dirichlet).
3.4.2 Equation de Schrödinger
L’ojectif est de trouver des fonctions propres ψ (appelées fonctions d’onde) telles que
hψ = (−∆ + V )ψ = Eψ,
(3.14)
où E est l’énergie de la particule. L’opérateur h = −∆ + V est le Hamiltonien du système. On se
place sur H = L2 (Ω), avec Ω = Rd ou un domaine borné de Rd . Cet espace est naturel car on
interprète |ψ|2 comme une densité de probabilité, et on normalise les états propres de (3.14) de
manière à ce que
ˆ
Ω
|ψ(x)|2 dx = 1.
Notons que si on arrive à établir que h a un spectre purement discret, on pourra, comme dans la
section précédente, résoudre explicitement l’évolution temporelle du système, ici régie par l’équation de Schrödinger i∂t ψ = hψ.
Particule confinée strictement
On considère une particule quantique dans un puits de potentiel infini. Ceci correspond au cas
d’un confinement strict dans un domaine Ω ouvert borné. Le potentiel V est de la forme
ß
v(x) si x ∈ Ω,
(3.15)
V (x) =
+∞ si x 6∈ Ω,
avec v ∈ L∞ (Ω). On ne considère que des fonctions d’onde d’énergie finie. On se restreint ainsi à
des fonctions à support dans Ω, par exemple ψ ∈ L2 (Ω). On peut montrer en fait que les états
admissibles sont dans H10 (Ω). Pour ce faire, on peut utiliser un théorème de Lax-Milgram pour
montrer qu’il existe une unique solution dans H10 (Ω) au problème (3.14) pour le potentiel donné
par (3.15).
Vérifions que le spectre de h est discret. Pour ce faire, on pose c = −ess infΩ v (notons que
v + c > 0), et on considère l’opérateur e
h = h + c, de domaine D(e
h) = H2 (Ω) ∩ H10 (Ω). Le théorème
2
de Lax-Milgram montre que l’application qui à f ∈ L (Ω) associe le fonction ψ ∈ H10 (Ω) telle que
e
hu = f est bien définie et continue, et on peut donc définir l’opérateur
i
T =e
h−1 : L2 (Ω) −→ H10 (Ω) ֒→ L2 (Ω)
f
7→ ψ
7→ ψ.
82
3 Introduction à la théorie spectrale
Exercice 3.35. Vérifier que e
h−1 est compact, autoadjoint, et strictement positif (Les preuves de
ces assertions sont similaires à celles de la Section 3.4.1).
On peut donc appliquer le Théorème 3.5 à e
h−1 : il existe une suite µn de réels strictement positifs,
décroissant vers 0, et une base orthonormale (en ) de L2 (Ω) telles que
e
h−1 en = µn en .
Finalement, en posant En = µ−1
n − c, on a
hen = En en ,
avec En → +∞. Le fait que le spectre de h soit purement discret correspond à ce qu’on appelle la
quantification en physique quantique.
Potentiel confinant
Considérons à présent le cas Ω = R, et V (x) = |x|2 . Ce potentiel est dit confinant car, afin
de garder une énergie finie, la fonction d’onde va se concentrer autour de l’origine. Le domaine de
l’opérateur est
ˆ
ß
™
D(h) = ψ ∈ H2 (R) |V (x)ψ(x)|2 dx < +∞ = H2 (R) ∩ F H2 (R) .
R
On considère l’espace E, complété de D(R) pour la norme k · kE induite par le produit scalaire
ˆ
ˆ
ψ ′ (x)φ′ (x) dx,
hψ, φiE = (1 + V (x))ψ(x)φ(x) dx +
R
R
et la forme bilinéaire
a(ψ, φ) =
ˆ
V (x)ψ(x)φ(x) dx +
R
ˆ
ψ ′ (x)φ′ (x) dx.
R
Exercice 3.36. Montrer que E est un espace de Hilbert, et que a est bilinéaire et continue sur E.
Correction 3.29. On observe, en utilisant une transformée de Fourier et au vu de la caractérisation des espaces de Sobolev (1.15), que E = H 1 (R) ∩ F (H 1 (R)), qui est un espace de Hilbert
(comme intersection d’espaces de Hilbert). La bilinéarité de a est évidente. La continuité résulte
de la majoration suivante :
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
|a(ψ, φ)| 6
V |ψ|2
V |φ|2 +
|ψ ′ |2
|φ′ |2 6 2kψkE kφkE ,
R
R
R
R
où on a utilisé l’inégalité de Cauchy-Schwarz.
Montrons que a est coercive. On a ce résultat s’il existe une constante C > 0 telle que
ˆ
ˆ
2
|ψ| 6 C
|x|2 |ψ(x)|2 + |ψ ′ (x)|2 dx.
