Kapitel 1.1
Statistische Versuchsplanung
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Statistische Versuchsplanung
Theorie und Praxis mit Tabellenkalkulation
V1.3
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Kapitel 1.1
Statistische Versuchsplanung
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Statistische Versuchsplanung
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Vorwort
Dieser Lehrgang vermittelt solides Hintergrundwissen zu statistischer Versuchsplanung, und richtet
sich besonders an den Praktiker.
Alles theoretisch Abgehandelte, sowie alle 10 Versuchsplanungsbeispiele, werden Schritt für
Schritt mit konkreten Zahlenwerten durchgerechnet.
Methodik und Rechengang orientieren sich an den Möglichkeiten von TabellenkalkulationsProgrammen wie z.B. MS Excel, die heute jedermann zur Verfügung stehen.
Alle in diesem Lehrgang dargestellten Berechnungen stehen in einer separaten Exceldatei zur
Verfügung. Alle Versuchsplanungsbeispiele können somit als Vorlage für eigene Studien und
Versuche verwendet werden.
Die konsequente Anlehnung an die Gegebenheiten von Tabellenkalkulationsprogrammen soll dem
Anwender das „Spielen mit Zahlen“ ermöglichen. Dadurch bekommt er ein praktisches Gefühl für
das bei vorgegebenen Rahmenbedingungen Machbare.
Dieser Lehrgang verheimlicht nicht die realen Gegebenheiten in der statistischen Versuchspraxis.
Genauso wie Prozesse selten fähig, und Weibullplots fast nie signifikant sind, gibt es in der
Statistischen Versuchsplanung nur selten Situationen, wo man Wechselwirkungen (siehe Kapitel
4) tatsächlich vernachlässigen könnte.
Gerade deshalb sind die Beispiele so aufgebaut, dass „schöne“ Ergebnisse kaum vorkommen.
Zusammen mit noch weiteren eingebauten Tücken bilden sie daher die praktisch vorzufindende
Realität gut ab, die freilich auch gescheiterte Versuche beinhaltet.
Das bedeutet allerdings nicht, dass Statistische Versuchsplanung an sich oft scheitert, sondern
vielmehr, dass die betreffenden Anwender mangels methodischer Kenntnisse die Situation falsch
einschätzen. Meistens sind es unerkannte Wechselwirkungen, die aus nichtlinearen
Zusammenhängen zwischen Variablen resultieren.
Dieser Lehrgang vermittelt alle notwendigen Kenntnisse, damit der angehende Versuchsplaner vor
derartigen Enttäuschungen bewahrt wird. Alle Berechnungen sind sehr ausführlich dargestellt. Es
kommen keine nur in bestimmten Fällen funktionierenden Tricks vor.
Insbesondere die Taguchi Methodik (Kapitel 17) kann durch Verzicht auf statistisches Fundament
wohl ziemlich schnell beigebracht werden, doch gerade wegen der fast immer gegenwärtigen
Wechselwirkungen erfordert ausgerechnet sie besondere Erfahrung in Statistischer
Versuchsplanung.
Ohne ausreichende Kenntnisse in der „klassischen“ Versuchsplanung, und dazu gehört unbedingt
ein solides Fundament in allgemeiner Statistik, ist die Anwendung der Taguchi Methodik in der
Regel zum Scheitern verurteilt. Daher ist Anfängern grundsätzlich zu empfehlen, mit „klassischer“
Versuchsplanung zu beginnen.
Abgesehen davon, dass sich keine klare Grenze zwischen „klassischer“ Versuchsplanung und
Taguchi Methodik ziehen lässt, sollte letztere als ein Spezialwerkzeug verstanden werden, das nur
für ganz bestimmte Zwecke einsetzbar ist.
Warum?
Die Natur kümmert sich nicht darum, ob man Wechselwirkungen berücksichtigen will; es kommt
allein darauf an, ob sie objektiv vorhanden sind, und ausschliesslich danach hat sich valide
Versuchsplanung zu richten.
Die Taguchi Versuchspläne, wenn man sie vollständig verwendet, setzen die Nichtexistenz von
Wechselwirkungen, also lineares und additives Verhalten der Faktoren voraus.
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Statistische Versuchsplanung
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Doch gerade dann braucht man überhaupt keine Statistische Versuchsplanung, weil man nämlich
mit der einfachen Methode „immer nur einen Faktor ändern“ genauso schnell zum Ziel kommt.
Umgekehrt ist die Taguchi Methodik immer dann ungeeignet, wenn mit vielen Wechselwirkungen
zu rechnen ist, oder wenn man die Wechselwirkungen schlecht einschätzen kann; beides ist der
praktische Regelfall.
Was für die Taguchi Methodik bleibt, ist eine Nische, in der tatsächlich nur wenige ausgewählte
Wechselwirkungen vorkommen, die obendrein noch gut einschätzbar sein müssen.
Damit ist die Anwendung der Taguchi Methodik faktisch beschränkt auf Six Sigma Projekte, also
auf die weitere Verbesserung bereits gut funktionierender Prozesse.
Änderungsliste
Datum, Version
06.01.2016, V1.0
30.05.2016, V1.1
06.12.2016, V1.2
28.02.2017, V1.3
Änderungsgrund
Erstausgabe
Vollständige Überarbeitung.
- Kapitel 23, Computergestützte Verfahren, hinzu.
Vollständige Überarbeitung.
- Kapitel 22.9, Alpha-Anpassung nach Bonferroni hinzu.
- Stichwortverzeichnis hinzu.
- Viele Textpassagen ausführlicher formuliert, dadurch insgesamt ca. 25
Seiten mehr.
- Diverse formale Korrekturen, insbesondere in Ausdrücken der Art
„t14;0,95“.
-Korrektur von in diversen Tabellen falsch abgebildeten und zu grob
gerundeten Zahlenwerten.
Vollständige Überarbeitung.
- Verbesserung zahlreicher Formulierungen und der inhaltlichen
Durchgängigkeit.
- Abschnitt mit Urheberrecht und Haftungsausschluss hinzugefügt.
- Mehrere Fehler in Tabelle 39 korrigiert.
- Kapitel 16.3 und 16.4: Mehrere Formelfehler in Tabelle 58 und Tabelle 60
berichtigt. Entsprechende Stellen in der Exceldatei berichtigt.
Kapitel 19.2.3 und 19.3.3: Fehler in der Berechnung einiger Varianzen
korrigiert. Entsprechende Stellen in der Exceldatei berichtigt.
- Kapitel 21.3.2: Mehrere falsche Schlussfolgerungen berichtigt.
- Kapitel 22.6: Formelfehler, Werte in Tabelle 91, und Fehler in den Excel
Formeln berichtigt.
Anmerkung:
Der Verfasser verwendet kein ß.
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Kurzbeschreibung der Rechenbeispiele
Beispiel_1
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Beispiel_2
Seite 128
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Beispiel_3
Seite 140
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Beispiel_4
Seite 151
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Beispiel_5
Seite 168
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Beispiel_6
Seite 188
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23 vollfaktorieller Versuchsplan mit Zentralpunkt.
Bestimmung der Anzahl notwendiger Messungen, um einen vermuteten
Effekt mit definierter Sicherheit nachzuweisen.
Im Zentralpunkt wird 4x, und an den Eckpunkten jeweils 2x gemessen.
Die Effekte werden zunächst visualisiert, dann mit der Methode der linearen
Kontraste dargestellt.
Alle Effekte und Wechselwirkungen, sowie die den Daten eventuell
innewohnende Nichtlinearität, werden mit dem t-Test auf Signifikanz geprüft.
Effekte und Wechselwirkungen werden zusätzlich mittels ANOVA-Tabelle
und F-Test auf Signifikanz geprüft.
Schliesslich wird aus den gewonnenen Daten ein Vorhersagemodell
aufgestellt, das jedoch nicht weiter statistisch getestet wird.
25-1 teilfaktorieller Versuchsplan.
Zunächst wird ein 25 vollfaktorieller Plan auf 25-1 reduziert ,und die
Konsequenzen aufgrund der dadurch entstehenden Vermengungen
aufgezeigt.
An 4 Stellen wird 2x gemessen, an allen anderen Stellen nur 1x.
Alle Effekte und Wechselwirkungen werden mit dem t-Test auf Signifikanz
geprüft.
32 teilfaktorieller Versuchsplan.
An allen Stellen wird nur 1x gemessen.
Einführung in die Kleinste Quadrate Methode, sowie in die dafür nötige
Matrizenrechnung.
Aufstellung eines quadratischen Vorhersagemodells, einer sogenannten
Response Surface.
Quantitative Überprüfung des Modells.
33 teilfaktorieller Versuchsplan.
An allen Stellen wird nur 1x gemessen.
