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Title
１・２年次における数学的リテラシーの育成 −数学化サイクルを
重視した思考過程の確立−
Author(s)
川口, 慎二
Citation
川口慎二: 研究紀要(奈良女子大学附属中等教育学校), 2010, 第51集,
pp. 53-81
Issue Date
2011-03-31
Description
URL
http://hdl.handle.net/10935/2681
Textversion
publisher
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奈 良女 子 大学 附 属 中等教 育 学 校 研 究 紀 要 第51集(2011年3月)
1・2年
次 に お け る 数 学 的 リテ ラ シ ー の 育 成
一 数 学 化 サ イ ク ル を 重 視 した 思 考 過 程 の 確 立 一
川
1.は
ロ
慎
二
じめ に
2005年 度 よ り、 本 校 は ス ー パ ー ・サ イ エ ン ス ・ハ イ ス ク ール(略 称:SSH)の
指 定 を受 け 、 「中等 教
育6年 間 を見 通 して 」 とい う研 究 開 発 課 題 の も と、数 学 科 で は 、 「
数 学 的 リテ ラ シ ー の 育 成 」 を大 き な
柱 と して 、 カ リキ ュ ラ ム 開 発 や 授 業 研 究 を進 め て い る。 そ の 目的 は 、 理 数 に優 れ た 生 徒 のカ を伸 ばす
こ とは も ち ろ ん 、 文 科 系 生 徒 も含 め た す べ て の 生 徒 の 自然 科 学 に対 す る 自己 学 習 力 や 問 題 解 決 能 力 を
育 成 す る こ と も含 まれ て い る。 ま た 、 本 校SS且
の特 徴 と して 、 後 期 課 程 だ けで は な く、 前 期 課 程 の
生 徒 も対 象 と して い る こ とが挙 げ られ る。
同時 に 、 本 校 の カ リキ ュ ラ ム を貫 く重 要 な方 針 は 「2-2-2制
」 で あ る。 これ は 、 本 校 の6学 年
を2年 ず つ の3つ の段 階 に分 け 、 以 下 の よ うな 考 え方 に 基 づ い て カ リキ ュ ラ ム が 構 成 され て い る([1]
参 照)。 ま た 、 下 図 の よ うにSSHに
お い て も 「2-2-2制
」 の 方 針 を 踏 ま え て 各 段 階 で の 目標 が設
定 され た 。
各 期 の 発 達 段 階 と 目 標SSHに
低 学 年
1・2年
中 学 年
3・4年
高 学年
5・6年
お け る各期 の 目標
周 囲 へ の 依 存 と個 の 萌 芽
基 本 的学 力 お よび
基本 的学 習 方 法 の獲 得
理 数 に偏 ら な い
個 の 発 見 と模 索'探
学 問 へ の 興 味 ・関 心 と
自篶 巾1欝 驚
求
得
個の形成と自立への展望
響簿譜 豊こ蕊 搬
基 礎 ・基 本 の 徹 底
学びへの意欲の育成
大学とリンクした
学力の 先進的な理数教育の実施
数 学 的 リテ ラシ ー を 育 成 す る よ うな授 業 研 究 を行 うた め に 、 発 達 段 階 に応 じた 目標 を示 して い る2
-2-2制
を考 慮 に入 れ る こ とは 自然 な 考 え方 で あ り
、 各 段 階 にお い て 目指 す べ き 「
数 学 的 リテ ラ シ
ー 」 も異 な る の で は な い か と考 え た。
2007年 度 よ り、筆 者 は1年 次 、2年 次 と続 け て授 業 を担 当す る機 会 を得 た 。 そ こで 、1・2年
で育
成 す べ き 数 学 的 リテ ラ シ ー とは ど の よ うな も の で あ る の か に つ い て 、 授 業 実 践 を通 して 考 察 して み る
こ とに した 。 さ らに 、授 業 公 開 の機 会 を利 用 し、 様 々 な 意 見 や 助 言 を 得 た た め 、 それ ら を加 えて 本 稿
に ま とめ る こ と に した。
-53一
2.数
学 化 サ イ クル と数 学 的 リテ ラシー
数 学 的 リテ ラシ ー に つ い て は 、 い ろ い ろ な 定 義 や 考 え方 が あ る。 そ こで 本 校 で は 、 経 済 協 力 開 発 機
構(OECD)の
「
生 徒 の 学 習 到 達 度 調 査 」(PISA)を 参 考 に 数 学 的 リテ ラ シー を捉 え る こ とに した 。 そ こ
で 、 ま ず 、[2],[3]を
も とに 、PISAの
唱 え る数 学 的 リテ ラ シ ー につ い て 概 説 してお き た い。 な お 、
[5]で は よ り詳 細 に ま とめ られ て い る。
PISAに
お け る数 学 的 リテ ラ シ ー の定 義 とは 、 「
数 学 が 世 界 で 果 た す 役 割 を見 つ け 、理 解 し、現 在 及
び 将 来 の 個 人 の 生 活 、職 業 生 活 、 友 人 や 家 族 や 親 族 との 社 会 生 活 、建 設 的 で 関 心 を持 っ た 思 慮 深 い 市
民 と して の 生 活 にお い て 確 実 な 数 学 的 根 拠 に も とづ き 判 断 を行 い 、
数 学 に携 わ る能 力 」の こ とで あ り、
数 学 的 リテ ラ シ ー の枠 組 み は 次 の3つ の 側 面 ① 数 学 的 な 内容 、 ② 数 学 的 プ ロ セ ス 、③ 数 学 が 用 い られ
る状 況 に よ っ て 特 徴 付 け られ て い る。
① 「
数 学 的 な 内 容 」 と は 、 実 生 活 で み られ る よ うな 数 学 的概 念 の ま と ま り、 そ れ らは 数 学 的 に考 察
す る前 の 事 象 や 場 面 に よ っ て 、 あ る い は 数 学 カ リキ ュ ラ ム の 内 容 の い くつ か を結 び つ け る概 念 に よ っ
て 構 成 され る。 これ ら を 「
包 括 的 ア イ デ ア 」 と呼 び 、 「
量 」(数 量 的 な 関 係 や 現 象 、 量 的 推 測)、 「
空間
と形 」(空 間的 、 幾 何 的 な 現 象 や 関 係)、 「
変 化 と 関係 」(変 数 間 の 関数 的 な 関係 、 依 存 関 係 、 変 化 の数
学 的 関係)、 「
不確 実 性 」(確 率 的 ・統 計 的 な 現 象 や 関係)の4領
域 に分 類 され る。 こ の 分 類 を 、本 校 の
数 学 科 カ リキ ュ ラ ム と対 応 させ る と下 表 の よ うに な る。
② 数 学 的 プ ロセ ス(能 力 ク ラス ター)は
、 生 徒 が数 学 的 な 内 容 に 取 り組 む の に必 要 な 技 能 の ま とま
りを指 して い る。PISAの 数 学 的 リテ ラ シー 調 査 に お い て は 、生 徒 は 実 生 活 の 文 脈 に基 づ く問題 に取 り
組 み 、数 学 的 探 究 が 行 え る よ うに 問題 の 特 徴 を見 つ け だ し、 関 連 す る数 学 的 な 能 力 を活 発 に使 い 、 問
題 を解 決 す る。 そ の た め に は複 数 の段 階 で 「
数 学 化 」 の プ ロ セ ス に携 わ らな けれ ば な ら な い。 そ の よ
うな 「
数 学 化 」 の プ ロセ ス に は 、
・思 考 と推 論
・論 証
・コ ミュ ニ ケ ー シ ョン
・記 号 に よ る式 や 公 式 を用 い 演 算 を 行 うこ と
・モ デ ル 化
・問題 設 定 と問 題 解 決
・表 現
・テ ク ノ ロ ジ ー を含 む 道 具 を用 い る こ と
の8つ の 能 力 が 関 わ っ て い る。
そ れ らの 能 力 は 、 一 般 に は 同 時 に機 能 し複 雑 に絡 み 合 っ て い る が 、 問 題 に 取 り組 む と き に は 、 この
中 の1つ か2つ の 能 力 が 特 に顕 著 に 関 わ っ て く る。 これ ら8つ の 能 力 を含 む 認 知 的活 動 は 、 次 の3種
類の 「
能 力 ク ラス ター 」 に よ っ て 説 明 され る。
(i)「 再 現 ク ラ ス タ ー 」
比 較 的 よ く見 慣 れ た 、 練 習 され た 知 識 の 再 現 を主 に要 す る 問題 を解 く能 力
(i)「 関連 付 け ク ラス ター 」
再 現 ク ラ ス タ ー の 上 に位 置 し、 や や 見 慣 れ た 場 面 、 ま た は 見 慣 れ た場 面 か ら拡 張 され 発 展 さ
れ た場 面 にお い て 、 手 順 が そ れ ほ ど決 ま りき っ て い な い 問題 を解 く能 カ
ー54一
(ii)「 熟 考 ク ラ ス タ ー 」
関 連 付 け ク ラ ス ター の さ らに 上 に位 置 し、 洞 察 、 反 省 的 思 考 、 関 連 す る数 学 を見 つ け出 す 創
造 性 、解 を生 み 出 す た め に 関連 す る知 識 を結 び つ け る能 力
熟 考 ク ラス タ ー
■複 合 的な 問題 解決 および 問 題設 定
■熟 考 と洞 察
■本 来 の数 学 的ア プロー チ
■一 般化
■複 数 の複 合 的な 方法
関連 付 け ク ラ ス ター
■モ デル 化
■標 準 的な 問題 解決 の 変換 お よび解 釈
■ うま く定義 付 け られ た複 数 の方 法
=難 霧融
雲:細
数学 的 プ ロセ ス(能 力 ク ラス ター)
③ 「
数 学 が用 い られ る状 況 」 と は 、 実 生 活 で 生 徒 が 数 学 に遭 遇 す る よ うな状 況 を指 して お り、 この
側 面 を 取 り上 げ た の は 、 数 学 的 リテ ラシ ー を正 確 に評 価 す る た め で あ る。 つ ま り学 校 の 教 科 書 で 煩 雑
に 見 られ る数 学 を練 習 す る こ とで は な く、 様 々 な 状 況 に お い て 数 学 を 用 い て 問 題 を解 決 で き るか を判
断 す る た め で あ る。 数 学 が 用 い られ る状 況 は 、 生 徒 と課 題 との 距 離 感 お よび 数 学 の記 号 や 構 造 が 現 れ
る程 度 に よ っ て 、 「
私 的」 「
教育 的」 「