R
R
En effet, on a dans ce cas, pour 0 6 η 6 1,
ˆ
a(ψ, ψ) =
|x|2 |ψ(x)|2 + |ψ ′ (x)|2 dx
R
ˆ
ˆ
1−η
2
2
′
2
|ψ|2
> η |x| |ψ(x)| + |ψ (x)| dx +
C
R
R
1
kψk2E
>
1+C
pour le choix optimal η = 1/(1 + C).
⊓
⊔
(3.16)
3.4 Applications
83
Exercice 3.37. Montrer (3.16). Pour ce faire, on procédera par contradiction en supposant
que (3.16) ne soit pas satisfaite. Alors il existe une suite (ψn )n>1 de E telle que
ˆ
ň
ã
2
2
2
′
2
1=
|ψn | > n
|x| |ψn (x)| + |ψn (x)| dx .
R
R
En
pdéduire que (ψn ) est une suite équicontinue et qu’en fait il existe α > 0 tel que |ψn (x)−ψn (y)| 6
α |x − y|. Montrer ensuite que ψn (x) → 0 pour tout x ∈ R, et obtenir une contradiction.
Correction 3.30. On a déjà
ˆ
R\[−1,1]
|ψn |2 6
ˆ
R
|x|2 |ψn (x)|2 dx 6
1
.
n
Considérons à présent ce qui se passe sur [−1, 1]. Tout d’abord
»
|ψn (x) − ψn (y)| 6 kψn′ kL2 |x − y|,
ce qui montre que (ψn ) est une suite équicontinue, et que ψn (x) − ψn (0) → 0 uniformément. On
en déduit que
ˆ 1
|ψn |2 − 2|ψn (0)|2 → 0.
(3.17)
−1
Par ailleurs, on a également
1
2
|x|2 |ψn (x)|2 − |ψn (0)|2 → 0.
3
−1
ˆ
Comme la première intégrale tend vers 0, on en déduit que ψn (0) → 0, et donc finalement,
avec (3.17),
ˆ
|ψn (x)|2 dx → 0,
R
⊓
⊔
ce qui est en contradiction avec kψn kL2 = 1.
On peut alors appliquer le théorème de Lax-Milgram, qui assure que l’application qui à f ∈ L2 (R)
associe l’unique solution dans E du problème hψ = f est continue. On définit ainsi l’opérateur
i
T = h−1 : L2 (Ω) −→ E ֒→ L2 (Ω)
f
7→ ψ 7→ ψ.
Exercice 3.38. Montrer que T est autoadjoint et compact. Pour montrer que l’injection canonique
E → L2 (R) est compacte, on pourra commencer, pour une suite (ψn )n>1 donnée, bornée dans E,
par procéder à une extraction diagonale pour obtenir une sous suite (φn )n>1 convergeant fortement
dans L2 ([−M, M ]) pour tout M ∈ N∗ .
Correction 3.31. On se limite à montrer que l’injection E → L2 (R) est compacte. On considère
pour ce faire une suite bornée (ψn ) de E, dont on note qu’elle est encore bornée sur tous les espaces
H 1 ([−M, M ]). On utilise alors la compacité de l’injection H 1 ([−M, M ]) → L2 ([−M, M ]) (par une
preuve analogue à celle du théorème de Rellich ; ou en introduisant une fonction χ ∈ C ∞ à support
compact dans [−M − 1, M + 1], valant 1 sur [−M, M ], et en regardant la suite (χψn ) comme une
suite de H01 ([−M − 1, M + 1]), dont on peut extraire une sous-suite fortement convergente dans
L2 ([−M, M ]) par le théorème de Rellich et une restriction à l’intervalle [−M, M ]). Un procédé
diagonal permet alors d’obtenir la suite (φn ) évoquée dans l’énoncé. On conclut alors de la manière
suivante. Pour ε > 0 fixé, il existe R > 0 tel que
ˆ
ˆ
C
ε
1
|x|2 |ψn (x) − ψm (x)|2 dx 6 2 6
|ψn − ψm |2 6 2
R R
R
2
|x|>R
84
3 Introduction à la théorie spectrale
en choisissant l’entier R > 0 assez grand. Ensuite, par la forte convergence de la suite extraite
(φn ) sur L2 ([−R, R]), il existe N > 1 (dépendant de R) tel que n, m > N implique
ˆ
R
−R
|ψn − ψm |2 6
ε
.
2
En ajoutant ces deux inégalité, on montre que (ψn ) est de Cauchy dans L2 (R).
⊓
⊔
On peut alors conclure comme dans le cas précédent, et trouver une suite En de réels positifs
tendant vers l’infini, et une base orthonormale (en ) de L2 (R) telles que
hen = En en .