Zunächst Ausprobieren eines nicht funktionierenden Versuchsplanes.
Die inverse Matrix als Indikator für a) funktionierende, und b) gute
Versuchspläne.
Entwicklung eines funktionierenden, aber schlechten Versuchsplanes
anhand der inversen Matrix.
Aufstellung eines quadratischen Vorhersagemodells, einer sogenannten
Response Surface mit Hilfe der Kleinsten Quadrate Methode
(Matrizenrechnung).
Quantitative Überprüfung des Modells.
33 Box-Behnken Versuchsplan.
Im Zentralpunkt wird 4x, und an allen anderen Stellen jeweils 1x gemessen.
Aufstellung eines quadratischen Vorhersagemodells, einer sogenannten
Response Surface mit Hilfe der Kleinsten Quadrate Methode
(Matrizenrechnung).
Quantitative Überprüfung des Modells.
Alle Effekte und Wechselwirkungen, sowie die den Daten eventuell
innewohnende Nichtlinearität, werden mit dem t-Test auf Signifikanz geprüft.
33 Sternpunkt Versuchsplan.
Im Zentralpunkt und an allen anderen Stellen wird jeweils 2x gemessen.
Aufstellung eines quadratischen Vorhersagemodells, einer sogenannten
Response Surface, mit Hilfe der Kleinsten Quadrate Methode
(Matrizenrechnung).
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Beispiel_8a
Seite 228
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Beispiel_8b
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Beispiel_8c
Seite 239
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Beispiel_9
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Statistische Versuchsplanung
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Quantitative Überprüfung des Modells.
Alle Effekte und Wechselwirkungen, sowie die den Daten eventuell
innewohnende Nichtlinearität, werden mit dem t-Test auf Signifikanz geprüft.
Zusammenhängende Strategie aus 2 Versuchsplänen.
Bestimmung der Anzahl notwendiger Messungen, um einen vermuteten
Effekt mit definierter Sicherheit nachzuweisen.
Erster Versuchsplan: 22 vollfaktoriell mit Zentralpunkt.
Im Zentralpunkt wird 6x, und an den Eckpunkten jeweils 2x gemessen.
Die Effekte werden mit der Methode der Linearen Kontraste dargestellt.
Alle Effekte und Wechselwirkungen, sowie die den Daten eventuell
innewohnende Nichtlinearität, werden mit dem t-Test auf Signifikanz geprüft.
Aufstellen eines linearen Vorhersagemodells. Dieses Modell dient als
Grundlage zur Entwicklung des zweiten Versuchsplans.
Zweiter Versuchsplan: 32 teilfaktoriell mit Zentralpunkt.
Im Zentralpunkt wird 2x, und an allen anderen Stellen jeweils 1x gemessen.
Zur Erhöhung der Varianzinformation überschneiden sich die beiden
Versuchspläne in einem Messpunkt.
Aufstellung eines quadratischen Vorhersagemodells, einer sogenannten
Response Surface, mit Hilfe der Kleinsten Quadrate Methode
(Matrizenrechnung).
Quantitative Überprüfung und Visualisierung des quadratischen Modells.
Ausführliche Beschreibung des Zusammenhangs zwischen gepoolter
Varianz, Varianz-Kovarianz Matrix, und den Modellkoeffizienten.
Die Koeffizienten des quadratischen Modells werden mit dem t-Test auf
Signifikanz geprüft.
Am Schluss wird das lineare Modell des ersten Versuchsplans (anstelle mit
der Methode der Linearen Kontraste) mit der Kleinsten Quadrate Methode
aufgestellt, und die Modellparameter auf Signifikanz geprüft.
Randomisierter Blockversuch.
Aufstellung eines speziellen Modells, das von vorne herein nur bestimmte
Effekte berücksichtigt.
Das Prinzip der Zerlegung in innere und äussere Quadratesummen, sowie
der Umgang mit Freiheitsgraden, werden ausführlich unter verschiedenen
Blickwinkeln dargestellt.
Auswertung verschiedener Effekte mit dem F-Test.
Auswertung verschiedener Effekte mit dem t-Test.
Lateinisches Quadrat.
Aufstellung eines speziellen Modells, das von vorne herein nur bestimmte
Effekte berücksichtigt.
Das Prinzip der Zerlegung in innere und äussere Quadratesummen, sowie
der Umgang mit Freiheitsgraden, werden ausführlich unter verschiedenen
Blickwinkeln dargestellt.
Split Plot Versuchsplan.
Aufstellung eines speziellen Modells, das von vorne herein nur bestimmte
Effekte berücksichtigt.
Das Prinzip der Zerlegung in innere und äussere Quadratesummen, sowie
der Umgang mit Freiheitsgraden, werden ausführlich unter verschiedenen
Blickwinkeln dargestellt.
Auswertung verschiedener Effekte mit ANOVA Tabellen (F-Tests).
Taguchi Versuch
23 Designmatrix + Taguchi L4 Rauschmatrix.
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Beispiel_10
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Statistische Versuchsplanung
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Festlegung einer Verlustfunktion.
Im Zentralpunkt und an allen anderen Stellen wird jeweils 4x gemessen.
Die Lageeffekte werden zunächst mit der Methode der Linearen Kontraste
dargestellt, und dann visualisiert.
Die Dispersionseffekte werden mit der Methode der linearen Kontraste
dargestellt.
Anwendung des Welch-Satterthwaite Verfahrens bei inhomogenen
Varianzen.
Alle Effekte und Wechselwirkungen, sowie die den Daten eventuell
innewohnende Nichtlinearität, werden auf Signifikanz geprüft.
Taguchi Versuch mit Dummyfaktorstufen.
Taguchi L16 Designmatrix + Taguchi L16 Rauschmatrix.
Graphische Darstellung der Lage- und Dispersionseffekte.
Auswertung verschiedener Lage- und Dispersionseffekte mit ANOVA
Tabellen und F-Tests in einer allgemeineren Weise, die auch für mehr als 2stufige Faktoren anwendbar ist.
Nach enttäuschender Versuchsbilanz neue Auswertung von nur einem Teil
der Daten.
Graphische Darstellung der Lage- und Dispersionseffekte
Auswertung verschiedener Lage- und Dispersionseffekte mit ANOVA
Tabellen und F-Tests in einer allgemeineren Weise, die auch für mehr als 2stufige Faktoren anwendbar ist.
Überprüfung der neuen Auswertung auf Signifikanz mit dem t-Test.