職 業的」 「
公 共 的」 「
科 学 的 」(科 学 的 に は 、 数 学 の 教 室 で よ く直
面 す る よ うな数 学 そ の もの で あ る数 学 世 界 の 内 的 文 脈 も含 まれ る)と 分 類 され る。 最 も生 徒 の 身 近 に
あ る状 況 は 、 生 徒 の私 的 な 生 活 で あ る。 続 い て 学 校 生 活 で あ り、 職 業 生 活 で あ る。 これ に続 い て 、 日
常 生 活 で 遭 遇 す る地 域 の 共 同体 や 社 会 が あ り、 生 徒 か ら最 も遠 い の は 、 科 学 的 状 況 で あ る。
大[科
.■
離[■
学 的]抽 象的 数学世界
亜
魏
コ
亙コ
感
[教
小[私
育
的
的
、
〕具体的 日常生活
数 学 が用 い られ る状 況
一55一
次 に 、PISAが
示 す 数 学 的 リテ ラ シー の 一 つ 側 面 と して 挙 げ て い る の が 下 図 に 示 す 「
数学化 サイ ク
ル 」 で あ る。 これ は 、 現 実 世 界 の 問題 を解 決 す る た め に、 まず 数 学 的 世 界 に お け る数 学 的 な 問 題 に 置
き 換 え る。 そ こで 試 行 錯 誤 して 数 学 的解 答 を得 る。 そ れ を現 実 世 界 に 戻 して 現 実 的解 答 を得 る。 この
サ イ クル の 過 程 で 数 学 的 リテ ラシ ー が 育 成 され る とす る も の で あ る。
これ は 、 本 校 数 学 科 が 従 来 重 視 して きた 「
数 学 す る」 とい う活 動 に 類 似 して い る。 つ ま り、
(i)現
実 の 世 界 の 課 題 を 数 学 の 世 界 の 問 題 に読 み 換 え る(数 学 化 す る)
(i)数
学 の 世 界 にお い て 問 題 を解 く
(iii)得
られ た 解 を現 実 の 世 界 の 答 え とな り得 るか 吟 味す る(振
り返 り ・吟 味す る)
とい う3つ の段 階 か ら構 成 され た 数 学 的 活 動 で あ る。
上 述 の 通 り、 本 校 で はPISAの
定 義 を基 に研 究 を進 めて き た 。 しか し、 実 際 の 授 業 場 面 に お い て数
学 的 リテ ラ シー 育 成 を 考 え る と、PISAに
よ る 定 義 を よ り具 体 的 に捉 え る必 要 が あ る と判 断 し、 本 校
に お い て は 「自分 た ち の 身 近 な 課 題 を 、 数 学 的 な 活 動 を通 して 、 解 決 しよ うとす るカ 」 の 育成 に重 点
を置 く こ と とな っ た。2008年 度 か らは 、 こ の よ うな 能 力 育 成 を評 価 す るた め に 、本 校 独 自で評 価 問題
を作 成 、 実 施 して い る。 そ の分 析 は[5]を 参 照 され た い 。
現実 の 世界
モ デル 化
数 学 の 世界
理 想化
現実 の 問題
数学 の 問1題
数 学化 の 手 順
3.研
究仮説
1・2年
次(低 学 年)に お い て 、 「
数 学 的 リテ ラ シ ー 」 育 成 の観 点 か ら数 学 の授 業 を どの よ うに 行 うの
か とい う課 題 に ど の よ うに考 え ア プ ロー チ した の か を 最 初 に説 明 した い 。 数 学 を得 意 とす る 生 徒 と苦
手 意 識 を 有 す る生 徒 に 分 化 し、 能 力 差 が 大 き な 状 況 が 深 刻 に な る以 前 の 低 学 年 に対 して 、 数 学 的 リテ
ラ シー 育 成 にお い て 重 視 され るべ き観 点 は 「
基 礎 ・基 本 の徹 底 」で あ ろ う。 こ の 「
基 礎 ・基 本 」 に は 、
数 や 式 の 代 数 計 算 を行 う計 算 力 や 初 等 幾 何 の証 明 を行 う論 証 力 な どの 数 学 的 学 力 や 内 容 の基 礎 の育 成
を指 す もの だ け で は な く、PISAの
いう 「
数 学 化 サ イ クル 」(本 校 の い う 「
数 学 す る」)と い う一 連 の
数 学 的 活 動 の基 礎 を も含 ん で い る も の と考 え る。つ ま り、現 実 の 課 題 や 問 題 か ら必 要 な 情 報 を抽 出 し、
数 学 の 世 界 にお け る 問題 へ と翻 訳 す る こ と、 お よび 得 られ た数 学 的 問題 を既 存 の 知 識 で 解 決 す る こ と
で あ る。 本 稿 に お い て 紹 介 す る実 践 例 を貫 くテ ー マ は 「
数 学 化 、 理 想 化 、 単純 化 」 とい うキ ー ワー ド
で あ り、 こ の よ うな考 え方 に基 づ く もの で あ る。
本 来 の 数 学 化 の サ イ クル で は 、 数 学 的 に解 決 され た解 答 を 現 実 の世 界 に再 翻 訳 す る とい うス テ ップ
ー56一
が 残 っ て い る が 、 これ は 低 学 年 に は難 しい も の で あ る。 得 られ た 解 答 が 、 数 学 的 に は 条 件 を満 た して
い て も、 現 実 的 に最 適 な 解 決 に な っ て い る か とい う別 の 視 点 に よ る確 認 が 必 要 に な るか らで あ る。 数
学 化 す る段 階 で どれ だ けの 条 件 を選 択 し、 考 慮 に入 れ るか は 、 現 実 問題 の解 決 にお い て は重 要 な意 味
を有 す る。 しか し、 考 慮 す べ き 条 件 を 多 くす る ほ ど、扱 うべ き(考 慮 に 入 れ るべ き)パ ラ メ ー タ の数 が
増 え 、よ り複 雑 な 方 程 式 で 記 述 され る こ と に な る。 した が っ て 、よ り高 度 な 数 学 的 知 識 が 求 め られ る。
ゆ え に低 学 年 で は 、 は じ め か らシ ン プ ル な 条 件 設 定 の 課 題 を扱 っ た り、 複 雑 な 条 件 が 関 連 した 課 題 の
場 合 で も ご く単 純 な条 件 の み を 抽 出 した り しな くて は な らな い だ ろ う。
4.1年
次 に お け る授 業 実践
2007年 度 に1年 次 の 「
基 礎 数 学1(幾
何)」 を担 当 した 。1年 次 で は 、 現 実 世 界 の 問 題 か ら出 発 し、
解 決 に 向 け必 要 な 条 件 を抽 出 ・選 別 し、 数 学 の 問 題 と して 解 釈 す る。 そ して 、 数 学 の 知 識 を 用 い て得
られ た解(=数
学 的 解 答)を 現 実 問 題 の解 決 に再 解 釈 す る とい う一 連 の 思 考 過 程 に重 点 を置 い た 授 業 実
践 を取 り入 れ た 。
ま た 、2007年 度 は 、校 内SS且
研 修 の 一 環 と して 、11月6日
に数 学 ・理 科 の授 業 を2つ ず つ 公 開 し、
数 学 的 リテ ラ シ ー や 科 学 的 リテ ラ シー を育 成 す る た め の 授 業 研 究 お よび 授 業 評 価 に つ い て 協 議 を行 っ
た 。 そ の 公 開授 業 の一 つ と して 、 筆 者 は 「
作 図 とそ の応 用 」 に 関 す る授 業 を公 開 した 。 こ の公 開 授 業
の指導案 を 【
資 料1】 に 、 ワー ク シー トを 【資 料2】
にそ れ ぞ れ 付 した 。
こ の授 業 は 、 課 題 を説 明 し、 問 題 の 状 況 を全 体 に確 認 させ る とこ ろ か ら始 ま っ た。 実 際 の公 園 に行
く こ と もで き な い の で 、 ど うした ら よい の か と発 問す る と、 生 徒 た ち は す ぐに 「
理想 化すれ ば よい」
と返 答 した 。 そ こで 、公 園 を三 角 形 とみ な す こ とに して 、 生 徒 は まず 個 人 で ど こ に街 灯 を 立 て た ら よ
い の か 考 え 、 そ の 理 由 を記 述 した 。 そ の 後 、 グル ー プ に な っ て 、 班 の 意 見 を ま とめ た 。 どの 班 にお い
て も 、 一 人 ひ と りの意 見 を 聞 き な が ら、 活 発 に 議 論 が 行 わ れ て い た。
4-1.研
究協 議 の 内 容
■授業者 か ら
幾 何 の授 業 に お い て 、 現 実 をふ ま え た 理 想 化 ・単 純 化 ・抽 象 化 を頻 繁 に意 識 させ て い る た め、 生徒
が そ の こ と ばや 意 味 を よ く理 解 し、 問題 を解 決 で き て い た 。 ま た 、相 手 を納 得 させ る、 説 明 ・作 業 の
評 価 をす る こ と に重 点 をお い て授 業 を して い る。
「
公 園 に 暗 い部 分 が で き な い よ うに」、あ る い は 「
一 定 の 明 る さが保 て る よ うに 」 とい う条 件 をつ け
た た め 、 結 論 が 外 心 に 収 敏 して い っ た もの と思 わ れ る。 こ の 条 件 を外 せ ば 、 い ろ い ろな 答 え が さ らに
可 能 に な る が 、 数 学 化 サ イ クル の 最 初 の 練 習 と して 、 一 定 の 条 件 を共 通 に定 め た 。
今 後 も、現 実 問題 をモ デ ル 化 し、数 学 の 世 界 に お い て解 決 し、現 実 に 引 き 戻 す 。そ の解 決 を 吟 味 し、
改 善 点 が あれ ば ま た これ を繰 り返 す とい うプ ロセ ス を 大 切 に した い。
■質疑応 答
Q.課
題 の条件 「
全 体 が 明 る くな る よ うに」 を除 い た 方 が 良 い の で は な い か?
A.こ
の 条 件 で 答 え は外 心 に 向 か うが 、 こ の 条 件 を外 せ ば い ろい ろ な 答 え が 可 能 な の で 、 ま と め る の
が 大 変 な の で 条 件 を入 れ た 。 ま た 、 議 論 や い ろ い ろ な状 況 を考 えた とき に 、 外 心 が ふ さわ し くな
い とい う意 見 が 出 て も か ま わ な い。
Q.グ
ル ー プ で 議 論 せ ず に 、個 人 か らい き な り全 体 で 議 論 して も よ か った の で は?
