年 番号
1
a を 0 < a < 1 を満たす実数とし て x の関数 f(x) =
5
ax ¡ log(1 + ex ) の最大値を M(a) とするとき，次の問い
に答えよ．ただし必要があれば
氏名
関数 y = x2 e¡x のグラフを曲線 C とする．以下の問いに答
えよ．
(1) 曲線 C をかけ．ただし，x 5 2 の範囲でよい．
1
(2) 曲線 C が直線 y =
x に接していることを示し ，その接点
e
の座標を求めよ．
1
x で囲まれた図形の面積を求めよ．
(3) 曲線 C と直線 y =
e
lim x log x = 0
x!+0
が成り立つことを用いてよい．
(1) M(a) を a を用いて表せ．
（ 公立はこだて未来大学 2015 ）
(2) a の関数 y = M(a) の最小値とそのときの a の値を求めよ．
6
(3) a の関数 y = M(a) のグラフをかけ．
（ 新潟大学 2016 ）
2
a を 正の定数とする．2 つの曲線 C1 : y = x log x と
x
と円 x2 + y2 = 1 の第 1
n
象限における交点の座標を (pn ; qn ) とする．
n を自然数とし ，曲線 y = n sin
(1) x > 0 のとき，不等式 n sin
1
(2) 不等式 pn > p が成り立つことを示せ．
2
(3) 0 5 x 5 1 のとき，不等式
C2 : y = ax2 の両方に接する直線の本数を求めよ．ただし ，
(log x)2
lim
= 0 は証明なしに用いてよい．
x
x!1
(¤)
#n sin
x
1
; x 5 n sin
n
n
が成り立つことを利用して，次の ‘，’ に答えよ．
（ 横浜国立大学 2016 ）
‘ 不等式 pn 5 E
3
a を定数とし ，関数 f(x) = (x ¡ a)e
x2
2
x
< x が成り立つことを示せ．
n
1
が成り立つことを示せ．
1
n
x
(0 5 x 5
’ x 軸，直線 x = pn ，および曲線 y = n sin
n
pn ) で囲まれた領域の面積を Sn とするとき，Sn を pn を
で表される曲線
y = f(x) を C とする．ただし ，e は自然対数の底とする．
以下の各問に答えよ．
1 + n 2 sin2
用いて表せ．また， lim Sn を求めよ．
n!1
(4) 0 5 x 5 1 のとき，(3) の不等式 (¤) が成り立つことを示せ．
(1) f(x) の導関数 f0 (x) を求めよ．
(2) f(x) が極値を持たないために a が満たすべき条件を求めよ．
（ 愛媛大学 2015 ）
(3) 曲線 C 上の点 (t; f(t)) における接線の方程式を求めよ．
(4) (3) で求めた接線が原点を通るような t の値を考える．すべ
7
a を実数とし，f(x) = xex ¡ x2 ¡ ax とする．曲線 y = f(x)
上の点 (0; f(0)) における接線の傾きを ¡1 とする．このと
ての実数の中で，そのような t の値が 3 つあるために a が満た
き，以下の問に答えよ．
すべき条件を求めよ．
（ 茨城大学 2016 ）
(1) a の値を求めよ．
(2) 関数 y = f(x) の極値を求めよ．
(3) b を実数とするとき，2 つの曲線 y = xex と y = x2 + ax + b
4
の ¡1 5 x 5 1 の範囲での共有点の個数を調べよ．
a は実数とし，2 つの曲線
C1 : y = (x ¡ 1)ex ;
C2 : y =
（ 神戸大学 2014 ）
1 2
x +a
2e
8
がある．ただし，e は自然対数の底である．C1 上の点 (t; (t ¡
1)et ) における C1 の接線が C2 に接するとする．
(1) a を t で表せ．
(2) t が実数全体を動くとき，a の極小値，およびそのときの t の
値を求めよ．
（ 北海道大学 2015 ）
座標平面上の曲線 C : y = ex に対し，次の問に答えよ．
(1) 原点から曲線 C に引いた接線 ` の方程式を求めよ．