Inhaltsverzeichnis, nur Grosskapitel
1 Einleitung............................................................................................................................... 19
2 Allgemeine Grundlagen ......................................................................................................... 25
3 Varianzanalyse, ANOVA Grundprinzip................................................................................... 77
4 Visualisierung von Haupteffekten und Wechselwirkungen ..................................................... 86
5 23 Vollfaktorieller Plan mit Zentralpunkt, Beispiel_1 ............................................................... 99
6 2k Teilfaktorielle Versuchspläne, Theorie ............................................................................. 115
7 25-1 Teilfaktorieller Plan, Beispiel_2 ...................................................................................... 128
8 3k Teilfaktorielle Versuchspläne, Response Surface, Theorie .............................................. 136
9 32 Teilfaktorieller Plan, Response Surface, Regressionsmodell und Kleinste Quadrate
Methode, Theorie und Beispiel_3................................................................................................ 140
10
33 Teilfaktorieller Plan, Response Surface, Beispiel_4 ..................................................... 151
11
Box-Behnken Versuchspläne, Theorie ............................................................................. 160
12
33 Box-Behnken Versuchsplan, Beispiel_5....................................................................... 168
13
Sternpunkt Versuchspläne, Theorie.................................................................................. 184
14
33 Sternpunkt Versuchsplan, Beispiel_6 ........................................................................... 188
15
Zweistufige Versuchsplanungs-Strategie, Beispiel_7 ....................................................... 203
16
Blockbildung, Übungen mit Freiheitsgraden, Beispiele 8a, 8b, 8c..................................... 226
17
Statistische Versuchsplanung nach Taguchi .................................................................... 253
18
Taguchi: Beispiel_9 .......................................................................................................... 263
19
Taguchi: Beispiel_10, Dummyvariablen............................................................................ 274
20
Signal-Rauschverhältnisse ............................................................................................... 292
21
Orthogonale Felder .......................................................................................................... 296
22
Verschiedenes ................................................................................................................. 315
23
Computergestützte Verfahren........................................................................................... 334
24
Zusammenfassung........................................................................................................... 342
25
Stichwortverzeichnis......................................................................................................... 347
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Kapitel 1.1
Statistische Versuchsplanung
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Inhaltsverzeichnis, alle Unterkapitel
1
Einleitung............................................................................................................................... 19
1.1
Grundkonzepte ............................................................................................................... 19
1.2
Statistische Methoden..................................................................................................... 19
1.3
Verteilungsfunktionen ..................................................................................................... 20
1.4
Varianz ........................................................................................................................... 21
1.5
Orthogonale Felder, Versuchspläne................................................................................ 22
1.6
Freiheitsgrade................................................................................................................. 22
1.7
Signifikanz versus Relevanz ........................................................................................... 23
1.8
Matrizenrechnung ........................................................................................................... 24
2 Allgemeine Grundlagen ......................................................................................................... 25
2.1
Varianz, Standardabweichung und Freiheitsgrade.......................................................... 25
2.1.1 Freiheitsgrade............................................................................................................ 26
2.1.1.1
Beispiel: Mittelwert ............................................................................................. 26
2.1.1.2
Beispiel: Varianz ................................................................................................ 26
2.1.2 Mittelung von Varianzen, Pooling............................................................................... 29
2.1.3 Veranschaulichung der Varianz, Normalverteilung..................................................... 29
2.2
Kovarianz........................................................................................................................ 32
2.3
Zentraler Grenzwertsatz, Normalverteilung..................................................................... 34
2.3.1 Veranschaulichung .................................................................................................... 34
2.3.2 Zum Begriff Asymptotisch / Überleitung zur t-Verteilung ............................................ 36
2.4
t-Verteilung ..................................................................................................................... 37
2.4.1 Vertrauensintervall von Mittelwerten, Signifikanz ....................................................... 40
2.4.1.1
Abgrenzung Zufallsstreubereich - Vertrauensintervall ....................................... 40
2.4.1.2
Alpharisiko und Signifikanz ................................................................................ 42
2.5
Statistischer Hypothesentest: t-Test für 1 Stichprobe...................................................... 44
2.5.1.1
Szenario 1.......................................................................................................... 44
2.5.1.2
Szenario 2.......................................................................................................... 46
2.5.1.3
Szenario 3.......................................................................................................... 47
2.5.1.4
Szenario 4.......................................................................................................... 48
2.5.1.5
Szenario 5.......................................................................................................... 49
2.6
Statistischer Hypothesentest: t-Test für 2 Stichproben.................................................... 51
2.6.1 Gleiche Varianzen ..................................................................................................... 51
2.6.1.1
Szenario 1.......................................................................................................... 53
2.6.1.2
Szenario 2.......................................................................................................... 55
2.6.1.3
Szenario 3.......................................................................................................... 56
2.6.2 Ungleiche Varianzen.................................................................................................. 58
2.6.2.1
Szenario 1.......................................................................................................... 59
2.6.2.2
Szenario 2.......................................................................................................... 60
2.6.2.3
Szenario 3.......................................................................................................... 62
2.7
Statistischer Hypothesentest: F-Test auf Varianzunterschiede ....................................... 64
2.7.1.1
Szenario 1.......................................................................................................... 65
2.7.1.2
Szenario 2.......................................................................................................... 66
2.8
Fallzahlplanung............................................................................................................... 68
2.8.1 Betarisiko................................................................................................................... 68
2.8.2 Theoretische Herleitung............................................................................................. 71
2.8.3 Praxistaugliche Formel .............................................................................................. 73
2.8.4 Beispiel...................................................................................................................... 74
2.8.4.1
Bestimmung des optimalen Stichprobenumfangs............................................... 74
2.8.4.2
Abschätzung Betarisiko aus dem bisher verwendeten Beispiel .......................... 75
3 Varianzanalyse, ANOVA Grundprinzip................................................................................... 77
3.1
Abgrenzung ANOVA mit F-Test vs. t-Test. Diverse Aspekte ........................................... 77
3.2
1 Faktor auf 2 Stufen: 21 Versuchsplan........................................................................... 78
3.3
2 Faktoren auf je 2 Stufen: 22 Versuchsplan ................................................................... 81
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Kapitel 1.1
Statistische Versuchsplanung
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Visualisierung von Haupteffekten und Wechselwirkungen ..................................................... 86
4.1
3 Faktoren auf je 2 Stufen: 23 Versuchsplan ................................................................... 86
4.2
A-Haupteffekt.................................................................................................................. 87
4.3
B- und C-Haupteffekt ...................................................................................................... 89
4.4
AB Wechselwirkung ........................................................................................................ 90
4.5
AC und BC Wechselwirkung ........................................................................................... 91
4.6
A Haupteffekt + BC Wechselwirkung .............................................................................. 93
4.7
Haupteffekt A + AB Wechselwirkung............................................................................... 94
4.8
ABC Wechselwirkung ..................................................................................................... 95
4.9
Alle Effekte und Wechselwirkungen ................................................................................ 96
4.10
A Haupteffekt A + AB Wechselwirkung, keine Messwiederholung ............................. 97
5 23 Vollfaktorieller Plan mit Zentralpunkt, Beispiel_1 ............................................................... 99
5.1
Fallzahlbestimmung ...................................................................................................... 100
5.2
Visualisierung der Messwerte ....................................................................................... 102
5.3
Lineare Kontraste Methode........................................................................................... 103
5.4
Signifikanzbetrachtungen.............................................................................................. 105
5.4.1 Gepoolte Varianz..................................................................................................... 105
5.4.2 Varianz des Gesamtmittelwertes ............................................................................. 106
5.4.3 Varianz eines Effektes ............................................................................................. 106
5.4.4 Varianz einer Wechselwirkung................................................................................. 106
5.4.5 Nichtlinearität........................................................................................................... 107
5.4.5.1
Varianz des Mittelwertunterschieds.................................................................. 107
5.4.6 t-Test ....................................................................................................................... 108
5.4.6.1
Effekte und Wechselwirkungen ........................................................................ 108
5.4.6.2
Nichtlinearität, Krümmung................................................................................ 110
5.4.7 ANOVA Tabelle, F-Test ........................................................................................... 111
5.5
Vorhersagemodell......................................................................................................... 113
5.6
Zusammenfassung von Beispiel_1 ............................................................................... 114
k
6 2 Teilfaktorielle Versuchspläne, Theorie ............................................................................. 115
6.1
Motivation ..................................................................................................................... 115
6.2
23-1 Versuchsplan und Taguchi L4 ................................................................................ 115
6.3
24-1 Versuchsplan, sinnvoll reduziert ............................................................................. 119
6.4
24-1 Versuchsplan, nicht sinnvoll reduziert ..................................................................... 120
6.5
27-4 Versuchsplan / Taguchi L8 ...................................................................................... 121
6.5.1 Vermengung: Ausführliche Betrachtungen zum Taguchi L8 Feld ............................. 122
6.5.2 Zusammenfassung .................................................................................................. 125
6.6
Plackett- Burman Versuchspläne .................................................................................. 125
6.7
Screening ..................................................................................................................... 127
7 25-1 Teilfaktorieller Plan, Beispiel_2 ...................................................................................... 128
7.1
Vermengung ................................................................................................................. 129
7.2
Zahlenbeispiel............................................................................................................... 131
7.3
Signifikanz der Effekte und Wechselwirkungen............................................................. 132
7.3.1 Gepoolte Varianz..................................................................................................... 132