-57一
A.全
員 が 発 表 す る こ とが で き る の で 、 グル ー プ で議 論 させ た 。 実 際 、 司会 を うま く立 て て 全 員 に発
表 させ よ うと して い た 班 も あ っ た。 き ち ん と全 員 参 加 で き て い た 班 も あ っ た 。 司 会 が 上 手 な 子 も
い る。
Q.今
回 の 授 業 はPISAの
問題 を利 用 した 。 しか し、PISA型
い の で は な い か 。PISA型
の 問題 に こ だ わ る と、 授 業 が広 が らな
の 問 で は な くで も 、数 学 的 リテ ラ シ ー の 育 成 は で き る。PISAの
リテ ラ
シ ー は、 授 業 を説 明 す る と き に使 うの が 良 い の で は な い か 。
A.題
材 はPISAに
あ る問 題 だ 。作 図 を い ま学 習 した と こ ろ で あ る。図 か ら幾 何 的 な もの を取 り出 す 。
第 一 段 階 は よ い。 第 二 段 階 は条 件 の 抽 象 化 。 光 の 性 質 な どが 必 要 。 第 三 段 階 は 、 各 頂 点 か ら等 距
離 で あ る こ と。 こ こか ら外 心 が 出 て くる。
Q.答
えの 一 本 化 は必 要 か 。
A.一
つ にす る必 要 は な い 。 答 え が き ちん と説 明 で き れ ば よ い 。 光 の 近 く しか 結 局 明 る くな い とい う
こ とに こ だ わ る生 徒 もい た が 、 それ は そ れ で よ い。 公 園 の 主 要 部 分 は 内 心 に 立 て た 方 が 明 るい 。
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圃
■授業観 察者 か ら
・も め て い る班 を先 に発 表 させ た ら授 業 展 開 と して は お も し ろ くな っ た 。
・「
暗 い 部 分 が で き な い よ うに 」 の 条 件 を き ち ん と読 み 、 考 慮 に 入 れ て い る 生 徒 も い た 。
・グル ー プ の議 論 の 内容 が 学 級 全 体 に伝 わ らな か っ た の は残 念 。
・考 え た こ とを き ち ん と記 述 させ る 、 とい うと こ ろ が よい 。
・数 学 の授 業 で い う 「コ ミ ュニ ケー シ ョ ン」 と は?も う少 しわ か りや す い表 現 に な らな い か 。 「
課題 に
一58一
つ い て し っ か り話 し合 っ て い た 」 な ど 。
・PISA型
「
数 学 的 リ テ ラ シ ー 」 と し て こ の 題 材 は わ か る 。 し か しPISAの
っ と 広 く 創 造 的 な 課 題 を 扱 え る 。 数 学 の 授 業 と し て 、 レベ ル1,2,3を
問 題 を使 わ な くて も 、 も
常 に扱 うこ とに こだ わ ら
な くて よ い。 力 点 は授 業 に よっ て絞 っ て よ い 。 ピサ に合 わせ る ば か りを考 え る こ と に よ っ て 、 授 業
が 狭 くな る。
・グ ル ー プ と し て6
,7名
は 多 く な い か 。 も う少 し少 な い ほ うが よ く な い か 。
・グ ル ー プ に 司 会 者 を 作 る と 、 必 ず 全 員 が 発 言 す る よ う に 促 す の で よ い 。
・今 日 は 意 見 が 割 れ て い つ も よ り も よ く 議論 し て い て 、 お も し ろ か っ た 。 人 文 科 学 と 自 然 科 学 の 違 い
で 、 議 論 の 方 向 は 複 数 に な ら ず 、 大 抵 ひ とつ に ま と ま る 傾 向 は や む を え な い 。 数 学 の 特 性 と し て 、
ひ とつ に ま とま らな い と困 る面 も あ る。
・三 角 形 の 形 を か え る と 、 ま た さ ら に 発 展 的 な 課 題 に な り う る 。 内 心 の 説 を 論 理 的 に 推 し進 め る 生 徒
が い て もそ れ は そ れ で お も し ろ い。
4-2.考
察
上 述 の よ う に 、 こ の 公 開 授 業 に お い て は 、PISA調
て きた
「数 学 す る 」 活 動 とPISAの
査 の 実 際 の 問 題 を 題 材 と して お り、 本 校 の 進 め
提 唱 す る 「数 学 化(mathematising)」
の 共 通 性 を確 認 す る こ とが
で き た とい え る。
こ の 街 灯 の 問 題 を 例 と し て 、[3]で
問 題 例1:街
は 数 学 化 の5つ
の ス テ ッ プ を 以 下 の よ うに 説 明 し て い る 。
灯
町 議 会 は 、 小 さ な 三 角 形 の 形 を し た 公 園 に1本
の 街 灯 を設 置 す る こ と を決 定 しま した。 そ の
街 灯 は 公 園 全 体 を 照 らす も の と し ま す 。 街 灯 は ど こ に 設 置 し た ら よ い で し ょ う か 。
数 学 化 は5つ
の側 面 に よ っ て 特 徴 付 け る こ と が で き る。
① 現 実 に 存 在 す る 問 題 か ら 出 発 す る こ と。
街 灯 を公 園の ど こに設 置 す るか。
② 数 学 的 な 概 念 に よ っ て そ の 問 題 を 構 成 す る こ と。
公 園 の形 を三角 形 と表現 す る こ とが で き る。 ま た、街 灯 につ い て い る1個 の電 灯 の あか りは 円で 表現 す る こ
とがで き るので 、街 灯 は 円の 中 心で あ る こ とがわ か る。
③ 問 題 の ど の 主 要 点 が 重 要 で あ る か を 仮 定 し た り、 一 般 化 し た り、 定 式 化 し た りす る な ど の 過 程
を 通 じて 、 徐 々 に 現 実 の 形 を 整 え て い く こ と 。
この 問題 は 、 三角 形 に外 接 す る円 の 中心 を求 め る問 題 に変 換 され る。
④ 数 学 的 な 問 題 を 解 く こ と。
三角 形 に外接 す る 円の 中心 は、三角 形 の各 辺 の垂 直 二 等 分線 の交 点 に あ る とい う事 実 を使 うた め に 、三 角 形
の二 辺 の 二等 分 線 を 引 く。2つ の二 等 分線 が交 わ っ た 点 が 円の 中心 で あ る。
⑤ 現 実 の 状 況 に 即 し た 形 で 数 学 的 解 答 を 解 釈 す る こ と。
発 見 した この こ とを、現 実 の公 園 に関係 づ けて み る。 そ して 、 この解 答 に つ いて 熟 考 し、例 え ば、公 園の3
つ の角 の1つ が 鈍 角 で あ る場合 、街 灯 の位 置 は公 園 の外 にな っ て しま うこ とにな るので 、 この解 答 は妥 当で な
い こ とを認 識 す る。 公 園 の 中 に あ る樹木 の位 置 や 大 き さが 、数 学 的解 答 の有 用性 に影 響 す る他 の要 因 で あ る こ
とを認識 す る。
-59一
公 開授 業 にお い て も、 こ の ス テ ップ を踏 襲 しな が ら授 業 を進 め た。 生 徒 た ち が どの よ うな 思 考 過 程
を辿 っ て い た の か を 、
生 徒 に よ る記 録 か ら考 察 した い。【
資 料3】 に生 徒 に よ る 記 録 の 一 部 を紹 介 す る。
[① 現 実 に存 在 す る 問 題 か ら出 発 す る こ と]
[②数 学 的 な概 念 に よ っ て そ の 問題 を構 成 す る こ と]
① と② につ い て は 、 十 分 意 識 で き て い た。 特 に 、 公 園 の形 を三 角 形 と捉 えて 表 現 す る こ とや 街 灯
の光 の 広 が りを 同心 円 と して 理 解 す る こ とが で き て い た 。
[③ 問題 の どの 主 要 点 が 重 要 で あ るか を仮 定 した り、 一 般 化 した り、 定 式 化 した りす る な ど の過 程
を通 じて 、徐 々 に現 実 の 形 を整 え て い くこ と]
この ス テ ップ が 「
数 学 化 、 理 想 化 、 単 純 化 」 の要 点 で あ る。 こ の 時 点 で 条 件 を 目的 に応 じて 取 捨
選 択 し、定 式 化 す る必 要 が あ る。今 回 の 場 合 、 「
で き る だ け 広 い範 囲 を照 らす 」 とい う条 件 を重 視 し
た班 は 「
三 角 形 の外 心 を作 図 す る 」 とい う数 学 的 課 題 へ 、 「
で き る だ け無 駄 な く明 る く な る よ うに 照
らす 」 と い う条 件 を 重 視 した 班 は 、 「
三 角 形 の 内 心 を作 図す る」 とい う数 学 的 課 題 へ と翻 訳 され た。
[④数 学 的 な 問 題 を解 くこ と]
これ は ③ の ス テ ップ で 獲 得 され た 数 学 的 課 題 を 、既 存 の知 識 に 照 ら し合 わ せ て(数 学 的 に)解 決
で き て い る。
[⑤ 現 実 の状 況 に即 した 形 で 数 学 的解 答 を解 釈 す る こ と]
この ス テ ップ は 、 生 徒 に よ る差 異 が 大 き く見 られ た 。 現 実 の 公 園 に 関係 付 け て 考 えて み る と、本
当 に外 心 の位 置 に街 灯 を立 て る こ とが 合 理 的 で あ るか とい う判 断 は 、 多 くの 生 徒 の 考 察 に は 見 られ
な か っ た 。 一 部 に は 、 外 心 に 立 て る と半 分 程 度 は公 園 の外 を照 らす こ とに な る とい う指 摘 を して い
る生 徒 も い た 。
こ の よ うに 、 数 学 化 サ イ クル の な か で 最 後 の 段 階 に あた る 、 数 学 的 に得 られ た 解 を再 び 現 実 世 界 に
解 釈 し直 し、現 実 の解 決 方 法 と して吟 味 す る こ と は 、1年 生 の 時 点 で は 困難 で あ る。 した が っ て 、1・
2年 生 の 時 点 で 育 成 す べ き部 分 は 、「
数 学 化 」の段 階 と 「
数 学 的解 決 」の 段 階 で あ る と考 え る。加 え て 、
数 学 化 、 モ デ ル 化 す る 際 に低 学 年 で は で き る だ け シ ンプ ル な 条 件 設 定 を心 が け る と と も に 、今 回 の よ
うに多 様 な 判 断 が 可 能 に な る課 題 の設 定 が 求 め られ る。 ま た 、 条 件 が い か な る背 景 を も っ て選 択 され
た の か 、 そ の条 件 が 数 学 の 問題 と して どの 部 分 に反 映 され て い る の か を認 識 した 上 で 、 数 学 的 解 決 が
な され る こ と こそ 、 数 学 的 リテ ラ シー の 要 素 に 挙 げ られ る も の で は な い か と考 え る。
5.授
業 研 究11
2008年 度 は2年 次 の 「
基 礎 数 学II(幾 何)」 を担 当 した 。2年 次 で は 、一 連 の 思 考 過 程 に重 点 を置 い
た 授 業 実 践 を 取 り入 れ た 。そ の一 例 と して 、筆 者 は2008年
関 す る授 業 を公 開 した。 こ の公 開 授 業 の 指 導 案 を 【
資 料4】
度 公 開研 究 会 に お い て 「
三 角 形 の 五 心 」に
に、 ワ ー ク シー トを 【資 料5】
にそ れ ぞ
れ 付 した 。
こ の授 業 で は 、 課 題 を説 明 し、 結 果 の 予 想 を生 徒 た ち に させ た 。 昨 年 度 の授 業 実 践 と は異 な り、数
学 が 用 い られ る状 況 と して は 「
私的」 な状況 か ら 「
科 学 的 」 な 状 況 に 変 化 して い る。 実 験 自体 は 穴 の
開 い た紙 の 上 に塩 を ま く とい う簡 単 な もの で あ っ た が 、 課 題 の解 決 に は 昨 年 度 と同様 に 「
理想 化」 し
て 数 学 の 問 題 と して 考 え る必 要 が あ っ た 。 今 回 の 場 合 は 、3つ の 穴 を 三 角 形 の 頂 点 とみ なす こ と、塩
が 三 角 形 状 に残 る こ と、 そ して 残 っ た塩 の つ く る 山 の 頂 点 が 五 心 の どれ に な るの か を数 学 的 に判 断す
る こ と とい う一 連 の 「
数 学 化 サ イ クル 」 を狙 っ て 授 業 を構 成 した 。 グル ー プ に な っ て 実 験 、討 議 を行
っ た 。 どの 班 も深 い 考 察 が み られ た。1つ 穴 や2つ
一60一
穴 で の予 備 実 験 を 行 っ た り、 落 ち た 方 も塩 に着 目
した り、授 業 者 の 予 想 を超 え た 議 論 が 行 わ れ て い た。
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5-1.研
究協 議 の 内 容
■質疑応 答
Q.穴
の あ け 方 に つ い て は ど の よ う に 設 定 し た の か?
