Handout Michael - Karl-Franzens

Einführung in die
Volkswirtschaftslehre
Tutorium für analytische
Anwendungen
Michael Hilweg
[email protected]
Institut für Volkswirtschaftslehre
Karl-Franzens-Universität Graz
1
2
Organisatorischer Vorspann
•Abmeldefrist: 26.02.2017 – 11:15
•Raumeinteilung für die Prüfung: http://www.uni-graz.at/elp-sowi
•Dauer: 45 min
•Fragen: ~30 (Punktemaximum:60)
•Positiv: >50%
•Berechtigte Einteilungswünsche:
•Email mit Matrikelnummer, Begründung sowie Wunschdurchgang
(Format: (1/2) bzw. (2/2) ) bis zum Ablauf der Anmeldefrist
•[email protected]
3
10 Themengebiete
Edgeworth-Box
Jeweils
Fragen zu
1,2,3 und 5
Punkten
Gerechter Preis
Klassische Preistheorie
Nutzentheorie
Preisgleichungen
Quantitätstheorie
Tableau économique
Rententheorie
Wachstumstheorie
Außenhandel
daraus 20
Fragen
4
Fragentypen
5
Multiple Choice
Drag&Drop
6
7
Zahleneingabe
8
Tutoriumsteil
9
5 Konzepte
•
Gerechter Preis
•
Tableau économique
•
Außenhandel
•
Nutzentheorie
•
Edgeworth-Box
10
Scholastik
Gerechter Preis
•
•
Konzept der Scholastik
Der Preis soll so sein, dass sich jeder ein
standesgemäßes Bündel an Gütern leisten
kann.
11
Scholastik
Beispiel
Standesgemäßes Leben
•
Ein Fischer benötigt 60 Fische und 50 Brote pro Monat,
um standesgemäß leben zu können. Er ist imstande 140
Fische pro Monat zu fangen.
a) Wieviel darf ein Brot maximal kosten, dass der Fischer
standesgemäß leben kann?
b) Angenommen, das Tauschverhältnis sei 140 Fische
gegen 40 Brote. Wie stark muss der Fischer besteuert
bzw. subventioniert werden, um standesgemäß leben
zu können (in Prozent Fische)?
c) gleich wie b) mit dem Tauschverhältnis 140 Fische
gegen 100 Brote.
a) 1,6 Fische/Brot
b) 67,86% Subvention (95
Fische; 27,14 Brote)
c) 7,14% Steuer (10 Fische)
12
Scholastik
Grafische Lösung a
•
1,6 Fische tauschen sich gegen 1 Brot
Fisch
140
Punkt
standesgemäßen
Lebens
60
50
87,5
Brot
13
Scholastik
Grafische Lösung b und c
Fisch
Fisch
235
Subvention, um
standesgemäß
leben zu können
140
130
Steuer
140
Punkt des
standesgemäßen
Lebens
60
22,86
40 50
67,14
Brot
Punkt des
standesgemäßen
Lebens
60
50
57,14
92,86
100
Brot
14
Scholastik
Subventionen
Der Fischer erhält eine Subvention von 20 Fischen oder 10 Broten.
Subvention
Produktionsmenge
=
20
140
= 0,14 = 14%
15
Scholastik
Standesgemäßes Leben
tan α = GK/AK = xF/xB = PB/PF = 140/90 = 1,56 Fisch/Brot
α
16
Exkurs
Räumliche Arbitrage
•
Ausnutzen von Preisunterschieden
verschiedenen Märkten
auf
17
Exkurs
Trianguläre Arbitrage
•
•
3 Güter
Ausnutzen
von
„Unregelmäßigkeiten“
Preisrelationen/Tauschverhältnissen
1 Euro
1 $ : 0,735 Euro
in
den
1 Euro
1 Euro : 1,34 SFr
1,36 $
1,34 SFr
1 SFr : 1,015 $
18
Exkurs
Trianguläre Arbitrage
•
•
3 Güter
Ausnutzen von „ Unregelmäßigkeiten“
Preisrelationen/Tauschverhältnissen
1,36 Euro
1 $ : 1 Euro
1,36 $
in
den
1 Euro
1 Euro : 1,34 SFr
1,34 SFr
1 SFr : 1,015 $
19
Scholastik
Beispiel
•
•
Das
Preisverhältnis
Orange
zu
Banane
sei
P(Orange)/P(Banane)=2. Das Preisverhältnis Grapefruit
zu Banane sei P(Grapefruit)/P(Banane)=1,5. Wie müsste
das Preisverhältnis von Grapefruit zu Orange
P(Grapefruit)/P(Orange) lauten, damit keine ArbitrageGewinne möglich sind?
 0,75
Angenommen, das Preisverhältnis von Kiwi zu Nektarine
sei P(Kiwi)/P(Nektarine)=2. Das Preisverhältnis von
Nektarine zu Zitrone betrage P(Nektarine)/P(Zitrone)=0,5.
Wie müsste das Preisverhältnis von Zitrone zu Kiwi
P(Zitrone)/P(Kiwi) lauten, damit keine Arbitrage-Gewinne
möglich sind?
1
20
Scholastik
Beispiel
•
Ein Bäcker benötigt 10 Fische, 1 kg Wurst und 10 Brote
pro Monat, um standesgemäß leben zu können. Pro
Monat erzeugt der Bäcker 40 Brote. Ein Brot kostet am
Markt 0,5 Fisch. 1 kg Wurst kostet 5 Fische.
Kann der Bäcker standesgemäß leben?
 JA
21
Physiokratie
Tableau Economique
•
•
•
Konzept der physiokratischen Schule
Von Francois Quesnay entwickelt
Unterscheidung von 3 Klassen

