LÖSUNG AUFGABE 23 ZUR INDUSTRIEÖKONOMIK
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Aufgabe 23 (STACKELBERG-Duopol):
Wie bereits in Aufgabe 22 sei die Nachfragefunktion des Gutes x gegeben durch
x(q ) = a − b ⋅ q ,
a > 0, b > 0.
Auch die Kostenfunktionen der beiden einzigen Anbieter des Gutes bleiben unverändert
K i ( xi ) = c + e ⋅ xi ,
i ∈ {1, 2}, c > 0 , e > 0 .
Beide Unternehmen maximieren ihren Gewinn. Es wird zudem angenommen, daß Unternehmen 1 (STACKELBERG-Führer) zuerst seine Angebotsmenge festlegt. Anschließend
wählt Unternehmen 2 (STACKELBERG-Folger) seinen Output. Sowohl Führer als auch Folger berücksichtigen bei Ihrer Mengenentscheidung das Verhalten des Konkurrenten.
a) Berechnen Sie die gewinnoptimalen Angebotsmengen für STACKELBERG-Führer und
Folger, den Marktpreis sowie die Unternehmensgewinne im STACKELBERG-Gleichgewicht! Wie hoch ist die Produzentenrente auf dem Markt des Gutes x?
Preis-Absatz-Funktion:
q ( x1 , x 2 ) = A − B ⋅ x1 − B ⋅ x 2 ,
mit A =
a
1
und B = .
b
b
(1)
Angebotsmengen:
Zunächst wird das Entscheidungsproblem von Unternehmen 2 betrachtet. Dessen Gewinnfunktion lautet:
G2 ( x1 , x 2 ) = q ( x1 , x 2 ) ⋅ x 2 − K 2 ( x 2 ) .
(2)
Ersetzt man q ( x1 , x 2 ) durch die rechte Seite von (1) und K2 durch die in der Aufgabenstellung
spezifizierte Kostenfunktion, so resultiert:
G2 ( x1 , x 2 ) = ( A − B ⋅ x1 − B ⋅ x 2 ) ⋅ x 2 − c − e ⋅ x 2 = ( A − e − B ⋅ x1 ) ⋅ x 2 − B ⋅ x 2 − c .
2
(3)
Durch die Wahl der Angebotsmenge x2 versucht Unternehmen 2 diese Gewinnfunktion zu
maximieren. Die notwendige Bedingung für das Vorliegen eines Gewinnmaximums lautet:
∂G2 ( x1 , x 2 )
= A − e − B ⋅ x1 − 2 ⋅ B ⋅ x 2 = 0 .
∂x 2
Umstellen nach x2 liefert die Reaktionsfunktion des zweiten Unternehmens:
(4)
LÖSUNG AUFGABE 23 ZUR INDUSTRIEÖKONOMIK
x 2 = f 2 ( x1 ) =
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A−e 1
− ⋅ x1 .
2⋅B 2
(5)
Gleichung (5) liefert für jede vorgegebene Angebotsmenge x1 des ersten Unternehmens die
gewinnmaximale Angebotsmenge für Unternehmen 2. Da symmetrische Informationsverteilung über die Kostenfunktionen unterstellt wird, ist (5) Unternehmen 1 bekannt. Der STAKKELBERG-Führer kann folglich die Reaktion des Folgers in sein Kalkül zur Maximierung seines Gewinns mit einbeziehen. Nachdem in der allgemeinen Gewinnfunktion des ersten Unternehmens,
G1 ( x1 , x 2 ) = q ( x1 , x 2 ) ⋅ x1 − K 1 ( x1 ) ,
(6)
(analog zur Herleitung von (3) für Unternehmen 2) q ( x1 , x 2 ) durch die rechte Seite von (1)
und K1 durch die in der Aufgabenstellung spezifizierte Kostenfunktion ersetzt wurde, d.h.