7.3.2 Varianz eines Effektes oder einer Wechselwirkung.................................................. 132
7.3.3 t-Test ....................................................................................................................... 133
7.3.3.1
Effekte und Wechselwirkungen: Lineare Kontraste .......................................... 133
7.4
Zusammenfassung von Beispiel_2 ............................................................................... 135
8 3k Teilfaktorielle Versuchspläne, Response Surface, Theorie .............................................. 136
8.1
Abgrenzung zu 2k Versuchsplänen, Motivation ............................................................. 136
8.2
3k Versuchspläne.......................................................................................................... 136
2
9 3 Teilfaktorieller Plan, Response Surface, Regressionsmodell und Kleinste Quadrate
Methode, Theorie und Beispiel_3................................................................................................ 140
9.1
Kleinste Quadrate Methode: Einleitung......................................................................... 141
9.2
Kleinste Quadrate Methode: Matrixrechnung Theorie ................................................... 144
9.2.1 Auflösen nach e....................................................................................................... 144
4
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Statistische Versuchsplanung
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9.2.2 Ableiten nach c ........................................................................................................ 145
9.2.3 Auflösen nach c ....................................................................................................... 146
9.3
Kleinste Quadrate Methode: Matrixrechnung Zahlenbeispiel ........................................ 146
9.3.1 XTX .......................................................................................................................... 146
9.3.2 (XTX)-1 ...................................................................................................................... 147
9.3.3 XTY .......................................................................................................................... 148
9.3.4 (XTX)-1 XTY ............................................................................................................... 149
9.3.5 Modellgleichung....................................................................................................... 149
9.3.6 Visualisierung des Modells ...................................................................................... 150
10
33 Teilfaktorieller Plan, Response Surface, Beispiel_4 ..................................................... 151
10.1
Ungeeigneter Versuchsplan..................................................................................... 151
10.1.1
XTX ...................................................................................................................... 152
10.1.2
(XTX)-1 .................................................................................................................. 152
10.2
Mittelmässig geeigneter Versuchsplan..................................................................... 155
10.2.1
XTX ...................................................................................................................... 155
10.2.2
(XTX)-1 .................................................................................................................. 156
10.2.3
XTY ...................................................................................................................... 157
10.2.4
(XTX)-1 XTY ........................................................................................................... 157
10.2.5
Modellgleichung................................................................................................... 158
10.3
Zusammenfassung von Beispiel_4 .......................................................................... 159
11
Box-Behnken Versuchspläne, Theorie ............................................................................. 160
11.1
33 Box Behnken Versuchsplan................................................................................. 160
11.2
43 Box-Behnken Versuchsplan ................................................................................ 162
11.3
Räumliche Vorstellungshilfe..................................................................................... 162
11.4
Tesserakt (Hyperwürfel)........................................................................................... 163
11.5
53 Box-Behnken Versuchsplan ................................................................................ 166
11.6
Höherdimensionale Box Behnken Versuchspläne ................................................... 167
12
33 Box-Behnken Versuchsplan, Beispiel_5....................................................................... 168
12.1
Allgemeine Berechnung........................................................................................... 168
12.1.1
XTX ...................................................................................................................... 169
12.1.2
(XTX)-1 .................................................................................................................. 170
12.1.3
XTY ...................................................................................................................... 171
12.1.4
(XTX)-1 XTY........................................................................................................... 172
3
12.2
3 BB Versuchsplan mit 4 Zentralpunkt Runs, Zahlenbeispiel.................................. 174
12.2.1
XTX ...................................................................................................................... 174
12.2.2
(XTX)-1 ................................................................................................................. 175
12.2.3
XTY ...................................................................................................................... 175
12.2.4
(XTX)-1 XTY ........................................................................................................... 176
12.2.5
Modell .................................................................................................................. 176
12.2.6
Signifikanzbetrachtungen..................................................................................... 177
12.2.6.1
Gepoolte Varianz ......................................................................................... 177
12.2.6.2
Varianz des Gesamtmittelwertes.................................................................. 177
12.2.6.3
Varianz eines Effektes oder einer Wechselwirkung ...................................... 177
12.2.6.4
Varianz des Mittelwertunterschieds: Nichtlinearität....................................... 178
12.2.7
t-Test ................................................................................................................... 179
12.2.7.1
Effekte und Wechselwirkungen .................................................................... 180
12.2.7.2
Nichtlinearität ............................................................................................... 182
12.3
Zusammenfassung von Beispiel_5 .......................................................................... 183
13
Sternpunkt Versuchspläne, Theorie.................................................................................. 184
13.1
33 Sternpunkt Versuchsplan..................................................................................... 184
13.2
34 Sternpunkt Versuchsplan..................................................................................... 185
13.3
35 und höherdimensionale Sternpunkt Versuchspläne ............................................. 186
3
14
3 Sternpunkt Versuchsplan, Beispiel_6 ........................................................................... 188
14.1
Allgemeine Berechnung........................................................................................... 188
14.1.1
XTX ...................................................................................................................... 189
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Kapitel 1.1
Statistische Versuchsplanung
Seite 11 von 350
(XTX)-1 .................................................................................................................. 190
14.1.2
14.1.3
XTY ...................................................................................................................... 191
14.1.4
(XTX)-1 XTY........................................................................................................... 192
3
14.2
3 Sternpunkt Versuchsplan mit Zentralpunkt, Zahlenbeispiel................................. 193
14.2.1
XTX ...................................................................................................................... 194
14.2.2
(XTX)-1 .................................................................................................................. 194
14.2.3
XTY ...................................................................................................................... 195
14.2.4
(XTX)-1 XTY ........................................................................................................... 195
14.2.5
Modell .................................................................................................................. 196
14.2.6
Signifikanzbetrachtungen..................................................................................... 196
14.2.6.1
Gepoolte Varianz ......................................................................................... 196
14.2.6.2
Varianz des Gesamtmittelwertes.................................................................. 197
14.2.6.3
Varianz eines Effektes oder einer Wechselwirkung ...................................... 197
14.2.6.4
Varianz des Mittelwertunterschieds: Nichtlinearität....................................... 198
14.2.7
t-Test ................................................................................................................... 199
14.2.7.1
Effekte und Wechselwirkungen .................................................................... 200
14.2.7.2
Nichtlinearität, Krümmung ............................................................................ 201
14.3
Zusammenfassung von Beispiel_6 .......................................................................... 202
15
Zweistufige Versuchsplanungs-Strategie, Beispiel_7 ....................................................... 203
15.1
Fallzahlplanung ....................................................................................................... 203
15.2
22 vollfaktorieller Versuchsplan mit Zentralpunkt ...................................................... 204
15.2.1
Berechnung einiger Varianzen............................................................................. 205
15.2.1.1
Varianz des Gesamtmittelwertes.................................................................. 205
15.2.1.2
Varianz eines Haupteffektes und einer Wechselwirkung .............................. 205
15.2.1.3
Varianz der Nichtlinearität ............................................................................ 205
15.2.2
t-Test für Effekte, Wechselwirkung und Krümmung.............................................. 206
15.2.3
Modellgleichung................................................................................................... 207
15.3
32 Teilfaktoriell mit Zentralpunkt: „Hineinzoomen“ .................................................... 209
15.3.1
XTX ...................................................................................................................... 210
15.3.2
(XTX)-1 .................................................................................................................. 211
15.3.3
XTY ...................................................................................................................... 212
15.3.4
(XTX)-1 XTY........................................................................................................... 212
15.3.5
Modellgleichung................................................................................................... 212
15.3.6
Signifikanz der Modellparameter: Varianz-Kovarianz Matrix ................................ 213
15.3.6.1
Gepoolte Varianz ......................................................................................... 213
15.3.6.2
Varianz-Kovarianz Matrix ............................................................................. 214
15.3.6.3
Signifikanz der Kovarianzen ......................................................................... 217
15.3.6.4
Wie kann man sich die Entstehung der Kovarianzen vorstellen?.................. 218
15.3.6.5
Vertrauensintervalle von Parametern bei Vorhandensein von Kovarianzen.. 218
15.3.7
Signifikanz der Modellparameter.......................................................................... 219
15.3.8
Test des Modells.................................................................................................. 221
15.3.9
Visualisierung des Modells................................................................................... 221
15.3.10 Nochmal Lineares Modell, nun mit Matrizenrechnung.......................................... 222
15.3.10.1
XTX............................................................................................................... 222
15.3.10.2
(XTX)-1 .......................................................................................................... 223
15.3.10.3
XTY............................................................................................................... 223
15.3.10.4
(XTX)-1 XTY ................................................................................................... 223
15.3.10.5
Varianz-Kovarianz Matrix ............................................................................. 224
15.3.10.6
Signifikanz der Modellparameter .................................................................. 224
15.4
Zusammenfassung Beispiel 7 .................................................................................. 225
16
Blockbildung, Übungen mit Freiheitsgraden, Beispiele 8a, 8b, 8c..................................... 226
16.1
Abgrenzung zu Randomisierung.............................................................................. 226
16.2
Blockbildung ............................................................................................................ 227
16.3
1 Blockfaktor, Randomisiertes Blockmodell, Beispiel_8a ......................................... 228
16.3.1
Beispiel ................................................................................................................ 228
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Kapitel 1.1
Statistische Versuchsplanung
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Quadratesummenzerlegung und Freiheitsgrade........................................... 230
16.3.1.1
16.3.2
Signifikanzbetrachtungen..................................................................................... 231
16.3.2.1
a) Unterscheiden sich die Dünger signifikant?........................................... 231
16.3.2.2
b1) Unterscheiden sich Dünger 1 und Dünger 2 signifikant? F-Test ......... 233