(2) 曲線 C と接線 `，および y 軸で囲まれた図形 D を図示せよ．
(3) D を x 軸のまわりに 1 回転させてできる立体の体積を求めよ．
Z
(4) 部分積分法を用いて ，不定積分 I =
log y dy，J =
Z
(log y)2 dy を求めよ．
(5) D を y 軸のまわりに 1 回転させてできる立体の体積を求めよ．
（ 香川大学 2016 ）
9
a を定数とし ，曲線 y = ex ¡ a(x ¡ 2) を C とする．曲線 C
と x 軸が接しているとき，次の問いに答えよ．
13 以下の問いに答えよ．
(1) µ を 0 5 µ < 2¼ を満たす実数，i を虚数単位とし ，z を
(1) 曲線 C と x 軸の接点の x 座標，および定数 a の値を求めよ．
z = cos µ + i sin µ で表される複素数とする．このとき，整数
(2) 曲線 C と x 軸および y 軸で囲まれた部分を x 軸の周りに 1 回
n に対して次の式を証明せよ．
転してできる回転体の体積を求めよ．
cos nµ =
（ 岩手大学 2016 ）
1
1
#zn + n ; ;
2
z
sin nµ = ¡
1
i
#zn ¡ n ;
2
z
(2) 次の方程式を満たす実数 x (0 5 x < 2¼) を求めよ．
cos x + cos 2x ¡ cos 3x = 1
10 c を 0 < c < 1 を満たす実数とする．関数
F(x) =
Z
(3) 次の式を証明せよ．
x
0
(t ¡ c) log #t2 ¡ t +
1
; dt
2
sin2 20± + sin2 40± + sin2 60± + sin2 80± =
について，次の問いに答えよ．
9
4
（ 九州大学 2016 ）
(1) F(x) の導関数 F0 (x) を求めよ．
(2) F0 (x) < 0 となる x の値の範囲を c を用いて表せ．
(3) F(x) が極大値をとる x の値と極小値をとる x の値をそれぞ
れ求めよ．
1
のとき，x = 0 の範囲における F(x) の最小値を求
(4) c =
2
めよ．
（ 立教大学 2016 ）
14 次の条件（ア），
（ イ）を満たす複素数 z を考える．
i
は実数である
z
（ イ） z の虚部は正である
（ア） z +
ただし，i は虚数単位である．このとき，次の問いに答えよ．
11 n を正の整数とし，x = 0 とする．以下の問に答えよ．
1 2
1 n
x +Ý+
x ; とする．
2!
n!
rn (x) = 0 を n に関する数学的帰納法を使って示せ．
(1) rn (x) = ex ¡ #1 + x +
(1) r = z とおくとき，z を r を用いて表せ．
(2) z の虚部が最大となるときの z を求めよ．
（ 富山大学 2016 ）
(2) lim xn e¡x = 0 を示せ．
x!1
Zt
xn e¡x dx とする．lim f(t) を求
(3) t = 0 とし ，f(t) =
0
t!1
めよ．
（ 岐阜大学 2014 ）
2¼
2¼
+ i sin
とするとき，次の問いに答えよ．た
5
5
だし，i は虚数単位である．
15 z = cos
12 複素数平面上の点 0 を中心とする半径 2 の円 C 上に点 z があ
(1) zn = 1 となる最小の正の整数 n を求めよ．
る．a を実数の定数とし，
(2) z4 + z3 + z2 + z + 1 の値を求めよ．
w = z2 ¡ 2az + 1
(3) (1 + z)(1 + z2 )(1 + z4 )(1 + z8 ) の値を求めよ．
2¼
4¼
(4) cos
+ cos
の値を求めよ．
5
5
とおく．
(1) w
2
を z の実部 x と a を用いて表せ．
(2) 点 z が C 上を一周するとき， w の最小値を a を用いて表せ．
（ 北海道大学 2016 ）
（ 富山県立大学 2016 ）

(2) z4 + z3 + z2 + z + 1

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生徒会だより第31号