G1 ( x1 , x 2 ) = ( A − B ⋅ x1 − B ⋅ x 2 ) ⋅ x1 − c − e ⋅ x1 = ( A − e − B ⋅ x 2 ) ⋅ x1 − B ⋅ x1 − c ,
2
(7)
kann x2 durch die rechte Seite von (5) ersetzt werden. Die Gewinnfunktion des STACKELBERG-Führer ist somit nur von der eigenen Angebotsmenge abhängig:
⎡
⎛ A−e 1
⎞⎤
2
− ⋅ x1 ⎟⎥ ⋅ x1 − B ⋅ x1 − c
G1 ( x1 ) = ⎢ A − e − B ⋅ ⎜
⎠⎦
⎝ 2⋅B 2
⎣
A−e 1
⎛
⎞
⎛ A−e 1
⎞
2
2
= ⎜A−e−
+ ⋅ B ⋅ x1 ⎟ ⋅ x1 − B ⋅ x1 − c = ⎜
+ ⋅ B ⋅ x1 ⎟ ⋅ x1 − B ⋅ x1 − c
2
2
2
⎝
⎠
⎝ 2
⎠
=
( A − e)
1
2
⋅ x1 − ⋅ B ⋅ x1 − c .
2
2
(8)
Um seinen Gewinn zu maximieren, muß der STACKELBERG-Führer (8) nach x1 ableiten und
die resultierende Ableitung gleich null setzen (notwendige Bedingung für das Vorliegen eines
Gewinnmaximums):
∂G1 ( x1 ) A − e
=
− B ⋅ x1 = 0
∂x1
2
⇒
x1 =
A− e a −b⋅e
S
≡ x1 .
=
2⋅B
2
(9)
Die seinen Gewinn maximierende Angebotsmenge des STACKELBERG-Führers entspricht hier
gerade der Angebotsmenge eines Monopolisten (vgl. Teilaufgabe 22a – Fall 2). Zur Bestimmung der Angebotsmenge des STACKELBERG-Folgers ist (9) in (5) einzusetzen. Es folgt:
x 2 = f 2 ( x1 ) =
S
=
A−e 1 S A−e 1 ⎛ A−e⎞
− ⋅ x1 =
− ⋅⎜
⎟
2⋅ B 2
2⋅ B 2 ⎝ 2⋅ B ⎠
A− e a −b⋅e
S
=
≡ x2 .
4⋅B
4
(10)
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Marktpreis:
Einsetzen von (9) und (10) in (1):
⎛ A−e⎞
⎛ A − e ⎞ 4 ⋅ A − 2 ⋅ ( A − e ) − ( A − e)
S
S
q( x1 , x 2 ) = A − B ⋅ ⎜
⎟ − B ⋅⎜
⎟=
4
⎝ 2⋅ B ⎠
⎝ 4⋅ B ⎠
=
A + 3⋅e a + 3⋅b ⋅e
=
≡ qS .
4
4⋅b
(11)
Gewinne:
Unternehmen 1: Einsetzen von (9) in (8):
( A − e) ⎛ A − e ⎞ 1
( A − e) 2 ( A − e) 2
⎛ A−e⎞
⋅⎜
−
⋅
⋅
B
−
c
=
−
−c
⎟
⎜
⎟
2
4⋅ B
8⋅ B
⎝ 2⋅ B ⎠ 2
⎝ 2⋅ B ⎠
2
G1 ( x1 ) =
S
=
( A − e) 2
( a − b ⋅ e) 2
S
− c ≡ G1
−c =
8⋅ B
8⋅b
(12)
Unternehmen 2: Einsetzen von (9) und (10) in (3):
⎡
⎛ A − e ⎞⎤ ⎛ A − e ⎞
⎛ A−e⎞
G2 ( x1 , x 2 ) = ⎢ A − e − B ⋅ ⎜
⎟⎥ ⋅ ⎜
⎟ − B ⋅⎜
⎟ −c
⎝ 2 ⋅ B ⎠⎦ ⎝ 4 ⋅ B ⎠
⎝ 4⋅B ⎠
⎣
2
S
S
( A − e)
( A − e)
⎛ A − e ⎞ ⎛ A − e ⎞ ( A − e)
=⎜
−c =
−
−c
⎟⋅⎜
⎟−
8⋅ B
16 ⋅ B
⎝ 2 ⎠ ⎝ 4 ⋅ B ⎠ 16 ⋅ B
2
( A − e)
( a − b ⋅ e)
S
−c =
− c ≡ G2 .