A.穴
の 大 き さは 教 師 の 方 で指 定 し、 あ け て い る。 ま た 、 穴 の位 置 も こ ち らで 設 定 して い る。 穴 の位
置 を 変 え た い と い う意 見 は 、 今 日 出 て き た 。 塩 の 巻 く位 置 は 、 特 に し て い な い 。
Q.次
の 時 間 は ど の よ うな こ と を され る 予 定 か?
A.次
は 、 各 自で 穴 を 開 け 、 実 験 をす る授 業 を考 え て い る。
-61一
Q.グ
ル ー プ で の 授 業 と 、1人1人
の 授 業 の 割 合 は ど の 位 か?ま
た 、 班 の 構 成 員 は何 か 設 定 され て い
ま す か?
A.コ
ン ピ ュ ー タ ー の 授 業 で は 、2人1組
の 話 し 合 い を よ く す る 。 グ ル ー プ:個
人 一3=1く
らい。
班 の 構 成 員 は 、 特 に こ ち らで 設 定 せ ず 、席 の近 い 生 徒 で構 成 して い る。
Q.数
学 化 サ イ クル で は 、 現 実 世 界 か ら入 っ て 、 現 実 の 世 界 に 返 っ て く る と書 い て あ るが 、今 回 の指
導 案 で は 、 習 得 を 目 的 と さ れ て い る 。 現 実 の 世 界 に 返 っ て く る 部 分 は ど の よ うに 考 え て い る か?
A.活
用 の サ イ ク ル を 意 識 し て い る 。1つ
の 課 題 の な か で 、 ど うや っ て 数 学 的 に 考 え る か を 重 視 し て
指 導 して い る。
Q.思
考 ス キ ル に つ い て 、今 回 は 仮 定 法=演
繹 、帰 納 法 な ど 思 考 法 は 生 徒 自 身 考 え て い る の か 、ま た 、
先 生 は 考 え て い る か?
A.生
徒 自身 も 仮 定 し た と発 言 す る こ と か ら 、 仮 定 す る な ど の 思 考 は 意 識 させ て い る 。
Q.附
属 小 出 身 者 が 議 論 を 引 っ 張 っ て い る と感 じ る か?
A.そ
う とも 限 らな い が 、 発 言 は多 い し、 反 応 も速 い 。
Q.単
純 な 穴(1つ
A.穴
の あ け 方 に 、技 術 的 な も の は 関 係 な い と 考 え る 。今 回 は 三 角 形 の 五 心 を テ ー マ と して い る た め 、
穴 の も の)で
は 駄 目 な の か?
3穴 で 設 定 し た 。
Q.作
図 ツ ー ル は ど こ ま で 使 っ て い る の か?
A.こ
れ ま で 、SketchPadやCabriを
Q.韓
こ れ ま で ず っ と使 っ て き て い る 。
国 で 同 じ よ うな 授 業 を み た 。砂 時 計 の 砂 で あ っ た 。落 ち る と き も 、同 じ速 さ で あ る べ き で あ る 。
そ の た め に は 、 そ の た め の 角 度 が 必 要 。 そ の 辺 の 配 慮 は ど う され た か 。 流 体 力 学 が し っ か り わ か
っ て い な い と で き な い の で 、 感 心 し て い る 。 た だ 実 験 させ られ て い る と 生 徒 が 感 じて い る こ と は
な い の か。 グル ー プ で 学 習 す る の は 、 グル ー プ で 考 え 、個 人 に も ど っ て く る か とい うの が 必 要 。
今 回 は 生 徒 が 学 び あ っ て い た 。 穴1つ
A.精
が 出 て き て 、 安 心 した 。
度 は 低 い も の で す 。 穴 が 等 間 隔 で な い 。 見 て 欲 しい 点 よ り 、 高 い や ま が で き て し ま う グ ル ー プ
もあ っ た。 変 わ っ て い な い 点 を 見 い 出 して も らえ た ら と思 っ て い る。 課 題 の 提 示 につ い て は 、難
し い 。 や っ て み た い と思 え る も の で な い と い け な い 。 「ど う し て 実 験 を し な い と い け な い の か?」
と 思 っ て し ま う。 ま ず 、 や っ て み よ う 、 そ こ か ら 、 「お お 一 」 と感 動 す る こ と を き っ か け と し て 、
考 え て くれ た ら と 思 い な が らや りま し た 。1穴
、2穴
とい っ て い い も の か は迷 っ た 。 多少 の 示 唆
は必要 であ るが、全員 には言 わないで いたい。
Q.穴
を 仮 定 す る と い っ た の が 、 大 切 だ と思 う。 き れ い に 落 ち る よ う に 先 生 が 設 定 す る の が 大 切 な の
か?1辺
上 に3っ
の 穴 が あ る な か で や っ て み よ うと試 行 実 験 を して い る 生 徒 が い た の は よか っ た 。
も うす こ し 、 そ の 辺 の 示 唆 が 必 要 で あ っ た の で は?
A.あ
る 程 度 の 精 度 が 必 要 で あ る 。 あ い ま い な 部 分 が 残 っ て い る と い う部 分 で は 、 も う少 し示 唆 す る
必 要 で あ っ た 。 そ の 辺 りの 指 示 が 弱 か っ た 。
-62一
Q.こ
の授 業 で は 、 理 想 化 す るが 目的 で あ る か らよ い が 、 生 徒 か ら精 度 を上 げ よ うとい う意 見 が 出 た
らい い と思 っ た 。 曖 昧 な ま ま や っ て しま う と、 間 違 っ た ま ま や っ て しま うの で 、 仮 説 実 験 は危 険
な 場 合 も あ る。
A.パ
ラメ ー タ が た く さん あ り、 難 しい 部 分 で も あ る。 精 度 を上 げ る こ とは ま だ して い な い。
Q.広
く話 し合 い が で き て い る。 課 題 設 定 も よか っ た 。 モ デ ル と して の 塩 の 実 験 と、 数 学 上 の 実 験 が
あ る と思 うが 、今 日、生 徒 が 書 い た 円 を 同 じに した い な と考 え る。2つ の 穴 の 間 で で き た線 分 は 、
ま と め な くて も い い の で は?以 前 の ノー トと対 比 し な が ら考 え て い た 、 ど うや っ た ら、 山が 同 じ
に な る の だ ろ う?も う一 つ 穴 を あ けて は い け な い の?鈍 角 な ら ど うな る の?生 徒 た ち は 、 教 師 の
ま と め で考 え を停 止 させ られ て しま っ て 、 も っ た い な い と感 じた 。 も う少 し、整 理 して 終 わ っ て
も よか っ た と感 じた 。
A.最
後 は 強 引 だ っ た と思 う。 次 回 は 抑 え た い と思 う。 カ バ リエ リを 言 い た か っ た 生 徒 も い るが 、 時
間 的 に急 い で しま っ た 気 が します 。 何 人 か は、 立 体 的 に 見 て い る。 上 と下 を対 比 して い る生 徒 も
い た 。 次 回 は 、 も う少 し意 見 を拾 っ て い く必 要 が あ る。
Q.五
心 を こ の よ うに あ つ か うの は以 前 か らや っ て い る こ とか?韓 国 に行 っ た とき に は 、 大 掛 か りな
も の だ っ た が 、 今 回 は 、 簡 単 な も の だ っ た の で や り易 い 。 グル ー プ で 活 動 す る場 合 、 一 緒 に活 動 で
き な い 生 徒 が い る こ とが 自分 の 学 校 で は気 に な る が 、 そ の よ うな こ と は こち らで は?