Produktive Klasse



Sterile Klasse


Landwirtschaftlicher Sektor und Bergbau
Einzige produktive Klasse, die einen Überschuss (Surplus)
erwirtschaftet bzw. einen Mehrwert schafft
Kein Überschuss - nur Transformation von Inputs in andere
Outputs, Mehrwert wird nicht hinzugefügt
Grundbesitzende Klasse


Bekommt von der produktiven Klasse Grundrente
Konsumiert den Netto-Output der Wirtschaft
22
Produktive
Klasse
Sterile
Klasse
Grundbesitzende
Klasse
Bruttoprodukt
Physiokratie
Klasse
Grundbesitzen
de Klasse
Bruttoprodukt
40
30
30
100
25
30
5
60
35
0
100
60
Produktive
Sterile
Klasse
Summe
Summe
23
Physiokratie
Matrix der Produktionskoeffizienten
Produktive
Klasse
Sterile
Klasse
Grundbesitzende
Klasse
Bruttoprodukt
Klasse
Grundbesitzen
de Klasse
Bruttoprodukt
40
30
30
100
25
30
5
60
35
0
100
60
Produktive
Sterile
Klasse
Summe
Summe
40 WE Landw. Produkte ⊕ 25 WE Manuf. Produkte
2
1
WE Landw. Produkte ⊕
5
4
WE Manuf. Produkte
100 WE Landw. Produkte
1 WE Landw. Produkte
24
Physiokratie
Matrix der Produktionskoeffizienten
Klasse
Grundbesitzen
de Klasse
Bruttoprodukt
40
30
30
100
25
30
5
60
Klasse
35
0
Bruttoprodukt
100
60
Produktive
Klasse
Sterile
Klasse
Grundbesitzende
Produktive
Sterile
Klasse
30 WE Landw. Produkte ⊕ 30 WE Manuf. Produkte
1
WE Landw. Produkte ⊕
2
1
WE Manuf. Produkte
2
Summe
Summe
60 WE Manuf. Produkte
1 WE Manuf. Produkte
25
Physiokratie
Matrix der
Produktionskoeffizienten
2
5
1
2
WE Landw. Produkte ⊕
WE Landw. Produkte ⊕
1
4
1
2
WE Manuf. Produkte
1 WE Landw. Produkte
WE Manuf. Produkte
1 WE Manuf. Produkte
benötigt
liefert
A=
[ ]
2
5
1
2
1
4
1
2
Bestimmung der Güterströme 26
Produktive
Klasse
Sterile
Klasse
Klasse
Grundbesitzen
de Klasse
Bruttoprodukt
40
30
30
100
25
30
5
60
35
0
Produktive
Sterile
Klasse
Grundbesitzende
Klasse
Bruttoprodukt
Physiokratie
100
A= [
2
5
1
4
Summe
1
2
1
2
x[ ]
=
Summe
60
][
2
5
1
4
100
100
1
2
1
2
100
60
][ ]
60
40
30
60
25
30
27
Physiokratie
Beispiel

