e > Restvarianz , 3 Die Durchführung einer Faktorenanalyse

LUKESCH/KISCHKEL
e �>
XI Faktorenana l ysen - FAH
3
Restvarianz ,
Die Durchführung einer Faktorenana l yse beginnt mit einer Datenma t rix: Für
jede der n Pe rsonen ( Fä l l e )
dieser
Matrix
wird
eine
sind Meßwerte auf
Ko rrelat ionsma t rix
i Variablen vorhanden.
berechnet.
In
die
Aus
Diagona l e
dieser Ko rrelationsmat ri x werden Schätzungen d e r Kommuna l i täten eingese t z t
( Kommuna l i tätenproblem, v g l . 2 . Option ) . D i e neue Matrix w i r d nun faktori
s i e r t , wobei als Ergebnis eine best immte Anzahl von voneinander unabhängi
gen Faktoren resu l t iert. Die Zahl der Faktoren kann nach unterschiedlichen
Krite rien best immt werden ( Faktorenprob lem, vgl. 3 . Option ) . Die sich nach
der Extraktion
ergebenden orthogona l en
hier zu sinnvo l l en Ergebnissen
we l chem Krite rium die
t iert werden so l l
noch mögl ich,
langen,
Faktoren sind
zu ge langen ,
Fakto renmat rix
( Rotationsprobl em,
muß
( orthogonal
vgl.
nicht
eindeut ig.
entschieden werden ,
oder schiefwink l i g )
Um
nach
ro
4. Option ) . Absch l ie ßend ist es
zu einer Schätzung der Fakto renwe rte für jede Person zu ge
um die
Faktorenwe rte
für wei tere
Berechnungen nutzbar
zu machen
( Faktorwe rtschätzung , vg l. 5. Opt ion ).
Für die Lösung dieser Prob l eme und F ragen stehen jewe i l s mehrere Möglich
keiten zur Verfügung ( vg l . 4.0pt ionentabe l l e ) .
1.1 Kommuna l i tätenproblem
( a ) Diagona l e l emente = I. Es wird eine Hauptkomponentenana lyse gerechne t ,
bei der so v i e l e Faktoren extrahiert werden a l s Variab l e verwendet wurden
( s iehe Be is p iel I). Dies ist zur Best immung des S c ree-Tests ( s iehe Bei
spiel I) notwendig.
( b ) I t era t ive Kommuna l i t ätenschätzung nach F e s t l egung der
( siehe Beispi e l 2),
Faktorenanzahl
( c ) Quadrate der mu l t ip l en Korrelat ionsko e f f i z ienten ( SMC ) zwischen der
Variab len i und den restlichen Variablen ( s iehe Be ispiel 3) . Die SMC s t e l
l e n e i n e Schätzung d e r unteren Grenze der Kommuna l itäten dar.
( d ) I te ra t ive Kommuna l i tätenschätzung nach KAIS ER-GUTTMAN , ausgehend von
SMC-Schätzungen ( s iehe Beisp i e l 4 ) bzw. einem modi f i z ie rten I te ra t ionskri
terium.
XI Fak t orenana l ysen - FAM
4
LUKESCH/KISCHKEL
gebräuchliche
Extraktionsmethode
wickelte Hauptachsenmethode angewandt.
wi rd
heute
die
von
Hotelling
ent
Dabei wird die Lage d e r Faktoren so
bestimmt , daß s ie sukzessiv jeweils ein Maximum an Varianz abdecken. Alge
braisch gesehen,
XI Faktorenana l ysen - FAM
5
1.4 Faktorwe rtbest immung
1.2 Faktorenp roblem
Als
LUKESCH/KISCIIKEL
entspricht dies der Eigenwertbes timmung
(A�)
der Korrela
Eine
FA
ohne Best immung de r
Faktorwerte
für
jede Ve rsuchsperson ist
un
volls tändig. Die Werte auf den neuen nicht d i rekt meßbaren Variablen ( Fak
to ren)
sind
es ja ,
d i e angeblich eine ökonomischere Beschreibung de r u r
s p rünglichen Daten ermöglichen und die als Grundlage für we i t e re Analysen
tionsmat ri x , wobei die Wurzel aus den Eigenwe rten der Länge der jeweiligen
( als abhängige Variablen)
Achsen entspricht. Die Summe der Eigenwerte entspricht bei e in e r vollstän
entweder über eine OLS - ( o rdinary least square) - ode r eine GLS ( genera
digen Lösung wiederum d e r Summe der
lized least square) -Schätzung be rechnet werden ( vgl. Optionentabelle) . Die
und
die
einzelnen
Eigenwe rte
Einheitsvarianz sämtl icher Variablen ,
verhalten
s ich
propo rtional
zur
Ein
OLS-Schät zung
zität) ,
heitsvarianz.
se t z t
verwendet werden können.Die Faktorwe r t e
Gleichheit
de r
Fehle rvarianzen voraus
was praktisch gleiche Kommunalitäten
bedeutet;
können
( Homoskedasti
die GLS-Schätzung
be rücksichtigt zusätzlich unte rschiedliche Fehlervarianzen ( =He t e roskedas
Wesentlich sind aber Kriterien zur Best immung der Zahl d e r als bedeutsam
tizi tät) .Bei Durchführung
e rachteten Fakto ren.
Hauptkomponentenwe rte be rechnet werden. Als Ausgangsmat r ix dient dabei die
Die
verschiedenen Möglichkeiten werden
im
Zusammen
einer
Hauptkomponent enanalyse
können
ebenfalls
hang mit Beispiel I beschrieben.
unrotierte Ladungsmat rix mit den Ladungen auf den Hauptkomponenten.
1.3 Rota tionsp roblem
2 Dateneingabe und Beispiele
H i e r sind zwei grundsät zliche Rota tionsmöglichkeiten zu unte rscheiden , und
Die Fakto renanalyse kann über alle Einheiten ( z.B. Versuchspersonen)
zwar o rthogonale und schie fwinkelige
rechnet werden,
( o blique) Rotat ionsve rfahren. F e rne r
deren
Daten in einer Datei abgelegt
sind
ge-
( vgl. Beispiel
können diese Verfahren von einern analytischen Rotationskrite rium Geb rauch
I),
machen ( z.B. Varimaxro tat i on , vgl. Beispiel I und 3) , oder man kann versu
Auf teilung nach Untergruppen vo r , wird für jede Gruppe eine eigene Fakto
oder
für
bestirnrnrnte
chen , mit t els einer rechtwinkligen oder schiefwinkeligen Rotation zur ma
renanalyse ge rechnet ,
ximalen Deckung einer Faktorenstruktur auf vorher bestimmten Variablen zu
und e s
kommen
7).
( kr i t e riumsbezogene
Rotation ,
vgl.
Beispiel
5).
Wird
ein
schief
winkeliges Rotationsverfahren gewählt , so bedeutet dies , daß die rot ie rten
Faktoren miteinander korreliert sind. Die Korrelationsmatrix ( zwischen den
Faktoren) kann dann einer neuerlichen FA unterzogen werden
Bildung v o n Unte rgruppen u n d der
Durchführung
von
eine
mehreren
FAs
Beispiel
Steue rsätze:
/*
( vgl. Beispiel
(vgl.
2.1 Beispiel I: Hauptkomponentenanalyse : Anzahl Faktoren gleich
Va riablenzahl, orthogonale Rotation.
keit
Faktorenlösungen bestimmt
Nimmt man eine
die Fakt o rs t rukturen der Gruppen werden verglichen ,
EDATEI , 2,O,O,O
( 14 7 7 -1481 , 1537,1538,15 51-1 5 5 5 )
der
Beispiel 2).
Ähnlichkeitst rans formation durchgeführt
hintereinander wird mittels FISCHER-ROPPERT-Trans formationen die Ähnlich
mann-Tests wird g ep rüf t ,
( vgl.
( hierarchische
FA; FAM realisiert diese Möglichkeit automatisch , siehe unter Beispiel 5 ) .
B e i der
wird
Untergruppen
7 ) . M itt els
des
Barg
(I)
( 2)
( 3)
ob nach der Rotation Einfachstruktur der Faktor
lösung gegeben ist ( vgl. Beispiel I).
I n diesem
Beispiel wird über alle
analyse mit
den
Variablen
Falle
gerechnet ,
der
deren
Datei
DATEI
Numme rn als
eine
Faktoren
"abhängige"
Va
riablen eingegeben werden ( vgl. Satz 2). Aufgrund der Opt ionen ( vgl. Satz
L UKESCH/KISCHKEL
XI Fak torenana l ysen - FAM
6
LUKESCH/KISCHKEL
1 ) w i rd eine Hauptkomponentenanalyse durchgeführt ( 2. Option
v i e l en Faktoren wi e Variab l en ( 3. Option = 0),
t ion (4. Option
=
. 20 ( 6 . Option = 0 ,
7
0) mit so
=
( o rthogonaler) Varimaxrota
0) , ohne Berechnung von Faktorwe rten (5. Option = 0) und
b e i Berücksichtigung von Fakt o r l adungen >=
XI Fak torenanalysen - FAM
daher Vor
Abbildung XI-2
Beisp i e l I , Hauptkomponentenanalyse: Verteilungsparameter
und Beset zungen der Variab l en
e i ns t e l lung . 20).
M.lttel-
Abb i ldung XI-I
Beis p i e l I , Hauptkomponentenanalyse: p rotokol l i erte Steuersätze
und Regist e rauszug.
EINGABE ...
��
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
rrOptionen
rN""Stichprobengröße
E- Eingabe. Da teiname
/?,0,01
Verze i ch n i s der Unte rgruppen
Variablen. die faktoren1. Gruppe
Eingabe...(1477-1481,1537,1538,1551-1555)-analysiert werden sollen
Ein gabe... /*
Neue
A l te Nr.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7•
8.
9.
10.
11.
12.
1477.
147B.
1479.
21
10
10
6
9
1
1
1
1
1
1
1
14BO.
14B1.
1537.
1538.
1551.
1552.
1553.
1554.
1555.
42
20
20
12
18
47
46
55
19
16
59
115
000
000
000
000
000
000
000
000
000
000
000
000
Spal tenzahl
untere Variablengrenze
obere Vari"blengrenze
�:;�:��ngst 'l
Arbe; tskapazität I
Schul involvement E i n s tell ung zu Lehrern'
Schul invol vement Wohlbefinden'
09-1
F9
E9-5
M9-3-9-7
N9-6-PH
E9-4-6esamt
09-2 Gesamt
Als
J""�'-'--'"
28.496
15.105
15.079
9.244
12.526
22.197
26.307
22.669
5.423
7.483
31.519
58.800
/7-,-r:.==;-S
-;:=±=,-- tandardabweichungen
(5)
nächstes w i rd die Interko r re l at ionsmat rix der Variablen ausgedruckt.
Bei der Berechnung der Korrelationskoef f i z i enten werden i.a. nur die Fälle
( Pe rsonen) berücksicht igt ,
ablen
z u l ässige
die bei den beiden jeweils korre l ie renden Vari
We r t e haben
( d . h.
inne rhalb
des Interval l s
zwischen un
terer und oberer Grenze l i egen) , Fäl l e mit K.A . auf einer der beiden Vari
Im e rs t en Te i l des Ausdruckes werden die Angaben der Steuersätze wieder
ablen b l eiben also unbe rücksichtigt
holt. Zusätzlich werden die Variablen , welche in die Faktorenana lyse ein
eine akt z entuierte Optimierung hinsicht l ich d e r Lau f z e i t läßt sich m i t te l s
gehe n ,
"alte
aufgel ist et ,
N r.")
durch
wobei
eine
die
neue
ursprüng l iche
Nummer
ersetzt
Nummer
wi rd.
a b l en, welche in dieser Analyse verwendet werden,
der Datei durchnumme riert.
der
Datei
( vgl.