A.以
前 か らや っ て い る。 個 人 的 に は 、 グル ー プ で は 、 ① 非 難 を しな い 、 ② 活 発 な 生 徒 に全 員 の意 見
を 聞 く、③ 最 後 に 自分 で書 か せ る、 こ の3点 を1年 生 か ら言 っ て い る。 ③ で は 、 グル ー プ で 話 し
合 っ た 後 で 意 見 が 変 わ っ て く る こ と も多 い 。
■指導助 言者 か ら
小 林 毅 先 生(奈 良 女 子 大 学 大 学 院 人 間文 化 研 究 科 教 授)
以 下 の3点 が 気 に な っ た 。
① 消 去 法 で考 え る の は 、 正 しい 観 点 で あ る の か 。
② 実 験 と理 想 の 差 異 が 非 常 に あ い ま い で とま ど っ た。1つ
が違 う。2つ
の 穴 と塩 を落 とす 位 置 が 違 う と、 穴 の形
の穴 に で き るの は 、線 分 で は な い。 これ を 取 り上 げ るべ き で あ っ た 。 そ こか ら、外
心 な ど の考 えが 浮 か ぶ 。 理 想 論 か も しれ な い が 、 生 徒 自身 も とま どい が あ っ た は ず 。
③ 子 ど も で あ ろ う と、 大 人 で あ ろ うと、 数 学 の 内容 は 変 わ らず 、 こ と ば が 変 わ る だ けだ と考 え る。
今 日の 取 り扱 い 方 は 、 大 人 が 聞 い て 、 な るほ ど と思 え る もの で あ っ た か。
重 松 敬 一 先 生(奈 良 教 育 大 学 副 学 長)
PISAで
本 当 に で き る生 徒 とは 、 どの よ うな 生徒 か 。 実 際 、 問題 に 直 面 した と き に 自分 で うま く リ
ン ク し、 取 り組 む こ とが で き る生 徒 が そ うで あ る。 知 識 的 な理 解 を 、 日常 的 な も の に リン ク して 考 え
る こ とで 達 せ られ る。 同 じよ うな 場 面 は 日常 に あ る か も しれ な い 。 そ こか ら、 興 味 を持 っ て も らい た
い 。 問題 は 、 成 績 が 自分 の 将 来 と結 び つ い て い な い と考 え て しま う部 分 で あ る。 方 法 的 な学 び と して
の 、 リテ ラ シー の 学 び が 必 要 で あ る。 穴 を3つ 開 け る方 法 も 考 え 出 して み る。
ま た 、 公 立 中 学 校 で ど う使 え る か とい う点 で も う一 度 考 え て も らい た い 。 新 学 習 指 導 要 領 の 数 学 活
動 が 、 教 師 の 中 で どの よ うに落 ち て い る の か を考 え て も らい た い 。 数 学 的 活 動 は 、3っ あ る。 ① 基 本
的 に数 学 を学 習 す る 、 ② 内 容 を学 習 す る、 ③ 数 学 を方 法 と して使 う こ と を学 習 す る 、 で あ る。 今 日の
授 業 は 、 方 法 か ら内容 ま で の提 案 で あ っ た 。 失 敗 す る こ と も大 切 だ が 、 準 備 をす る こ とが 大 切 。 生 徒
一63一
が 困 っ て 考 え る とい う場 面 が あ り、先 生 も楽 しん で い る。 実験 道 具 が 、 簡 単 な も の で あ っ た と こ ろ が
評 価 で き る。 数 学 的 に 状 況 を表 現 した り、 整 理 した りす る と こ ろ を 、 生 徒 は 考 え て い る。 数 学 的 に整
理 し、 以 前 か らの 数 学 の 授 業 との 関 わ りを確 認 して い くべ き で あ る。 プ リン トの 意 見 交 換 も して い た
だ き た か っ た。 グル ー プ の 意 見 と個 人 の 意 見 との 対 比 が で き る よ うな プ リン トとな っ て い た の か 。 数
学 と も う少 し絡 め て い く方 が よか っ た の で は な い だ ろ うか 。
5-2.考
察
こ の公 開 授 業 にお い て 、1年 次 の 実 践 よ りも 「
数 学 化 サ イ クル 」 の 一 連 の活 動 を意 識 した も の で あ
っ た 。 数 学 化 の5つ の ス テ ップ を以 下 の よ うに3つ の 段 階 に分 け て説 明 して い る。 そ れ ぞ れ の 段 階 に
つ い て 、 一 連 の 数 学 化 サ イ クル の どの 段 階 が達 成 され て お り、 どの段 階 に到 達 して い な い の か を判 断
す る こ と に よ り、1・2年
の 時 点 で育 成 され るべ き数 学 的 リテ ラ シ ー を絞 り込 む こ とが で き る。
まず は 、 現 実 世 界 の 問 題 を数 学 の 問題 へ と 「
理 想 化 、 単 純 化 」 す る段 階 で あ る。
■現 実 に位 置 づ け られ た問 題 か らみ て 関連 の あ る数 学 を特 定 す る こ と。
■ 問題 を別 の方 法 で表 現 す る。 これ に は、問題 を数 学 的概 念 に従 っ て構 成 す る こ と と適 切 な仮 説 を
設 定 す る こ とが含 まれ る。
■ 問題 の 言語 と、問題 を数 学 的 に理 解 す るの に必 要 な記 号言 語 及 び公 式 言 語 との間 の 関係 を理 解 す
る こ と。
■規 則 性 、 関係 及 びパ ター ン を見つ け る。
■既 知 の 問題 と同型 の側 面 を認 識 す る。
■ 問題 を数 学、 す な わ ち数 学 的 モデ ル に翻訳 す る。
昨 年 か ら見 られ た よ うに 、 今 回 の 課 題 が 、3つ の 穴 に よ っ て 作 られ る三 角 形 の 問 題 と して 捉 え る こ と
が で き て い る。 ま た 、 「
塩 に 山 の頂 点 が どの位 置 に で き る か 」 とい う問 題 の言 語 を 「
三角形 の各頂点 か
ら等 距 離 に あ る点 は どの よ うな 点 で あ るか 」 とい う数 学 の言 語 に変 換 して 問題 を捉 えて い る 生 徒 が 多
い 。 この よ うな 状 況 か ら、 現 実 の 問題 を数 学 の 世 界 へ 翻 訳 す る能 力 は1年 次 を通 して 育 成 で きた と判
断 す る。
次 に 、 数 学 の 世 界 の 中 で 、数 学 的 に解 決 す る とい う段 階 で あ る。
■異 な る表 現 方 法 を使 用 し、切 り替 え る こ と。
■記 号 言語 、公 式 言語 、技 術 的言 語 と演算 を用 い る こ と。
■数 学 的 モデ ル を精緻 な もの に し、調 整す るこ と。 ま た、 モ デル を結 合 し、統 合 す る こ と。
■論 証 す る こ と。
■一 般 化す る こ と。
こ の段 階 につ い て は 、 図 、言 葉 、 記 号 とい っ た 様 々 な 表 現 方 法 を も って 生 徒 た ち は 自分 の 考 え を表
現 して い る。 ま た 、 仮 説 を幾 何 の 言 語 を用 い て 、 論 証 し よ うとす る 姿 勢 も多 くみ られ た 。 さ ら に は 、
1穴 の場 合 や2穴
の場 合 を 自分 た ち で 実 験 して 確 か め よ う とす る姿 勢 は 、 自分 た ち の 構 築 した 数 学 的
モ デ ル を 補 強 し、 必 要 に 応 じて 修 正 す る こ とへ とつ な が っ て い くも の で あ る。 ゆ え に 、 こ の 段 階 も 一
定 の能 力 が 育 成 され た と判 断 して よ い 。
最 後 に 、 数 学 的 な解 答 を現 実 の 世 界 に再 び 翻 訳 し、 現 実 的 な解 答 と して の 妥 当性 を吟 味 す る段 階 で
あ る。
-64一
■数 学 的概 念 の範 囲 と限界 を理解 す る こ と。
■数 学 的 議論 につ い て 熟考 し、 結果 を説 明 し、正 当化す る こ と。
■ プ ロセ ス と解 答 を伝 達す る こ と。
■ そ のモ デル と限 界 を批 評 す る こ と。
1年 次 の 実 践 で は 、 この 段 階 が 十 分 で な か っ た 。 現 実 の公 園 に立 て る街 灯 の位 置 が 、 外 心 の 位 置 で
あ る こ との 合 理 性 を判 断 す る こ と が で きず 、
数 学 的 解 答 が 得 られ た 時 点 で 満 足 して い る者 が 多 か っ た。
今 回 の 実 践 にお い て も、 塩 の落 ち方 か ら同 心 円 や 線 分 を見 た 生 徒 が 多 か っ た が 、 授 業観 察 者 の 指 摘 に
も あ る よ うに 、 実 際 は 穴 の 大 き さや 塩 の ま き方 な どで 大 き く左 右 され て しま う く らい の 精 度 が 低 い 実
験 で あ っ た 。 今 回 の実 験 の 様 子 か ら、 本 当 に塩 が 、 穴 を 中 心 とす る 同 心 円状 の 落 ち方 をす る の か 、稜
線 ら しき も の を 直 線 と捉 え て よい の か とい う疑 問 が新 た に生 ま れ 、 よ り精 度 の 高 い 実 験 とモ デ ル 化 に
受 け継 が れ て い く こ とが 、 最 終 的 に 目指 す べ き 「
数 学 化 サ イ クル 」 な の で あ り、2年 生 の 時 点 で も 、
や は り現 実 の世 界 に還 元 して評 価 、 改 良 す る こ とは 困難 な の で あ る。
6.お
わ りに
2年 間 の 実 践 の 結 果 か ら、1・2年
の 実 践 に共 通 して言 え る こ と は 、低 学 年 で あ っ て も 、 「
数 学化 サ
イ クル 」 の うち 、 現 実 の 世 界 の 問 題 を 数 学 の世 界 に翻 訳 す る こ と、 お よび 理 想 化 され た 問 題 を数 学 の
世 界 で 思 考 、解 決 す る こ とは十 分 に達 成 で き る も の で あ る とい え る。 一 方 で 、 得 られ た 数 学 的 な解 答
を再 度 現 実 の世 界 へ 戻 して 、解 答 と して の 妥 当 性 や 正 当性 を 吟 味 す る こ とは 困 難 で あ る こ とが 明 らか
となった。
これ に は3つ の 要 因 が あ る と考 え る。1つ
目 と して 、 現 実 世 界 の言 語 で 語 られ る 問 題 を数 学 の言 語
に 翻 訳 す る際 に 取 捨 選 択 され る条 件 や 仮 定 が 、 現 実 世 界 にお い て は どの よ うな 意 味 を も ち 、 こ の 問題
の 本 質 に ど の よ うに 関 与 して い る の か とい う意 識 が希 薄 で あ る こ とが 挙 げ られ る。 最 初 の数 学 化(現
実 世 界 の 問 題 を 数 学 の 世 界 に翻 訳 す る活 動)の 時 点 で こ の意 識 を持 た な い と、 解 答 の 吟 味 や モ デ ル の
修 正 に つ な が るは ず が な い 。 例 え ば 、街 灯 の 問 題 で は 、 公 園 に 立 て る街 灯 と して 重 視 され る 条 件 が 、
よ り広 範 囲 を照 らす こ と に あ るの か 、 で き る だ け光 の ロス が な い よ うに照 らす こ とな の か に応 じて 、
得 られ た解 答 の 評 価 は 大 き く異 な る。 「