Bestimmen Sie den Vektor der Nettooutputmengen
(=Konsum). Die Produktion der produktiven Klasse
beträgt 100 Werteinheiten, jene der sterilen Klasse 60
Werteinheiten.
2
5
1
4
A= [
x[ ]
=
100
60
1
2
1
2
]
Inputs
Ax
+ Konsum
+
c
= Bruttoutput
= x
c = x - Ax
28
2
5
1
4
Ax A=[
.
[ ] [ ] =[
2
5
1
4
1
2
1
2
2
5
1
4
100
60
1
2
1
2
Physiokratie
x
[
]
]
=
100
+
100
+
100
60
Ax
] =[ ]
1
2
1
2
60
70
60
55
c = x - Ax
[ ]-[ ]=[ ]= c
100
70
30
60
55
5
Es können am Ende der Periode 30 Werteinheiten des landwirtschaftlichen Gutes
und 5 Werteinheiten des Manufakturgutes konsumiert werden.
29
Physiokratie
Beispiel
Ein Konsum von landwirtschaftlichen
Produkten im Wert von 30 Geldeinheiten
und Manufakturprodukten im Wert von 5
Geldeinheiten wird angestrebt. Wie hoch
muss die Bruttoproduktion sein, um dieses
Konsumlevel zu erreichen?
20 20
-1
7 7
Leontief-Inverse ist gegeben mit
10 24
7 7
•
[ ]
(I-A) =
30
Produktive
Klasse
Sterile
Klasse
Produktive
Sterile
Klasse
Klasse
Physiokratie
Grundbesitzen
de Klasse
30
5
Grundbesitzende
Summe
Klasse
Bruttoprodukt
Bruttoprodukt
Summe
31
Leontief-Inverse
c = x - Ax
c = (I - A)x
(I-A)-1c
= (I-A)-1(I-A)x
(I-A)-1c
=
-1
(I-A) c
Ix
=x
Physiokratie
Einheitsmatrix
[ ]
I=
1
0
0
1
... da Matrixdivision nicht möglich ist
32
Physiokratie
ad Beispiel
(I-A)-1c = x
[ ]
20
7
10
7
20
7
24
7
.[
30
5
] =[
20 30
7
10 30
7
+
+
20
7
24
7
]=[ ]
5
5
100
60
Der Bruttooutput des landwirtschaftlichen Gutes muss 100, jener des
Manufakturgutes 60 Geldeinheiten betragen.
33
Physiokratie
Beispiel
•
Welche der folgenden Produktionsmatrizen ist in
der Lage langfristig einen Überschuss zu
produzieren?
[ ]
[ ]
4
5
1
4
2
5
1
4
1
8
1
3
1
2
1
2
Ja
Nein
Ja
Nein
X
X
34
Physiokratie
Beispiel
•
Ist die Produktionsmatrix in der Lage
langfristig
einen
Überschuss
zu
erwirtschaften?
[ ]
0,2
0,5
0,2
0,1
0,7
0,2
0,5
0,1
0,1
Ja
Nein
X
35
Physiokratie
Beispiel
•
Angenommen, es kommt zu technischem Fortschritt, so
dass mit der gleichen Menge an Inputs der Bruttooutput
um 100% gesteigert werden kann. Wie sieht die neue
Matrix aus?
[ ] [ ]
A=
0,2
0,4
0,2
0,2
0,3
0,2
0,5
0,1
0,2
Aneu=
0,1
0,2
0,1
0,1
0,15
0,1
0,25
0,05
0,1
36
Klassik
Außenhandel
•
Absolute Kostenvorteile

Adam Smith
2 Länder/Individuen etc ... (A u. B)
2 Güter (1 u. 2)
Kosten sind in Arbeitsstunden gegeben
h1A>h1B
h2A>h2B
B hat in diesem Fall einen absoluten Kostenvorteil bei beiden Gütern!
37
Außenhandel
•
Annahmen der klassischen
Außenhandelstheorie