B-Option 1
we rden
dabei
Vari
der beantworte ten Fäl l e der
auf
Es
nach der Reihenfolge in
eine Berechnungsvariante
Folge hat .
pfieh l t es
sich in e rst e r Linie
probe.
wäh l e n .
1
= 4). Für
d i e b e i K.A. d e n M i t t e lwert
f rag l ichen Variable
fahren zur
nigen unbeantwo rteten
( Voreins t e l l ung B-Opt ion
einse t z t.
Da dieses Ver
daß die Varianz tendenziell unterschä t z t wird .
Fä l len
für umfangre iche
in d e r
aktue l l
Datensätze m i t
anal ysierten
( Te i l - )
em
nur we
St ich
C,UKESClI/KISCHKEC,
XI Fak torenana lysen - FAM
8
Beispiel I , Hauptkomponentenanalyse:
EI GENWERTDlAGRAMM
BIS
3. 264*----- "* .. '" Eigenwerte
BIS
3.114
BIS
2.963
2.B13
BIS
BIS
2. 663
2.512
BIS
Die Skalenweite des Elgenwertdiagranuns ....ird
BIS
2 362
Z:ZlZ::JI---- bestimmt, indem von dem größten Eigenwert der
BIS
kleinste abgezogen und diese Zahl durch 20
BIS
2.061
dividiert wird. OIe so berechnete SchrittBIS
1. 911.
weite wird von dem größten Eigenwert 21 mal
BIS
1.761
abgezogen.
BIS
1.610 *
BIS
1.460
1. 310
BIS
1.159
BIS
Oberhalb dieser Linie liegen alle Eigenwerte
BIS
1.009
- -e g----O:e5§---'r------ grOBer/gleich 1.
BIS
0.708
...
BIS
0.558
.�.
0.408
BIS
Variablennummern
2
1
8
1.00
0.44
0.32
0.58
0.04
-0.04
0.20
-0. 08
-0.09
0.16
0.15
1.00
0.22
0.45
0.14
0.09
0.10
0.18
0.18
0.13
0.09
1.00
0.40
0.13
0.15
0.15
0.03
-0.06
0.15
0.25
1.00
0.19
0.10
0 . 21
0.02
-0.02
0.16
0.10
1.00
0.28
0.45
0.07
0.21
0.38
0.41
1.00
0.32
0.22
0.36
0.32
0.21
1.00
0.22
0.11
0.71
0.55
1. 00
0.34
0.28
0.16
10
11
12
1.00
0.11
0.03
1.00
0 . 51
1.00
BIS
Da
bei
einer
Hauptkomponentenanalyse
folgt , werden nur die Eigenwerte
<A1)
keine
Kommunalitätenschätzung
er
••�
0.257
Fakto ris ie rt man
Verlauf der Geröllgerade
nach dem Knick
EIgenwertdiagramm .
Zufallsvariablen,
kontinuierlicher Eigenwertverlauf
ausgedruckt.
so
e rgibt
sich
1m
ein
mit Werten von 1,5
geradliniger
>=
A
bzw.
0,5.
<=
Bei
sinnvollen Daten liegen die Punkte des Eigenwe rtdiag ramms nicht auf einer
PRI N C I PAL COMPONENTS - MODEL
Ge rade n ,
sondern
auf
einer
j-förmigen Kurve
mit einem mehr oder weniger
deutlich erkennbaren Knick . Erst nach dem Knick liegen d i e restlichen Ei
E I GENWERTE
3.2641
0.6259
9
Beispiel I , Hauptkomponentenanalyse: Graphischer Scree-Test
I nterkorrelationsmatrix
Interkorrela tionsmat.r ix
I
KORRELATIONEN
1.00
-0.04
-0.51
0.07
-0.10
-0.09
-0.08
0.01
-0.06
-0.26
0.04
0.02
XI Fak t orenanal ysen - FAM
Abbildung X I - 4
Abbildung XI-3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
C,UKESCH!KISClIKEC,
1.6591
0.4347
1.9681
0.5277
0.9779
0.3755
genwerte wieder auf einer Geraden .
0.7044
0.2575
0.8922
0.3130
CATTELL
Die Eigenwerte
sind
d e r Größe
nach
geordnet
und
werden
nach
der
Haupt
achsenmethode be rechnet .
(1966)
schlug
wegen
dieses
charakteristischen Verlaufes
zur
stimmung d e r Zahl de r als wesentlich zu e rachtenden Fakto ren vo r ,
zahl der
Be
d i e An
Eigenwerte bis e inschließlich des e rsten auf d e r Ge raden liegen
den heranzuziehen ( Scree-Test) . Durch die zusätzliche Berücksichtigung des
2.1.1 D e r Scree-Test
auf der Geraden liegenden Eigenwertes sollte gewährleistet s e i n , daß nicht
zu
Zur
Durchführung
ausgegeben.
des
graphischen
Scree-Tests
wird
ein
Eigenwertdiag ramm
wenig
reicht es
Faktoren
extrahiert
jedoch aus ,
werden.
Nach
CATTELL
und
JAS PERS
(1967)
für die Bestimmung de r Faktorenzahl nur die jenigen
heranzuziehen , deren Eigenwerte vor dem Knick liegen .
Dieser g raphische Scree-Test führt zu identischen Ergebnissen hins ichtlich
d e r zu extrahierenden Fakto re nanzahl , wenn anstatt einer Hauptkomponenten
analyse ( mit I als Diagonalelementen)
verwendet wird .
nicht mehr
eine
andere Kommunalitätenschätzung
In diesen Fällen kann das Eigenwertkriterium (
,\
>= 1)
zur Bestimmung de r Faktorenanzahl verwendet werden , da die E i -
10
XI Faktorenana lysen - FAH
genwerte wesentlich niedriger
als
bei
einer
LUKESCH/KISCHKEL
Hauptkomponentenanalyse aus
fallen.
LUKESCfI/KISCflKEl.
11
XI Fak t orenanalysen - FAH
gen werden die Eigenwerte als Y-Werte u n d die ordinalen Positionen der Ei
genwerte als
X-Werte verwendet. Sodann wird die Abweichung der k
Eigen
werte von der Geraden wie folgt bestimmt:
Die graphische
werden, wenn
Beurteilung des Eigenwertverlaufes kann dann problematisch
(a) kein klarer Knick im Eigenwertverlauf erkennbar oder
(b)
mehr als nur ein Knick vorhanden ist. In diesen Fällen ist auf andere Kri
terien zur Bestimmung der Faktorenanzahl zurückzugreifen.
Abw
k
-
1
2.1.2 Scree-Test zur numerischen Bestimmung der Abweichung von der
Geröllgeraden
k
Anzahl der Eigenwerte, auf denen die
Schätzung der Geröllgeraden beruht.
Abbildung XI-5
tatsächliche Eigenwerte
Beispiel I, Hauptkomponentenanalyse: Numerischer Scree-Test
geschätzte Eigenwerte aufgrund des Ver
laufes der Geröllgeraden
SCREE-TEST
In
ABW. VON GEROLLGERAOE
O.000002---=:::- 0.000092
ANZ.FAKT.
8
0.000094--0.000243
0.000267
0.000149
0.000023
0.001140
0.001407
0.001623
0.027920
'0""'
0.000217
0.026297
0.019722
'0"' '''
7
6
['
5
bei Annahme von 8 Faktoren würde man noch Faktoren interpretieren, die vor
dem Knick im Eigenwerteverlauf liegen.
Differenz zwischen
den Abweichunqs-
Das Verfahren wird so lange fortgesetzt, bis die Abweichung aller Eigen
der k-ten und k-l-ten Be
rechnung
-
werte von
Abweichungen von der geschätzten GerOll
1. Die Schätzung der
dividiert durch k
unune der
geraden
1 beruht die Schätzung der Gerölleraden bei Faktorenanzahl 8
an die Geröllgerade mit einem Abweichungswert von 0,000 002 ist gut, d.h.
'1'
werten bei
Beispiel
auf 4 Punkten (letztes Drittel der insgesamt 1 2 Eigenwerte). Die Anpassung
GerOllgeraden beruht auf k Punkten
der sukzessiv neu berechneten Geröllgeraden bestimmt ist. Als
bedeutsam kann
nach
werden,
ein
einer
Faustregel die
Anzahl der
Faktoren
angesehen
(Eigenwerten).
ab
der
deutlicher
Sprung
in den
Abweichungswerten
auftritt
(siehe Differenzwerte), die also von einem Verlauf der Geröllgeraden unter
Zufallsbedingungen augenfällig abweichen. In dem Beispiel liegt mit Aus
nahme des letzten Wertes der größte Sprung bei 3 Faktoren, d.h. man wird 3
Der
Scree-Test
kann
nach
einem
Vorschlag
von W.NAGL noch
weitergeführt
werden, indem aufgrund der Summe der durchschnittlichen quadrierten Abwei
chungen von der
Geröllgeraden der
Eigenwert gefunden wird, ab dem keine
gute Anpassung an die Geröllgerade mehr möglich ist. Dabei wird, ausgehend
von den Eigenwerten einer Hauptkomponentenanalyse, zuerst durch das letzte
Drittel der Punkte des Eigenwertdiagramms eine Gerade gelegt. Für die Be
stimmung der Geraden nach der Methode der kleinsten quadrierten Abweichun-
Faktoren als wesentlich erachten.
XI Fak to renanalysen - FAN
12
L UKESCH/KISCHKEL
LUKESCH/KISCHKEL
2.1.3 Beurteilung der Residualkorrelationen nach schrittweiser
Faktorenextraktion - Kriterium von SOKAL (vgl. PAWLIK
1971, S. 170 f.), modifiziert und erweitert durch W. NAGL
Te:i.
XI Fakt orenanalysen - FAN
13
.k.
u8,ui: Einzelvarianz der Variablen g und i nach Extraktion von k Faktoren
Abbildung XI-6
Beispiel I, Hauptkomponentenanalyse: Sukzessive Faktorenextraktion
nach Sokal
BE,
PROZENT
IIESlk.ZW.
.Iu.-.!
I1fAAT.
10rAkT.
9FAKT.
aFAKT.
7 FAkT.
6 fAkT.
5FAKT.
.FAKl.
3FAI(1,
2 FAXT.
1 FAKT.
o FAKT.
100.0
98.5
97.0
91.0
92 .•
90.0
80.3
74.2
75.8
62.1
3<.8
33.3
POSITIVE
RHTKOIIR.
41.0
43.9
43.9
34.8
39:.
34.8
40.9
40.9
36.'
33.3
31.9
81.8
SIClI,PAR
T ,KORR.
le.AkT)
89 .•
93.9
80.3
....
72.7
69.7
62.1
63.6
63.3
62.1
66.7
62.1
SIGH.PMT.
S teift ,PAR
T.KORR.
I(ORII.
(C,KONST.)
100.0
''-11.
0.1"
100.0
0.11.
100,0
100.0
0.114
100.0
0,11.