16.3.2.3
b2) Unterscheiden sich Dünger 1 und Dünger 2 signifikant? t-Test .......... 233
16.4
2 und mehr Blockfaktoren: Lateinische Quadrate, Beispiel_8b ................................ 235
16.4.1
Beispiel ................................................................................................................ 235
16.4.1.1
Quadratesummenzerlegung und Freiheitsgrade........................................... 237
16.4.1.2
Signifikanz.................................................................................................... 238
16.5
Split Plot Versuchsplan, Beispiel_8c ........................................................................ 239
16.5.1
Beispiel ................................................................................................................ 240
16.5.2
Übung: Quadratesummenzerlegung und Freiheitsgrade...................................... 242
16.5.3
Auswertung.......................................................................................................... 247
16.5.3.1
ANOVA Tabelle............................................................................................ 248
16.5.3.2
Einzeltests, Paarvergleiche .......................................................................... 248
16.5.4
Zusammenfassung .............................................................................................. 252
17
Statistische Versuchsplanung nach Taguchi .................................................................... 253
17.1
Grundsätzliche Kritik zur Taguchi Methodik ............................................................. 253
17.2
Taguchis Qualitätsphilosophie ................................................................................. 254
17.2.1
Andere qualitätstechnische Ansätze .................................................................... 254
17.2.1.1
Alt und bewährt ............................................................................................ 254
17.2.1.2
Statistische Prozessregelung (SPC):............................................................ 255
17.2.2
Taguchis Verlustfunktion...................................................................................... 255
17.2.2.1
Beispiel für ein Optimierungsproblem Lieferant – Abnehmer ........................ 256
17.2.3
Bezug zur Versuchsplanung ................................................................................ 257
17.2.4
Taguchis Robust Design und Parameter-Design Methode................................... 258
17.2.5
Zusammenfassung .............................................................................................. 261
18
Taguchi: Beispiel_9 .......................................................................................................... 263
18.1
Lageeffekte, Lineare Kontraste ................................................................................ 265
18.2
Dispersionseffekte, lineare Kontraste....................................................................... 266
18.3
Signifikanzbetrachtungen......................................................................................... 267
18.3.1
Varianzhomogenität ............................................................................................. 267
18.3.2
Gepoolte Varianz ................................................................................................. 268
18.3.3
Varianz des Gesamtmittelwertes.......................................................................... 268
18.3.4
Varianz eines Effektes oder einer Wechselwirkung.............................................. 269
18.3.5
Varianz des Mittelwertunterschieds: Nichtlinearität .............................................. 269
18.4
t-Test ....................................................................................................................... 269
18.4.1
Effekte und Wechselwirkungen............................................................................ 270
18.4.2
Nichtlinearität, Krümmung.................................................................................... 272
18.5
Zusammenfassung von Beispiel_9 .......................................................................... 273
19
Taguchi: Beispiel_10, Dummyvariablen............................................................................ 274
19.1
Beschreibung des Experiments ............................................................................... 274
19.1.1
Designfaktoren..................................................................................................... 274
19.1.2
Rauschfaktoren.................................................................................................... 275
19.2
Stufenbelegungen.................................................................................................... 276
19.2.1
Graphische Darstellung der Effekte ..................................................................... 279
19.2.2
Signifikanz der Lageeffekte.................................................................................. 280
19.2.3
Signifikanz der Dispersionseffekte ....................................................................... 282
19.2.4
Zwischenbilanz .................................................................................................... 282
19.3
Neue Auswertung .................................................................................................... 283
19.3.1
Graphische Darstellung der Effekte ..................................................................... 285
19.3.2
Signifikanz der Lageeffekte.................................................................................. 286
19.3.3
Signifikanz der Dispersionseffekte ....................................................................... 287
19.3.4
Signifikanz der neuen Auswertung....................................................................... 288
19.4
Zusammenfassung von Beispiel_10 ........................................................................ 291
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Statistische Versuchsplanung
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Signal-Rauschverhältnisse ............................................................................................... 292
20
20.1
Taguchis Verlustfunktion.......................................................................................... 292
20.1.1
Je näher am Zielmass, desto besser ................................................................... 293
20.1.2
Je mehr desto besser .......................................................................................... 293
20.1.3
Je weniger desto besser ...................................................................................... 294
20.1.4
Andere Schreibweisen ......................................................................................... 294
20.1.4.1
Je weniger, desto besser ............................................................................. 294
20.1.4.2
Je mehr, desto besser.................................................................................. 295
21
Orthogonale Felder .......................................................................................................... 296
21.1
Taguchi Versuchspläne ........................................................................................... 296
21.2
Plackett – Burman Versuchspläne ........................................................................... 297
21.3
Umgang mit orthogonalen Feldern........................................................................... 297
21.3.1
Auswahl geeigneter orthogonaler Felder.............................................................. 298
21.3.1.1
Beispiel 1a: 23 vollfaktoriell mit Messwiederholung und Zentralpunkt (ZP) . 299
21.3.1.2
Beispiel 1b: 23 Taguchi L4 teilfaktoriell mit Messwiederholung und ZP ....... 299
21.3.1.3
Beispiel 1c: 23 Taguchi L4 teilfaktoriell mit Messwiederholung .................... 299
21.3.1.4
Beispiel 1d: 23 Taguchi L4 teilfaktoriell ohne Messwiederholung................. 299
21.3.1.5
Beispiel 2a: 24 Taguchi L8 teilfaktoriell, 1 Wechselwirkung ......................... 300
21.3.1.6
Beispiel 2b: 24 Taguchi L8 teilfaktoriell, 3 Wechselwirkungen ..................... 300
21.3.1.7
Beispiel 2c: 28 Taguchi L16 teilfaktoriell, 5 Wechselwirkungen .................... 301
21.3.1.8
Beispiel 3a: 22x41 Taguchi L8 teilfaktoriell, keine Wechselwirkungen .......... 304
21.3.1.9
Beispiel 3b: 22x41 Taguchi L8 teilfaktoriell, eine Wechselwirkung................ 305
21.3.1.10
Beispiel 3c: 45 Taguchi L16 teilfaktoriell mit Dummyfaktorstufen.................. 306
21.3.2
Wechselwirkungstabellen, ausführlich.................................................................. 310
21.3.2.1
Taguchi L8 .................................................................................................... 310
21.3.2.2
Taguchi L9 .................................................................................................... 312
21.3.2.3
Taguchi L25................................................................................................... 313
22
Verschiedenes ................................................................................................................. 315
22.1
Die Natur von Wechselwirkungen ............................................................................ 315
22.2
Kategoriale Prozessergebnisse ............................................................................... 317
22.3
Dummyfaktorstufen.................................................................................................. 318
22.4
Vertrauensintervalle................................................................................................. 319
22.4.1
Gepoolte Varianz eines 2k vollfaktoriellen Versuchsplans .................................... 321
22.4.2
Varianz des Mittelwerts eines 2k vollfaktoriellen Versuchsplans ........................... 321
22.4.3
Varianz eines Haupteffektes oder einer Wechselwirkung eines 2k vollfaktoriellen
Versuchsplans ..................................................................................................................... 322
22.4.4
Varianz der Krümmung eines 2k vollfaktoriellen Versuchsplans ........................... 322
22.5
Varianzhomogenität................................................................................................. 323
22.5.1
Welch–Satterthwaite Formel ................................................................................ 323
22.5.2
Beispiele .............................................................................................................. 324
22.6
Vertrauensintervalle für Varianzen........................................................................... 326
22.7
Schätzmethoden...................................................................................................... 329
22.7.1
Kleinste Quadrate Methode, OLS ........................................................................ 329
22.7.2
Maximum Likelihood Estimation, MLE ................................................................. 330
22.8
Korrelation ............................................................................................................... 330
22.8.1
Korrelation zwischen x und y ............................................................................... 331
22.8.2
Korrelation der x untereinander............................................................................ 331
22.8.2.1
Bedingt durch den Versuchsplan.................................................................. 331
22.8.2.2
Technisch bedingt ........................................................................................ 331
22.8.3
Korrelation der y untereinander............................................................................ 332
22.9
Alpharisiko Anpassung nach Bonferroni .................................................................. 332
23
Computergestützte Verfahren........................................................................................... 334
23.1
„ ... -optimale“ Versuchspläne: Motivation ................................................................ 334
23.1.1
Zu 1. Orthogonalität ............................................................................................. 335
23.1.2
Zu 2. Viele Versuchsläufe .................................................................................... 335
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Kapitel 1.1
Statistische Versuchsplanung
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Zu 3. Budgetvorgaben ......................................................................................... 336
23.1.3
23.1.4
Beispiel, Vorstellungshilfe .................................................................................... 336
23.2
„ ... -optimale“ Versuchspläne: Theorie .................................................................... 337
23.2.1
Klassisch ............................................................................................................. 337
23.2.2
Computerbasiert .................................................................................................. 337
23.2.2.1
T-optimal...................................................................................................... 338
23.2.2.2
A-optimal...................................................................................................... 339
23.2.2.3
G-optimal ..................................................................................................... 339
23.2.2.4
I-optimal ....................................................................................................... 340
23.2.2.5
V-optimal...................................................................................................... 340
23.2.2.6
D-optimal...................................................................................................... 340
24
Zusammenfassung........................................................................................................... 342
24.1
Kernaussagen ......................................................................................................... 342
24.1.1
Versuchsplanung vs. klassisch ............................................................................ 342
24.1.2
Der Grad des (Nicht-) Wissens & Budget............................................................. 343
24.1.3
„Taguchi“ ............................................................................................................. 344
24.1.4
Fallzahlbestimmung ............................................................................................. 344
24.1.5
Orthogonale Felder .............................................................................................. 345
24.1.6
"Block what you can, randomize what you can not" ............................................. 345
24.1.7
Felddaten versus Experiment .............................................................................. 345
24.2
Links und weiterführende Dokumente...................................................................... 346
25
Stichwortverzeichnis......................................................................................................... 347
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Abbildungsverzeichnis
Hinweis:
Manche Elemente können sowohl als Tabelle, als auch als Bild aufgefasst werden.