Keine Transportkosten
Konstante Grenzerträge
Reine Arbeitswertlehre



Arbeit ist homogen
Lohnsatz ist homogen
Wert eines Gutes setzt sich zusammen aus
sämtlicher Arbeit, die hineinfließt
Klassik
38
Klassik
Außenhandel
•
Absolute Kostenvorteile
Arbeitsstunden je Einheit
Schuhe
4h
2,5 h
Jacken
6h
1,5 h
39
Klassik
Außenhandel
•
Komparative Kostenvorteile


David Ricardo
Ein komparativer Kostenvorteil besteht
dann, wenn ein Land fähig ist, ein Gut zu
geringeren Opportunitätskosten als die
Konkurrenz zu produzieren

Opportunitätskosten: Entgangener Gewinn
aus alternativer Verwendung der Ressourcen
40
Klassik
Außenhandel
•
☺
Opportunitätskosten
„Karl“
Poker spielen
∅ Verdienst: 10€/h
Tutorium besuchen
Opportunitätskosten von 10€/h
41
Klassik
Außenhandel
•
Komparative Kostenvorteile
Arbeitsstunden je Einheit
Schuhe
4h
Opportunitätskosten
Opportunitätskosten
0,67 Jacken
1,67 Jacken
6h
Jacken
2,5 h
Opportunitätskosten
1,5 Schuhe
1,5 h
Opportunitätskosten
0,6 Schuhe
42
Klassik
Außenhandel
•
Internationales Preisverhältnis

Liegt zwischen den nationalen Preisverhältnissen
Arbeitsstunden je Einheit
4h
Schuhe
Opportunitätskosten
0,67 Jacken
6h
Jacken
Opportunitätskosten
1,5 Schuhe
2,5 h
Opportunitätskosten
1,67 Jacken
1,5 h
Opportunitätskosten
0,6 Schuhe
Ein Paar Schuhe kostet zwischen 0,67 Jacken und 1,67 Jacken.
Ein Jacke kostet zwischen 0,6 Schuhe und 1,5 Paar Schuhe.
43
Klassik
Außenhandel
• Produktionsfunktion
Schuhe in Tausend
Österreich produziert Schuhe
1Paar Schuhe = 4h Arbeit
25
Insgesamt 100.000 h Arbeit
verfügbar
Maximale Schuhproduktion:
100.000
4
100
= 25.000
Arbeitsstunden in Tausend
44
Klassik
Außenhandel
•
Transformationskurve
Schuhe
Zur Erinnerung:
Opportunitätskosten Jacke = 1,5 Schuhe
25
Mögliche Jackenproduktion:
25
1,5
16,67
Jacken
= 16,67
45
Klassik
Schuhe
Schuhe
25
25
Angenommen China kann maximal 25
Jacken produzieren
Mögliche Schuhproduktion:
15
25
1,67
16,67
16,67
Jacken
25
= 15
Jacken
46
Schuhe
Klassik
25
15
β
α
16,67
xs
xj
xs
xj
=
=
Pj
Ps
Pj
Ps
= tan β =
= tan α=
25
16,67
15
25
Jacken
2546
1,5 dh. Eine Jacke kostet 1,5 Schuhe
0,6
dh. Eine Jacke kostet 0,6 Schuhe
47
Klassik
Außenhandel
•
•
•
Österreich wäre bereit für eine Jacke bis
zu 1,5 Schuhe zu bezahlen.
China wäre bereit eine Jacke für 0,6
Schuhe zu liefern.
Das internationale Preisverhältnis liegt also
irgendwo zwischen.
1 Jacke gegen 0,6 Schuhe
und
1 Jacke gegen 1,5 Schuhe
48
Klassik
Beispiel
•
Schuhe
Gegeben sind: Transformationskurve
Oberösterreich (rot) und Steiermark
(schwarz). Auf welches Gut wird sich
Oberösterreich spezialisieren?
Jacken
Jacken
49
Klassik
Beispiel
 Sind
Schuhe
in folgender Situation komparative
Kostenvorteile vorhanden?
Ja
Nein
X
Jacken
50
Klassik
Beispiel
Gegeben ist die Transformationskurve des Inlands.
 Wie lautet das Preisverhältnis P(Jacke)/P(Schuhe)?
 Das internationale Preisverhältnis von Jacke zu
Schuhe sei P(Jacke)/P(Schuhe)=1,5. Auf welches
Jacken
Gut würde sich Inland spezialisieren?
•
500
a) P(Jacke)/P(Schuhe)=1/2
b) Jacken
250
Schuhe
51
Klassik
Beispiel
•
Inland stehen 500 Arbeitsstunden zur Verfügung. Die
Herstellung einer Jacke erfordert 2 Stunden, für ein Paar
Schuhe benötigt man1,6 Arbeitsstunden. Wie sieht die
Transformationskurve von Inland im Autarkiezustand aus?
Schuhe
312,5
250
Jacken
52
Neoklassik
Nutzentheorie
•
Nutzen „U“