100.0
0.113
100.0
0.113
0.113
100.0
0.113
100.0
100.0
D.lI]
100.0
0.112
100 0
0.112
l·
(1)
(2)
Prozentsatz der Restkorrelationen (kr.i) zwischen +0,10 und -0,10
nach Extraktion von k Faktoren. Je größer dieser Prozentsatz, desto besser
kilnn die ursprüngliche Korrelationsmatrix reproduziert werden bzw. desto
weniger lohnend ist die Extraktion eines weiteren Faktors.
::b::.:;;"
(3)
Prozentsatz der positiven Restkorrelationen (kr"i) nach Extraktion
von k Faktoren. Sind in der Restkorrelationsmatrix nur mehr zufällig von
Null abweichende Koeffizienten enthalten, sollten sich jeweils gleich
viele positive wie negative ergeben ( - 50 %).
�l"ttdlen
�r"..I.U_
5J P",�ft>t ...
, u Mr .Iq
nlUlI.llJ1ten panhllen
�rreht1on.·'lto<'!-UI
denten
Ir91,II.I
(4)
\4' proltent..t.1t d.� .lqnUUt"nlO!tl
pII�tl..llen KOrrel.UQl'lalloeffll:l�
)) Prc».... u..ot.. der�lUVftl.ut_
llorrehUone
.. ' r l' ,..a-. P:l;tr&ltUon
k
_11 "..:t.o.....
q
Erläuterung:
Zi'
Durch k Faktoren "erklärte" Korrelation zwischen den Variablen g und
1.
kr"i: Kovarianz der Restvariablen, die durch die Extraktion von k Faktoren
noch nicht ge�lärt ist (=Restkorrelation)
asp . a.1p
p=1
r ..i.k: partielle Korrelation zwischen den
stanthaltung (= Extraktion) von k Faktoren
signifikanten
Variablen
g und
partiellen
Korrelationskoeffizienten
Dieses Kriterium ( Prozentsätze) steigt nicht linear an, da bei geringer
Varianzaufklärung durch die gemeinsamen Faktoren die Einzelvarianz groß
ist und es deshalb vorkommen kann, daß trotz hoher Restkorrelation im Zäh
ler wegen der großen Einzelvarianz im Nenner eine kleine partielle Korre
lation resultiert und umgekehrt. Zu erwarten ist deshalb ein kurvi-li
nearer Verlauf dieses Kriteriums. Nach einer Faustregel könnte man die
Zahl der �aktoren heranziehen, bei denen das Minimum des Prozentsatzes an
signifikanten partiellen Korrelationskoeffizienten liegt (in Beispiel 1: 2
Faktoren) •
(5)
Prozentsatz signifikanter
von k Faktoren.
k
I
der
C.AKT: es wird die jeweils nach k Faktoren berechnete Kommunalität bzw.
Einzelvarianz (1 - hi2) in die Formel für (r.i • k) eingesetzt.
121 p.oa.nu.tc. de.. Re.toton.latlonen "..lach.... .
0, 10
und -0,10 II<lCh l!:Jotralll1_ ..... Ir. ,.ktor","
r.i: Korrelation der standardisierten Variablen z" und
Prozentsatz
(r8iok) unter Kontanthaltung von k Faktoren.
t.... ('"91.tl n.c:to I'!Iotrllktion ......
Ir; ,...kto...."
r.i:
Anzahl (k) der extrahierten Faktoren
i unter
Kon
Korrelationskoeffizienten nach
Extraktion
C.CONST: es wird die Gesamtkommunalität in die Formel für r"iok eingesetzt
und nicht die nach k Faktoren extrahierte. In Beispiel 1 ergibt sich wegen
der
Hauptkomponentenanalyse
und
der
damit
verbundenen
vollständigen
Varianzaufklärung immer 100 %.
(6)
Größe der signifikanten partiellen Korrelationskoeffizienten (r.iok)'
r�"iok: niedrigste partielle Korrelation, die nach Extraktion von k Fakto
ren signifikant von Null verschieden ist
XI Fak torenanalysen - FAH
14
LUKESCH/KISClIKEL
LUKESClI/KISCHKEL
men) als eine
t� - df
FAH
15
Schätzung der oberen Grenze für die Faktorenzahl angesehen
Stichprobengröße
Anzahl der extrahierten
Faktoren
der
Faktorenzahl
Anzahl Variablen
2.1.4 Varianzextraktion
t-Wert, der für die Anzahl der Freiheitsgrade bei gewähltem
Signifikanzniveau � eben noch signifikant ist.
Zur Rechenvereinfachung wird die Signifikanz
nach dem Verfahren von SOKAL (1959) bestimmt:
k >= m/2
k
m
n - (k+2)
n
k
-
werden ( S.u. 3.).
Faustregel:
df (Freiheitsgrade)
XI Faktorenanalysen
Restkorrelationen
Die
Eigenwerte
entsprechen
dem
Anteil
der
durch
die
spondierenden Faktoren aufgeklärten Anteile der Gesamtvarianz
..r."
).
untere Grenze für signifikante
Restkorrelationen
�
* 100 %
m
ihnen
korre
(S�2).
Anzahl der Variablen
m
Willkürlich wird dabei feistgelegt, daß 75 %, 80 %, 90 % etc. der Varianz
der Korrelationsmatrix durch die Faktorenanalyse aufgeklärt werden soll.
niedrigste Einzelrestvarianzen bei
sämtlichen Variablen.
Bei einer Hauptkomponentenanalyse entspricht der Anteil der Gesamtvarianz
dem der Gesamtkommunalität
..
Alle Restkorrelationen <= ..r� � sind sicher von Null verschieden. Die
Restkorrelationen >=..r.� werden in partielle Korrelationskoeffizienten
(r. k) umgerechnet. Ist der Prozentsatz signifikanter Res tkorre lationen
größer als �, muß mindestens ein weiterer Faktor extrahiert werden.
...
2.1.3.1 Weitere Methoden zur Bestimmung der Faktorenanzahl
Eigenwertkriterien (siehe auch Option 3)
Es werden nur die Faktoren extrahiert, deren Eigenwerte
m
(S2
bei
1:
i=1
anderen
h�2),
Kommunalitätenschätzungen ist
die
Gesamtvarianz
La.
größer
als die durch die gemeinsamen Faktoren aufgeklärte Varianz
A
>= I sind.
Bei kleiner Variablenanzahl werden bei diesem Kriterium eher zu wenig Fak
toren, bei großer eher zu viele extrahiert. Im allgemeinen ist dieses Kri
(S2
m
>
1:
h�2),
i=1
terium als Schätzung der unteren Grenze der Faktorenanzahl anzusehen (Aus
nahrne:
sehr viele
Variablen,
z. B.
bei der Analyse psychometrischer Ska
len) •
Bisweilen wird empfolen,
Ein hoher Anteil eines Faktors an der Gesamtkommunalität bedeutet in einem
solchen Fall nicht unbedingt einen hohen Anteil an der Gesamtvarianz •
nicht mehr als halb so viele Faktoren zu extra
hieren als Variablen verwendet worden sind. Diese Regel kann
(mit Ausnah-
XI Fak t o renanalysen - FAH
16
Abbildung X I-8
2.1.5 Die Faktormatrix (unrotiert) wird iterativ mittels der
Hauptachsenmethode nach dem Verfahren von JACOBI berechnet.
Beispiel I, Hauptkomponentenanalyse: Rotierte Faktormatrix
ROTIERTE FAKTORMATRIX
Abbildung X I-7
VARIABLE
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
1 0.
11.
�
KOMM.
H**2
1 .00
1 .00
1 .00
1 .00
1 .00
1 .00
1 . 00
1 .00
1 .00
1 .00
1 .00
1 .00
onrotlerte
---- -"
( 1 2 FAKTOREN)-
Faktormatrix
KomrnunalitAten
FA. -LADUNGEN
1.
2.
3.
-0.1 9
0. 24
0.71
0.43 -0.69
0.18
0.48 -0.56 -0.47
0.43 -0. 38
0.27
0.51 -0.64
0.06
0.60
0.22
0.02
0.50
0.33 -0.23
0.76
0 . 29
0.25
0.36
0.31 -0.36
0.30
0.29 -0.66
0. 74
0.31
0.23
0.65
0.24
0.31
Vaxlabienbezeichnung
% VAR.=1 00.0
27.2
ITERATION
CYCLE
o
1
2
3
4
5
6
7
8
9
VARIANCES
1 6. 4
(Anzahl der extrahierten faktoren)
2
'"1 j�l'ij 2)
4.
0.45
0.03
-0. 1 2
0.44
0.15
-0.35
0. 31
-0. 1 6
0.47
0.21
-0.08
-0. 1 9
5.
0.00
0.15
0.1 6
-0.29
-0.08
-0.39
-0.45
0.15
0.53
-0. 1 6
0.25
0.08
6.
0.22
0.30
-0.10
-0.49
0.23
-0.04
0.19
0.1 7
-0. 1 7
0.1 7
0.13
-0.36
7.
-0.25
0.0
0.04
0 . 04
-0. 1 6
-0.47
0.43
0.10
-0.18
-0.25
0.16
0.03
8.
0.05
0.28
-0.05
0.04
-0.22
-0. 21
-0.1 2
-0.02
-0. 21
0.43
-0.07
0.32
9.
-0. 1 2
-0.12
-0.08
0.27
-0. 05
-0.06
-0.24
0.18
-0.1 3
0.17
0.27
-0.33
10.
0.20
0. 1 3
0.31
0.04
-0.36
0.15
0.06
-0. 1 2
-0.03
-0.06
0.1 3
-0.1 5
8.1
7.4
5.9
5.2
4.4
3.6
3.1
1 3.8
'---+---VarianzaufkHlrung durch die gemeinsamen Faktoren
0.1 02584
0.423510
0.61 6142
0. 666352
0.668100
0.668116
0.668 1 1 6
0.668 1 1 6
0.668 1 1 6
0.668 1 1 6
•
i�1
h12
.
(vgl.
11.
0. 1 7
-0.29
0.23
-0.07
0. 1 9
-0.12
-0.04
-0.1 4
-0. 1 5
0.08
0.18
0. 1 2
1 2.
-0. 1 2
0.12
-0.19
-0.01
0.03
0.06
0.01
-0. 34
0.04
-0.01
0.27
0.03
2.6
LyJ
P1\WLIK 1971,
S.
207)
2
2
8.
9.
10.
11.
�"
"
0
lliJ
•
�
�
11
"
':l"
toren
t
".
2.1.6 Varimaxrotierte Faktormatrix
2
.tOO)
Iteration
bei
einer:
(siehe Option 4)
Varimax-Rotation wird nach dem von
Varimax-Kriterium durchgeführt
sche Lösung erfolgt iterativ.
(vgl.
KAISER
vorgeschlagenen
PAWLIK 1971, S. 107).
8.5
8. 3
(bei lJauptkomponen
6.
-0.05
-0.14
-0. 1 0
-0.96
-0.20
-0.05
-0.07
-0.04
-0.01
0.04
-0.05
-0.1 2
7.
0 . 04
0.01
-0.05
-0.04
-0.09
-0.95
-0. 1 1
-0. 21
0.0
-0.09
-0. 1 6
-0. 1 8
8.
-0.1 2
-0.05
0.08
-0.04
-0.02
0.09
0.1 7
0.03
0. 1 6
0.95
0.03
-0.01
9.
-0.01
-0.06
-0.02
-0.10
-0.01
-0. 1 7
-0.07
-0.26
-0.06
0.00
-0.23
-0.93
10.
-0.23
0.20
0.89
0.08
0.19
0.05
0.02
0.01
0.07
0.06
0.04
0.02
11.