Im Zweifelsfall wurde als Tabelle eingeordnet.
Bild 1: Dichtefunktion der Normalverteilung................................................................................... 30
Bild 2: Verteilungsfunktion der Normalverteilung ........................................................................... 30
Bild 3: Detail von Bild 2 ................................................................................................................. 31
Bild 4: Binomialverteilung für verschiedene Anzahlen Münzwürfe................................................. 35
Bild 5: Zufallszahlen mit Gewichtungsprofil ................................................................................... 36
Bild 6: Zentraler Grenzwertsatz, Veranschaulichung..................................................................... 36
Bild 7: t-Verteilung mit 1 Freiheitsgrad .......................................................................................... 38
Bild 8: t-Verteilung mit 5 Freiheitsgraden ...................................................................................... 39
Bild 9: t-Verteilung mit 10 Freiheitsgraden..................................................................................... 39
Bild 10: t-Verteilung mit 25 Freiheitsgraden................................................................................... 40
Bild 11: Alpharisiko, Schwellwert und Prüfgrösse allgemein.......................................................... 43
Bild 12: t-Verteilung, Alpharisiko zweiseitig, Schwellwert und Prüfgrösse, Signifikant ................... 45
Bild 13: t-Verteilung, Alpharisiko zweiseitig, Schwellwert und Prüfgrösse, Nicht Signifikant .......... 47
Bild 14: t-Verteilung, Alpharisiko einseitig, Schwellwert und Prüfgrösse, Signifikant...................... 49
Bild 15: t-Verteilung, Alpharisiko einseitig, Schwellwert und Prüfgrösse, Nicht Signifikant............. 50
Bild 16: t-Verteilung, Alpharisiko zweiseitig, Schwellwert und Prüfgrösse, Nicht Signifikant .......... 54
Bild 17: t-Verteilung, Alpharisiko einseitig, Schwellwert und Prüfgrösse, Signifikant...................... 56
Bild 18: t-Verteilung, Alpharisiko einseitig, Schwellwert und Prüfgrösse, Nicht Signifikant............. 57
Bild 19: t-Verteilung, Alpharisiko zweiseitig, Schwellwert und Prüfgrösse, Nicht Signifikant .......... 60
Bild 20: t-Verteilung, Alpharisiko einseitig, Schwellwert und Prüfgrösse, Signifikant...................... 61
Bild 21: t-Verteilung, Alpharisiko einseitig, Schwellwert und Prüfgrösse, Nicht Signifikant............. 63
Bild 22: F-Verteilung, Alpharisiko, Schwellwert und Prüfgrösse, Nicht Signifikant ......................... 66
Bild 23: F-Verteilung, Alpharisiko, Schwellwert und Prüfgrösse, Signifikant .................................. 67
Bild 24: Alpharisiko, Betarisiko, Effektgrösse, Schwellenwert, H0, H1........................................... 69
Bild 25: Alpharisiko, Betarisiko, Effektgrösse, Schwellenwert, H0, H1........................................... 70
Bild 26: Alpharisiko, Betarisiko, Effektgrösse, Schwellenwert, H0, H1........................................... 70
Bild 27: Alpharisiko, Betarisiko, Effektgrösse, Schwellenwert, H0, H1........................................... 71
Bild 28: ANOVA einfaktoriell, Veranschaulichung.......................................................................... 79
Bild 29: ANOVA-Tabelle einfaktoriell............................................................................................. 80
Bild 30: ANOVA zweifaktoriell, Veranschaulichung ....................................................................... 82
Bild 31: ANOVA zweifaktoriell, Gesamte Streuung........................................................................ 82
Bild 32: ANOVA zweifaktoriell, Innere Streuung............................................................................ 82
Bild 33: ANOVA zweifaktoriell, Streuung zwischen den Stufen von Faktor 1................................. 83
Bild 34: ANOVA zweifaktoriell, Streuung zwischen den Stufen von Faktor 2................................. 83
Bild 35: ANOVA zweifaktoriell, Streuung der Wechselwirkung ...................................................... 84
Bild 36: ANOVA zweifaktoriell, Streuung zwischen allen 4 Stufen beider Faktoren ....................... 85
Bild 37: Dreifaktoriell, Räumliche Veranschaulichung ................................................................... 86
Bild 38: ANOVA, Haupteffekt A ..................................................................................................... 87
Bild 39: ANOVA, Haupteffekt B ..................................................................................................... 89
Bild 40: ANOVA, Haupteffekt C..................................................................................................... 89
Bild 41: ANOVA, Wechselwirkung A-B.......................................................................................... 90
Bild 42: ANOVA, Wechselwirkung A-C.......................................................................................... 92
Bild 43: ANOVA, Wechselwirkung B-C.......................................................................................... 92
Bild 44: ANOVA, Haupteffekt A + Wechselwirkung B-C ................................................................ 93
Bild 45: ANOVA, Haupteffekt A + Wechselwirkung A-B ................................................................ 94
Bild 46: ANOVA, Wechselwirkung A-B-C ...................................................................................... 95
Bild 47: ANOVA, alle Effekte und Wechselwirkungen ................................................................... 96
Bild 48: ANOVA, Haupteffekt A + Wechselwirkung A-B, ohne Messwiederholung ........................ 97
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Bild 49: Dreifaktoriell mit Zentralpunkt, Räumliche Veranschaulichung ......................................... 99
Bild 50: ANOVA, dreifaktoriell mit Zentralpunkt ........................................................................... 102
Bild 51: Fläche Y = 1 + X1 + X2 + X1*X2 ....................................................................................... 137
Bild 52: 1 + X + Y + X*Y + X2 + Y2 Fläche .................................................................................. 137
Bild 53: Ausgeschriebene Matrixgleichung.................................................................................. 143
Bild 54: Quadratische Kurve im Raum ........................................................................................ 150
Bild 55: Quadratische Kurve im Raum ........................................................................................ 159
Bild 56: 33 Box Behnken Veranschaulichung .............................................................................. 160
Bild 57: Tesserakt (4D-Würfel) .................................................................................................... 163
Bild 58: Tesserakt, Verbindungsflächen zw. Innerem und äusserem Würfel ............................... 165
Bild 59: 33 Box Behnken Veranschaulichung .............................................................................. 178
Bild 60: 33 Sternpunkt Plan, Veranschaulichung ......................................................................... 184
Bild 61: Tesserakt ....................................................................................................................... 186
Bild 62: 33 Sternpunkt Plan, Veranschaulichung ......................................................................... 198
Bild 63: Lineares Modell, Flächendarstellung im Raum ............................................................... 208
Bild 64: Zweistufiger Versuchsplan, Visualisierung ..................................................................... 209
Bild 65: Excel Matrixbefehl, Beispiel............................................................................................ 211
Bild 66: Gepoolte Varianz bei überlappenden Versuchsplänen ................................................... 213
Bild 67: Quadratische Kurve im Raum ........................................................................................ 221
Bild 68: 23 Designmatrix mit Taguchi L4 Rauschmatrix, Veranschaulichung ................................ 259
Bild 69: Taguchi, Minimierung der Streuung, Veranschaulichung................................................ 260
Bild 70: 23 Designmatrix mit Taguchi L4 Rauschmatrix, Veranschaulichung ................................ 263
Bild 71: 23 vollfaktoriell mit Zentralpunkt Designmatrix + Taguchi L4 Rauschmatrix: Lageeffekte,
lineare Kontraste, Ergebnisdarstellung................................................................................. 265
Bild 72: Taguchi, visuelle Darstellung von Effekten ..................................................................... 266
Bild 73: 23 Plan mit Zentralpunkt Designmatrix + Taguchi L4 Rauschmatrix: Dispersionseffekte,
Lineare Kontraste, Ergebnisdarstellung ............................................................................... 266
Bild 74: 23 Plan mit Zentralpunkt Designmatrix + Taguchi L4 Rauschmatrix: Lageeffekte,
Signifikanz ........................................................................................................................... 271
Bild 75: Graphische Ergebnisdarstellung Beispiel_10, erste Auswertung.................................... 279
Bild 76: Graphische Ergebnisdarstellung "nachher" Beispiel_10 ................................................. 285
Bild 77: Graphische Ergebnisdarstellung vorher + nachher Beispiel_10...................................... 289
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Kapitel 1.1
Statistische Versuchsplanung
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Tabellenverzeichnis
Hinweis:
Es sind insgesamt weit über 200 Tabellen. In dieses Verzeichnis wurden nur diejenigen Tabellen
aufgenommen, die grundlegende Zusammenhänge darstellen. Tabellen, die lediglich
Rechenschritte oder einfache Ergebnisse darstellen (dies sind die meisten), wurden nicht in das
Tabellenverzeichnis aufgenommen.
