Computerorientierte Mathematik I Natürliche und ganze Zahlen Computerorientierte Mathematik I Vorlesung 02 24.10.2014 Wiederholung: Natürliche Zahlen 0, 1, 2, 3, … Computerorientierte Mathematik I Vorlesung 02 24.10.2014 Wiederholung: q-adische Darstellung Computerorientierte Mathematik I Vorlesung 02 24.10.2014 Konventionen keine Unterscheidung zwischen Darstellung und Zahl ! kein Index bei q = 10 Computerorientierte Mathematik I Vorlesung 02 24.10.2014 Dualsystem (Positionssystem zur Basis q = 2) Computerorientierte Mathematik I Vorlesung 02 24.10.2014 Addition im Dualsystem Computerorientierte Mathematik I Vorlesung 02 24.10.2014 Multiplikation im Dualsystem Computerorientierte Mathematik I Vorlesung 02 24.10.2014 Historische Rechenmaschinen Abakus Mechanische Zählräder Technische Sammlungen der Stadt Dresden Science Museum London Analytical Engine Rechenmaschinen mit dekadischem System Computerorientierte Mathematik I Vorlesung 02 24.10.2014 Venusianer @ de.wikipedia Elektrisch betriebene Rechenmaschinen Colossus (Elektronenröhren) e.w Stahlkocher @ d ikipedia Z3 (Relais) Mikroprozessor Computerorientierte Mathematik I Transistor Vorlesung 02 24.10.2014 Marcin Wichary Moderne Rechenmaschinen Blue Gene (2007) Computerorientierte Mathematik I Argonne National Laboratory Apple II (1977) Vorlesung 02 24.10.2014 Technische Realisierung kleinste Einheit (0 oder 1): Bit ! Bits werden in festen Längen zusammengefasst: 8 Bits = 1 Byte, 28 = 256 Zustände ! Zahldarstellung nutzt feste Anzahl von Bytes: üblich sind 1, 2, 4, 8 Byte bzw. 8, 16, 32, 64 Bits Computerorientierte Mathematik I Vorlesung 02 24.10.2014 Technische Realisierung Computerorientierte Mathematik I Vorlesung 02 24.10.2014 Technische Realisierung Computerorientierte Mathematik I Vorlesung 02 24.10.2014 Technische Realisierung Computerorientierte Mathematik I Vorlesung 02 24.10.2014 Ganze Zahlen (anschaulich) …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … kennt (fast) jedes Kind ! beginnen nirgends ! negative Zahlen (Schulden) ! keine Tortenstücke (Brüche) Computerorientierte Mathematik I Vorlesung 02 24.10.2014 Ganze Zahlen (konstruktiv) Computerorientierte Mathematik I Vorlesung 02 24.10.2014 Ganze Zahlen: Zifferndarstellung Vorzeichenbit Computerorientierte Mathematik I Vorlesung 02 24.10.2014 Dualdarstellung ganzer Zahlen mit Vorzeichenbit Erste Ziffer: Vorzeichen (0,1 = +,-) Keine eindeutige Darstellung der Null: 0 = 002 = 102 ! Addition natürlicher und ganzer Zahlen grundsätzlich verschieden! Computerorientierte Mathematik I Vorlesung 02 24.10.2014 Dualdarstellung ganzer Zahlen mit Zweierkomplement Kochrezept: Das Zweierkomplement von erhält man durch ! Dualdarstellung, Umklappen, 1 addieren Beispiel: Zahlenbreite N=4, Umklappen -3 -0011 Dualdarstellung Computerorientierte Mathematik I -1100 1101 1 addieren Vorlesung 02 24.10.2014 Rechnen mit dem Zweierkomplement Grundsätzlich keine Subtraktion nötig: ! Addition direkt auf negative Zahlen im Zweierkomplement anwendbar! Computerorientierte Mathematik I Vorlesung 02 24.10.2014 Rechnen mit dem Zweierkomplement Komplementäre Potenzzerlegung Eindeutige Darstellung der Null: ! asymmetrischer Zahlenbereich: Computerorientierte Mathematik I Vorlesung 02 24.10.2014 Rechnen mit dem Zweierkomplement Computerorientierte Mathematik I Vorlesung 02 24.10.2014 Overflow und Underflow 8-Bit-Zweierkomplement: -128,…,127 ! Berechne 127+1: sondern Computerorientierte Mathematik I Vorlesung 02 24.10.2014 Ganzzahlige Datentypen Computerorientierte Mathematik I Vorlesung 02 24.10.2014 Nächste Woche Abgabe des 1. Übungszettels ! www.mi.fu-berlin.de/w/CompMolBio/ComaI Darstellung rationaler Zahlen ! Fest-/Gleitkommadarstellung ! Rundungsfehler Computerorientierte Mathematik I Vorlesung 02 24.10.2014
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