三 角 形 の 公 園 の 外 心 の 位 置 に 立 てれ ば よ い 」 とい う解 答 は 、前
者 の立 場 で は正 当 な解 答 で あ るが 、 後 者 の 立 場 で は無 関 係 な場 所 を広 く照 ら して しま う無 駄 の 多 い解
答 とな る。 こ の よ うな 押 さ え が 十 分 で あ っ て は じめ て 、 解 答 の 吟 味へ 意 識 が 向 くも の で あ ろ う。
2つ 目に 、 普 段 扱 う問題 が多 様 な解 釈 を生 む よ うな 問 題 設 定 に な っ て い な い こ とが あ る。 数 学 の 問
題 は答 え が 一 つ に 定 ま り、 ア プ ロー チ が 異 な っ て も 同 じ結 論 を導 く とい う生 徒 の 思 い 込 み が 、 得 られ
た解 答 の評 価 とい う活 動 に至 らな い 原 因 で あ ろ う。 解 答 が1つ に 定 ま る とい う面 も確 か に数 学 とい う
学 問 の1つ の特 質 を表 す も の で あ ろ うが 、「
数 学 的 リテ ラ シー 」の 観 点 か らす る と、不 十 分 な の で あ る。
数 学 的 な解 の正 当性 と現 実 の解 と して の 正 当性 に隔 た りが あ る こ とを認 識 し、 そ の 隔 た りが 条 件 設 定
とモ デ ル 化 の過 程 に起 因 す る こ と を理 解 し、 モ デ ル の修 正 を行 うこ とが 、 数 学 化 サ イ クル の真 髄 な の
で あ る。
3つ 目 に は 、
数 学 的 モ デ ル と現 実 世 界 の 現 象 を結 び つ け る科 学 的 知 識 の 不 足 が 考 え られ る。これ は 、
現 実 世 界 の 問題 を数 学 の 言 語 に 翻 訳 す る際 に も、 得 られ た 数 学 的 な解 を検 討 す る 際 に も 当 て は ま る こ
とで あ る。 現 実 世 界 の 現 象 を数 学 的 に 記 述 す るた め に は 、 現 象 を科 学 的 に理 解 して お く こ とが 重 要 な
意 味 を もつ 。 逆 に、 科 学 的 な知 識 が 乏 しい と、 現 象 を 正 確 に数 学 の言 語 に翻 訳 す る こ とが 困難 で あ っ
一65一
た り、 正 当性 の 判 断 も曖 昧 に な っ た り して しま う。 例 え ば 、塩 の 実 験 で は 、塩 が どの よ うな 落 ち方 を
す る の か 、 穴 の 周 りで は どの よ うな こ とが 起 こ っ て い る の か を考 え る こ とな く、 残 っ た 塩 を 見 て 円や
線 分 を認 識 して は 、 正 確 な 判 断 が で き な くな るの で あ る。
以 上 か ら、1・2年
生 で 育 成 され る べ き 「
数 学 的 リテ ラ シ ー 」 は 、 「
数 学化」の段 階 と 「
数 学 的解
決 」 の段 階 に あ り、 解 決 す べ き 問 題 の な か で 、 どの条 件 が 優 先 され て 数 学 化 され る べ き も の で あ る か
を考 慮 す る こ とが 必 要 とな る。 モ デ ル 化 の 過 程 にお い て 、 条 件 が 選 択 され た背 景 や 条 件 が 数 学 の 問題
と して もっ 意 味 を把 握 した 上 で 、 数 学 的 な 考 察 が 行 わ れ る こ とが 重 要 で あ る。 そ の た め に は 、 た と え
精 度 の低 い 実 験 や観 察 で あ っ て も積 極 的 に実 践 す る こ とが 効 果 的 で あ る。 この よ うな 実 践 に よ り、 中
学 年 あ るい は 高 学 年 の 段 階 で 、 現 実 の 問 題 と して の再 検 討 や 数 学 モ デ ル の修 正 とい っ た 段 階 に到 達 で
き る基 礎 が 完 成 され る もの と考 え る。
参考文 献
[1]奈 良 女 子 大 学 附 属 中 等 教 育 学 校 研 究 紀 要 第43集(1)(2002)
[2]国 立 教 育 政 策 研 究 所 編,「 生 き る た め の 知 識 と技 能 」,OECD生
年 調 査 国 際 結 果 報 告 書,ぎ
徒 の 学 習 到 達 度 調 査(PISA)2003
ょ うせ い(2004)
[3]国 立 教 育 政 策研 究 所 監 訳,「PISA2003年
調 査 評 価 の 枠 組 み 」,ぎ ょ うせ い(2004)
[4]長 崎 栄 三,瀬 沼 花 子,「OECD生
徒 の 学 習 到 達 度 調 査2003年
リテ ラ シー 一」,日 本 数 学 教 育 学 会 誌 第87巻 第1号(2005)
調 査 の 国 際 結 果 一15歳 児 の 数 学 的
[5]奈 良 女 子 大 学 附 属 中 等 教 育 学 校,ス ー パ ー サ イ エ ンス ハ イ ス ク ー ル 研 究 開 発 実 施 報 告 書,第1年
次(2005)∼ 第4年 次(2008)
-66一
【
資 料1】
2007年 度
内部 公 開 授 業(SSH研 修)数
学 科学習 指導案
授 業者
■ 日時
川口
慎二
平 成19年11,月6日(火)7限(15:15-16:00)
■学 級1年C組
男 子19名
■教 室1年C組
■科 目 ・単 元
数学科
女 子21名
計40名
普 通教室
基 礎 数 学1(幾
何)「
作 図 とそ の 応 用 」
■単 元 目標
図 形 が無 数 の点 の 集 合 で あ る こ と を認 識 し、 円 や 垂 直 二 等 分 線 、 角 の 二 等 分 線 な どの 定 義 お よ
び 性 質 を理 解 す る。 ま た 、 そ れ らの 作 図方 法 を習 得 し、作 図 を用 い て 種 々 の 問題 が 解 決 で き る。
さ ら に 、作 図 の過 程 を文 章 で 説 明 す る こ と に よ り、 論 理 的 表 現 力 を育 む 。
■題 材 観
幾 何 の歴 史 を振 り返 れ ば 、 そ の 起 こ りが 古 代 エ ジ プ トに お い て 、 ナ イ ル 河 の氾 濫 が 起 こ っ た あ
との 肥 沃 な 土 地 の 分 配 、 区 画 整 備 の 必 要 性 に あ る こ と は よ く知 られ て い る。 幾 何 学(geometry)
とい う学 問 の 名 が 「
地 球 を 測 る」、 「
測 地 術 」 とい うギ リシ ャ語 に 由来 す る こ とか ら も わ か る。 こ
の よ うに 、 幾 何 学 は 日常 生 活 にお け る重 要 な 問題 の 解 決 とい う具 体 的 な必 要 性 か ら、 図 形 そ の も
の に 共 通 す る性 質 を取 り出 し、 分 析 す る とい う抽 象 的 な普 遍 性 を 求 め る 学 問 に発 展 した。 今 回 の
授 業 にお い て 、 現 実 世 界 の 具 体 的 な 問 題 を理 想 化 ・単 純 化 す る こ と に よ り、 幾 何 の 問 題 と して捉
え解 決 を 目指 す こ と は、 幾 何 とい う学 問 の 大 き な 流 れ を体 感 す る よい 機 会 に な るで あ ろ う。
そ して 、 上 述 の 古 代 エ ジ プ トに お け る 区 画 整 理 の 必 要 性 か ら鑑 み て も わ か る よ うに 、 作 図 問題
は 幾 何 の最 も基 本 的 な 問題 と して 、 古 代 か ら多 くの 技 術 者 や 科 学 者 、 数 学 者 が 取 り組 ん で き た。
大 地 に直 線 を 引 く こ とや 一 定 の距 離 を測 る こ とな ど の具 体 的 な作 業 は 、や が て石 板 、 木 板 や 紙 の
上 に 場 所 を移 し、定 木 と コ ンパ ス の使 用 に 制 限 を設 け る形 で よ り抽 象 的 な 作 業 へ と変 化 を遂 げ た。
そ の 長 い発 展 の過 程 の 中 で 、「
三 大 作 図 問 題 」の よ うに多 くの 数 学 者 の 関 心 を 喚起 す る 問題 も提 起
され た 。 「
三 大 作 図 問 題 」 は 、 円 の 正 方 形 化 、一 般 角 の 三 等 分 、 立 方 体 の倍 積 につ い て の 問題 で あ
る が 、 いず れ も方 程 式 を用 い た代 数 的 方 法 に よ り、 問 題 の 提 起 か ら約 二 千 年 後 に そ の不 可 能 性 が
立 証 され た 点 は興 味 深 く、 同 時 に 作 図 に お け る幾 何 的 発 想 は 、幾 何 学 の み に留 ま らず 数 学 全 般 に
有 効 で あ る こ とが 窺 え る。
さ らに 、今 回 の授 業 で は2003年
習 到 達 度 調 査 」(PISA調
に 実 施 され た 経 済 協 力 開発 機 構(OECD)に
査)の 問題 を用 い て お り、PISAの
よ る 「生 徒 の 学
提 唱 す る数 学 的 リテ ラ シー の分 析 と育
成 に も有 効 で あ る。 実 際 の 問 題 に 対 して有 効 な数 学 的 手 段 を見 つ け出 し、 関 連 す る知 識 を活 用 し
て解 決 し、 さ らな る課 題 へ と発 展 させ て い く こ とが 可 能 な 題 材 で あ り、PISAの
ス タ ー 」 育成 に どれ だ け有 効 で あ るか を 見 る た め に最 適 で あ る と考 え る。
-67一
いう 「
熟考クラ
■指導 計画
全8時 間
(1)図 形 が無 数 の点 の集 合 で あ る こ と を認 識 し、 円 の 定 義 を理 解 す る。・ ・ …1時
間
(2)線 分 の 垂 直 二 等 分 線 の 定 義 お よび 性 質 を理 解 し、 そ の 作 図方 法 を習 得 す る。・ …2時
(3)角 の 二 等 分 線 の 定 義 お よび 性 質 を理 解 し、 そ の 作 図 方 法 を習 得 す る。・ ・ …2時
(4)垂 線 の 作 図方 法 を習 得 し、 平 行 線 の 引 き方 を理 解 す る。・ ・ …1時
(5)作 図 を 用 い て 、 現 実 世 界 の 問題 を解 決 す る。・ ・ …2時
間
間
間
間(本 時 は そ の2時 間 目)
■本 時 の 学 習 指 導
現 実 的 な 問 題 を理 想 化 ・単 純 化 す る こ と に よ り、 幾 何 の 問 題 と して 捉 え る こ とが で き る こ とお
よ び 、 図形 の 性 質 を も とに 判 断 し、 必 要 な 作 図 を 活 用 して 問 題 の 解 決 を 目指 す 。
■本 時 の 目標
・課 題 に 対 して積 極 的 に 取 り組 み 、 自分 の 意 見 を グル ー プ に 発 表 し、議 論 に参 加 す る。(関 心 ・
意 欲 ・態 度)
・具 体 的 な 課 題 か ら必 要 な 条 件 を 抽 出 し、幾 何 の 問題 へ と理 想 化 ・単 純 化 で き る。(数 学 的 な 見
方 ・考 え方)
・自分 の 考 え方 を文 章 で 述 べ た り、 相 手 に伝 えた りす る こ とが で き る。(表 現 ・処 理)
・課 題 の解 決 に 必 要 な作 図 を選 択 し、正 し く作 図 す る こ とが で き る。(知 識 ・理 解)
■PlSAの 枠 組 み
● 数 学 的 な 内容(包 括 的 ア イ デ ア)空
間 と形
● 数 学 的 プ ロセ ス(能 力 ク ラ ス タ ー)熟
考 ク ラス ター
● 数 学 の 用 い られ る状 況
