Experimentos factoriales con factores aleatorios Introducción Si consideramos la situación de experimentos factoriales en los cuales se estudian dos factores A y B, se pueden presentar dos modelos alternativos: MODELO DE EFECTOS ALEATORIOS: Modelo en los que los niveles de A y B son seleccionados al azar de una población grande de posibles niveles. MODELO DE EFECTOS MIXTOS: Modelo en los que los niveles de un factor A son fijados por el investigador mientras los niveles del otro factor B son seleccionados al azar de una población grande de posibles niveles. 1 Modelo Suponga que se tienen los factores A y B y que ambos tienen un número grande de niveles que son de interés. Seleccionamos aleatoriamente a niveles de A y b niveles de B y montamos el ensayo en un diseño completamente aleatorizado. Si el experimento se replica r veces, entonces el modelos lineal es: yijk = µ + τ i + β j + (τ β )ij + ε ijk i = 1, 2, ..., a Se supone que τi , βj , que se distribuyen: j = 1, 2, ..., b k = 1, 2, ..., r (τ β)ij y εijk son variables aleatorias e independientes y ( ) β ~ N ( 0;σ ) (τβ ) ~ N ( 0;σ ) τ i ~ N 0;σ τ 2 β j ij 2 τβ 2 ε ijk ~ N ( 0;σ e2 ) La varianza de cualquier observación es: σ 2y = σ e2 + σ τ2 + σ β2 + σ τβ2 Hipótesis Nos interesa probar las siguientes hipótesis: H1 : σ τ2 = 0 H 2 : σ β2 = 0 2 H 3 : σ τβ =0 ANOVA Las sumas de cuadrados se calculan igual que con efectos fijos. Para formar las estadísticas de prueba, debemos examinar la esperanza de los cuadrados medios. 2 ANOVA (Continuación) Los cuadrados medios esperados resultan: E (CMA) = σ e2 + rσ τβ2 + rbσ τ2 E (CMB) = σ e2 + rσ τβ2 + raσ β2 E (CMAB) = σ e2 + r σ τβ2 E (CMD) = σ e2 F.V. g.l. SC CM F Factor A a-1 SCA CMA CM A CM AB Factor B b-1 SCB CMB CM B CM AB Interacción (AxB) (a -1)* (b – 1) SCAB CMAB CM AB CMD Error Experimental ab * (r-1) SCD CMD N-1 SCT Total ANOVA (Conclusiones) Los componentes de varianza se pueden estimar por el método de análisis de varianza, igualando los cuadrados medios observados a sus respectivos valores esperados y resolviendo las ecuaciones, quedando: σˆ e2 = CMD σˆτ2 = (CM A − CM AB ) σˆ β2 = σˆτβ2 = br (CM B − CM AB ) ar (CM AB − CMD ) r Una vez estimados cada uno de los componentes de varianza podemos analizar la contribución de cada uno de ellos a la varianza total e identificar las principales fuentes de variación. 3 Ejemplo Se quiere saber si la variabilidad en la duración de baterías elaboradas con diferentes materiales y operadas a diferentes temperaturas están dentro de los estándares aceptables para su comercialización. Para ello se seleccionan aleatoriamente 3 temperaturas de funcionamiento y 3 tipos de materiales. Se cuenta con 4 repeticiones seleccionadas en forma aleatoria por cada tratamiento. Variable Duración en horas Temperaturas A B C 130 155 34 40 20 70 74 80 75 82 58 150 188 136 122 25 70 159 126 106 115 58 45 138 110 174 120 96 104 168 160 150 139 82 60 Material 1 180 2 3 Cuadro de Análisis de la Varianza (SC tipo III) F.V. SC gl CM F Modelo 59416,22 8 7427,03 11,00 Material(A) 10683,72 2 5341,86 2,22 Temperatura(B) 39118,72 2 19559,36 8,14 Int. (A*B) 9613,78 4 2403,44 3,56 Error 18230,75 27 675,21 Total 77646,97 35 p-valor <0,0001 0,2243 0,0389 0,0186 Las estimaciones de las componentes de varianza son: σˆ e2 = CMD = 675.21 σˆτ2 = (CM A − CM AB ) = (5341.86−2403.44 ) = 244.87 σˆ β2 = (CM B − CM AB ) = (19559.36−2403.44 ) = 1429.66 br σˆτβ2 = ar 3*4 3*4 (CM AB − CMD ) = (2403.44−675.21) = 432.06 r 4 4 La estimación de la varianza total de una observación es: σ 2y = σ e2 + σ τ2 + σ β2 + σ τβ2 σ 2y = 675 .21 + 244 .87 + 1429 .66 + 432 .06 = 2781.80 La interacción significativa implica que la duración de las baterías no varia de manera congruente para los distintos materiales cuando son sometidas a diferentes temperaturas. Sin embargo la mayor parte de la variabilidad se debe a la componente temperatura con un 51.4 % de la variabilidad total. Los ingenieros de la fabrica deberán decidir si alguna de los