Tabelle 1: Kovarianz Veranschaulichung ...................................................................................... 33
Tabelle 2: ANOVA Tabelle, zweifaktoriell, alle Effekte und WW aufgelöst..................................... 84
Tabelle 3: ANOVA Tabelle, zweifaktoriell, Effekte und WW nicht aufgelöst................................... 85
Tabelle 4: ANOVA-Tabelle, Haupteffekt A signifikant.................................................................... 88
Tabelle 5: ANOVA-Tabelle, Haupteffekt B signifikant.................................................................... 89
Tabelle 6: ANOVA-Tabelle, Haupteffekt C signifikant.................................................................... 89
Tabelle 7: ANOVA-Tabelle, Wechselwirkung A-B signifikant......................................................... 91
Tabelle 8: ANOVA-Tabelle, Wechselwirkung A-C signifikant ........................................................ 92
Tabelle 9: ANOVA-Tabelle, Wechselwirkung B-C signifikant ........................................................ 92
Tabelle 10: ANOVA-Tabelle, Haupteffekt A + Wechselwirkung B-C signifikant ............................. 93
Tabelle 11: ANOVA, Haupteffekt A + Wechselwirkung A-B signifikant .......................................... 94
Tabelle 12: ANOVA-Tabelle, Wechselwirkung A-B-C signifikant ................................................... 95
Tabelle 13: ANOVA-Tabelle, alle Effekte und Wechselwirkungen signifikant ................................ 96
Tabelle 14: ANOVA-Tabelle, Haupteffekt A + Wechselwirkung A-B signifikant, ohne
Messwiederholung ................................................................................................................. 97
Tabelle 15: 23 Plan mit Zentralpunkt, Methode der linearen Kontraste ........................................ 104
Tabelle 16: 23 Plan mit Zentralpunkt, Methode der linearen Kontraste, Signifikanz ..................... 109
Tabelle 17: ANOVA-Tabelle, Haupteffekte A und B + Wechselwirkung A-C................................ 112
Tabelle 18: Vergleich der mit t-Tests und ANOVA berechneten Signifikanzniveaus.................... 112
Tabelle 19: 23 Versuchsplan: Effekte und daraus berechnete Modellkoeffizienten ...................... 113
Tabelle 20: 24-1 Plan, Haupteffekte und Wechselwirkungen ........................................................ 119
Tabelle 21: Taguchi L8 ................................................................................................................ 121
Tabelle 22: Taguchi L8 und L8W .................................................................................................. 122
Tabelle 23: Plackett-Burman Feld PB12 ....................................................................................... 126
Tabelle 24: Plackett Burman Feld PB12 Vermengung, Beispiel.................................................... 126
Tabelle 25: 25 Vollfaktorieller Plan............................................................................................... 128
Tabelle 26: 25-1 Teilfaktorieller Plan ............................................................................................. 129
Tabelle 27: 25-1 teilfaktorieller Plan, Zahlenbeispiel ..................................................................... 131
Tabelle 28: 25-1 Plan Auswertung, lineare Kontraste, Signifikanz ................................................ 134
Tabelle 29: Anzahl Faktorstufenkombinationen und Anzahl Modellkoeffizienten......................... 138
Tabelle 30: 32 teilfaktorieller Plan ................................................................................................ 140
Tabelle 31: 22 vollfaktorieller Plan mit Modell 2. Ordnung: Modell vs. Messergebnisse .............. 150
Tabelle 32: 33 teilfaktorieller Plan, nicht funktionierend ............................................................... 151
Tabelle 33: 33 teilfaktorieller Plan, mässig geeignet .................................................................... 155
Tabelle 34: Vollfaktorieller 23 Plan mit Modell 2. Ordnung: Modell vs. Messergebnisse.............. 158
Tabelle 35: 33 Box Behnken Plan................................................................................................ 161
Tabelle 36: 43 Box Behnken Plan, inoffiziell ................................................................................ 164
Tabelle 37: 43 Box Behnken Plan, offiziell ................................................................................... 166
Tabelle 38: 53 Box Behnken Plan, offiziell ................................................................................... 167
Tabelle 39: Anzahl Faktorstufenkombinationen bei Box Behnken Plänen ................................... 167
Tabelle 40: 33 Box Behnken Plan, Beispiel mit 3 Zentralpunkt Versuchsläufen ........................... 168
Tabelle 41: 33 Box Behnken Plan mit 4 Zentralpunkt Versuchsläufen ......................................... 174
Tabelle 42: BB 33 Versuch mit Modell 2. Ordnung: Modellergebnisse vs. Messergebnisse......... 176
Tabelle 43: 33 Box Behnken Plan Auswertung, Kleinste Quadrate Methode, Signifikanz ............ 180
Tabelle 44: BB 33 Versuchsplan: Vergleich der Modellkoeffizienten mit den Effekten ................. 181
Tabelle 45: 33 Sternpunkt Plan mit Zentralpunkt ......................................................................... 185
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Kapitel 1.1
Statistische Versuchsplanung
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Tabelle 46: 34 Sternpunkt Plan mit Zentralpunkt ......................................................................... 186
Tabelle 47: Anzahl Faktorstufenkombinationen bei Sternpunkt-Plänen....................................... 187
Tabelle 48: 33 Sternpunkt Plan, Beispiel mit einem Zentralpunkt Versuchslauf ........................... 188
Tabelle 49: 33 Sternpunkt Versuchsplan, Zahlenbeispiel............................................................. 193
Tabelle 50: 33 Sternpunkt Plan Auswertung, lineare Kontraste, Signifikanz ................................ 200
Tabelle 51: Sternpunkt 33 Versuchsplan: Vergleich der Modellkoeffizienten mit den Effekten .... 201
Tabelle 52: 22 vollfaktorieller Versuchsplan mit Zentralpunkt, codierte Werten, tatsächlichen
Einstellwerten und Messwerten............................................................................................ 204
Tabelle 53: 22 Plan Auswertung, lineare Kontraste, Signifikanz .................................................. 206
Tabelle 54: 32 vollfaktorieller Versuchsplan mit Messergebnissen............................................... 210
Tabelle 55: Varianz-Kovarianzmatrix........................................................................................... 216
Tabelle 56: Quadratisches Modell, Kleinste Quadrate Methode, Signifikanz ............................... 220
Tabelle 57: Lineares Modell, Kleinste Quadrate Methode, Signifikanz ........................................ 224
Tabelle 58: Verschiedene Quadratesummen-Zerlegungen ......................................................... 231
Tabelle 59: Lateinische Quadrate ............................................................................................... 235
Tabelle 60: Verschiedene Quadratesummen-Zerlegungen ......................................................... 238
Tabelle 61: Split Plot Beispiel, Verschiedene Quadratesummen-Zerlegungen ............................ 246
Tabelle 62: Split Plot Beispiel, Erklärung unterschiedlicher Quadratesummen-Zerlegungen....... 246
Tabelle 63: Split Plot Beispiel, zweckmässige, jedoch nicht orthogonale QuadratesummenZerlegung ............................................................................................................................ 247
Tabelle 64: Split Plot Beispiel, ANOVA Tabelle........................................................................... 248
Tabelle 65: 23 Plan Designmatrix mit Taguchi L4 Rauschmatrix: Versuchsplan ........................... 260
Tabelle 66: 23 Versuchsplan ....................................................................................................... 259
Tabelle 67: Taguchi L4 ................................................................................................................ 259
Tabelle 68: 23 Plan...................................................................................................................... 263
Tabelle 69: Taguchi L4 ............................................................................................................... 263
Tabelle 70: Taguchi L18 ............................................................................................................... 276
Tabelle 71: Taguchi L16(e)........................................................................................................... 276
Tabelle 72: Taguchi L16 Designmatrix mit Taguchi mit L16 Rauschmatrix. Beispiel 10, erste
Auswertung.......................................................................................................................... 278
Tabelle 73: Taguchi L16 Designmatrix mit Taguchi mit L16 Rauschmatrix. Beispiel 10, zweite
Auswertung.......................................................................................................................... 284
Tabelle 74: Taguchi L4 mit Wechselwirkungstabelle.................................................................... 299
Tabelle 75: Taguchi L8 mit Wechselwirkungstabelle.................................................................... 300
Tabelle 76: Taguchi L16 mit Wechselwirkungstabelle .................................................................. 302
Tabelle 77: Taguchi L8 ................................................................................................................ 304
Tabelle 78: Taguchi L8 modifiziert mit Wechselwirkungstabelle, 1 Faktor mit 4 Stufen ................ 305
Tabelle 79: Taguchi L8 modifiziert mit Wechselwirkungstabelle, 1 Faktor mit 4 Stufen ................ 305
Tabelle 80: Taguchi L18 ............................................................................................................... 307
Tabelle 81: Taguchi L16 ............................................................................................................... 307
Tabelle 82: Taguchi L16 modifiziert, 3 Faktoren zu je 4 Stufen (schlecht) .................................... 308
Tabelle 83: Wechselwirkungstabelle zu Taguchi L16 modifiziert (schlecht) .................................. 308
Tabelle 84: Taguchi L16 modifiziert, 3 Faktoren zu je 4 Stufen (besser)....................................... 309
Tabelle 85: Wechselwirkungstabelle zu Taguchi L16 modifiziert (besser) .................................... 309
Tabelle 86: Taguchi L8, Vermengungen ...................................................................................... 311
Tabelle 87: Taguchi L9, Vermengungen ...................................................................................... 312
Tabelle 88: Taguchi L25, Vermengungen..................................................................................... 314
Tabelle 89: Welch Satterthwaite Formel bei Varianzinhomogenität, Zahlenbeispiele .................. 325
Tabelle 90: Varianz der Varianz, Zahlenbeispiele ....................................................................... 327
Tabelle 91: Vertrauensintervall der Varianz, Zahlenbeispiele ...................................................... 328
Tabelle 92: Alpharisiko Anpassung nach Bonferroni ................................................................... 333
Tabelle 93: Determinanten, Beispiele.......................................................................................... 341
Tabelle 94: Versuchsplanung versus Ausgangslage ................................................................... 343
Tabelle 95: Links und weiterführende Informationen ................................................................... 346
Tabelle 96: Stichwortverzeichnis................................................................................................. 351
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Kapitel 1.1
Statistische Versuchsplanung
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1 Einleitung
In diesem Kapitel wird grob skizziert, was den Leser erwartet.