3.4.3 Equation de Fokker-Planck
On s’intéresse dans cette section à la convergence en loi lorsque t → +∞ des solutions de
l’équation différentielle stochastique suivante, à valeurs dans Rd :
2
dXt = −∇V (Xt ) dt +
dWt ,
β
où Wt est un mouvement Brownien standard en dimension n. On suppose que la solution est
bien définie (existence et unicité de la solution forte). Ce modèle est appelé équation de Langevin
suramortie en physique statistique. On peut montrer que la loi de Xt a une densité ψ(t, x) par
rapport à la mesure de Lebesgue dx pour tout t > 0, et que l’évolution de cette densité est régie
par l’équation aux dérivées partielles suivante, dite équation de Fokker-Planck :
ã
Å
1
(3.18)
∂t ψ = Lψ = ∇ · ψ∇V + ∇ψ ,
β
avec les conditions
ψ(t, x) > 0,
ˆ
ψ(t, x) dx = 1.
(3.19)
Rd
On peut montrer que si la condition initiale ψ(0, x) = ψ0 (x) vérifie les conditions (3.19), alors il
en est de même de la solution de (3.18) à tout temps t > 0.
On vérifie facilement que Lψ∞ = 0 pour le choix ψ∞ (x) = e−βV (x) . Ceci montre que la mesure
de probabilité
ψ∞ (x)
µ∞ (dx) = ´
dx
ψ
Rd ∞
est invariante, i.e. que si X0 ∼ µ∞ , alors Xt ∼ µ∞ pour tout temps t > 0. On suppose par la suite
que V est suffisamment régulier pour que e−βV (x) > 0 pour tout x ∈ Rd et que e−βV ∈ L1 (Rd )
(ce qui demande que V croisse suffisamment vite à l’infini). Notons également que (3.18) peut se
réécrire sous la forme :
ï
Å
ãò
ψ
∂t ψ = Lψ = ∇ · ψ∞ ∇
.
(3.20)
ψ∞
En physique statistique, β est proportionnel à l’inverse de la température du système. Ici, quitte
à multiplier V par une constante, on peut supposer que β = 1.
Exercice 3.39. Montrer que L > 0 (au sens suivant : pour toute fonction ψ ∈ D(L), on a
(Lψ, ψ)L2 > 0). En déduire que σ(L) ⊂ [0, +∞[.
Une question naturelle est la suivante : étant donnée une densité initiale ψ0 , est-ce que la
solution de (3.18) avec ψ|t=0 = ψ0 converge vers ψ∞ ? Si oui, à quelle vitesse ? Pour répondre à
cette question, il faut tout d’abord se placer dans un cadre fonctionnel adéquat. Il est possible de
3.5 Une introduction à la théorie des semi-groupes
85
reformuler le problème (3.18) ou (3.20) de manière plus symétrique en faisant le changement de
fonction inconnue
ψ(t, x)
f (t, x) = p
.
ψ∞ (x)
Un calcul simple montre que
avec
e = − − ∆ + W f,
∂t f = Lf
W (x) =
1
1
|∇V (x)|2 − ∆V (x).
4
2
Notons que l’opérateur sur L2 (Rd ) ainsi obtenu est formellement symétrique. Si V (x) = c|x|2α
pour |x| > R et α > 0, alors W (x) = c2 α2 |x|2(2α−1) − cα(n + 2α − 2)|x|2(α−1) pour |x| > R. Ainsi,
W (x) → +∞ si α > 1/2 et on peut dans ce cas utiliser des techniques similaires à celles de la
Section 3.4.2 pour montrer que Le a un spectre discret (voir [12, Théorème XIII.67]). Toutefois,
l’inconvénient de cette approche est que les propriétés asymptotiques de W ne sont pas faciles à
établir en fonction de celles de V .
Une fois établie une décomposition de l’opérateur Le selon ses modes discrets, on peut écrire
l’évolution en temps comme on l’a fait pour l’équation de la chaleur en Section 3.4.1, et montrer
que ψ(t) converge vers le vecteur propre associé à la plus petite valeur propre lorsque celle-ci
e
est non-dégénérée.
Ici, la
√ plus petite valeur propre est positive ou nulle car Lf = λf est équi√
valent à L( ψ∞ f ) = λ ψ∞ f . Or, le spectre de L est contenu dans [0, +∞[, et 0 ∈ σp (L) pour
le vecteur propre ψ∞ . Ceci permet de montrer que ψ(t) → ψ∞ , avec un taux de convergence
exponentiellement rapide de la forme e−µt , où µ > 0 est la première valeur propre non nulle.
3.5 Une introduction à la théorie des semi-groupes
On se propose dans cette section d’esquisser quelques éléments de la théorie des semi-groupes,
qui permet de donner un sens à l’évolution en temps des solutions d’une équation aux dérivées
partielles de la forme ∂t u = Au par le biais d’une théorie abstraite. Nous avons vu précédemment
quelques exemples pour lesquels on pouvait étudier le comportement des solutions dans le temps,
mais seulement dans des cas particuliers (opérateurs à spectre purement discret comme le Laplacien
sur un domaine borné, ou Laplacien sur tout l’espace qui est rendu trivial par une transformation
unitaire convenable).
Commençons tout d’abord par les définitions suivantes.