0. 00
-0.92
-0.22
-0.1 3
-0.28
0.01
0.03
-0. 1 0
0.05
0.04
-0.07
-0.05
8.5
8.6
8.3
8.6
7.8
8.4
Varianzanteil.
(in , der Gesamtvarianz)
normierten
Die rechneri
K r i terium durchgefUhrt (vgl. PAWLIK 1 97 1 , S. 107 f ) . Die rechneri s che Lösung er
folgt i terativ.
1 2.
0.03
0.06
0.04
0.04
0.05
0.14
0.12
0. 37
0.1 1
0.02
0.89
0.21
8.5
der durch je....eils einen varimaxrotlerten
Faktor aufgeklärt wird
Die Varimax-RotatlOn wlrd nach dem von KAISER vorgeschl agenen normie rten Varimax
�
der durch die gemeinsamen Faktoren
8.7
7. 3
aktoren-
faktorenladungen nach der Rotation
tenanalyse immer 100\).
Dies r ist bei
iner Hauptkomponentenanalyse immer 1 (-tOO\);
2 (u
hi
+ u1
*' Elnzel- oder Restvarianz einer Variablen, die
i
die gemeinsamen Faktoren aufgeklArt wird).
bel anderen Analysen 1st
1
s"mtliche gemeinsame Fak
durch einen Fa.ktor
i-ter
I
5.
0.03
0.04
-0.02
-0.07
-0.04
-0. 1 1
-0.96
-0.1 4
-0.08
-0. 1 7
-0. 14
-0.07
rti
(Anzahl der Faktoren)
Xommunalit!ten nach der Rotation
4.
-0.01
-0.06
0.10
0.01
0. 00
0.0
0.09
0.10
0.97
0.1 7
0.1 3
0.07
Varlabienbezeichnung
VAR . • l00.0
varimaxt:otierte Faktormatrix
( 1 2 FAKTOREN)
FA.-LADUNGEN
1.
2.
3.
0.01
0.03
0.96
0.08 -0.27 -0.00
0.01 -0.20 -0.30
0.03 -0. 1 7
0.04
0.07 -0.91 -0.04
0.15 -0.08 -0. 04
0.10 -0.03 - 0.03
0.84 -0.08
0.01
0.07 -0.00 -0.01
0.03
0.02 -0. 1 2
0.29 -0.05
0.03
0.01
0.20 -0.01
Varlanzaufk13rung durch
:f
aufgeJdArt wird
f
1 .00
1 .00
1 .00
1 .00
1 .00
1.00
1.00
1 . 00
1.00
1 .00
1 .00
1 .00
7.
Varianzanteil, der:
",
Die Korml\inalit4t stellt den Varianzanteil dar,
Die
ktorenbeZeiChnUng
tOOI
Werte fOr das varimaxkrlterium nach
Variablen aufgeklArt wird.
nicht durch
�
fKölili
H*'*2
VARIABLE
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Beispiel 1, Hauptkomponentenanalyse: Unrotierte Faktormatrix
FAKTORMATRIX
17
XI Faktorenanalysen - FAH
LUKESCIf/KISCIIKEL
LUKESCH/KISCHKEL
ezeichnunq
�g,
. -"
l!" �
.E�"
." �
• 0.
-.
-,,"
-..,-
,!' � ..:
�i
7�
XI Faktorenanalysen - FAH
18
LUKESCH!KISCHKEL
LUKESCH!KISCHKEL
XI Faktorenanalysen - FAH
19
2.1.7 Bargmann-Test
liegen.
Ist
die
Zahl
der
ermittelten
Nullladungen
festgelegten Signifikanzniveau zu erwarten.
Abbildung XI-9
größer
kann dieser
als
nach dem
Faktor als gesi
chert und interpretierbar gelten.
Beispiel 1. Hauptkomponentenanalyse: Bargmann-Test mit Einfachstruktur
In dem vorliegenden Beispiel kann nicht davon ausgegangen werden. daß Ein
BARGMANN-TEST
fachstruktur vorliegt. da kein einziger Faktor durch genügend Nulladungen
*************
in der entsprechenden Hyperebene definiert ist.
A N Z.
IN D E N FAKTOREN
p
NULLADUNGEN
2.1.8 Geordnete Ladungsmatrix
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
7
8
9
9
7
8
7
8
7
8
8
6
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Die Variablen werden nach der Ladungshöhe auf den einzelnen Faktoren ge
ordnet ausgegeben.
wählten Minimum liegen (Voreinstellung 0,20), werden Null gesetzt. Die Va
riablen, welche einen Faktor am deutlichsten bestimmen, sind durch gepunk
tete Linien voneinander getrennt. Im Beispiel wird jeder Faktor durch nur
eine Variable gebildet (z.B. Faktor 1 durch Variable 8. die darüber hinaus
�
�
Faktor 7, 9 und 12 nennenswert lädt).
Signifikanzangabe
über die Anzahl der Null
ladungen pro Faktor
(Signifikanzniveau: 0,05
bzw. darunter)
-- Anzahl der Nullladungen auf der
dem jeweiligen varimaxrotierten
Faktor entsprechenden Hyperebene
Faktorenbezeichnung
Durch den
Bargmann-Test wird geprüft, ob ein Faktor durch genügend viele
Variablen definiert ist und eine Variable möglichst nur einen Faktor be
deutend
lädt
( Einfachstruktur) .
Dabei
wird
die
Zahl
der
Variablen
be
stimmt, deren Ladungen auf der Hyperebene dieses Faktors in dem Bereich
<
0.10
Eine Variable wird dem Faktor zugeordnet, auf dem sie
die höchste Ladung hat. Faktorenladungen, die unter dem nach Option 6 ge
XI Faktorenanalysen - FAH
20
LUKESCH/KISCHKEL
LUKESCH/KISCHKEL
XI Faktorenanalysen - FAH
21
Abbildung XI-IO
In diesem Fa l l wird jewei ls eine getrennte Faktorenana lyse tür die so de
Beispiel I, Hauptkomponentenanalyse: Geordnete Ladungsmatrix
DAS MINIMUM DER BERDCKSICHTIGTEN LADUNGEN LIEGT BEI:
'�.j"
Ladungen kleiner 0.20
Geordnete
r-tatrix
werden Null gesetzt
�
Das Minimum
der z.u berOck-
ilber Option
6
finierte
sichtigenden Ladungen kann
paktOrb.zeiChnUng
bestimmt werden.
2
�1:::!: :�:84: :D �:::0:0:: b: :�:�:::��o::��:21: : o��:: :0:26 :� ��!:: :!;D:::�:37:
... "
5:'
�
ö:ö" :Ö:9;" ö:ö'" ö:o'" o:ö'" ö:ö'" ö:ö'" ö:ö'" ö:o'" ü' :ö:2
ä
"
den.
analyse
der
Faktorenanalyse mit iterativer Kommunalitätenschätzung
I
2
3
4
Beispiel werden nur die Einheiten
einbezogen,
welche
hängige" Variable, "Filter"
auf
der
(s. Satz
(Personen)
Auswahlvariable
in die Faktoren
(Variable
I) die Ausprägungen 1,2,
1.
"unab14, 24
(s. Satz 2 Klammer) aufweisen. Diese sind als Gruppe unter der Bezeichnung
'TS- NW' zusammengefaßt
(s. Satz 2, Text).
Sollen aufgrund der Ausprägung
auf der Auswahlvariablen mehrere Gruppen unterschieden werden, so sind die
Ausprägungen durch "I" zu trennen, ebenso der Text zur Gruppenbezeichnung.
Beispiel: (1-14,24/15-23)'TS-NW/GS-NW'.
Es
sind
Eingabe unter
dies dieselben
(I) wird als "unabhängige Variable, Op
Die
Variablen werden
dabei
in
die in die Analyse eingehen wer
der Reihenfolge,
sprünglichen Datensatz enthalten sind, durchnummeriert.
Steuersätze:
In diesem
Ähnlich
Auswahl
Bildung weiterer Gruppen erfolgt nach der im Kapite l
zeichnis sämtlicher Variablen erstellt,
Faktor aufgeklart
1*
mehreren
tionen und Eingabedatei " ausgewertet usw. Im Anschluß daran wird ein Ver
durch den jeweiligen
( I) EDATEI, NJOO,2,I,O
(1-14, 24)'TS-NW'
(1477-1481,1537, 1538, 1551-1555)
von
Als erstes wird die durch FAH interpretierte Information der Steueransätze
protokolliert, die
wird
2.2 Beispiel 2:
anschließender
2.2.1 Programmausgaben
· · ·
Va.cianzanteil,
mit
Kombination
zwölf Variablen wie in Beispiel I.
'....
. . ."
..
ä: .j. . . ..ä:. 5'
· · · ä:i;'"
· · · · · · ä:j'"
· · · · · · ä:i;'"
· . . .
i:j" 'ä:j'" ä: 7'" ä:5" 'ä:5'" ä:5'"
. . .7:ä
bezeichnung
die
gerechnet
Die
definierte Teilstichprobe gerechnet werden soll.
ö:ö"
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
Variablen-
variablen oder
Gruppe
7).
Steuersatz 3 gibt die alten Nummern der Variablen, über die die FA für die
!i i .lil:lf i lii ;i1r :ir �i 'i : Ifi t !i:
· · · · · ·
und zweite
(s. Beispiel
111, Steuersprache beschriebenen Syntax.
::T:::U::Tf::U��Tt�Tf:Tr:Tf:Tf:Tr::�YTf:Tr:
dRl'1'
erste
keitsrotation
in der sie im ur
22
XI Faktorenanalysen
-
FAN
L UKESCH/KISCHKEL
LUKESCH/KISCHKEL
X l Fak torenanalysen
-
23
FAN
Abbildung X I-li
Abbildung XI-12
Beispiel 2, FA einer Teilstichprobe und iterativer Kommunalitäten
Beispiel 2, FA einer Teistichprobe und iterativer Kommunalitäten
und Eigenwerte
schätzung: Protokollierte Steuersätze und Registerauszug
EINGABE. •
�
.ß..UEOATEI,N300,2,1 ,0
1
��
EINGABE. • • (,1- 4,24.) ' TS-NW'
�
r-----TS-
Auswahlvar iable
FAKTORENANAL YSE
***••• *********
Text zur Bezeichnung der
VERZEICHNIS DER UNTERGRUPPEN
1 . GRUPPE: TS-Nfr--1
EINGABE.• • (1477-1481 ,1537,1 538,1 551-1555)
ausgewahlten Einheiten
Ausprägungen auf der Auswahlvariablen
für die Zuweisung zur
I.
Gruppe
EINGA8E. • • ;'
NEUE
ALTE NR.
***************
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
1 .35
1477 •
1478
1 479.
1480.
1481 .
1537.
1538.
1551.
1 552.
1 553.
1 554.
1 555.
0
21
10
10
6
9
1
1
1
1
1
1
1
150
42
20
20
12
18
47
46
55
19
16
59
1 15
000
000 .
000
000
000
000
000
000
000
000
000
000
000
SCHULNUMMER
LE I STUNGSANGST'
L ERNMORAL •
AR8EITSKAPAZITAT'
SCHULINVOLVEMENT EINSTELLUNG ZU LEHRERN'
SCHULINVOLVEMENT WOHLBEFINOEN'
09-1
F9
E9-5
M9-3-9-7
N9-6-PH
E9-4-GESAMT
09-2 GESAMT
Die folgende Angaben zu den Berechnungsmodalitäten, die Ausgabe der Mit
telwerte, Streuungen und Besetzungen pro Variable wurde weggelassen (siehe
hierzu Beispiel I), ebenso die Interkorrelationsmatrix.