Maß für das Zufriedenheitslevel
Nutzen ist ein theoretisches, abstraktes
Konstrukt
Jedem Gut, Güterbündel, Dienstleistungen,
etc. wird ein bestimmtes Nutzenniveau
zugewiesen.
Anhand des Nutzens wird die
Konsumentscheidung getroffen.
53
Neoklassik
Nutzentheorie
•
Nutzenfunktion: ordnet jeder Menge eines
Gutes ein Nutzenniveau zu
U
Je mehr, desto besser.
Die Funktion ist stetig,
da auch Teilmengen
konsumiert werden
können.
3x
2x
x
Gut
54
Neoklassik
Nutzentheorie
•
1. Gossen‘sches Gesetz
U(x)
MU(x)
x
x
55
Neoklassik
Nutzentheorie
•
1. Gossen‘sches Gesetz

Positiver, aber sinkender Grenznutzen
Mathematisch
1. Ableitung
2. Ableitung
56
Neoklassik
Nutzentheorie
•
Konsumentscheidung
1,0 €
6€
0,5 €
57
Neoklassik
Nutzentheorie
•
Konsumentscheidung
U(x)
UB = 4 ln(xB+1)
pB = 1
UA = ln(xA+1)
pA = 0,5
x
58
Nutzentheorie
•
Grenznutzen bestimmen…
Neoklassik
59
Neoklassik
Nutzentheorie
•
Normalisieren/Grenznutzen
je Euro bestimmen
xA
MU/€A
xB
MU/€B
1
1
1
2
2
0,66
2
1,33
3
0,5
3
1
4
0,4
4
0,8
5
0,33
5
0,66
6
0,28
6
0,56
60
Neoklassik
Nutzentheorie
•
2. Gossen‘sches Gesetz

Im Nutzenoptimum stimmen die
Grenznutzen/Preis Verhältnisse aller Güter
überein.
2
61
Nutzentheorie
•
Umformen…
•
Nebenbedingung
mit pA=0,5 pB=1
Neoklassik
62
Neoklassik
Nutzentheorie
•
Ergebnis…
U(x)
xA = 2
xB = 5
•
Gesamtnutzen
U = UA+UB
U = ln(xA+1) + 4 ln(xB+1)
U≅8,3
x
63
Neoklassik
Nutzentheorie
•
Indifferenzkurve
UA(xA)+UB(xB) = U
12
Preisverhältnis
2
1
0,5
=
1
U2>U1
U1 = 8,3
2
Steigung = -2
5
6
Budgetbeschränkung
64
Neoklassik
Nutzentheorie
•
Indifferenzkurve