Définition 3.13 (Semi-groupe). Soit E un espace de Banach. Une famille à un paramètre
{T (t)}t>0 d’opérateurs linéaires bornés de E dans E est un semi-groupe d’opérateurs linéaires
sur E si
(i) T (0) = Id ;
(ii) T (t + s) = T (t)T (s) pour tout t, s > 0.
Définition 3.14 (Groupe). Soit E un espace de Banach. Une famille à un paramètre {T (t)}t∈R
d’opérateurs linéaires bornés de E dans E est un groupe d’opérateurs linéaires sur E si
(i) T (0) = Id ;
(ii) T (t + s) = T (t)T (s) pour tout t, s ∈ R.
3.5.1 Semi-groupes uniformément continus
Nous commençons par le cas des semi-groupes dits uniforméments continus.
86
3 Introduction à la théorie spectrale
Définition 3.15 ((Semi-)groupe uniformément continu). Soit E un espace de Banach. Un
(semi-)groupe {T (t)}t>0 est uniformément continu si
lim kT (t) − Idk = 0.
t↓0
Remarque 3.14. Nous ne parlerons que de semi-groupes dans cette section, mais en fait, tout
ce qui est présenté ici s’étend de manière naturelle à des groupes {T (t)}t∈R . On n’insistera pas
trop sur cette facile généralisation car dans les cas intéressants on ne peut pas toujours faire cette
extension.
On peut associer de manière univoque un opérateur borné à un tel semi-groupe. Nous allons
commencer par construire un semi-groupe associé à un opérateur borné A ∈ L(E). Définissons en
effet
+∞ n n
X
t A
.
(3.21)
T (t) = etA =
n!
n=1
Comme A est borné, la somme du membre de droite est bien convergente dans l’espace de Banach L(E), et donc T (t) est bien défini pour t > 0 (et en fait pour tout t ∈ R). On a clairement
T (0) = Id et T (t + s) = T (t)T (s) pour tout t, s ∈ R (en calculant le développement en série du
produit des séries), et ainsi {T (t)}t>0 est un semi-groupe. Par ailleurs,
kT (t) − Idk 6 tkAk etkAk
en estimant le reste de la série, ce qui montre finalement que {T (t)}t>0 est un semi-groupe uniformément continu.
L’intérêt des semi-groupes est de donner une solution abstraite aux problèmes d’évolution de
la forme
du
(t) = Au(t),
u(0) = u0 .
(3.22)
dt
En effet, on vérifie facilement que
u(t) = etA u0
est solution de (3.22), en utilisant le fait que la série dans le membre de droite de (3.21) est
différentiable en t. C’est par ailleurs la seule solution : considèrons pour cela une solution v, et
fixons 0 6 t < +∞. On définit ut (s) = e(t−s)A v(s). Alors ut (t) = v(t) et dut /ds = 0, ce qui montre
que ut (s) = ut (0) = etA u0 , et donc v(t) = etA u0 pour tout t > 0.
Remarque 3.15 (Cas d’opérateurs bornés dépendant du temps). On peut également
construire des semi-groupes (ou des groupes) associés à une famille d’opérateurs bornés A(t) dépendant continûment du temps, par le biais du développement de Dyson
U (t, s) = Id +
ˆ
s
t
A(t1 ) dt1 +
+∞
X
n=2
+
ˆ
s
t
...
ˆ
tn−1
A(t1 ) . . . A(tn ) dtn . . . dt1 .
s
Dans ce cas, t 7→ U (t, s)x est l’unique solution du problème d’évolution
du
= A(t)u(t),
dt
u(s) = x.
On pourra se reporter à [11, Section X.12] pour plus de précisions.
Pour aller plus loin, on a besoin de la notion de générateur infinitésimal.
Définition 3.16 (Générateur infinitésimal). Soit E un espace de Banach et {T (t)}t>0 un
semi-groupe sur E. On appelle générateur infinitésimal du semi-groupe l’opérateur linéaire A de
domaine
3.5 Une introduction à la théorie des semi-groupes
87
™
la limite lim T (t)x − x existe
t↓0
t
ß
D(A) = x ∈ E
défini par
Ax = lim
t↓0
T (t)x − x
.
t
Le générateur infinitésimal est défini de manière unique.
On vérifie facilement que D(A) est un sous-espace vectoriel de E. On a alors le résultat fondamental
suivant.
Théorème 3.6. Un opérateur linéaire A est le générateur infinitésimal d’un semi-groupe uniformément continu si et seulement si A est borné.
Preuve. Si A est borné, on vérifie facilement que le semi-groupe défini par (3.21) a bien A pour
générateur infinitésimal. Réciproquement, il s’agit de montrer que si A est le générateur infinitésimal d’un semi-groupe uniformément continu {T (t)}t>0 , alors A est borné. Pour ce faire, on fixe
ε > 0 suffisamment petit pour que 6
ˆ ε
Id − 1
T (t) dt
< 1.