KOM'�UNALI TATENSCHATZUNG
FA= 1 2 1,
ITERAT. NACH SCHAllEN DER FAKTOREN ,(
k.=Anzahl
EIGENWERTE VOR DER ITERATION
0. 558
0.672
0.701
0.930
1 .274
4.055
2.190
0. 189
0.296
0.0 1.00 1 .00 1 .00 1 .00 1 .0 0 1.00 1 .0 0 1 .00 1 .00 1.00 1 .00 1 .00
KRIT.MAX.= 0.5000000E-Ol
OBER ITERATION, KRIT.= 0.1636594E-07
WERTE FOR DIE VAR.
1.00 1.00 1.00 1 . 00 1 .00 1 . 0 0 1.00 1 .0 0 1 .00 1.00 1 .00 1 .00
der Faktoren
0.411
0.374
IT.CYCL.=
0.350
1
SU''I-IE DER GESCHATZTEN KOMHUNALITATEN = 1 2.000
EIGENWERTE
4.0553
0.2962
2.1896
0.1890
1.2736
0.7006
0 .9300
0.6724
0. 5581
0.4114
0. 3740
2.3 Beispiel 3: Faktorenanalyse mit Kommunalitätenschätzung aus
multiplen Korrelationskoeffizienten
Steuersätze :
Wie in Beispiel 2, aber Optionen 2,2,0 (1. Option
tion
=
lationskoeffizienten, 3. Option
Null)
=
Faktoranalyse, 2. Op
Schätzung der Kommunalitäten über die Quadrate der multiplen Korre
=
Abbruchkriterium: alle Eigenwerte größer
•
Programmausgaben: bis einschließ lich der Interkorrelationsmatrix analog zu
Beispiel 2.
0 .3498
XI Fak t orenanalysen - FAH
24
LUKESCH/KISCIIKEL
Xl Faktorenanalysen - FAH
LUKESCH/KISCHKEL
25
Abbildung XI-13
Abbildung XI-14
Beispiel 3, FA einer Teilstichprobe und iterativer Kommunalitäten
schätzung: Kommunalitäten und Eigenwerte
Beispiel 3, FA einer Teilstichprobe und iterativer Kommunalitäten
schätzung: unrotierte und varimaxrotierte Faktormatrix,
FAKTOR ENANL Y S E
'!::*************
Bargmann-Test
FAKTORMATRIX
KOMMU NALITÄTENSCHÄTZUNG
(MULT. KORR.-KO EFF.)**2
W ERTE FUR DIE VAR.
T
VARIABLE
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
0.45 0.53 0.20 0.46 0.46 0.22 0.71 0.44 0.35 0.70 0.54
SUMM E DER G E SCHÄTZ T E N KOMMUNALITATEN
,j""""
3.5851
-0.0305
0.6533
1.6465
-0.0836
-0.1149
=T
J
% VAR.=
0.27
-0.182
1
I
0.0774
-0.1931,
�
-0.0123
und
numerischer
Scree-Test
werden
<siehe
hierzu Beispiel 1). Ein Ausdruck der schrittweisen Restkorrelationen er
folgt nicht,
da die Größe der
wurde (3. Option = 0.0).
13.7
der
4.
0.21
0.04
-0.14
0.21
0.07
-0.12
0.17
-0.12
0.20
0.22
-0.08
-0.09
5.
0.00
0.07
0.03
-0.08
-0.05
-0. 17
-0.06
0.08
0.11
-0.01
0.08
-0.07
2.3
0.6
5.4
durch die gemein-
samen Faktoren aufgeklärt wird
-0.2517
ausgelassen
29.9
H
ITERATION
CYCLE
o
1
2 •
3
4
5
6
7
8
9
10
11
ROTIERTE FAKTORflATRIX
Eigenwertdiagramm
FA. -LAOUNGEN
1.
2.
3.
-0.22
-0.2B
0.47
0.26
0.61
0.25
0.31
0.69
-0.23
0.25
0.33
0.16
0.30
0.66
0.16
0.67
-0.16
-0.01
0.44
-0.12
-0.21
0.83
-0.19
0.17
0.65
-0.13
-0.15
0.52
-0.07
-0.33
0.B3
-0.18
0.14
0.72
-0.19
0.19
varlanzanteil,
Summe der quadrierten
multiplen Korrelations
koeffizient=Summe der ge
schätzten Kommunalitäten
qua rierter multipler Korrela
tionskoeffizient der I. Variable
mit den restlichen Variablen
als Schätzung der Kommunalität
(= untere Grenze)
5 FAKTOREN
KOMM.
H**2
0.39
0.52
0.65
0.25
0.56
0.51
0.28
0.77
0.51
0.43
0.76
0.60
Eigenwerte als Abbruchkriterium festgelegt
VARIABLE
2.
3.
4.
5.
6.
7.
B.
9.
10.
11.
12.
13.
KOMM.
H 2
0.39
0.52
0.65
0.25
0.56
0.51
0.28
0.77
0.51
0.43
0.76
0.60
1 VAR.= 52.0
VARIANCES
0.222593
0.391914
0.413325
0.419882
0.429701
0.444354
a.449035
0.449079
0.449080
0.449080
0.449080
0.449080
5 FAKTOREN
FA. -LADUNGEN
2.
1.
3.
-0.07
-0.03
0.60
0.09
0.70
-0.11
0.02
0.55
-O.SB
O.OB
0.48
0.05
0.07
0.73
-O.IB
0.64
0.04
-0.12
0.27
-0.00
-0.08
0.11
0.83
-0.01
0.45
0.08
-0.06
0.04
-0. 17
0.26
0.12
-0.02
0.81
0.10
0. 74
0.03
22.3
Werte des Varimaxkr 1 teriums
13.2
6.7
4.
-0.16
-0.08
0.06
0.12
0.0
0.25
0.45
0.23
0.53
0.58
0.27
0.19
5.
0.01
0.10
0.04
-0.06
-0.02
-0.16
-0.06
0.10
0.12
-0.01
0.10
-0.05
9. 1
0.7
BARGMANN- TEST
*.****••• ****
IN DEN FAKTOREN
.
1
2
3
4
5
1
ANZ. NULLAOUNGEN
P
3
''"'
3
1.000
5
0.726
2
1.000
5
0.726
nicht hilu.el.c:h�nd
bestimmte
Faktoren
- ['AM
XI Faktorenanalysen
26
LUKESCH/KISCHKEL
2.4 Beispiel 4: Kommunalitätenschätzung nach Iterationsverfahren
von KAISER und GUTTMAN
LUKESCH/KISCHKEL
27
XI Fakt orenanalysen - FAM
2,5 Beispiel 5: Kriteriumsbezogene Rotation (Analyse B) als Versuch
der Replikation der Faktorenstruktur bei einer anderen
Stichprobe (Analyse A).
Steuersätze:
Wie in Beispiel 2, aber Optionen 2,3,0 (2. Option = Schätzung der Kommuna
litäten nach dem Iterationsverfahren von KAISER und GUTTMAN vgl. PAWLIK
1971, S. 121 f., modifiziert nach W. NAGL).
Programmausgaben: Bis einschließlich der Interkorrelationsmatrix analog zu
Beispiel 2.
Analyse A: Zur Bestimmung der Faktorenstruktur der Variablen
wird an einer ersten Stichprobe eine Faktorenanalyse
gerechnet.
Abbildung XI-16
11
Beispiel 5, kriteriumsbezogene FA: protoko1lierte
sterauszug von Analyse A (Varimaxrotation).
Abbildung XI-15
Beispiel 4, FA einer Teilstichprobe und Kommunalitätenschätzung
nach Kauser-Guttman: Kommunalitäten und Eigenwerte
rfö.
................
KRIT.MAX. =
0.89
0.81
0.75
0.71
0.84
0.72
0.63
0.56
l 1
0.94
0.90
0.87
0.85
0.89
0.80
0.74
0.70
0.87
0.77
0.70
0.65
0.94
0.90
0.87
0.85
j
0.70
�
�
0.85
geschatzte h
1.9106
0.9494
0.5727
0.3453
0.2894
0.0891
0.0833
0.0414
0.0183
die Bestimmung de,
Ko"",unalitOten nach dem KAISER
1m Gegensatz zu den Angaben von PAWLIK ist
es bei Verwendung der quadrierten
da
die Matrix singulär wird.
der Ausgangswerte von dem We!:t
und den
SMC' s
abgezogen.
analog verfah!:en,
I
eine Konvergenz
zu
Deshalb wird als Schatzung
ein F'Ünftel de!: Differenz zwischen
Fu!: die nAchsten Iterationszyklen wi!:d
bis eine hin!:eichend gute Konvergenz e!:zlelt wird.
Sunune de!: quadrierten Differenzen zwischen KornmunalitAten der n-ten
und n+l-ten Iteration.
(=0,05).
Unterschreitet diese
Surrrne das gesetzte Kri
so wi!:d mit der Iteration ab gebrochen.
Unrotierte, rotierte Faktormatrix
ebenso die geordnete Ladungsmatrix
und
BARGMANN-Test
werden
1.35
1477.
1478.
1479.
1480.
1481.
1537.
1538.
1551.
1552.
1553.
1554.
1555.
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
21
10
10
6
9
1
1
1
1
1
1
1
150
42
20
20
12
18
47
46
55
19
16
59
115
000
000
000
000
000
000
000
000
000
000
000
000
000
SCHULNUlfoIER
LEISTUNGSANGST
LERNHORAL'
ARBEITSKAPAZITÄT
SCHUL INVOLV .
SCHULlNVOLV.
09-1
F9
E9-5
M9-3-9-7
N9-6-PH
E9-4 -GESAMT
09-2 GESAMT
Analyse B: Nachdem an einer Stichprobe die Faktorenstruktur der
Variablen ermittelt wurde, wird diese an einer
anderen Stichprobe "GS-NW" (s. Steuersatz 2) zu
replizieren versucht.
multiplen Korrelationskoeffi
zienten als A usgangsschätzung nicht �lich,
erzielen,
I.
2.
3.
4,
5.
6.
7,
8.
9.
10.
11.
12.
13.
i
0.1527
ALTE NR.
.* •••••••••** •••
.75
0.2371
KOnSu.n,e fü,
VERZEICHNIS DER UNTERGRUPPEN
I. GRUPPE: TS-NW
EINGABE... (1477-1481,1537,1538,1551-1555)
NEUE
EIGENWERTE
3.8038
terium
,N200
EINGABE. ../*
lT,CYCL. = 4
h 2
i�l i
GIJ'I"l'MANN-Verfahren.
0.91
0.84
0.79
0.75
0.4375706E-01
0.5000000E-01
WERTE FOR 01 E VAR.
0.66 0.73 0.77 0.55 0.72 0.71 0.56 0.85
,
Sut-lME OER GESCHlITZTEN KOI'I·lUNALITÄTEN =
18' 931
I
Eigenwerte größer
TS-NW
r
l
rl\bbrUChkritertulIl:
E IllGA8E... (1-14,24) 'TS-NW'
FAKTORENANALYSE
KOt+1UNAL ITATENSCHIIT ZUNG
1
0.11 0.86 0.89 0.91 0.84 0.89
2
0.09 0.76 0,,81 0.84 0.72 0.81
3
0.06 0.70 0.76 0.80 0.62 0.76
4
0.66 0.73 0.77 0.55 0.72
CON= lo
o�
OBER ITERATION, KRIT. =
I
ter ative Koumuna 1 i tAtenschätzung
EINGA8E... (1 )EDATEI,2,3,
.