Stellt sämtliche Warenkörbe dar, die einer
Person das gleiche Nutzenniveau bieten.
Gut B
U2>U1
U1
Gut A
65
Neoklassik
Beispiel
•
Erfüllen folgende Gleichungen das 1. Gossen‘sche
Gesetz?
U(x) = ln x
Ja
Nein
Ja
Nein
Ja
Nein
Ja
Nein
X
U(x) = x ln x
U(x) = x0,9
U(x) = x3
X
X
X
66
Neoklassik
Beispiel
•
Handelt es sich hierbei um gültige
Indifferenzkurven?
Ja
Nein
X
67
Beispiel
Michaels Nutzenfunktion für Äpfel hat die Form
Ein Apfel kostet 1€, eine Birne 2€.
Im Optimum konsumiert Michael 16 Äpfel.
Wieviel Birnen wird er konsumieren?
Anzahl Birnen
Grenznutzen Birne
1
25
2
19
3
14
4
8
5
4
6
2
7
1
68
Beispiel
Eva stehen 24 Euro zur Verfügung.
Sie hat die Möglichkeit diese auf Bier (2€) und Gulasch (4€) aufzuteilen.
Ihre separierbare Nutzenfunktion sieht folgendermaßen aus.
Eva möchte ihren Nutzen maximieren. Wieviel Gulasch wird
sie essen?
69
Beispiel
Das 2. Gossen‘sche Gesetz gilt und das Verhältnis der Grenznutzen
Gulasch zu Bier beträgt 4.
Wie sieht das Preisverhältnis Gulasch zu Bier aus?
MU(Bier)
P(Bier)
1
P(Bier)
!
=
MU(Gulasch)
P(Gulasch)
!
=
4
P(Gulasch)
70
Neoklassik
Beispiel
•
Anna konsumiert Kaffee und Kuchen. Der Preis eines
Kaffees beträgt 2€, der Preis eines Kuchens 4€.
Anna konsumiert 3 Kaffee und 2 Kuchen und befindet
sich damit (mit ihrem verfügbaren Budget) im
Nutzenoptimum. Der Grenznutzen beim Konsum von 3
Kaffee beträgt 8. Wie hoch ist jener beim Konsum von 2
Kuchen?
 16
71
Neoklassik
Edgeworth-Box
•
Analyse des Tausches von 2 Gütern
2 Personen
2 Güter
A und B
Gut 1 und Gut 2
Anfangsausstattung
(
Konsumbündel
) (
)
72
Neoklassik
Edgeworth-Box
•
Beide Personen haben unterschiedliche Präferenzen in
Bezug auf die Güter, die mit Hilfe von Indifferenzkurven
dargestellt werden
A
B
73
Neoklassik
Anfangsausstattung
Person B
7
+
Person A
Ѡ=(10,10)
3
ѠA=(3,5)
Paretoverbesserung
→
ѠB=(7,5)
74
B
Paretoeffizient
+
D
+
Keine weitere
Paretoverbesserung mehr
möglich.
F
+
G
+E
A
75
Neoklassik
1. Theorem der
Wohlfahrtsökonomik
•
Jedes Wettbewerbsgleichgewicht ist
paretoeffizient. Individuelle
Nutzenmaximierung führt bei vollständiger
Konkurrenz zu einem paretooptimalen
Ergebnis.
76
Neoklassik
Kontraktkurve
UA=max
UA=0
77
Neoklassik
Nutzenmöglichkeitsraum
Paretoeffiziente
Allokationen
90
+ E
76
D(40/40)
N
40
M
+
+
D
+
40
E(40/76)
F(76/40)
+ F
76
90
78
Neoklassik
Preisverhältnis
Px
-4
- dY =
== 1,33
dX
Py
3
A
Nettonachfrage
nach Gut 1=3
Nettonachfrage
nach Gut 2=-4
B
9
-4
D
d.h Person A bezahlt für 1 Einheit
von „Gut 1“ 1,33 Einheiten „Gut 2“
+
dY
5
E
+
Nettonachfrage
nach Gut 1=-3
Nettonachfrage
nach Gut 2=4
1
+3
dX
4
79
Neoklassik
Beispiel
Ja
Die Nutzenmöglichkeitskurve ist die Menge aller
Gleichgewichtsallokationen, die das Kriterium der
Paretoeffizienz erfüllen.
X
Ja
Das Ergebnis von freiwilligen Tauschaktionen führt
in der Edgeworth-Box zu einer paretooptimalen
Allokation.
Nein
X
Ja
Jeder paretoeffiziente Punkt in der Edgeworth-Box
kann durch Umverteilung der Anfangsausstattung
erreicht werden.
Nein
X
Nein
D
Beispiel
F
Z
90 + E
76
6
N
N
+
Z
40
D
+
D
E
+
Paretoeffiziente
Punkte?
+F
F, Z, N ,E
40
76
90
81
Wer wird bessergestellt?
Person A
D
+
+
E
82
Wer wird bessergestellt?
D
Beide bleiben gleich
+
+
E
83
Wer wird bessergestellt?
Beide
D
+
+E
84
Wer wird bessergestellt?
Wenn getauscht werden würde, dann
B.
Allerdings stimmt A dem Tausch nicht
zu
D
+
+
E
Z
F
Beispiel
N
90
76
6
x
x
x
N
xZ
xF
40
x
40
76
90
86
Neoklassik
Beispiel
Wie muss das Preisverhältnis PSchuhe/PJacken aussehen, damit von
A nach B getauscht wird?
PV=3
87
Alles Gute für die Klausur!

Download Report