演習問題４ 開ループ伝達関数が で与えられるとき、 ① 単位ランプ入力に対する定常偏差（定常速 度偏差）を0.1以内にする ② 位相余裕PM=35°以上にする 位相遅れ補償器を設計する 補償要素 Gc(s) +− 制御対象Gp(s) Gc(s) 1 演習問題４ • K = 1 のときのボード゙線図 2 演習問題４ • 開ループ伝達関数の積分の次数は1 • 1形の制御系の定常速度偏差は K≥10 (r) (i) • K=40と定めたときのボード線図を描く 3 演習問題４ • K=40のときのボード線図は以下のよう • 仕様②を満たすために，ゲイン交差周波数 wcを、Fig.2のボード線図において位相が約 −145°程度ある0.8 (e) [rad/sec]に設定する． 4 演習問題４ • このときのゲインがボード線図から約 20 (h)[dB]と読み取れるので，位相遅れ 補償器により高周波領域でのゲインを 20[dB]下げ，ゲインを0[dB]にする． 5 演習問題４ • 位相遅れ補償器の周波数伝達関数G(jw) から高周波領域でのゲインはa (l)である ので，20log a = −20と定める． 6 演習問題４ • 位相遅れ補償器の伝達関数G(s) におけ る位相進み要素の折れ点周波数は， (o)である．ゲイン交差周波数に影響 を与えないように，ゲイン交差周波数 の 程度に設定するとして， とする． 7 演習問題４ • 位相進み要素は一般的には1+sTで表さ れる要素であり，折れ点周波数は で 表される．ここでは，G(s)の分子であ るので折れ点周波数は になる．つま り， = 0.08なので，aT = 12.5, T = 125 となる． • 以上より，G(s)のa, Tを求めることがで き，位相遅れ補償器は 8 演習問題４ • このときの位相補償器のボード線図は Fig.3 であり，位相遅れ補償を加えた開 ループ伝達関数のボード線図はFig.4 と なる. 補償器の ボード線図 補償後の ボード線図 9 おまけ：昨年度の期末試験問題 開ループ伝達関数が で与えられるとき、 ① ゲイン交差周波数をwc=3にする ② 位相余裕PMを約40°にする という仕様をゲイン補償と位相進み補償によっ てい満たす手順を説明せよ 補償要素 Gc(s) +− 制御対象Gp(s) Gc(s) 10 おまけ：昨年度の期末試験問題 • K = 1 のときのボード線図である。このとき のゲイン交差周波数は0.8[rad/sec]，位相余 裕PM=47[deg]と読み取れる． 仕様①より wc=3となるようにゲインKを定めると，K=10 となる． 20[dB] 47[deg] 11 おまけ：昨年度の期末試験問題 • このときのボード線図がFig.2となり， ゲイン交差周波数が3[rad/sec]になって いることが確認できる． 12 おまけ：昨年度の期末試験問題 • 位相余裕PMを読み取るとPM=0[deg]と なっている．したがって，仕様②を満 たすためには，40−0[deg]が必要な位相 進み量になる 13 おまけ：昨年度の期末試験問題 • すると，fmとaの関係式より，a =4.6と 求められる．さらに より T=0.16となる． 14 おまけ：昨年度の期末試験問題 • したがって，位相進み要素は • この位相進み要素を入れたボード線図 がFig.3となる 40[deg] 15 おまけ：昨年度の期末試験問題 • このときwc=3におけるゲインは10log10 a[dB] 上がる．このゲインの変化量はFig.3のボード 線図からも読み取ることができて，約6.6[dB] である．ゲイン交差周波数をwc=3にするため には，ゲインをその分だけ下げなければなら ない． 6.6[dB] 40[deg] 16 おまけ：昨年度の期末試験問題 • 6.6[dB]下げるためにはゲインを0.46倍 しなければならない．最初にゲインを 10としているので，最終的なゲインは K=10×0.46=4.6とする． 6.6[dB] 40[deg] 17 おまけ：昨年度の期末試験問題 • すなわち，このゲイン調整と位相進み要素に よる制御器は • となり，この補償器を入れたボード線図は Fig.4になる． 補償後の ボード線図 40[deg] 18
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