I
Steuersätze
ausgelassen,
und Regi
XI Fak torenana lysen - FAN
28
WKf:SCII/KISCIIKEL
LUKESCII/KISCIIKf:L
29
XI Faktorenanalysen - FAN
Abbildung X I-17
Abbildung X I-18
Beispiel 5, kriteriumsbezogene FA: protokollierte Steuersätze
und Registerauszug von Analyse B (kriteriumsbezogene Ro tation)
Beispiel 5, kriteriumsbezogene FA: Kommunalitäten und Eigenwerte
von Analyse A und B
(( 11)5E-23)'DATEIGS-NW'
.N200.2 I 2
EIEINNGABE.
GABE. ....GS-NW
DER UNTERGRUPPEN
VERZEI
C
HNIS
1.
GRUPPE:
EIEINGABE
NGABE..... (,1 537.1538GS-NW1155'-'55�/J477 '48I,)
NEUE 1. ALTE1.Nr.35
SCHULNUMMER
21100 ISO202042 000000000 LELERNMORAL
I STUNGSANGST
3.4.5.2. 1111444478.7780.79..
'
1
0
000
AR8EITSKAP.
12
6
000
SCHULI
N
VOLV.
6.8.7. 11538.
437.81.
9II 464718 000000000 F909-1SCHULINVOLV.
1
5
1551.
I 551169 000000000 E9-5M9-3-9-7
10.11.12.9. 1554.
115553.52 .
E9-4-GESAMT
13. 1555.
11559 000000 N9-6-PH
09-2 GESAMT
i t e c a L ive
KorrununalitA tenschlitzung
rChiefwlnkeli9c k r i teriumsbezogene
•
•
Rot.
•
"/" Trelnun9 S k c i tecium
,
./.
Variable .
welche
ersten
welche
2 . Faktor
Variable ,
auf dem
auf dem
hoch
Faktor
FAKTORENANALYSE
KOMMUNAL0.11 ITATENSCHATZUNG
0.0.0.708766 0.0.0.887691 0.0.0.889401 0.0.0.867422 0.0.0.768891 0.0.0.887951 0.720.0.6843 0.0.0.899407 0.0.0.887409 0.0.770.8770 0.0.0.899407 0.0.0.879491
0.
0
9
0.
0
6
4CON 0. 0.0420000.66 0. 73 0. 77 0. 55 0. 72 0. 71 0. 56 0.85 0. 70 0.65 0.85 0. 75
OBER ITERATION, KRIT .= 0.4375706E-Ol KRIT.MAX. 0. 5000000E-Ol I LCYCl
WERTE
FOR
VAR.
0.66 D0. 73D 0.77 0. 55 0. 72 0.71 0. 56 0.85 0. 70 0.65 0.85 0.75
SlJl.toIE ER ER GESCHJ\TZTEN KOtt1UNALITATEN· 8.493
EIEGENWERTE
3.0.0833
8038 0.1. 91041406 0.0.90494183 0. 5727 0. 3453 0. 2894 0.2371 0. 1 527 0. 0891
B:
FAKTORENANALYSE
717 0.0.0.887840 0.0.0.987930 0.0.0. 687455 0.0.0. 897207 0.0.780.9830 0.0.740. 6865 0.0.0.799841 0.0.0.867779 0.0.0.768668 0.0.0. 889483 0.0.780.8930
234KOtt1I 0.0.0.UNAL001 629I TJ\0.0.0.T877ENSCHATZUNG
76 0.60 KRI0.74T . = 0.0.7443160.797E-Ol
59 0. 76 0.KRI63T.M0.AX.62= 0.5000000E-Ol
0.81 0. 74 ILCYCL.=
CON=0. 00.420000.67 0.OBER71 0.ITERATION.
WERTE
0.SUMME67 DERFOR0. 7D1 ER VAR.0.GESCHJ\76 T0.ZTEN60 K(XoI0.MUNALl
74 T0.J\T74EN= 0.8.53987 0. 76 0. 63 0.62 0.81 0.74
EIGENWERTE 3.6764 1.8279 0.9281 0.6071 0.3934 0. 2942 0. 2584 0. 1601 0. 0970 0. 0726 0. 0521 0. 019�
."' .. . . *• • • *****.
rEi9cnwertkriterium e n t f ,1 U t
laden sollen
****************
I
I
I
I
Ausdru cke der Mittel werte , Standardab we i chung und Besetzungen pro Variab l e
werden aus ge l assen, ebenso d i e be i den I n terk.orrelati onsmat r i zen.
Ausdrucke der Mittelwerte, Standardabweichung und Besetzungen p ro Va riable
werden ausgelassen, ebenso die beiden Interkorrela tionsmatrices.
=
OI E
Analyse
Konrnuna1 i tätenschät zungen und Ei genwe rte
OIE
Eigenwertediagramme, numerischer Scree-Test und die
lung der Restkorrelationen werden ausgelassen
Indices zur
Beurtei
30
XI Fak torenanalysen - FAN
LUKESCH/KISCIIKEL
LUKESCH/KISCIIKEL
XI Fak torenanalysen
-
FAN
31
Abbildung X I-19
Abbildung XI-21
Be ispiel 5, krite riumsbezogene FA: un rotie rte Fakto rmat rizes
von Analyse A und B
Ana lyse A: unrotierte Faktonna t r i x
FAKTORMATRI X (
VARI ABLE
2.
3.
4.
5.
6.
7.
B.
9.
1 0.
ll.
1 2.
1 3.
0.15
0 . 52
0.64
0.21
0.60
0.51
0.24
0.73
0.47
0.31
0.74
0.58
I VAR . •
47.6
FAKTORMATRI X
2 FAKTOREN)
KOMM.
H**2
FA.-LADUNGEN
l.
2.
VARI ABLE
-0. 24
0.28
0.33
0.27
0.32
0.69
0.46
o . B3
0.67
0.55
0.84
0.74
-0. 30
0.66
0.73
0.38
0.71
-0.1 8
-0. 1 5
-0.21
-0.1 5
-0.09
-0.20
-0.21
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
1 0.
Il.
1 2.
1 3.
3 1 .7
1 5.9
I VAR . •
(
Ana l yse B : K r i teriumsbezogeo
2 FAKTOREN )
KOMM.
H**Z
0. 1 4
0.50
0.50
0.25
0.64
0.60
0.32
0.54
0. 40
0.34
0.70
0.57
45.9
FA. -LADUNGEN
l.
2.
-0.33
0.04
0.31
0.1 9
0.2B
0.76
0.53
0.73
0.63
0.57
0.83
0.74
30.6
VARI ANCES
I TERATION
CYCLE
0
1
2
3
4
5
Beispiel 5, k rite riumsbezogene FA: Gefügematrix und geordnete
Ladungsmat r i x (Ana l ys e B)
Ana l yse B: tmrotierte Fakto rma t r i x
GEFOGEMATR I X
-0.1 6
0.71
0.63
0 . 46
0.75
-0. 1 4
-0.20
-0.06
-0.09
-0.12
-0.09
-0.16
4.
5.
6.
7.
8.
9.
1 0.
11.
12.
13.
1 5.2
rotierte
schlefwinkeli']e Faktormatrix
( Faktorladungen
KRITERIUM-ROTATION
der
Variablen)
DAS MINniUM DER BE�OCKSICHTI GTEN LADUNGEN LI EGT BEI : 0. 2 0
GEORDNETE MATRIX
..,.. . . . . . " . . . . . . .
2 FAKTOREN)
0.14
0.50
0.50
0.25
0.64
0.60
0.32
0.54
0.40
0.34
0.70
0.57
Ana l yse B. Geordnete ladungsma l r i x (Faktorladungen
auf den schiefwinkel igen Faktoren )
-0.34
0.05
0.33
0.20
0.30
0.76
0.53
0.73
0.63
0.57
0.B3
0.74
.
-0.18
0.71
0.65
0.48
0.77
-0.1 0
-0.17
-0.01
-0.05
-0.09
-0.04
-0.1 1
FAKTOR:
VAR.NR:
0.83.
0.0
1 2.
0.76.
0.0
7.
0.74.
0.0
13.
0.73.
0. 0
9.
0.63.
0.0
1 0.
0.57.
0.0
Il .
0. 0
0.53.
8.
0.0
-0.34.
2.
. . ...... . ...... . .
0.77 •
0.30
6.
0. 71 .
0. 0
3.
0.65.
0.33
4.
0.4B.
0.0
5.
. .. ... . ...... .. . .... . ...
0.2451 89
0.440096
0.440096
0.440096
0.440096
0.440096
Abbildung X I-20
Be ispie l 5, krite riumsbezogene FA: rotie rte Fak tormatrix, Ba rgmann-Test
und geo rdnete Ladungsmatrix von Analyse A
Anal y se A: Varimaxrotierte Faktonna t r i x und Ba rgmann-Test
ROTIERTE FAKTORMATRIX
KOJolol.
HHZ
l.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Il .
12.
1 3.
0. 1 5
0.52
0.64
0.21
0.60
0.51
0.24
0.73
0.47
0.31
0.74
0.58
- 0. 1 1
0.02
0.05
0.12
0.04
0.71
0. 49
0.85
0.68
0.54
0.B5
0.76
-0.37
0.72
0.80
0 . 45
0.78
0.08
0.03
0.1 1
0. 1 1
0.1 2
0.12
0.07
29.6
1 B.0
% VAR.·
47.6
BARGMANN-TEST
***** .. *** ••• *
IN DEN FAKTOREN
1
2
ANZ.
FA. -LADUNGEN
2.
NULLAOUNGEN
3
2
0. 1 53
0.51 6
Beispiel 5, k rite riumsbezogene FA: St rukturmatrix und geo rdnete
Fakto rko rrelationsmatrix (Analyse B)
Analyse A: Geordnete Ladungsma tri x
DAS MI NIMUM DER BEROCKS I CHTIGTEN LADUNGEN LIEGT BEI :
2 FAKTOREN)
VARI ABLE
Abb i ldung X I -22
0 . 20
GEORDNETE MATRIX
****************
DAS M I N I MUM DER BEROC KS ICHTIGTEN LAUUNGEN
F AKTOR:
V AR.NR.
12.
9.
1 3.
7.
10.
Il.
8.
4.
6.
3.
5.
2.
%VAR.
ktw
0.85.
0.85.
0.76.
0.71 .
0.68.
0. 54.
0.49.
0. 0
0.0
0.0
0.0
0.0
29.6
0.0
0.0
0. 0
0.0
0.0
0. 0
0.0
0.80.
0.78.
0.72.
0.45.
-0.37.
1 8.0
Ende von Ana lyse A.
'"
"'ukturma t r lJc.
,r;ablen)
(F a k torkorre l a t i o ·
RUK1 uKMATRI X
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
1 2.
1 3.
0.14
0.50
0.50
0.25
0.64
0.60
0.32
0.54
0.40
0.34
0.70
0.57
-0.32
- 0.01
0.27
0. 1 6
0.23
0.77
0.54
0.74
0.63
0.57
0.83
0.75
-0. 1 5
0.71
0.63
0.46
0.74
-0.16
-0. 21
-0.07
-0. 1 1
-0. 1 4
-0. 1 1
-0.1 8
LIEGT BEI:
Ana\y •• B:
0.20
jr--------.1
Matr i x der g.ordneten Faktorenkorrel a t i onen der
Variablen
GEORQNETE MATR I X
••••••••••••••••
FAKTOR:
VAR.N�:
1 2.
