1
a を 1 以上の実数，b を実数，i を虚数単位とし，複素数 z を z = a + bi と
する．また，複素数 w を w =
1
とする．以下の問いに答えよ．
z
(1) 複素数 z が存在する領域を複素数平面上に図示せよ．また，iz が存在する
領域を複素数平面上に図示せよ．
3
多項式 P(x) を
P(x) =
(x + i)7 ¡ (x ¡ i)7
2i
により定める．ただし，i は虚数単位とする．以下の問いに答えよ．
(2) x; y を実数とし，w = x + yi とおくとき，a を x および y を用いて表せ．
(3) w が存在する領域を複素数平面上に図示せよ．
(1) P(x) = a0 x7 + a1 x6 + a2 x5 + a3 x4 + a4 x3 + a5 x2 + a6 x + a7 とすると
き，係数 a0 ; Ý; a7 をすべて求めよ．
（ 公立はこだて未来大学 2016 ）
(2) 0 < µ < ¼ に対して，
P#
cos µ
sin 7µ
;=
sin µ
sin7 µ
が成り立つことを示せ．
2
2¼
2¼
z = cos
+ i sin
とするとき，次の問いに答えよ．ただし ，i は虚
5
5
数単位である．
(1) zn = 1 となる最小の正の整数 n を求めよ．
(3) (1) で求めた a1 ; a3 ; a5 ; a7 を用いて，多項式 Q(x) = a1 x3 + a3 x2 +
¼
a5 x + a7 を考える．µ =
として，k = 1; 2; 3 について
7
xk =
(2) z4 + z3 + z2 + z + 1 の値を求めよ．
cos2 kµ
sin2 kµ
とおく．このとき，Q(xk ) = 0 が成り立つことを示し，x1 + x2 + x3 の値
(3) (1 + z)(1 + z2 )(1 + z4 )(1 + z8 ) の値を求めよ．
2¼
4¼
(4) cos
+ cos
の値を求めよ．
5
5
を求めよ．
（ 富山県立大学 2016 ）
（ 東北大学 2016 ）
4
x2
+ y2 = 1 と放物線 y2 = x ¡ t があり，t > 0 とす
4
る．この楕円と放物線の共有点が 2 個であるとき，以下の問いに答えよ．
座標平面上に楕円
7
次の問いに答えよ．
(1) 複素数平面において，方程式 z + 1 = z ¡ 1 を満たす点 z 全体はどの
ような図形か答えよ．
(1) t の条件を求めよ．
i(1 ¡ z)
とする．このとき，どんな z
1+z
に対しても w = ¡i とはならないことを示せ．
(2) 複素数 z (z Ë ¡1) に対し，w =
(2) 2 個の共有点の x 座標を t を用いて表せ．
(3) 2 個の共有点における放物線の接線が垂直に交わるように t の値を定めよ．
（ 愛知県立大学 2016 ）
(3) 点 z が (1) で求めた図形の上を動くとき，(2) の点 w はどのような図形を
描くか答えよ．
（ 愛知教育大学 2016 ）
5
y2
x2
t¡2
+
= 1 上を動くとき，
の最
8
2
s¡4
大値を求めよ．また，最大値を与える s; t を求めよ．
平面上の点 P(s; t) が楕円 C :
（ 学習院大学 2016 ）
8
i を虚数単位とするとき，次の各問に答えよ．
(1) 複素数 c = 1 + i について，c と共役な複素数 c および c
2
をそれぞれ求
めよ．
6
(2) 複素数 z が z = 1 を満たすとする．このとき，z +
複素数平面上で，等式
1
が実数であるこ
z
とを証明せよ．
z¡1
=
z+1
z¡1
i
z+1
を満たす点 z 全体が表す図形を求め，その図形を複素数平面上に図示せよ．
(3) ®; ¯ を複素数とし て ® の実部と虚部がともに正であるとする．また，
i
® = ¯ = 1 とする．複素数 i®;
; ¯ で表される複素数平面上の 3
®
点が，ある正三角形の 3 頂点であるとき，®; ¯ をそれぞれ求めよ．
ただし，i は虚数単位で，複素数 w に対して w は w の絶対値を表す．
（ 静岡大学 2016 ）
（ 学習院大学 2016 ）
9
® を絶対値が 1 の複素数とし ，等式 z = ®2 z を満たす複素数 z の表す複素
10 複素数 zn を
数平面上の図形を S とする．ただし，z は z と共役な複素数を表す．このと
z0 = 0;
き，次の各問に答えよ．
z1 = 1;
zn+2 = zn+1 + ®(zn+1 ¡ zn )
1
¼
¼
#cos
;と
+ i sin
2
3
3
する．また，複素数平面上で複素数 zn を表す点を Pn とする．以下の問いに
z
が実数であることは同値であることを証
®
明せよ．また，このことを用いて，図形 S は原点を通る直線であることを
により定める．ただし，i を虚数単位とし，® =
示せ．
答えよ．
(1) z = ®2 z が成り立つことと，
(2) 複素数平面上の点 P(w) を直線 S に関して対称移動した点を Q(w0 ) とす
る．このとき，w0
を w と ® を用いて表せ．
(n = 0; 1; 2; Ý)
(1) z2 ; z3 ; z4 を求めよ．
(2) 点 P0 ，P1 ，P2 ，P3 ，P4 を図示せよ．また，線分 P0 P1 ，P1 P2 ，P2 P3 ，P3 P4
（ 静岡大学 2016 ）
の長さ，および ÎP2 P1 P0 ，ÎP3 P2 P1 ，ÎP4 P3 P2 の値も図中に示せ．
(3) zn+1 ¡ zn (n = 1; 2; 3; Ý) を ® と n を用いて表せ．
(4) zn の実部，虚部をそれぞれ xn ; yn とする．このとき，xn ; yn をそれぞれ
n を用いて表せ．
(5) (4) で求めた xn ; yn について， lim xn ; lim yn をそれぞれ求めよ．
n!1
n!1
（ 九州工業大学 2016 ）

(2) z4 + z3 + z2 + z + 1

生徒会だより第31号