公 共的
●文脈
公 園 に お け る街 灯 の 位 置
●8つ の 能 力
思 考 と推 論 、 コ ミュ ニ ケ ー シ ョン、 モ デ ル 化 、 表 現 、
問 題 設 定 と問題 解 決
■評 価
ア
課 題 の状 況 を捉 え、 幾 何 の 問題 へ と理 想 化 ・単 純 化 す る。(数 学 的 な 見 方 ・考 え方)
イ
三 角 形 の 外 心 が 求 め る解 で あ る こ とを判 断 し、 正 確 に 作 図 で き る。(知 識 ・理 解)
「
十 分満 足 で あ る と判 断 され る」 状 況(a)と評 価 す る具 体 例
ア
課 題 の な か で必 要 な 情 報 の み を 取 り出 し、幾 何 の 問 題 と して ノ ー トの 上 で 議 論 や 考 察 が で き る。
イ(公
園 の端 の)3点
ま で の 距 離 の 等 しい点 が 三 角 形 の 外 心 で あ る こ とを用 い て 、問 題 を解 決 す る。
「
努 力 を要 す る と判 断 され る」 状 況(c)と評 価 され る生 徒 へ の 手 立 て
ア
課 題 の状 況 を丁 寧 に説 明 し、 ノー トの 上 で どの よ うに 考 え た ら よい か を示 唆 す る。
イ
光 の 広 が り方 を確 認 して 、 求 め る点 の満 た す 条 件 を考 え させ る こ とに よ り、 三 角 形 の外 心 の 作
図 が 必 要 で あ る こ とを認 識 させ る。
-68一
■展 開
(※予 想 され る生 徒 の 反 応 、 ○ 教 師 の 発 問 、 ● 教 師 の 支 援 、 ☆ 評 価 の 観 点 、 ◆ 数 学 的 リテ ラ シー)
学習活動
課1.導
指導 上の留意 点
評価 の観点
入 と課 題 の 提 示
題
○ 「この よ うな 形 を した 公 園 が あ りま す 。夜 に
提
三角 形 の形 を した公 園
も多 くの 人 が 立 ち寄 る の で 、 こ の公 園 に1
示
に1本
の街 灯 を 立 て る
本 の街 灯 を立 て た い 。公 園 に 暗 い と こ ろ が で
必 要 が あ る。夜 間 で も公
き な い よ うに した い の で す が 、い っ た い 公 園
園全 体 が 明 る くな る よ
の どこ に街 灯 を た て た らよ い の で し ょ う
うにす る た め に は 、公 園
か 。」
の どの位 置 に街 灯 を 立
● 航 空 写 真 を提 示 しな が ら説 明す る。
て た ら よい の か。
● プ リン トを配 布 し、 問題 の 状 況 を 説 明す る。
● 外 心 を 内 部 に含 む 三 角 形 を 用 い て 考 え させ
る。
探2.個
人 ・グ ル ー プ に よ る 考
究
察
● ま ず は個 人 で 考 え、個 人 の意 見 と して ま とめ
活
※ 問題 の 意 味 を確 認 す る。
動
※ 光 の 広 が り方 を把 握 で き て
い な い。
させ る。
表現
● 生 徒 が 問 題 の 意 味 を把 握 して い る か を 巡 回
し な が ら確 認 す る。
※ 問 題 を 理 想 化 ・単 純 化 して
考 え て い る。
◆ 思 考 と推 論 、
☆ 自分 な りに 考
えをま とめてい
○ 「
で は 、 グル ー プ をつ く り、 自分 の意 見 とみ
ん な の意 見 を 比 べ て み よ う。」
るか 。(表 現 ・処
理)
● グル ー プ で の議 論 を促 す と と もに 、自分 の意
※ グル ー プ 内 で 、 自分 の 考 え
見 と他 者 の 意 見 を比 較 検 討 させ る。
方 を周 りと比 較 す る。
◆ コ ミュニケー
シ ョン
○ 「
それ で は 、グル ー プ全 員 で 、こ の 問題 を考
えて み ま し ょ う。」
※ グル ー プ で 議 論 を す る。
※ 議 論 に う ま く参 加 で き な
● グル ー プ 内 で 、 比 較 検 討 した結 果 を も と に 、 ☆ 積 極 的 に議 論
さ らに考 察 を深 め させ る。
い。
に 参 加 す る(関
心 ・意 欲 ・態 度)
○ 「で は、グル ー プ で ま と め た 意 見 を 聞 き ま し
ょ う。」
● グル ー プ の 意 見 を代 表 者 に発 表 して も ら う。
考3.考
察
察 と問 題 の 解 決
※ 問 題 を 理 想 化 ・単 純 化 して
○ 「この 問 題 を、幾 何 の 考 え方 を用 い て解 決 す
幾 何 の 問 題 と して捉 え る。
る た め に は 、どの よ うに す れ ば よい だ ろ うか。」
● どの よ うに 課 題 を理 想 化 ・単 純 化 し、幾 何 の
問題 と して認 識 して い る の か を確 認 す る。
-69一
◆モデル 化
考
察
※ 光 は 真 っ 直 ぐ進 む。(i)外
心 を 作 図 して い る場 合
☆現 実世界 の問
※ 光 は 同 心 円 状 に伝 わ る。
○ 「この よ うに(外 心 を)作 図 して い るが 、なぜ
題 を幾 何 の 問題
※ 光 は 光 源 か らの 距 離 が 大 き
この位 置 に街 灯 を 立 て る と よ い の か 、理 由 を説
と して捉 え る こ
いほど
明 して み よ う。」
とが で き る。
弱 く、 小 さい ほ ど強 い 。
● 光 の 広 が り方 や 外 心 の性 質 を も と に 、自分 の(数
※ なぜ 外 心 の位 置 に街 灯 を 立
言 葉 で 説 明 で き る よ う考 察 させ る。
方 ・考 え
方)
て る と よ い の か を説 明 させ
る。(ii)外
心 以 外 の作 図 を して い る場 合
○ 「
光 が な い と暗 くな っ て しま う。で は 、光 は
※ 光 の 広 が り方 か ら、 三 角 形
どの よ うに 広 が っ て い くの だ ろ う。」
の外 心 を作 図す れ ば よい こ と
● 光 の 広 が り方 が わ か る よ うな 具 体 的 な 事 例
に気 付 く。
を 挙 げ させ る。
● 光 の 広 が り方 を 、光 源 か らの 距 離 に 注 目 させ
て 、 同 心 円 を認 識 させ る。
-70一
学 的 な 見
【資 料2】
茜 穫 敷 学 翼 叢 飼ゆ
ワーウ シー ト
隻蝦
まずは 、自分 で考 えてみ 叢しょ う、 下の図 のなかに.街 灯 を立て る撹 醒 を誕 入 しましょ う.肇 た .
なぜモ こに立てれ ば よいのか.説 明 してみ 叢 しよ う.
1年()艦()善
曝贋
氏名()
下の写 真の よ うな空き地 に公鰯をう く蚤 ことに な むました.二 の公周 には夜で も峯 くの人に利
用 しても らえ るよ うに.1本
い よ うに
一定醐
の街 灯を立て る二 とに しま した.公 園 のなかに暗 い郭分 がで きな
る さが 照
韓
う}こ
照駄
たいのです 臥
いったい 公園 の どこに麟
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llご論賄
讐 躍遷
妻飼
刈,。
轟 ・
丁1饗
童鐘 ユ
器 ㌫
・ 、
爵 層
、 脈
一
角`噛
㈱ 一
理由】
幾何 の 考 ま,方を 用 い て この 岡 題 を解 訣 す るに は.ど の よ うに した ら よ い 凶 だ る うか、
一
→{}寸
る 必 要 が あ る愚
二の 蝕園 の 艦 を 、 下 図 の よ うな 三 角形 とみ て 考 え て 轟 よ う.
＼ 一 ㌔躍 弐乙∴
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塾 阻≦
昏 グ ルー プ の 意 見 を も と にLて.ク
ラ ス とLて の 意 見 を ま とめ て み まLよ
う.豊
塑」
この よ うに わ たLた
ちの 生活 に あ る裸 題 に は 、さ ま ざ まな 状 説や 条 件が 考 氏 られ ます.そ
題 の 条件(空 毒地 の 形 や街 灯 の本 甑)な どを い ろ い ろ と変 えて 考 え てみ ま し ょ う.
1課 題 の設 定1A
c
l理 想{ヒ 驚上
巨縄fヒ】
【
街 灯 の位 置 を決 画 た理 由1
1
詞
I
l課 題 の 解決 とそ の理 由 】
婁 晦 の 公 園予 定 地 に 街 灯 の位 置 を記 入 してみ まLよ
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出
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二で.課
【
資料3】
.三 角形の 「
外心」を街灯の位置と判断し姓 徒の考え
舶 分で問題を設定し鰍
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驚 難糠 欝撫驚謬灘 麟轡 灘糠ゑ
搬欝 孟
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誌(総 翻 観 臨 讐1欝 嬉
胤lll戴
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内心」を街灯の位置と判断 し姓 徒の考え1/＼
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げ く渉響 轡 で1び 五ノ1シゾ1ご 鶴 実遭
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冤範 貿 駒 ・亡ヂ 衝趣 毒i型 磯
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熱 」諸1シ 竃.萌 書 ぐ 言'る 雪 縫 轡
確 ぐな 義
着熟 尋 毒 ダ ・ 月 ・β ・ρ1嬰
鴇 縛フこ ごは 絶 瑠'ぜ
いm了"こ
碗=ウ
ば
に むた ・
【資 料4】
2008年 度
奈 良 女 子 大 学 附属 中 等 教 育 学 校
公開 研究会
数学科学 習指導 案
授 業者
■ 日時
数学科
川口
慎二
平 成21年2,月21日(土)1限(9:30-10:20)
■学 級2年A組
男 子20名
■教 室2年A組
女 子20名
計40名
普 通教室
■科 目 ・単 元
基 礎 数 学H(幾 何)「
三角形 の五心 」
■単 元 目標
三 角 形 の 五 心(内 心 ・外 心 ・垂 心 ・重 心 ・傍 心)の 定 義 お よ び性 質 を理 解 し、 作 図 方 法 を習 得 す
る。 三 角 形 の 五 心 の 性 質 を利 用 し、 ま た作 図 を用 い て 種 々 の 問題 が 解 決 で き る。 さ らに 、 作 業 や
実 験 を通 して 、 内 心 や 外 心 、 重 心 の 幾 何 学 的 意 味 だ け で は な く、 科 学 的 意 味 を 考 察 す る。
■題 材 観
幾 何 の起 源 が古 代 エ ジ プ トにお け る 土 地 の 分 配 、 区画 整 備 に あ り、 幾 何 学 は 日常 生 活 にお け る
重 要 な 問題 の 解 決 とい う具 体 的 必 要 性 に端 を発 し、 図 形 に共 通 す る性 質 を取 り出 し、 分 析 す る と
い う抽 象 的 普 遍 性 を求 め る学 問へ と発 展 した 。 今 回 の授 業 にお い て 、 現 実 世 界 に お け る 具 体 的 な
課 題 を幾 何 の 問題 と して理 想 化 ・単 純 化 し、数 学 の 世 界 で 解 決 を 目指 し、さ らに得 られ た(数 学 的)