ε 0
´ε
´ε
Ceci montre que l’opérateur 1ε 0 T (t) dt est inversible, et donc l’opérateur 0 T (t) dt aussi. Ensuite,
å
å
Lj t+ε
Lj ε+t
ˆ ε
ˆ t
ˆ
1
1
T (t) − Id ε
T (s) ds =
T (s) ds
T (s) ds −
T (s) ds −
T (s) ds =
t
t
t
0
0
t
ε
0
en décomposant la seconde intégration en une intégration de 0 à t, puis de t à ε. Ainsi,
Ç ˆ ε+t
å ň ε
ˆ
ˆ
ã−1
T (t) − Id ε
1
1 t
.
T (s) ds
T (s) ds =
T (s) ds −
T (s) ds
t
t ε
t 0
0
0
Lorsque t ↓ 0, l’opérateur t−1 (T (t) − Id) converge en norme vers l’opérateur borné
ň
A = T (ε) − Id
ã−1
ε
T (s) ds
,
0
ce qui implique que A est le générateur infinitésimal du semi-groupe.
⊓
⊔
Remarque 3.16 (Unicité du semi-groupe engendré par un opérateur borné). On peut
montrer que le semi-groupe engendré par un opérateur borné est unique, au sens où, si
A = lim
t↓0
T (t) − Id
S(t) − Id
= lim
t↓0
t
t
pour deux semi-groupes {T (t)}t>0 et {S(t)}t>0 , alors T (t) = S(t) pour tout t > 0 (voir par exemple
[9, Théorème 1.3]).
3.5.2 Semi-groupes fortement continus
Définition 3.17 ((Semi-)groupe fortement continu). Soit E un espace de Banach. On dit
qu’un (semi-)groupe {T (t)}t>0 est fortement continu si, pour tout x ∈ E, on a
lim kT (t)x − xkE = 0.
t↓0
6. On doit comprendre l’intégrale comme une intégrale de Riemann, ce qui fait sens puique la fonction
t 7→ T (t) est continue à valeurs dans L(E).
88
3 Introduction à la théorie spectrale
Exemple 3.9. Les semi-groupes uniformément continus sont fortement continus.
Exemple 3.10. On considère l’exemple donné en Section 1.5.1, où la solution (1.19) de l’équation
de la chaleur avec condition initiale u0 ∈ E = L2 (Rd ) s’écrit
T (t)u0 = Gt ⋆ u0 ,
2
avec Gt (x) = (4πt)−d/2 e−|x| /4t . La propriété T (t + s) = T (t)T (s) pour t, s > 0 provient des
propriétés de la transformée de Fourier des gaussiennes et du produit de convolution. On vérifie
par ailleurs la forte continuité en écrivant
ň Ä
2 ã1/2
ä
−d/2
−t|ξ|2 b
−d/2 ’
b
,
1−e
kT (t)f − f kL2 = (2π)
f (ξ) dξ
T (t)f − f 2 = (2π)
L
Rd
et en utilisant un argument de convergence dominée.
Exercice 3.40 (Groupe des translations). On considère E = L2 (R) et T (t)f = τt f la translation de vecteur t ∈ R : τt f (x) = f (x − t) pour presque tout x ∈ R. Vérifier que {T (t)}t∈R est un
groupe fortement continu, mais qu’il n’est pas uniformément continu.
Exercice 3.41 (Le semi-groupe de Poisson). On considère E = C (R), l’espace de Banach des
fonctions continues bornées, muni de la norme kukE = supx∈R |u(x)|. On définit les opérateurs
T (t) par
+∞
X
(λt)k
T (t)u(x) = e−λt
u(x − kµ),
k!
k=0
pour deux paramètres λ, µ > 0 donnés. Montrer que pour tout t > 0, T (t) est un opérateur borné
avec kT (t)k 6 1. Montrer ensuite que {T (t)}t∈R est un semi-groupe fortement continu.
Les semi-groupes fortement continus sont parfois appelés semi-groupes de classe C0 au vu du
résultat de continuité suivant :
Proposition 3.11. Soit {T (t)}t>0 un semi-groupe fortement continu sur un espace de Banach E.
Alors
(1) la fonction t 7→ kT (t)k est bornée sur tous les compacts [0, τ ] ⊂ R lorsque 0 < τ < +∞ ;
(2) pour tout x ∈ E, la fonction t 7→ T (t)x est continue de R+ dans E ;
(3) il existe a, b > 0 tels que kT (t)k 6 aebt pour tout t > 0.
Preuve. On admet la propriété (i) qui demande l’utilisation de propriétés qui dépassent le cadre
de ce cours (en particulier, l’utilisation du théorème de Banach-Steinhaus, voir par exemple [6,
Section XVII.A.1.2] pour plus de détails).
