年 番号 1 a を 0 < a < 1 を満たす実数とし て x の関数 f(x) = 5 ax ¡ log(1 + ex ) の最大値を M(a) とするとき,次の問い に答えよ.ただし必要があれば 氏名 関数 y = x2 e¡x のグラフを曲線 C とする.以下の問いに答 えよ. (1) 曲線 C をかけ.ただし,x 5 2 の範囲でよい. 1 (2) 曲線 C が直線 y = x に接していることを示し ,その接点 e の座標を求めよ. 1 x で囲まれた図形の面積を求めよ. (3) 曲線 C と直線 y = e lim x log x = 0 x!+0 が成り立つことを用いてよい. (1) M(a) を a を用いて表せ. ( 公立はこだて未来大学 2015 ) (2) a の関数 y = M(a) の最小値とそのときの a の値を求めよ. 6 (3) a の関数 y = M(a) のグラフをかけ. ( 新潟大学 2016 ) 2 a を 正の定数とする.2 つの曲線 C1 : y = x log x と x と円 x2 + y2 = 1 の第 1 n 象限における交点の座標を (pn ; qn ) とする. n を自然数とし ,曲線 y = n sin (1) x > 0 のとき,不等式 n sin 1 (2) 不等式 pn > p が成り立つことを示せ. 2 (3) 0 5 x 5 1 のとき,不等式 C2 : y = ax2 の両方に接する直線の本数を求めよ.ただし , (log x)2 lim = 0 は証明なしに用いてよい. x x!1 (¤) #n sin x 1 ; x 5 n sin n n が成り立つことを利用して,次の ‘,’ に答えよ. ( 横浜国立大学 2016 ) ‘ 不等式 pn 5 E 3 a を定数とし ,関数 f(x) = (x ¡ a)e x2 2 x < x が成り立つことを示せ. n 1 が成り立つことを示せ. 1 n x (0 5 x 5 ’ x 軸,直線 x = pn ,および曲線 y = n sin n pn ) で囲まれた領域の面積を Sn とするとき,Sn を pn を で表される曲線 y = f(x) を C とする.ただし ,e は自然対数の底とする. 以下の各問に答えよ. 1 + n 2 sin2 用いて表せ.また, lim Sn を求めよ. n!1 (4) 0 5 x 5 1 のとき,(3) の不等式 (¤) が成り立つことを示せ. (1) f(x) の導関数 f0 (x) を求めよ. (2) f(x) が極値を持たないために a が満たすべき条件を求めよ. ( 愛媛大学 2015 ) (3) 曲線 C 上の点 (t; f(t)) における接線の方程式を求めよ. (4) (3) で求めた接線が原点を通るような t の値を考える.すべ 7 a を実数とし,f(x) = xex ¡ x2 ¡ ax とする.曲線 y = f(x) 上の点 (0; f(0)) における接線の傾きを ¡1 とする.このと ての実数の中で,そのような t の値が 3 つあるために a が満た き,以下の問に答えよ. すべき条件を求めよ. ( 茨城大学 2016 ) (1) a の値を求めよ. (2) 関数 y = f(x) の極値を求めよ. (3) b を実数とするとき,2 つの曲線 y = xex と y = x2 + ax + b 4 の ¡1 5 x 5 1 の範囲での共有点の個数を調べよ. a は実数とし,2 つの曲線 C1 : y = (x ¡ 1)ex ; C2 : y = ( 神戸大学 2014 ) 1 2 x +a 2e 8 がある.ただし,e は自然対数の底である.C1 上の点 (t; (t ¡ 1)et ) における C1 の接線が C2 に接するとする. (1) a を t で表せ. (2) t が実数全体を動くとき,a の極小値,およびそのときの t の 値を求めよ. ( 北海道大学 2015 ) 座標平面上の曲線 C : y = ex に対し,次の問に答えよ. (1) 原点から曲線 C に引いた接線 ` の方程式を求めよ. (2) 曲線 C と接線 `,および y 軸で囲まれた図形 D を図示せよ. (3) D を x 軸のまわりに 1 回転させてできる立体の体積を求めよ. Z (4) 部分積分法を用いて ,不定積分 I = log y dy,J = Z (log y)2 dy を求めよ. (5) D を y 軸のまわりに 1 回転させてできる立体の体積を求めよ. ( 香川大学 2016 ) 9 a を定数とし ,曲線 y = ex ¡ a(x ¡ 2) を C とする.曲線 C と x 軸が接しているとき,次の問いに答えよ. 13 以下の問いに答えよ. (1) µ を 0 5 µ < 2¼ を満たす実数,i を虚数単位とし ,z を (1) 曲線 C と x 軸の接点の x 座標,および定数 a の値を求めよ. z = cos µ + i sin µ で表される複素数とする.このとき,整数 (2) 曲線 C と x 軸および y 軸で囲まれた部分を x 軸の周りに 1 回 n に対して次の式を証明せよ. 転してできる回転体の体積を求めよ. cos nµ = ( 岩手大学 2016 ) 1 1 #zn + n ; ; 2 z sin nµ = ¡ 1 i #zn ¡ n ; 2 z (2) 次の方程式を満たす実数 x (0 5 x < 2¼) を求めよ. cos x + cos 2x ¡ cos 3x = 1 10 c を 0 < c < 1 を満たす実数とする.関数 F(x) = Z (3) 次の式を証明せよ. x 0 (t ¡ c) log #t2 ¡ t + 1 ; dt 2 sin2 20± + sin2 40± + sin2 60± + sin2 80± = について,次の問いに答えよ. 9 4 ( 九州大学 2016 ) (1) F(x) の導関数 F0 (x) を求めよ. (2) F0 (x) < 0 となる x の値の範囲を c を用いて表せ. (3) F(x) が極大値をとる x の値と極小値をとる x の値をそれぞ れ求めよ. 1 のとき,x = 0 の範囲における F(x) の最小値を求 (4) c = 2 めよ. ( 立教大学 2016 ) 14 次の条件(ア), ( イ)を満たす複素数 z を考える. i は実数である z ( イ) z の虚部は正である (ア) z + ただし,i は虚数単位である.このとき,次の問いに答えよ. 11 n を正の整数とし,x = 0 とする.以下の問に答えよ. 1 2 1 n x +Ý+ x ; とする. 2! n! rn (x) = 0 を n に関する数学的帰納法を使って示せ. (1) rn (x) = ex ¡ #1 + x + (1) r = z とおくとき,z を r を用いて表せ. (2) z の虚部が最大となるときの z を求めよ. ( 富山大学 2016 ) (2) lim xn e¡x = 0 を示せ. x!1 Zt xn e¡x dx とする.lim f(t) を求 (3) t = 0 とし ,f(t) = 0 t!1 めよ. ( 岐阜大学 2014 ) 2¼ 2¼ + i sin とするとき,次の問いに答えよ.た 5 5 だし,i は虚数単位である. 15 z = cos 12 複素数平面上の点 0 を中心とする半径 2 の円 C 上に点 z があ (1) zn = 1 となる最小の正の整数 n を求めよ. る.a を実数の定数とし, (2) z4 + z3 + z2 + z + 1 の値を求めよ. w = z2 ¡ 2az + 1 (3) (1 + z)(1 + z2 )(1 + z4 )(1 + z8 ) の値を求めよ. 2¼ 4¼ (4) cos + cos の値を求めよ. 5 5 とおく. (1) w 2 を z の実部 x と a を用いて表せ. (2) 点 z が C 上を一周するとき, w の最小値を a を用いて表せ. ( 北海道大学 2016 ) ( 富山県立大学 2016 )
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