16 ⋅ B
16 ⋅ b
2
=
2
2
2
(13)
Produzentenrente:
Der Begriff „Produzentenrente“ wird in der Literatur unterschiedlich definiert. Nach VARIAN
(1999, S. 362) ist „die Produzentinnenrente gleich dem Umsatz minus den variablen Kosten,
oder gleichwertig, dem Gewinn plus den Fixkosten.“ TIROLE (1999, S. 17) dagegen schreibt:
„Den Gewinn des Unternehmens bezeichnet man auch als Produzentenrente. Der Gewinn ist
gleich dem Erlös abzüglich den Kosten.“ Auch CEZANNE (1997, S. 155f.) versteht unter Produzentenrente den Gewinn eines Unternehmens: „Bei Marktpreisen über den totalen Durchschnittskosten entsteht also ein Gewinn. Dieser Gewinn wird als Produzentenrente bezeichnet,
wobei eine angemessene Verzinsung des Eigenkapitals als kalkulatorische Kosten in den totalen Durchschnittskosten enthalten sein muß. Die Produzentenrente ist der Überschuß des am
Markt erzielten Erlöses über die Kosten der Produktion“.
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Die Produzentenrente eines Unternehmens entspricht also seinem Gewinn. Die Produzentenrente auf dem Markt des betrachteten Gutes x ist dann die Summe der Unternehmensgewinne,
d.h.:
( A − e) 2
( A − e)
3 ⋅ ( A − e)
=
−c+
−c =
− 2⋅c
8⋅ B
16 ⋅ B
16 ⋅ B
2
PR = G1 + G2
S
S
S
3 ⋅ ( a − b ⋅ e)
− 2⋅c.
16 ⋅ b
2
2
=
(14)
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b) Punkt C in der nachfolgenden Abbildung stellt die Kombination der Angebotsmengen
x1 und x2 dar, die sich im COURNOT-Gleichgewicht unter Verwendung der Parameter
a = 25 , c = 36 und b = e = 1 einstellt. Ergänzen Sie die Mengenkombination des STACKELBERG-Gleichgewichts! Bestimmen Sie zuvor die Funktion der vom STACKELBERGFührer im Gleichgewicht erreichten Isogewinnlinie sowie die Reaktionsfunktion des
STACKELBERG-Folgers und skizzieren Sie die Graphen beider Funktionen in der Abbildung.
x2
25
20
15
10
C
C
x2
5
0
5
x1C
10
15
20
25
x1
Isogewinnlinie:
Eine Isogewinnlinie umfaßt die Menge aller Kombinationen von x1 und x2, die ein vorgegebenes Gewinniveau für eines der beiden Unternehmen determinieren. Um die Isogewinnlinie
des Unternehmens 1 zu erhalten, ist zunächst (7) nach x2 umzustellen. Dazu sind folgende
Umformschritte auszuführen:
G1 = ( A − e) ⋅ x1 − B ⋅ x1 ⋅ x 2 − B ⋅ x1 − c
+ B ⋅ x1 ⋅ x 2 − G1
B ⋅ x1 ⋅ x 2 = ( A − e) ⋅ x1 − B ⋅ x1 − (G1 + c)
: B ⋅ x1
2
2
x2 =
(G + c)
( A − e)
.
− x1 − 1
B
B ⋅ x1
(15)
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In (15) ist dann für G1 das Gewinniveau einzusetzen, welches der STACKELBERG-Führer im
Gewinnmaximum erreicht (Dieses ist anhand der oben hergeleiteten Formel (12) zu bestimmen). Mit a = 25 , c = 36 und b = e = 1 folgt:
x 2 = 24 − x1 −
72
.
x1
(16)
Nach Einsetzen der Paramterwerte a = 25 und b = e = 1 in die Reaktionsfunktion des zweiten
Unternehmens (5) erhält man zudem:
x 2 = f 2 ( x1 ) = 12 −
1
⋅ x1 .
2
(17)
Die graphische Darstellung der Funktionen (16) und (17) liefert Abb. 1, in der die Mengenkombination des STACKELBERG-Gleichgewichtes durch Punkt S markiert ist. Dieser läßt sich
graphisch folgendermaßen ermitteln: Für jedes vom industriellen Führer gewählte Outputniveau bestimmt sich das Angebot des Folgers durch dessen Reaktionsfunktion. Unternehmen 1
kann deshalb durch die entsprechende Wahl von x1 jeden Punkt auf dem Graph der ReaktionsS
funktion festlegen. Die rationale (weil gewinnmaximierende) Wahl ist x1 , denn im zugehörigen Punkt S tangiert eine seiner Isogewinnlinien die Reaktionskurve des Folgers (Der Anstieg
der Isogewinnlinie des ersten Unternehmens im Punkt S entspricht somit dem Anstieg der
Reaktionsfunktion des zweiten Unternehmens, d.h. S ist Tangentialpunkt). Ein Abweichen
S
von x1 nach unten oder oben führt zu Mengenkombinationen, durch die Isogewinnlinien verlaufen, die niedrigere Gewinniveaus repräsentieren. Wie man dabei sieht, erreicht der STAKKELBERG-Führer im Vergleich zum COURNOT-Gleichgewicht (Punkt C) eine erhöhte Gewinnposition, während sich die des Folgers verringert.