On va à présent montrer (ii). Pour ce faire, on fixe x ∈ E, t > 0, et on commence par montrer
la continuité à droite : pour s > 0,
kT (t + s)x − T (t)xkE 6 kT (t)k kT (s)x − xkE → 0
lorsque s → 0. Pour la continuité à gauche, on utilise d’abord la propriété (i) pour dire qu’il existe
Mt > 0 tel que kT (r)k 6 Mt pour tout 0 6 r 6 t. Ensuite,
kT (t − s)x − T (t)xkE 6 kT (t − s)k kT (s)x − xkE 6 Mt kT (s)x − xkE → 0
lorsque s → 0. On en déduit la continuité de l’application t 7→ T (t)x.
Pour montrer (iii), on introduit a > 0 tel que kT (t)k 6 a pour tout 0 6 t 6 1 (noter que
a > kT (0)k = 1). Pour t > 0 quelconque, on peut écrire t = m + τ avec m ∈ N et τ ∈ [0, 1[, et
donc
T (t) = T (m)T (τ ) = T (1)m T (τ ),
d’où
d’où le résultat avec b = ln a.
kT (t)k 6 am a 6 a1+t ,
⊓
⊔
3.5 Une introduction à la théorie des semi-groupes
89
3.5.3 Générateur infinitésimal d’un semi-groupe fortement continu
Contrairement à ce qui se passe pour les (semi-)groupes uniformément continus, les générateurs infinitésimaux des (semi-)groupes fortement continus ne sont pas bornés en général. Ils sont
cependant fermés et à domaine dense :
Proposition 3.12. Soit E un espace de Banach et {T (t)}t>0 un semi-groupe fortement continu
sur E. Alors le générateur infinitésimal A du semi-groupe a un domaine D(A) dense dans E et est
fermé. Par ailleurs, le domaine D(A) est stable par T (t) pour tout t > 0, et pour tout x ∈ D(A),
on a AT (t)x = T (t)Ax.
Preuve. La dernière assertion résulte de l’égalité suivante, pour t > 0 et ε > 0 :
T (ε) − Id
T (t + ε) − T (ε)
T (ε) − Id
T (t)x =
x = T (t)
x.
ε
ε
ε
Un passage à la limite ε ↓ 0 montre que T (t)x ∈ D(A) si x ∈ D(A) et que AT (t)x = T (t)Ax.
Pour obtenir les autres assertions, commençons par montrer un résultat préliminaire utile. On
approche le semi-groupe à l’aide d’une version moyennée de l’évolution en temps, en définissant
la famille
ˆ
1 ε
T (s) ds.
Rε =
ε 0
La famille {Rε }06ε61 est une famille d’opérateurs uniformément bornés (en vertu du point (i) de
la Proposition 3.11), et Rε x → x pour tout x ∈ E lorsque ε → 0 car l’application s 7→ T (s)x est
continue. De plus, pour tout t > 0, on a
T (ε) − Id
T (t) − Id
Rε =
Rt
t
ε
car
T (t) − Id
1
Rε =
t
εt
ň
0
ε
T (t + s) ds −
ˆ
0
ε
ã
1
T (s) ds =
ε
(3.23)
å
Ç ˆ ε+t
ˆ
1
1 t
T (s) ds −
T (s) ds .
t ε
t 0
Montrons alors la densité du domaine D(A). Pour ce faire, on fixe x ∈ E, que l’on approche
par yε = Rε x. Les résultats précédents montrent que yε → x lorsque ε → 0. Par ailleurs, pour
ε > 0 fixé, yε ∈ D(A) car (3.23) implique
T (ε) − Id
T (ε) − Id
T (t) − Id
yε =
Rt x −→
x
t
ε
ε
lorsque t ↓ 0. Ceci montre également que
T (ε) − Id
x.
ε
ARε x =
(3.24)
Montrons ensuite que A est fermé. Soit xn une suite de D(A) telle que xn → x et Axn → y
lorsque n → +∞. Il s’agit de montrer que x ∈ D(A) et Ax = y. Comme T (s) et Rε commutent
pour tout s, ε > 0,
T (t) − Id
T (t) − Id
Rε
=
Rε ,
t
t
et donc, en passant à la limite t ↓ 0, Rε Axn = ARε xn . Avec (3.24), on a donc
T (ε) − Id
xn ,
ε
Rε Axn =
et un passage à la limite n → +∞ donne alors
Rε y =
T (ε) − Id
x.
ε
La limite lorsque ε ↓ 0 est donc bien définie, ce qui montre que x ∈ D(A) avec Ax = y.
⊓
⊔
90
3 Introduction à la théorie spectrale
Exemple 3.11 (Groupe des translations). Montrer que le générateur infinitésimal du groupe
défini à l’Exercice 3.40 est l’opérateur A de domaine D(A) = H1 (R) défini par Au = u′ .
Exemple 3.12 (Semi-groupe de Poisson). Montrer que le générateur infinitésimal du semigroupe défini à l’Exercice 3.41 est l’opérateur borné A défini par Au = λ(τµ u − u) où τµ est la
translation de paramètre µ donnée par τµ u(x) = u(x − µ).