7.
13.
9.
1 0.
Il.
8.
2.
6.
3.
4.
5.
0.83.
0.77.
0.75.
0. 74.
0.63.
0. 57.
0.54.
-0.32.
0.23
0.0
0. 27
0.0
0.0
0.0
0.0
0. 0
0.0
0.0
-0.21
0. 0
0.74.
0.7 1 .
0.63.
0.46.
XI Faktorenanalysen
32
-
FAN
XI Faktorenanalysen - FAN
LUKESCH/KISCHKEL
LUKESCH/KISCHKEL
33
Abbildung X I -24
Beispiel 6 , FA mit Ausgabe von Fakto rwerten: protokollierte Steuersätze
und Registerauszug
Abbildung X I - 23
Eingabeda tei : DATEI
Beispiel 5 , kriteriumsbezogene FA: Faktorinterkorrelation und Bargmann
Test (FA 2. Ordnung)
N=SO Fäl l e
(Personen)
werden berucksi c h t i g t
Faktorenanalyse
j
=
( 1 . 0p t .
2)
Kommun a l i t ä t enschätzung:
�
I
Interkorre l a t i onsmatr i x zwi schen
d e n schiefwinke1 i gen Faktoren
1.
Z.
1 . 00
- 0 .0 9
(
1.00
EINGABE . . .
BARGMANN-TEST
EINGABE
IN DEN FAKTOREN
1
2
nach dem Bargmann-Tes t
h i nrei chend bestillYTlte
Faktoren
2.6
Kaiser-Gut tman
Eigen werte größer/gl eich 1 . 0
r-FAKTOREN-INTE -KORR.
-
AN Z . NULLADUNGEN
12
0.0
4
0.029
I
Beispiel 6: Berechnung von Faktorwerten nach schiefwinkeliger
Faktorenrotation ( Promax)
.
OLS-Sch ä tzung
�
, 7 7, n , � � g
, N5
Ausgabeda tei : FAKT
I·
ALTE
(schi ef",�nkel�a)
Faktorscore s :
. . ( 7 21-726 , 7 4 1- 7 47 )
EINGABE . . .
NEUE
DATE
1
Promaxro t a tion
ABH .
VAR.
BZW.
KAT-TRANSF .
BZW .
-TEXT
ABH .
VAR .
BZW .
KAT-TRANSF .
BZW .
-TEXT
NR .
111 111 "" . . . . . .. .. . . . .. . ..
721 .
2
35
000
2.
722 .
2
25
0 00
3.
723.
2
48
000
4 .
724.
2
8
48
000
5.
725.
2
4
20
000
ROLLENAHBIGUITAET- S S '
2
70
000
AHBIGUITAETSTOLERANZ- S S '
1.
ARBEITSZUFRIEDENHEIT- S S '
BERUFSENGAGEHENT -S S '
(KSE) -SS '
ANLAGEORIENTIERUNG
( H K - 3 ) -S S '
KONSERVATISHUS
6.
726.
0
14
7 .
741 .
2
0
10
50
000
KONSENS/SCHULBETRIEB-HS '
8.
9.
742.
2
0
10
50
000
AUSSTATTUNG-HS '
743.
2
0
10
50
000
SCHUELERZENTR . / PAEDAGOGIK-H S ·
10.
744 .
745.
2
0
10
50
000
STOERFAKTOR
2
0
10
50
000
SCHULORG .
746 .
747 .
2
0
10
000
2
0
10
50
50
B A S I SFUNKT . SCHULE/ FACHFOERDG . - HS '
SCHULORG. LEHRER-HS '
11.
12.
13.
000
SCHUELER- HS '
BELASTUNG-HS '
Abbildung X I -25
Beispiel 6 , FA mit Ausgabe von Faktorwerten: Kommunalitäten und
Eigenwerte
.. ,.
..
FAKTORENANALVSE
....
. . . . ".
KOHHUNALlTAETENSCHAETZUNG
1
0 . 12
0 . 91
0 . 84
0.81
0 . 90
0 . 87
0 . 82
0 . 92
0 . 88
0 . 92
0 . 89
0 . 87
0 . 91
0 . 85
2
0 . 09
0 . 85
0 . 12
0 . 78
0 . 84
0 . 78
0.69
0 . 86
0.79
0.86
0 . 81
0 . 78
0.84
0 . 75
3
0 . 06
0 . 82
0 . 64
0 . 72
0 . 80
0 . 72
0 . 59
0 . 82
0.73
0 . 82
0.76
0 . 72
0 . 80
0.67
4
0 . 03
0 . 80
0 . 59
0 . 70
0 . 79
0 . 69
0 . 51
0 . 80
0 . 70
0 . 81
0 . 14
0 . 70
0.79
0.63
r
eON-
,
Iterat on
Kommunali täten der Variablen 1 bis 1J
i
0 . 2000
UEBER ITERATION,
KRI T . -
O. 3449909E+00
KR!T . H AX . -
O.
WERTE FUER DIE VAR.
0 . 80
0 . 59
0 . 70
0 . 79
0 . 69
0.51
0 . 80
0 . 70
SUHHE D E R DER GESCHAETZTEN KOHHUNALITAETEN-
0.81
0 . 14
0.70
0 . 79
0.63
9 . 245
EIGENWERTE
3 . 4353
1 . 6134
0 . 9459
0 . 76 3 9
0 . 68 3 8
0 . 56 3 9
0 . l668
0 . 27 2 1
0 . 1252
0 . 0465
0 . 0186
0 . 0002
1
IT . CVCL . - 4
5000000E-01
0 . 4089
34
XI Faktorenanalysen - FAH
LUKESCH/KISCHKEL
35
XI Fak t o reoanalysen - FAH
LUKESCH/KISCHKEL
Abbildung X I-26
Abbildung X I-27
Beispiel 6, FA mit Ausgabe von Faktorwerten: Unrotierte, varimaxrotierte
Faktormatrix, Bargmann-Test und geordnete Ladungsmatrix
Beispiel 6, FA mit Ausgabe von Faktorwerten: Promaxrotati on , Gefüge- und
Strukturmatrix sowie Faktorinterkorrelation und Bargmann-Test
für die FA 2. Ordnung
FAKTORHATRIX
VARI
KOMM .
ABLE
H**2
1 .
\
(
2
FAKTOREN
1 .
0 . 43
2.
0 . 65
0 . 04
2.
0 . 05
0 . 23
3 .
0 . 33
0 . 03
4 .
0 . 01
0 . 57
0 . 43
0.22
5.
0 . 62
0 . 23
-0 . 4 4
ROTIERTE
0 . 10
-0 . 07
-0 . 3 1
0 . 50
- 0 . 71
-0 . 0 1
8.
0 . 36
9.
0 . 47
10.
-0 . 66
0 . 36
-0 . 2 0
11.
-0 . 5 9
0 . 22
-0 . 09
-0 . 4 3
0.19
-0 . 6 0
KOMM .
ABLE
H " *2
1 .
12.
0 . 42
-0 . 5 4
0 . 36
0 . 19
-0 . 3 0
0 . 31
VAR .
31 . 4
22.6
8.8
(
2
1 .
2.
0 . 65
0 . 09
2.
0 . 05
0 . 23
3.
O . JJ
0.05
4.
-0 . 0 3
0 . 57
0 . 43
0 . 17
0 . 63
0 . 23
FAKTOREN
F A . -LADUNGEN
0 . 43
5.
-0 . 0 8
13.
FAKTORMATR IX
VARI
0 . 17
6.
7 .
ITERATION
)
FA . - LADUNGEN
-0 . 46
0.13
6.
0 . 10
7 .
-0 . 04
-0 . 3 1
0 . 50
-0.71
-0 . 0 1
8.
0 . 36
9.
0 . 47
- 0 . 59
-0 . 1 3
10.
-0 . 6 4
0 . 36
-0.25
11.
-0 . 5 9
0 . 22
-0 . 1 3
12.
-0 . 4 4
0 . 42
0 . 15
13.
-0 . 56
0 . 19
0 . 32
-0 . 32
0 . 29
VAR . -
31 . 4
22.5
8.9
1
2
3
4
5
PROMAX ROTATION
(
GEFUEGEMATRIX
STRUKTURMATRIX
1 .
0 . 43
0 . 65
0 . 05
0.23
2.
FAKTOREN)
2
1.
O . 4J
0 . 66
0 . 10
2.
0 . 05
0 . 05
3.
4 .
O . JJ
0 . 23
0 . 06
3.
4.
0 . 58
0 . 28JJ51
0 . 28 3 3 51
I N DEN
FAKTOREN
0 . 283351
1
0 . 283351
2
GEORDNETE
MATRIX
. . . .. . . " .. * . * "' ... . . .
FAKTOR :
VAR . NR .
7 .
1 .
- 0 . 71 .
0.65.
0 . 00
0 . 00
9.
-0 . 6 4 . - 0 . 2 5
8.
-0 . 5 9 .
0 . 00
10.
-0 . 59 .
0 . 00
12.
-0 . 5 6 .
0 . 32
5.
-0 . 4 6 .
11.
-0 . 4 4 .
0 . 00
13.
-0 . 3 2 .
0 . 29
2.
0.23.
0 . 00
4.
0 . 00
0 . 28
- 0 . 44
0 . 13
5.
0 . 23
-0 . 09
- 0 . 32
6.
0.10
7.
8 .
0 . 50
-0.72
- 0 . 07
7 .
0 . 50
- 0 . 04
-0 . 71
0 . 36
-0.61
-0 . 1 3
8.
0 . 36
- 0 . 59
-0 . 0 3
9.
0 . 47
-0 . 6 8
-0 . 26
9.
0 . 47
-0.64
-0 . 1 5
0 . 64
10.
0.63.
3.
0 . 00
0 . 57 .
0 . 00
- 0 . 31 .
22 . 5
1
1 . 0 00
1
1 . 000
8 . 9
0 . 20
0 . 04
10.
0 . 36
-0.61
-0 . 1 4
0 . 36
11.
0 . 22
-0 . 4 2
0 . 15
11 .
-0.58
- 0 . 04
0 . 22
-0 . 4 4
0 . 22
12.
0 . 42
-0. 51
0 . 32
12.
0 . 42
-0 . 57
0 . 40
13.
0 . 19
-0 . 2 8
0 . 29
13.
0 . 19
- 0 . 32
O . JJ
Strukturmstrix:Faktor
korre l a t i onen der Var .
GEORDNETE MATRIX
.
. . . . _ . . . . _" . . . . .
FAkTOR :
VAR . NR .
VAR . NR .
NULLADUNGEN
-0 . 3 0
0 . 43
7 .
-0 . 7 1 .
0.65.
0 . 00
9.
-0 . 6 4 .
0 . 00
0 . 00
8.
-0 . 5 9 .
0 . 00
0 . 00
10 .
-0 . 5 8 .
0 . 00
12.
- 0 . 51 .
0 . 40
7.
-0 . 7 2 .
9.
-0 . 6 8 . -0 . 2 6
1.
0 . 66 .
8.
-0 . 6 1 .
10.
-0 . 6 1 .
12.
0 . 00
1.
0 . 00
0 . 00
-0 . 51 .
0 . 32
5.
-0 . 4 4 .
0 . 00
5.
-0 . 46 .
0 . 20
11.
-0 . 4 2 .
0 . 00
11.
