2. Übungsblatt zur Analysis für Informatiker (WS 2014/15) Prof. Dr

2. Übungsblatt zur Analysis für Informatiker (WS 2014/15)
Prof. Dr. Bernhard Krötz, Dr. Tobias Pecher
Abgabe der Lösungen: in die Postfächer 17, 18, 19 des orangenen Briefkastens im D1-Flur.
Abgabefrist: Freitag, 31. Oktober, 10:00 Uhr.
Präsenzaufgaben
1. Sei b ∈ N mit b > 1 und seien ci reelle Zahlen mit 0 ≤ ci ≤ b − 1. Zeigen Sie: Für
jedes n ∈ N gilt
n
ci bi ≤ bn+1 − 1.
i=0
2. Sei b ∈ N mit b > 1. Zeigen Sie, dass jede Zahl x ∈ N einde eindeutige Darstellung
der Form
x = c 0 + c 1 b + · · · + c N bN
mit n ∈ N und ci ∈ {0, . . . , b − 1} besitzt.
3. Gegeben seien die (Dezimal-)Zahlen x = 7 und y = 47.
a) Stellen Sie x und y im Binärsystem dar.
b) Stellen Sie x und y im Hexadezimalsystem (bestehend aus den Ziffern
{0, 1, . . . , 9, A, B, C, D, E, F }) dar.
c) Stellen Sie die Dualzahl 1100101 im Dezimal- und Hexadezimalsystem dar.
d) Stellen Sie die folgende Dualzahl im Hexadezimalsystem dar:
1111.1111.1111.1111.1111.1111.1111.1111.1111.1111.1111.1111.1111.
4. Für n ∈ N sei die Menge Fn = {1, 2, . . . , n} gegeben. Ferner bezeichne Bij(Fn ) die
Menge aller bijektiven Abbildungen von Fn in sich selbst. Zeigen Sie:
|Bij(Fn )| = n!
Empfehlungen des Hauses
- Literaturkarte Übergang von Schule zu Universität bedingt einen Perspektivwechsel. Um Ihnen diesen
zu erleichtern, rekommendieren wir Weltliteratur zum Standpunkt Käfer und Hund:
• Franz Kafka: Die Verwandlung
• Michail Bulgakov: Hundeherz
Sachbücher zur Steigerung des Kritikvermögens:
• Udo Ulfkotte: Gekaufter Journalismus
• Richard Milton: Verbotene Wissenschaften
1
Hausaufgaben
1. Aufgabe
(10 Punkte)
Berechnen Sie den Wert der Summe
2017
n=1
1
.
n(n + 1)
2. Aufgabe
(10 Punkte)
Konstruieren Sie eine surjektive Abbildung N → Z.
3. Aufgabe
(10 Punkte)
Es sei X eine beliebige Menge und Abb(X, {0, 1}) die Menge aller Abbildungen von
X nach {0, 1}. Bestimmen Sie eine Bijektion
P(X) → Abb(X, {0, 1}).
4. Aufgabe (Fakultätsbasis)
(10 Punkte)
a) Zeigen Sie, dass für jedes n ∈ N gilt:
n
i · i! = (n + 1)! − 1.
i=0
b) Folgern Sie, dass jede Zahl x ∈ N eine eindeutige Darstellung der Form
n
ai · i!
x=
i=0
mit ai ∈ {0, 1, . . . , i} besitzt (wobei n ∈ N von x abhängt).
5. Gehirndreher
(10 Punkte - Bonusaufgabe)
Sei X eine beliebige Menge. Zeigen Sie, dass eine Abbildung f : X → P(X) niemals
surjektiv ist.
Hinweis: Betrachten Sie die Menge Y := {x ∈ X : x ∈
/ f (x)} ∈ P(X).
2
6. Textaufgabe
(10 Punkte)
Der Paderborner Bürgermeister hat eine Idee: Aufgrund der positiven zahlenmythologischen Bedeutung der Zahl 8 möchte er bei der Neugestaltung des Domplatzes ein
oktagonales Pflaster verwenden. Da auch die Türme der Universität der Informationsgesellschaft oktagonal sind, kann er damit gleichzeitig die Verbundenheit der
Stadt zu ihrer beliebten Ausbildungsstätte ausdrücken.
Der von ihm beauftragte Fließenlegemeister Herbert Wredebrakel aus Schwaney
muss ihn allerdings auf die Unmöglichkeit dieses Unterfangens hinweisen: Achteckige
Pflastersteine sind nicht geeignet, da sonst Lücken im Boden bleiben.
Auf die Rückfrage des B.-meisters, welche Form die Pflastersteine haben müssten,
fallen dem F.-meister nur quadratische Steine ein - welche der B.meister allerdings
langweilig findet. Darum vertraut er nun auf die Kreativität der lokalen Informatikstudenten und will von Ihnen wissen:
Welche regulären Vielecke eignen sich zu einer (geschlossenen) Parkettierung der
Ebene?
Weitere Informationen zu den Übungen unter:
http://www2.math.uni-paderborn.de/people/tobias-pecher/lehre/anafinfo.html
3

Download Report