Es werden die grundsätzlichen Methoden angesprochen, ohne in die Tiefe zu gehen.
Die statistischen Grundlagen werden ab Kapitel 2 behandelt.
Bis zum Ende des Kapitels 2 werden alle notwendigen Grundlagen vermittelt, um den Einstieg in
Statistische Versuchsplanung zu ermöglichen. In späteren Kapiteln, insbesondere in den 10
Beispielen, kommen nach und nach weitere Grundlagen hinzu.
Beispielsweise wird die Varianz-Kovarianzmatrix erst in Beispiel_7 vorgestellt, obwohl damit auch
vorhergehende Beispiele (tiefergehend) behandelt werden könnten, und Dummyfaktorstufen
kommen sogar erst in Beispiel_10 vor.
In diesem Lehrgang sind viele Elemente farblich markiert. Gleiche Farben sollen auf inhaltlich
Zusammenhängendes oder Gleiches hinweisen, und das Verständnis erleichtern; dies kann sich in
Einzelfällen auch über mehrere Seiten hinweg erstrecken.
1.1 Grundkonzepte
Alle Rechenbeispiele, sowie alles, was in diesem Lehrgang in Form einer Berechnung vorgeführt
wird, liegt in einer separaten Exceldatei vor.
Alle Rechenbeispiele sind so aufgebaut, dass sie als Vorlagen für eigene Experimente verwendet
werden können.
Die Exceldatei richtet sich an diejenigen, die Statistische Versuchsplanung operativ anwenden
möchten, und ist für diesen Lehrgang nicht zwingend notwendig.
Die Detailtiefe der Rechenschritte orientiert sich daran, was angesichts der Verwendung von
Tabellenkalkulationsprogrammen naheliegend erscheint.
Konsequenterweise wurde daher auf besondere Rechentricks, die in Zeiten ohne Software hilfreich
gewesen sein mögen, verzichtet.
Die Komplexität der Beispiele ist so bemessen, dass sie ohne spezielle Software, dafür mit
Tabellenkalkulationsprogrammen, noch gut handhabbar ist. Gleichzeitig vermitteln die Beispiele
ein Gefühl dafür, ab wann es besser ist, auf geeignete Statistiksoftware zurückzugreifen.
Die in braun geschriebenen Hyperlinks in diesem Lehrgang dienen der Vertiefung, und stellen die
jeweiligen Sachverhalte meistens in einem allgemeineren Kontext dar. Für diesen Lehrgang sind
diese Vertiefungen zumeist entbehrlich.
1.2 Statistische Methoden
Design of Experiments bzw. Statistische Versuchsplanung bedient sich zweier grundlegender
mathematischer Methoden:
1. Varianzanalyse
2. Regressionsanalyse
http://www.reiter1.com/Glossar/ANOVA_Einstieg.html
http://www.reiter1.com/Glossar/Regressionsanalyse.html
Beide erfüllen völlig unterschiedliche Zwecke, und daher ist auch die Motivation, die eine oder die
andere im Rahmen von Statistischer Versuchsplanung zu verwenden, verschieden.
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Seite 19 von 350
Kapitel 1.3
Statistische Versuchsplanung
Seite 20 von 350
Meistens kommt nur eine der beiden Methoden, und zwar die Varianzanalyse (Analysis of
Variance, ANOVA) zum Einsatz.
Das Grundprinzip der Varianzanalyse ist der Vergleich von Varianzen.
Aus dem Verhältnis von Varianzen kann man nämlich beurteilen, ob gemessene Unterschiede
signifikant sind oder nicht.
Varianzanalyse dient daher zum Auffinden von signifikanten Zusammenhängen, ist also für
Situationen geeignet, wo man wesentliche Eigenschaften des zu untersuchenden Prozesses noch
nicht kennt.
Die Bedeutung von Signifikanz, sowie der Unterschied zu praktischer Relevanz, wird in einem
späteren Kapitel erklärt.
Regressionsanalyse dagegen bedeutet die Entwicklung eines mathematischen Modells, mit dem
Messergebnisse - abhängig von Einstellparametern - vorhergesagt werden können.
Regressionsanalyse dient daher primär der näheren Beschreibung von (oft teilweise bekannten)
Zusammenhängen.
In den folgenden Kapiteln werden für beide Methoden einfachere und komplexere Beispiele
vorgestellt.
Dadurch bekommt man ein Gefühl dafür,
- ab welchem Komplexitätsgrad der Gebrauch spezieller Statistiksoftware angeraten ist,
- wie umfangreich Experimente bei gegebener Komplexität sein müssen, um nützliche Ergebnisse
zu erzielen.
Der notwendige experimentelle Umfang ist oft geringer als man naiverweise vermuten würde, und
gerade darin liegt die Rechtfertigung für Statistische Versuchsplanung. Die Hürde der dafür
notwendigen Einarbeitung wird sich in der Versuchspraxis schnell als lohnend erwiesen haben.
1.3 Verteilungsfunktionen
http://www.reiter1.com/Glossar/Verteilungsfunktion.html
Folgende Verteilungsfunktionen sind in Statistischer Versuchsplanung besonders wichtig:
1. Normalverteilung
2. t-Verteilung
3. F-Verteilung
http://www.reiter1.com/Glossar/Normalverteilung.html
http://www.reiter1.com/Glossar/t_Verteilung.html
http://www.reiter1.com/Glossar/F_Verteilung.html
Zweck und Bedeutung der Normalverteilung werden im Kapitel 2.3 veranschaulicht.
Ihre grosse Bedeutung in der allgemeinen Statistik (also nicht nur in Statistischer
Versuchsplanung) gründet auf 2 Eigenschaften:
1. Sie ist eine natürliche Verteilungsfunktion, das bedeutet, sie beschreibt in der Natur
tatsächlich stattfindende Vorgänge, und ist nicht lediglich ein heuristisches Modell.
2. Zentraler Grenzwertsatz, der „Turbolader“ in der schliessenden Statistik.
In einfachen Worten besagt er, dass Mittelwerte von hinreichend grossen Stichproben
IMMER normalverteilt sind, ganz unabhängig von der Verteilungsform der
zugrundeliegenden Ausgangsdaten.
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