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x2
25
20
15
10
C
x2C
x2S
S
5
f2(x1)
0
Abb. 1:
5
x1C
10
x1S
15
Gleichgewicht im V. STACKELBERG-Duopol
20
25
x1
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c) Ermitteln Sie die Konsumentenrente im STACKELBERG-Gleichgewicht! Vergleichen Sie
das Ergebnis mit dem Wert, den die Konsumentenrente im COURNOT-Gleichgewicht
bzw. bei Kollusion der Duopolisten annimmt.
HINWEIS:
Für die lineare Nachfragefunktion x(q) = a − b ⋅ q berechnet sich die Konsumentenrente durch (vgl. Aufgabe 7):
2
b ⎛a
⎞
KR (q M ) = ⋅ ⎜ − q M ⎟ .
2 ⎝b
⎠
Die Konsumentenrente ist der aufsummierte Geldbetrag, den die Käufer eines Gutes bereit
wären, für eine bestimmte Menge dieses Gutes über den Marktpreis hinaus zu bezahlen. Sie
entspricht der Fläche zwischen der Preis-Absatz-Funktion und der horizontalen Geraden
durch den Marktpreis (vgl. Aufgabe 7).
STACKELBERG–Gleichgewicht:
Mit dem Marktpreis (vgl. Teilaufgabe a)
qM =
a + 3⋅b ⋅e
4⋅b
folgt:
b ⎛a
b ⎛ a a + 3⋅b ⋅e ⎞
b ⎛ 3 a 3 b⋅e⎞
⎞
⋅ ⎜ − qM ⎟ = ⋅ ⎜ −
⎟
⎟ = ⋅⎜ ⋅ − ⋅
2 ⎝b
2 ⎝b
4⋅b ⎠
2 ⎝4 b 4 b ⎠
⎠
2
KR (q M ) =
=
2
2
9 ( a − b ⋅ e) 2
⋅
≡ KR S .
b
32
COURNOT–Gleichgewicht:
Mit dem Marktpreis (vgl. Teilaufgabe 22a Fall 1)
qM =
a + 2⋅b⋅e
3⋅b
folgt:
b ⎛a
b ⎛ a a + 2⋅b⋅e⎞
b ⎛ 2 a 2 b⋅e⎞
⎞
⋅ ⎜ − qM ⎟ = ⋅ ⎜ −
⎟
⎟ = ⋅⎜ ⋅ − ⋅
2 ⎝b
2 ⎝b
3⋅b ⎠
2 ⎝3 b 3 b ⎠
⎠
2
KR (q M ) =
=
2 ( a − b ⋅ e) 2
⋅
≡ KR C .
b
9
2
2
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Kollusion der Duopolisten:
Mit dem Marktpreis (vgl. Teilaufgabe 22a Fall 2)
qM =
a +b⋅e
2⋅b
folgt:
b ⎛a
b ⎛ a a + b⋅e⎞
b ⎛ 1 a 1 b⋅e⎞
⎞
KR (q M ) = ⋅ ⎜ − q M ⎟ = ⋅ ⎜ −
⎟
⎟ = ⋅⎜ ⋅ − ⋅
2 ⎝b
2 ⎝b
2⋅b ⎠
2 ⎝2 b 2 b ⎠
⎠
2
=
1 ( a − b ⋅ e) 2
⋅
≡ KR K .
b
8
2
2
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d) Bestimmen Sie den sozialen Überschuß, der im STACKELBERG-Gleichgewicht, im
COURNOT-Gleichgewicht bzw. bei Kollusion der Duopolisten erreicht wird! Setzen Sie
zur Bestimmung des numerischen Wertes a = 25 , c = 36 und b = e = 1 !
Als sozialen Überschuß bezeichnet man die Summe aus Produzenten- und Konsumentenrente.
