Nash-Cournot in 2 Stadi Maria-Augusta Miceli∗ Dipartimento di Economia e Diritto Università di Roma "La Sapienza" Lezioni di Economia Industriale October 9, 2014 Immaginare un mercato con 4 imprese (I1, I2, I3, I4), le quali giochino a due a due le strategie di Nash (= Duopolio di Cournot). Usiamo i dati dell’esercizio 4, ma la funzione di domanda sarà: p (q1 , q2 , q3 , q4 ) = a − bq1 − bq2 − bq3 − bq4 e sia b = 1 e k = 0 per tutte le imprese. Nello stadio 2, risolvere l’equilibrio di Nash-Cournot per le I3 e I4 per incognite q1 e q2. Usare i risultati trovati q3* e q4* nella funzione di domanda al posto di q3 e q4 e procedere con l’equilibrio di Nash-Cournot per la I1 e I2. Calcolare le quantità finali q1, q2, q3, q4 (NB. saranno a due a due simmetriche). Calcolo a ritroso (Backward Induction, BWI) All’ultimo stadio ottimizzano le I3 e I4 max π3 (q1 , q2 , q3 , q4 ) = (a − bq1 − bq2 − bq3 − bq4 ) q3 − kq3 q3 max π3 (q1 , q2 , q3 , q4 ) = (a − bq1 − bq2 − bq3 − bq4 ) q3 − kq4 q4 Calcolo funzioni di reazione ∂π3 (q1 , q2 , q3 , q4 ) ∂q3 : (−b) q3 + (a − bq1 − bq2 − bq3 − bq4 ) − k = 0 = a − k − bq1 − bq2 − 2bq3 − bq4 = 0 da cui q3 ∂π4 (q1 , q2 , q3 , q4 ) ∂q4 = R3 (q4 |q1 , q2 ) a − k q1 q2 q4 − − − = 2b 2 2 2 : (−b) q4 + (a − bq1 − bq2 − bq3 − bq4 ) − k = 0 : a − k − bq1 − bq2 − bq3 − 2bq4 = 0 q4 = R4 (q3 |q1 , q2 ) a − k q1 q2 q3 − − − = 2b 2 2 2 Intersezione fra le due curve di reazione: e quazione nelle due incognite q3 e q4 a − k − bq1 − bq2 − 2bq3 − bq4 a − k − bq1 − bq2 − bq3 − 2bq4 = 0 = 0 ∗ Department of Economics and Law, University of Rome "Sapienza" - 9 via del Castro Laurenziano - 00161 Roma - Italy. Email: [email protected]. 1 q3∗ = q4∗ = 1 (a − k − bq1 − bq2 ) 3b 1 (a − k − bq1 − bq2 ) 3b (1) (2) Inseriamo i risultati nelle funzioni di domanda e quindi di profitto della I1 e I2 max π1 (q1 , q2 , q3 , q4 ) = (a − bq1 − bq2 − bq3 − bq4 ) q1 − kq1 q1 µ µ ¶ µ ¶¶ 1 1 (a − k − bq1 − bq2 ) − b (a − k − bq1 − bq2 ) = a − bq1 − bq2 − b q1 − kq1 3b 3b 1 (a − k − bq1 − bq2 ) q1 = 3 max π2 (q1 , q2 , q3 , q4 ) = (a − bq1 − bq2 − bq3 − bq4 ) q2 − kq2 q2 µ µ ¶ µ ¶¶ 1 1 (a − k − bq1 − bq2 ) − b (a − k − bq1 − bq2 ) = a − bq1 − bq2 − b q2 − kq2 3b 3b 1 (a − k − bq1 − bq2 ) q2 = 3 Calcoliamo le funzioni di reazione delle imprese I1 e I2 ∂π 1 (q1 , q2 ) ∂q1 : = 1 1 (−b) q1 + (a − k − bq1 − bq2 ) = 0 3 3 1 1 2 1 a − k − bq1 − bq2 = 0 3 3 3 3 da cui q1 = R1 (q2 ) a − k q2 − = 2b 2 Per simmetria, senza bisogno di rifare i calcoli ∂π 2 (q1 , q2 ) ∂q2 : = 1 1 (−b) q2 + (a − k − bq1 − bq2 ) = 0 3 3 1 1 1 2 a − k − bq1 − bq2 = 0 3 3 3 3 q2 = R2 (q1 ) a − k q1 − = 2b 2 Intersezione 1 a− 3 1 a− 3 1 k− 3 1 k− 3 2 bq1 − 3 1 bq1 − 3 1 bq2 3 2 bq2 3 Abbiamo le quantità di Nash-Cournot al I stadio q1∗ = q2∗ = 1 (a − k) 3b 1 (a − k) 3b 2 = 0 = 0 Sostituendo tali quantità nelle soluzioni intermedie (1) , (2) ¶ µ 1 1 1 ∗ q3 = a − k − b (a − k) − b (a − k) = 3b 3b 3b ¶ µ 1 1 1 ∗ q4 = a − k − b (a − k) − b (a − k) = 3b 3b 3b 1 (a − k) 9b 1 (a − k) 9b Il prezzo p (q1∗ , q2∗ , q3∗ , q4∗ ) = a − bq1∗ − bq2∗ − bq3∗ − bq4∗ 1 1 1 1 = a − b (a − k) − b (a − k) − b (a − k) − b (a − k) 3b 3b 9b 9b 8 1 a+ k = 9 9 2. Il prezzo di mercato. 8 1 p∗ = a + k 9 9 3. I profitti (NB. saranno a due a due simmetrici). π ∗1 = (p∗ − k) q1∗ ¶ µ 8 1 1 a+ k−k (a − k) = 9 9 3b 1 (a − k)2 = 27b π ∗3 = (p∗ − k) q3∗ ¶ µ 8 1 1 a+ k−k (a − k) = 9 9 9b 1 (a − k)2 = 81b µ ¶2 1 a−k = b 9 stesso per π∗2 stesso per π∗4 . Dati i parametri b = 1, k = 0, si ottiene q1∗ = q2∗ = q3∗ a 1 (a − k) = 3b 3 = q4∗ = = a 1 (a − k) = 3b 9 1 ∗ q 3 1 8 a 1 p∗ = a + k = 9 9 9 2 a π ∗1 = π ∗2 = 9·3 a2 π∗1 = π ∗2 = 2 9 3 (3) (4)
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