Théorème 3.7. Soit E un espace de Banach, {T (t)}t>0 un semi-groupe fortement continu sur E,
A son générateur infinitésimal, et u0 ∈ D(A). La fonction t 7→ T (t)u0 est de classe C0 (R+ , D(A))∩
C1 (R+ , E) et est l’unique solution du problème
du
= Au et u(0) = u0 .
(3.25)
dt
Ce théorème donne en particulier l’unicité du semi-groupe engendré par un générateur infinitésimal
donné, que l’on notera souvent T (t) = etA . Au risque d’insister lourdement, etA n’est qu’une
notation, et il ne faut surtout pas avoir en tête un développement en série du type de ceux que
l’on peut considérer pour des opérateurs bornés.
Chercher u ∈ C0 (R+ , D(A)) ∩ C1 (R+ , E) tel que
Remarque 3.17 (Régularité de la condition initiale). Insistons également sur la condition
de régularité de la condition initiale : le résultat n’est valable que pour u ∈ D(A). Si u ∈ E\D(A),
la fonction t 7→ u(t) = T (t)u0 est de classe C0 (R+ , E) et pas mieux en général. Une telle fonction
définit en fait ce qu’on appelle une solution mild du problème.
Preuve (du Théorème 3.7). La Proposition 3.12 montre que u(t) = T (t)u0 ∈ D(A) pour tout
t > 0, et que u ∈ C0 (R+ , D(A)). Par ailleurs, il est clair que u(0) = u0 . On va donc se concentrer
sur la dérivabilité.
Fixons t > 0. Pour ε > 0, on a
T (ε) − Id
u(t + ε) − u(t)
=
u(t) −→ Au(t) = T (t)Au0
ε
ε
lorsque ε ↓ 0, ce qui montre que u est dérivable à droite sur R+ , à valeurs dans E. On montre
également que u est dérivable à gauche sur ]0, +∞[ : pour t > 0 fixé, on considère 0 < ε 6 t et
u(t − ε) − u(t)
Id − T (ε)
= T (t − ε)
u0 = T (t)Au0 + rε ,
ε
ε
avec
Å
ã Id − T (ε)
u0 − Au0 + T (t − ε) − T (t) Au0 .
rε = T (t − ε)
ε
Ainsi, avec le point (i) de la Proposition 3.11
Id − T (ε)
u
−
Au
krε kE 6 Mt 0
0 + kT (t − ε)Au0 − T (t)Au0 kE −→ 0
ε
E
lorsque ε ↓ 0. Au final, u est dérivable en pour tout t > 0 (et dérivable à droite en t = 0) et on a
du
(t) = Au(t) = T (t)Au0 ,
dt
ce qui montre que u ∈ C1 (R+ , E). En conclusion, u est solution de (3.25).
Montrons à présent l’unicité de la solution. On considère une solution v(t) de (3.25), et on
définit w(s) = T (t − s)v(s). Notons que w(t) = v(t) et que w(0) = T (t)u0 . La fonction continue w
est dérivable sur ]0, t[ avec w′ (s) = 0 pour tout s ∈]0, t[. En effet, pour s ∈]0, t[ fixé, on considère
ε ∈] − s, t − s[, et on étudie la limite ε → 0 suivante :
w(s + ε) − w(s)
v(s + ε) − v(s)
T (ε) − Id
= T (t − s − ε)
− T (t − s − ε)
v(s)
ε
ε
ε
ã
Å
dv
− Av(t) = 0.
−→ T (t − s)
dt
Ceci montre donc que T (t − t1 )v(t1 ) = T (t − t2 )v(t2 ) pour tout (t1 , t2 ) ∈]0, t[2 . La limite t1 → 0 et
t2 → t donne alors, par continuité des fonctions en jeu, v(t) = T (t)v(0) = T (t)u0 , et donc l’unicité
⊓
de la solution.
⊔
3.5 Une introduction à la théorie des semi-groupes
91
3.5.4 Caractérisation des générateurs infinitésimaux des semi-groupes fortement
continus
Nous avons vu dans la section précédente quelques propriétés des générateurs infinitésimaux
des (semi-)groupes fortement continus. Pour achever le parallèle avec la Proposition 3.6 concernant
les (semi-)groupes uniformément continus, il reste à déterminer à quelle condition un opérateur
non-borné, fermé et de domaine dense (voir Proposition 3.12) peut être le générateur d’un semigroupe fortement continu. La réponse à cette question permet de donner des conditions suffisantes
pour résoudre le problème de Cauchy (3.25).
Théorème 3.8 (Hille-Yosida-Phillips). Soit E un espace de Banach. Un opérateur A, fermé
et de domaine dense D(A), est le générateur infinitésimal d’un semi-groupe fortement continu
{T (t)}t>0 satisfaisant kT (t)k 6 a ebt pour tout t > 0, si et seulement si ]b, +∞[⊂ ρ(A) et pour
tout n ∈ N∗ et λ ∈]b, +∞[, on a
k(λ − A)−n k 6
a
.