Die Produzentenrente auf dem Markt eines Gutes x ist die Summe der Unternehmensgewinne.
Mit den Ergebnissen aus den Aufgaben 21a (Fälle 1 und 2) sowie 22a und c resultieren die in
Tab. 1 zusammengefaßten Ergebnisse.
Tab. 1:
Zusammenfassung der Ergebnisse für die betrachteten Duopolmodelle
Größe
Kollusion
COURNOT
STACKELBERG
x1
a −b⋅e
=6
4
a −b⋅e
=8
3
a −b⋅e
= 12
2
x2
a −b⋅e
=6
4
a −b⋅e
=8
3
a −b⋅e
=6
4
a −b⋅e
= 12
2
2 ⋅ ( a − b ⋅ e)
= 16
3
3 ⋅ ( a − b ⋅ e)
= 18
4
qM
a + b⋅e
= 13
2⋅b
a + 2⋅b⋅e
=9
3⋅b
a + 3⋅b ⋅e
=7
4⋅b
G1
1 ( a − b ⋅ e) 2
⋅
− c = 36
8
b
1 ( a − b ⋅ e) 2
⋅
− c = 28
9
b
1 ( a − b ⋅ e) 2
⋅
− c = 36
8
b
G2
1 ( a − b ⋅ e) 2
⋅
− c = 36
b
8
1 ( a − b ⋅ e) 2
⋅
− c = 28
b
9
1 ( a − b ⋅ e) 2
⋅
−c = 0
b
16
PR
1 ( a − b ⋅ e) 2
⋅
− 2 ⋅ c = 72
4
b
2 ( a − b ⋅ e) 2
⋅
− 2 ⋅ c = 56
9
b
3 ( a − b ⋅ e) 2
⋅
− 2 ⋅ c = 36
16
b
KR
1 ( a − b ⋅ e) 2
= 72
⋅
8
b
2 ( a − b ⋅ e) 2
= 128
⋅
9
b
9 ( a − b ⋅ e) 2
= 162
⋅
32
b
SÜ
3 ( a − b ⋅ e) 2
⋅
− 2 ⋅ c = 144
8
b
4 ( a − b ⋅ e) 2
⋅
− 2 ⋅ c = 184
9
b
15 (a − b ⋅ e) 2
⋅
− 2 ⋅ c =198
32
b
x
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SEITE 11 VON 12
e) Wie läßt sich begründen, daß die Unternehmen ihre Mengenentscheidungen nacheinander treffen?
-
Auswirkung von Staatsintervention auf oligopolistischen Wettbewerb
-
Fälle in denen sich ein etabliertes Unternehmen auf den Wettbewerb mit einem
Marktneuling einstellt (z.B. weil das Patent eines Monopolisten ausläuft)
-
Führer verfolgt Initiatorstrategie, Folger ist lediglich Imitator.
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f) Warum ist es für die Existenz eines STACKELBERG-Gleichgewichts notwendig, daß der
Führer zuerst seine Angebotsmenge festlegt und diese auch im Nachhinein nicht mehr
revidieren kann? Welche Möglichkeiten bieten sich einem Unternehmen, sich irreversibel auf eine bestimmte Angebotsmenge festzulegen?
Die Produktionsmenge des STACKELBERG-Führers befindet sich nicht auf dessen ReaktionsS
funktion. Hat sich der STACKELBERG-Folger für die Abhängigkeitsmenge x2 entschieden, besteht für den STACKELBERG-Führer somit ein Anreiz, seine Produktionsmenge ausgehend vom
S
ursprünglichen Gleichgewichtsniveau x1 zu verringern um dadurch seinen Gewinn zu steigern. In Erwartung dieser Reaktion würde der Folger seinerseits ein höheres Outputniveau als
S
S
S
x2 wählen. Die Mengenkombination (x1 , x2 ) dürfte deshalb eigentlich kein Gleichgewicht
bilden, es sei denn der STACKELBERG-Führer verfügt über Möglichkeiten, sich irreversibel auf
S
die Produktionsmenge x1 festzulegen. Eine solche Möglichkeit ist gegeben, wenn die Produktion das Versenken von Kosten erfordert.
x2
25
f1(x2)
20
15
10
C
S
5
f 2( x 1 )
0
Abb. 2:
5
x1C
10
x1S
15
Gleichgewicht im V. STACKELBERG-Duopol
20
25
x1
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