componentes que contribuyen a la variabilidad, en forma significativa, excede un nivel aceptable y, de ser necesario, deberán modificar la composición de los materiales con el fin de disminuir la variabilidad total. Experimentos factoriales con factores anidados 5 Introducción En algunos experimentos factoriales los niveles de un factor (B) son similares pero no idénticos para diferentes niveles de otro factor (A). Este arreglo se llama DISEÑO ANIDADO JERÁRQUICO y se dice que B está anidado en A. O Generalmente los factores que están anidados son aleatorios. Por ejemplo, una compañía compra su materia prima a tres diferentes proveedores. La compañía desea determinar si la pureza de la materia prima es la misma en cada proveedor. Se seleccionan cuatro lotes de materia prima de cada proveedor y se tomarán tres determinaciones de pureza en cada lote. Ejemplo Este es un diseño anidado de 2 etapas, con lote anidado en proveedor, y observación anidada en lote. Una notación comúnmente empleada para indicar que un factor está anidado en otro, es escribir entre paréntesis el factor donde se anida, por ejemplo si el factor B se encuentra anidado en el factor A, se lo escribe como B (A). 6 ¿Por qué no son dos factores cruzados? Para que dos factores sean cruzados los niveles de un factor, B, deberán ser idénticos en todos los niveles del otro factor, A, es decir cada nivel del factor A contendrá idénticos niveles del factor B. En el ejemplo, los lotes de cada proveedor son únicos para el proveedor x. Esto es, el lote 1 del proveedor 1 no tiene nada que ver con el lote 1 de los otros proveedores, es solamente una etiqueta. Una forma para identificar si un factor B está anidado o cruzado con otro factor A, es observar si los niveles del factor B se pueden enumerar en forma arbitraria, si es así entonces el factor B está anidado en el factor A. Modelo Suponga que se tienen dos factores fijos A y B y que el factor B esta anidado en A. Si tenemos a niveles de A y b niveles de B y montamos el ensayo en un diseño completamente aleatorizado con r repeticiones por tratamiento, el modelo lineal para un diseño anidado en dos etapas será: yijk = µ + τ i + β j ( i ) + ε k ( ij ) i = 1, 2, ..., a j = 1, 2, ..., b k = 1, 2, ..., r Es conveniente pensar en las repeticiones como que están anidadas en la combinación de niveles de A y B. Como cada nivel de B no aparece con cada nivel de A no hay interacción entre A y B. 7 ANOVA F.V. g.l. Factor A CM F CM A CMD a-1 SCA CMA Factor B (A) a (b – 1) SCB(A) CMB(A) Error Experimental ab * (r-1) SCD CMD N-1 SCT Total SCT = ∑ i , j ,k Yi2j k −C = ∑ i , j ,k Yi2j k    ∑ Yi j k  i , j ,k   − N Suma de cuadrado factor A Y12 + L + Ya2 −C rb CM B ( A) CMD Suma de cuadrado factor B (A) Suma de cuadrado total SC A = SC 2 SC B ( A) = Y112 + L + Yab2 Y12 + L + Ya2 − r rb Suma de cuadrado del error (SCD) SCD = SCT − SC A − SC B ( A) Hipótesis ¾ Hipótesis 1: “No hay diferencias entre los niveles del factor A” ¾ Hipótesis 2: “No hay diferencias entre los niveles del factor B(A)”. En la hipótesis 2, se contrasta la hipótesis de que todos los niveles del factor anidado B son iguales dentro del factor A donde están anidados. Si se obtiene que el factor B(A) es significativo a nivel global, es interesante contrastar, a continuación, si los niveles del factor B anidado en A son iguales entre sí, dentro de cada nivel i (de A) en el que están anidados. Así, para cada nivel fijado de i, donde i = 1, . . . , a se contrasta si los niveles del factor anidado son iguales o no dentro de cada uno de los niveles del factor A en el que están anidados de manera individual. 8 Una variante Supongamos ahora que los factores A y B son aleatorios y que el factor B esta anidado en A. F.V. g.l. SC CM F CMA CMB(A) Factor A a-1 SCA CMA Factor B (A) a (b – 1) SCB(A) CMB(A) Error Experimental ab * (r-1) SCD CMD Total N-1 SCT CMB(A) CMD σ y2 = σ e2 + σ τ2 + σ β2 ( τ ) σˆ e2 = CMD σˆ τ2 = (CM A - CM br B(A) ) 2 σˆ β(τ) = (CM B(A) − CMD ) r 9