解 答 を用 い て 、 現 象 を説 明 す る とい う一 連 の 活 動 は、 幾 何 とい う学 問 の潮 流 を 体 感 す る機 会 に な
る と考 え られ る。
同 時 に 、こ の よ うな活 動 は 、PISAの
提 唱す る 「
数 学 化 サ イ クル 」や 「
モ デ ル 化 」 とい う側 面(本
校 で は こ の よ うな数 学 的 活 動 を 「
数 学 す る」 とい う言 葉 で 説 明 して い る)を 併 せ も ち 、 「
数学的 リ
テ ラ シー 」 育 成 の 一 側 面 と して有 効 で あ る。 ま た 、 グル ー プ 活 動 を取 り入 れ る こ と で 、 自分 の意
見 をま とめ る だ け で は な く、 相 手 にわ か りや す く伝 え る 、 相 手 の 意 見 を 正 し く理 解 して 自分 の 考
え を再 構 成 す る とい う状 況 を設 定 す る こ と に よ り、PISAの
いう「
読 解 力 」育 成 に つ な げ られ る。
ま た 、 三 角 形 の 五 心 は 古 代 ユ ー ク リ ッ ドの 時 代 か らそ の 存 在 が 知 られ て い た。 以 後 、 自然 科 学
の様 々 な場 面 で登 場 して き た 。 重 心 は特 に 、 テ コの 原 理 や 力 の モ ー メ ン トとい っ た 物 理 概 念 と密
接 な 関 連 性 を持 つ 。 今 回 の 塩 の 実 験 にお い て も 、 穴 の位 置 か らの 距 離 とそ の 地 点 で の 山 の 高 さ を
比 較 しな が ら考 察 す る こ と に よ り、 数 学 と物 理 、 さ らに は 自然 現 象 との 関 わ りを意 識 す る こ とが
で き る と考 え る。
■指 導 計 画
全12時
間
(1)三 角 形 の 外 心 と内 心 の 定 義 お よび 性 質 を理 解 し、 そ の 作 図 方 法 を習 得 す る。…3時
間
(2)三 角 形 の 垂 心 の 定 義 お よび 性 質 を理 解 し、 そ の 作 図 方 法 を 習 得 す る。・ ・ ・ …1時
間
(3)三 角 形 の 重 心 の 定 義 お よび 性 質 を理 解 し、 そ の 作 図 方 法 を 習 得 す る。・ ・ ・ …2時
間
(4)三 角 形 の 傍 心 の 定 義 お よび 性 質 を理 解 し、 そ の 作 図 方 法 を 習 得 す る。・ ・ ・ …1時
間
一74一
(5)三 角 形 の 五 心 の 性 質 を用 い て 、具 体 的 な課 題 を解 決 す る。・・ …3時
間(本 時 は そ の2時
間 目)
(6)チ ェ バ の 定 理 とそ の 逆 を証 明 し、 そ れ らを用 い て 問題 を解 決 す る。・ ・ ・ ・ …2時
間
■本 時 の 学 習 指 導
具 体 的 な 課 題 を 理 想 化 ・単 純 化 す る こ と に よ り、 幾 何 の 問 題 と して 捉 え る こ と、 お よび 三 角 形
の 五 心 の性 質 を も と に状 況 を判 断 し、 必 要 な 作 図 を活 用 して 問題 を解 決 し、 そ の 過 程 を論 理 的 に
説 明 す る こ と を 目指 す 。
■PISAの
枠組 み
● 数 学 的 な 内容(包 括 的 ア イ デ ア)空
間 と形
● 数 学 的 プ ロセ ス(能 カ ク ラ ス タ ー)熟
考 ク ラス タ ー
● 数 学 の 用 い られ る状 況
科学的
●文脈
塩 を用 い た 実 験 とそ の 考 察
●8っ の 能 力
思 考 と推 論 、 コ ミュ ニ ケ ー シ ョ ン、 モ デ ル 化 、 表 現 、
問 題 設 定 と問題 解 決
■本 時 の 目標 お よ び 評 価
ア
課 題 に対 して積 極 的 に取 り組 み 、 自分 の意 見 を グ ル ー プ に 発 表 し、議 論 に参 加 す る。(関 心 ・意
欲 ・態 度)
イ
課 題 の状 況 を捉 え、 幾 何 の 問題 へ と理 想 化 ・単 純 化 す る。(数 学 的 な 見 方 ・考 え方)
ウ
三 角 形 の 外 心 が 求 め る解 で あ る こ とを判 断 し、 説 明 す る こ とが で き る。(知 識 ・理 解)
「
十 分 満 足 で あ る と判 断 され る」 状 況(a)と 評 価 す る具 体 例
ア
グル ー プ の 中 で 、 自分 の 考 え を発 言 す る と と も に、 他 者 の意 見 を聞 き 、 議 論 で き る。
イ
課 題 の な か で必 要 な 情 報 を取 り出 し、幾 何 の 問題 と して ノー トの 上 で議 論 や 考 察 が で き る。
ウ
穴 を あ け た3点 ま で の 距 離 の等 しい 点 が 三 角 形 の 外 心 で あ る こ と を用 い て 、 実 験 結 果 を説 明す
る。
「
努 力 を要 す る と判 断 され る」 状 況(c)と評 価 され る生 徒 へ の 手 立 て
ア
グル ー プ にお い て 、 自分 の 意 見 を グル ー プ の 中 で 発 言 で き る よ うな状 況 を設 定 させ る。
イ
課 題 の状 況 を丁 寧 に説 明 し、 ノー トの 上 で どの よ うに 考 え た ら よい か を示 唆 す る。
ウ
穴 が あ い て い るた め 、塩 が どの よ うに落 ち て 、 で き る頂 点 が どの よ うな 条 件 を満 た す の か 考 え
させ る こ と に よ り、 三 角 形 の外 心 の 作 図 が 必 要 で あ る こ とを認 識 させ る。
■教 具
塩(エ ン リ ッチ 塩)、 タ ッパ ー 、厚 紙 、 竹 串 、 デ ジ タル カ メ ラ
ー75一
■展 開
(※予 想 され る生 徒 の 反 応 、 ○ 教 師 の 発 問 、 ● 教 師 の 支 援 、 ☆ 評 価 の 観 点 、 ◆ 数 学 的 リテ ラ シー)
学 習活動
課1.導
題
提
指導上の 留意点
評 価 の観 点
入 と課 題 の 提 示
前 時 の課 題 お よび 実 験 につ い て 、
確 認 す る。[ワ ー ク シ ー ト
実 験]
不
実 験3つ
の穴 が あい た厚 紙 の 上
に大 量 の 塩 を の せ た と き 、塩
が こぼ れ て い く様 子 を観 察 し
て み よ う。
課 題13つ
の 穴 が あ い た 厚 紙 の 上 に大 量 の塩 を のせ る と、 穴 か ら塩
が こ ぼれ て い き 、山 が で き る。こ の 山 の 頂 点 は どこ に で き る だ ろ うか。
予 想 を ワー ク シー トで 再 確 認 し、
実 験 結 果 と課 題 の 解 答 を 班 ご と に
確 認 す る 。[ワ ー ク シ ー ト
課題
1(1)]上
○ 「
前 回 に 、 塩 を 用 い て 実 験 を行 い
ま した 。3つ
の 穴 が開 いた厚 紙 の
に大 量 の 塩 を の せ た ら、 穴 か ら
塩 が こぼれ てい き 、山 がで き ま し
※ 重 心 、 外 心 、 内心 な ど。
た 。 こ の 山 の位 置 は 、 ど こ に で き
※ わ か らな い。
た だ ろ うか 。 今 回 は 、 結 論 を ま と
め て み よ う。」
● 前 時 に話 し合 っ た 結 果 を 相 互 に確
実 験 結 果 か ら得 た 結 果 が 、正 しい
認 させ る。
の か 否 か を ど の よ うに 判 断 し た ら
よ い の か 考 え る。
○ 「あ な た の 班 の 結 果 が 正 しい こ と
を ど うや っ て確 か め た ら よ い だ ろ
※ 串 で さ して み た 、真 上 か ら写 真 を
うか 。」
撮 っ て み た な ど。
◆モデル 化
・実 験 の 際 に 、1つ
の 穴 や2つ
の穴
で試 行 した 班 の場 合
→ そ の 方 法 と結 果 につ い て 確 認
させ る。
☆ 現 実 世 界 の問 題
を幾 何 の 問 題 と
して捉 え る こ と
が で き る。
(数学 的 な 見 方 ・
山 の 頂 点 の 位 置 が 正 確 に捉 え に
くい 状 況 で 、ど うや っ て位 置 を 特 定
で き る の か を 考 え る。
・試 行 した班 の 場 合
→ ど の よ うな理 由 か ら解 答 を 判
断 した の か を 考 え させ る。
-76一
考 え 方)
課
題
※ 問題 を理 想 化 ・単 純 化 して 幾 何 の
問題 と して 捉 え る。
○ 「山 の 頂 点 の 位 置 を 正 確 に 求 め る
こ とは 難 しい よ うです 。 で は 、 幾
提
何 の考 え 方 を 用 い た ら ど うだ ろ う
示
か。」
自分 の 班 の 結 果 と は 異 な る も の
● 質 問が ない か、 そ の考 え方 で よい
を見 る こ とに よ り、山 の 頂 点 の位 置
の か を確 認 し な が ら聞 く よ うに 指
が で き る場 所 に つ い て 、考 察 を深 め
示 す る。
る。
-77一
さ ら に 、 班 ご とに 課 題 を設 定 し
て 、 そ の結 果 を 予 想 す る。[ワ ー ク
シー ト
課 題2]台
○ 「
今 回 は3っ
の穴 が あいた場 合 を
☆ 自 ら課 題 を 設 定
実 験 して み ま した 。 こ の 他 に も 、
して 、
解 決 に取 り
紙 の 条 件 を 変 え る こ と に よ り、
組 も うとす る。
塩 の落 ち る様 子 が 変 わ っ て き そ う(関
※ 班 ご と に新 しい 課 題 を設 定 して 、
予 想 す る。
※ 興 味 を示 さな い 。
だ 。3点
の 場 合 の 考 え 方 を活 か し
心 ・意 欲 ・態
度)
な が ら 、 班 で 実 験 を 計 画 して 、 結
果 を予 想 して み よ う。」
※ 議 論 に参 加 しな い。
◆ 問 題 設 定 と問 題
解決
● 実 験 を行 い 、 予 想 と結 果 を 比 較 さ
せ る。
-78一
【資 料5】
茜瞠 搬孚II(鵬何}扇4量
三備影 〇五 心2年
鮨
匡亘ヨ 他の斑の結景や意見セ聞いて.さらに身霞しでみよう.
春 氏名
珊
画
一 直 纏上 に熔ない3つ の 穴力欄 い た厚 晒 があ看.この上 に 六量 の娼 をのせたら、塩 はどのような
犠 瞳にな馬だろうか.翼 験 しでみよう.
結 景 ・意 見
班
結景・
意兄
【異 験方 法 】
1ク
ループに1敏 「
ずつ厚緬 が配 られ愚。
皇 その厚 緬をタッバーの上にのせて、その上 に袋に入 ってい墨だけの塩を藤んべん母くのせ乱
3穴
ガら塩 がもれ落ちてい く様子 を観盛す石。
【望口結 繋 】園 や立章 で塩① 繍子竜配鋒 しておこう.
1
む
1
匡i亟ヨ 塩 にで離尋山 の皿 点ほどの位 置 にあ魯のだろうか。厩 窮 結景をもとに、嶺婁 レてみよう。
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【グループによ墨寿盛 】[】
珊
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【予 想 】
巌ケルーフの意 見 をしっかljメモしてお こう.
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【
資料6】
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