(λ − b)n
(3.26)
La preuve, trop longue pour être présentée ici, est donnée par exemple dans [6, Section XVII.A.3]
ou [9, Theorem 1.5.3]. Notons également que les conditions qui doivent être vérifiées par le générateur infinitésimal A sont de deux types :
(i) des conditions topologiques, qui ne dépendent pas de norme choisie, pourvu que toutes les
normes en questions soient équivalentes : c’est le cas de la définition du domaine, de sa
densité, et du caractère fermé de l’opérateur ;
(ii) en revanche, la condition (3.26) dépend de la norme utilisée sur E.
Remarque 3.18. Si a = 1, alors la condition
∀n ∈ N∗ , ∀λ ∈]b, +∞[,
k(λ − A)−n k 6
est équivalente à
∀λ ∈]b, +∞[,
k(λ − A)−1 k 6
1
(λ − b)n
1
.
λ−b
Exercice 3.42. Montrer qu’un opérateur borné satisfait les hypothèses du Théorème 3.8.
Exercice 3.43. Soit E = L2 (Rd ). Montrer que l’opérateur T de domaine H2 (Rd ) ⊂ E défini par
T f = ∆f satisfait les hypothèses du Théorème 3.8. En déduire l’unique solution du problème (1.19)
pour f0 ∈ L2 (Rd ).
4
Rappels et compléments
4.1 Distributions à support compact
Définition 4.1. Soit T ∈ D′ (Ω).
(1) Soit ω ouvert inclus dans Ω. On dit que T est nulle sur ω si pour toute fonction φ ∈ D(Ω)
telle que Supp(φ) ⊂ ω, on a hT, φiD′ ,D = 0.
(2) Le support de T est le complémentaire dans Ω de la réunion des ouverts de Ω sur lesquels T
est nulle.
Définition 4.2. On note E ′ (Ω) l’espace vectoriel des distributions sur Ω à support compact.
On a le résultat suivant.
Théorème 4.1. Si une distribution de D′ (Ω) est à support compact, elle est d’ordre fini.
Preuve. Soit K le support de T et α = d(K, Rd \ Ω) (dans le cas où Ω = Rd , on prendra α = +∞).
Posons β = inf(1, α) et considérons les ensembles
ß
™
β
K ′ = x ∈ Rd , d(x, K) 6
,
3
ß
Ω ′ = x ∈ Rd ,
et
d(x, K) <
2β
3
™
.
Il est clair que K ′ est compact et que Ω ′ est un ouvert de fermeture compacte. De plus, on a
K ⊂ K ′ ⊂ Ω ′ ⊂ Ω ′ ⊂ Ω.
Soit p un entier et C une constante réelle tels que
∀φ ∈ DΩ ′ (Ω),
|hT, φi| 6 C
sup
x∈Ω ′ , |α|6p
|∂ α φ(x)|.
Soit maintenant ρ ∈ D(Ω) égale à 1 sur K ′ et à support dans Ω ′ . On a pour tout φ ∈ D(Ω),
hT, φi = hT, ρφi + hT, (1 − ρ)φi
et hT, (1 − ρ)φi = 0 puisque les supports de T et de (1 − ρ)φ sont disjoints. De plus, comme
Supp(ρφ) ⊂ Ω ′ , on a
∀φ ∈ D(Ω),
D’après la formule de Leibniz,
|hT, φi| 6 C
sup
x∈Ω, |α|6p
|∂ α (ρφ)(x)|.
94
4 Rappels et compléments
∀φ ∈ D(Ω),
avec
C′ = C
|hT, φi| 6 C ′
sup
x∈Ω, |α|6p
|∂ α φ(x)|
α!
|∂ β ρ(x)|.
β!
(α
−
β)!
x∈Ω, |α|6p, β6α
sup
Donc T est d’ordre fini inférieur ou égal à p.
Remarque 4.1. Soit T ∈ E ′ (Ω) une distribution à support compact, p son ordre, K un voisinage
compact de Supp T et χ ∈ D(Ω) valant 1 sur K. Posons pour tout φ ∈ C ∞ (Ω),
hT, φiE ′ ,C ∞ = hT, χφi.
Cette définition est indépendante de χ : soit en effet χ1 et χ2 dans D(Ω) valant 1 sur K ; on a
hT, χ1 φi − hT, χ2 φi = hT, (χ1 − χ2 )φi.
La fonction φe = (χ1 − χ2 )φ étant nulle sur K voisinage de Supp u, on a
hT, (χ1 − χ2 )φi = 0.
On a ainsi associé à une distribution à support compact une forme linéaire sur C ∞ (Ω).
Bibliographie
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[6] R. Dautray et J.-L. Lions, Analyse mathématique et calcul numérique pour les sciences
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[11] M. Reed et B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics. II. Fourier Analysis,
Self-adjointness (Academic Press, 1980).
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