-0.44.
0 . 22
2.
0 . 23 .
0 . 00
2.
0.23.
0 . 00
4.
0 . 28
4.
0 . 00
0 . 60 .
3.
0 . 00
0 . 64 .
0 . 58 .
6.
0 . 00
-0 . 3 2 .
13.
-0 . 28
0 . 29 .
0 . 00
6 .
' VAR .
ANZ .
0 . 17
- 0 . 46
0 . 60
0 . 10
FAKTO R :
BARGMANN-TEST
0 . 283351
0 . 01
0 . 57
0 . 23
• " . * " • • • • • • • • • ,, ""
0 . 280070
0 . 43
-0 . 0 1
- 0 . 04
5 .
GEORDNETE MATRIX
VARIANCES
0 . 33
6.
Gefügema trix: Faktor
l adungen der Vari ablen
CYCLE
o
I
3.
0 . 00
13.
-0 . 32
0 . 51 .
0 . 33 .
6.
0 . 00
-0.30.
FAKTOREN - I NTER-KORR .
1
2
-0 . 16
1 . 00
1 . 00
1.
2.
BARGMANN-TEST
IN DEN
1
NULLADUNGEN
1
1 . 000
2
1 . 000
FAKTOREN
ANZ.
o
36
XI Faktorenanalysen - FAN
LUKESCH/KISCHKEL
LUKESCH/KISCHKEL
scheidbar
a blen der
Abbildung XI-28
OLS
1.
2.
4.
3.
SCHAETZUNG
0 . 22
0 . 0 8 -0 . 04
0 . 02
0 . 02
0 . 50
5.
0 . 03
0 . 53
6.
-0 . 16
0 . 16
7 .
0 . 00
-0 . 26
N=
- 0 . 24
-0 . 2 0
11.
10 .
9.
8.
-0 . 21
-0 . 20
o . o� -0 . 05 -0 . 1 5 -0 . 06
(s . o .
49
MITTELWERTE DER WERTE
0 . 00
Variab lentext
in
Hochkommata
(Apos t rophe) einge faß t
Variable mit dem Faktorwert 2 der zweite usw. Dies se tz t voraus, daß die
-0 . 1 6
0 . 17
bekann t is t .
13.
12 .
-0 . 21
0 . 33
N=5 0 ;
-0. 12
0 . 28
file einzu tragen, wenn andere als die voreinges tellten Variablentexte zu
gewiesen werden sollen. Selbs tvers tändlich läßt sich der Text von Fakto
renvaria blen jederzeit mi t NI V E S ändern (s . Kap.IV).
N�l Fall mi t If . A . J
2.7 Beispiel 7 : Fak torenanalyse an zwei Un tergruppen mit
anschließender Ähnlichkei tstrans forma tion der Fak toren nach
KAISER, FISCHER und RO P P ERT
(Mi t t elwerte der Faktorscores;
theoretisch er�ar t e t : H = 0 . 0 )
-0 . 0 4
( Vari anz-Kovacianz-HatrixJ
CQV . -HATR .
Es empfielt sich, die FA zunächs t ohne die Bildung von Fak
torscores zu rechnen und diese erst in einem wei teren Lauf in das Ausgabe
oeffizienten der Glei chungen zur Berechnung der Scores auf Fak t o r
und Faktor 2 f ü r j e d e d e r N = SO einbezogenen Personen;
ordinary
l ea s t square-Schätzung (Annahme : Homoskedaszi d i t ä t ) .
1 . GRUPPE
machen - ist innerhalb der Klammern mit den abhängigen Vari
jewei lige
Anzahl der zu bildenden Variablen und damit die Anzahl der Fak toren vorher
ZUR BERECHNUNG DER FARTORENWERTE
FAKT . VARIABLE
1.
2.
37
einzugeben. Dem Fak torwer t 1 wird der erste ge fundene Text zugewiesen, der
Beispiel 6, FA m i t Ausgabe von Fak torwer ten: Faktorscores
MATRIX
ZU
XI Faktorenanalysen - FAN
1
1.
2.
1 . 25
-0.23
Erläu terungen zum Beispiel:
1. 55
(we i t ere Ver t e i l ungsparameter
der FaktorscoresJ
MINIMA
-2 . 2 8
-2 . 79
2 . 20
2 . 46
S teuersatz 1:
MAXIMA
FAKTOR-WERTE
FOLG .
WERDEN UEBERTRAGEN
WURDEN OAZUGEFUEGT
4
0
-229
221
000
FAKTOR-WERT
1
760 .
4
0
-280
247
000
FAKTOR-WERT
2
TI
Anzahl
T
I
i
Vari ablen
1 . FILES
�
1
,
( ing be)
DAS ERGEBNIS STEHT AUF D E M AUSGAB EFILE
E S WURDEN FUER
50 EINHEITEN
760 VAR .
I
,
l
(N := 50 Fäl l e .
dem
1",
torwer te
(Op tionen I und 2) gerechne t , wobei die Kom
Ver fahren von
E xtrahier t werden die
KAISER und
GUTTMAN bestimmt
Faktoren mi t Eigenwerten größer
(Option 3). Die Faktorma trix wird or thogonal (varimax-) rotier t
(Op tion 4), und es werden keine Fak torwerte berechnet (Option 5).
N := 1 Fall
Pro tokollauszug
2 VARIBLE DES
�
�
:
( akto scor s )
,
FILES
I
'
(Geschlecht) wird nach den Ausprägungen 1
ben mit N=96 und N=48 Fällen
(s. Abbildung XI-30).
'
(Ausgabeda te� )
S teuersatz 3:
K. A . ; s . o . )
werden
auch
durch
Die Fak torenanalyse wird über die Variablen 721 bis 726 und
741 bis 747 einschließlich gerechne t (s. Regis terauszug) .
die
neuen
Va riablen
Variablensa tz angehäng t und mi t
Analysen
170
.
im
"Fak tor
"Fak tor-Wer t 2"
un terschiedlicher
Die Variable
"männlich" und 2 "weib lich" unterteilt. Es erge ben sich zwei Tei ls tichp ro
ZWEITEN
UEBERTRAGEN
ersichtlich,
bes tehenden
S teuersatz 2:
(Faktorscores)
usw. betextet. Will man sta t t dieses voreinge
,
s tellten Tex tes einen anderen, frei gewählten eingeben - e twa um die Fak
W er t
Fälle der Datei werden nach der unab
(s. S teuersatz 2). tiber die Subg ruppen
(score m u l t i p l i z i e r t mi t 100)
ES WERDEN ZU DEN 7 5 8 VARIABLEN DES
DAZUG E S P I ELT
aus
(Option 2) .
gleich 1.0
(Score m u l t i p l i z i e r t mi t 1 0 0 )
Variabl ennummern der neugebildeten
Wie
Vari ablen
Spal ten einschl i eß l i ch Vorze i chen
Ausgabe file an den
150
munali täten i t erativ nach dem
werd en
Tex t de
neugebi ldeten
( Voreinges tel l ung)
obere Grenze
untere Grenze
N =
170 aufgeteilt
wird je eine Fak torenanalyse
(Registerauszug der Ausgabeda t e i J
VAR .
7 59 .
T
Die ersten
hängigen Variable
(vgl . Abbildung XI-29)
ihre
Bezeichnung
un ter-
XI Fak t o renanalysen - FAH
38
LUKESCH/KISCHKEL
XI Fak to rellanalysen - FAH
LUKESCII/KISCHKEL
39
Abb ildung XI-30
Abb ildung XI-29
Beispiel 7, FA mi t Ähnl ichkeitstransfo rrnation: protokollierte Steuersätze
und Registerauszug
Beispiel 7, FA mit Ähnlichkeitstransfo rrnation: varimaxrotierte
Fakto rrnatr ices und Ahnlichkeitskoeffizienten
(Grp 1
Unabhängige Variable Nc . 1 70 , zwei Gruppen (5 . Steuersatz 2) :
Es wird .tür jede Gruppe e i n e vol l s tändige FA mi t den geforder
ten Lei s t ungen (Optionen) und anschli eßender Ahnl ichkei ts trans
forma t i on gerechn e t (Ahn l i chkei t der faktori ellen Struktur bei
männ l i chen und weibl i chen Pbn J .
(Personen)
Faktorenanalyse
(Gep 2 weiblich)
GEORDNETE MATRIX
. .. . . . . . . . . . . . . . .
Eingabeda tei : DATEI
N=1 50 Fal l e
männ l i ch )
GEORDNETE MATRIX
FAKTOR :
FAKTOR :
VAR . NR .
VAR . NR .
13.
-0 . 6 9 . 0 . 00
2.
0 . 6 9 . 0 . 00
10.
- 0 . 68 . 0 . 00
8.
-0 . 66 . -0 . 2 4
-0 . 60 . -0 . 2 3
11.
- 0 . 56 . - 0 . 4 9
14.
12.
-0 . 4 9 . -0 . 45
6.
- 0 . 4 2 . - 0 . 36
7.
0 . 2 3 . 0 . 00
( l . Op t .
= 2)
6.
3.
I
r
Varimaxrotation
9.
UNABH .
VAR .
ABH .
VAR .
BZw.
KAT-TRANSF .
BZW .
-TEXT
EINGABE . . . / *
ABH .
VAR .
BZW.
KAT-TRANSF .
BZW .
-TEXT
' MAENNL/wE I B L '
KAT-TRANSF .
BZW -TEXT D .
B.
9.
10.
11 .
12.
13.
14.
0 . 60 .
0 . 57 .
- 0 . 47 .
-0 . 2 1 .
27 . 4
0
0
0
2
2
725 .
726 .
741.
742.
743.
744 .
745.
2
2
0
0
0
0
2
2
2
2
0
0
0
0
0
0
10
10
50
746 .
2
2
000
000
000
000
000
000
000
000
000
000
000
000
50
000
STOERFAKTOR SCHUELER-MS '
SCHULORG . BELASTUNG-HS '
B A S I SFUNKT. SCHULE/FACHFOERDG . -M S ·
747 .
2
0
10
50
000
SC HULORG .
35
25
48
48
20
70
50
50
50
50
2.
GRUPPE N:
1 .
2.
die Angaben
zu
I1 . Q . A . :
die
2
48
FAKTORE N )
und
Speicherart,
Korrelationsmatr ices,
ZWI SCHEN FAKTOREN DER
2.
0 . 587
0 . 541
0 . 24362E+00
I
die Ausgabe der M ittelwerte, Standardabweichungen und Beset zungen der ab
hängigen Var iablen be ider Teilstichproben,
96
d ie
Angaben zur Kornrnunalitätenberechnung und Faktorenextraktion sowie die un
0 . 66 .
0 . 62 .
0.45.
0 . 31 .
14.2
24 . 0
(Gruppe 1 : N:96 mannli che Pbn )
(Gruppe 2: N=48 weibl i ch e Pbn )
(N = 6 Fäl l e mi t K . A . )
VERGLEICH VON 1 .
1.
UND
2.
(Korz'el a t i o en zwischen korrespondierenden Faktoren
Cosinus der Winkel der Faktoren)
LEHRER -HS '
Berechnungsvar ianten
0 . 986
0 . 268
00
00
25
00
GRUPPEN
h
AUSSTATTUNG-H S '
SCHUELERZENTR . / PAEDAGOG Ik-MS '
IHQA :
Weggelassen werden
\ VAR .
AHNL ICHKEITS K .
1.
ROLLENAMBIGUITAET- S S '
AMBIGU ITAETSTOLERANZ- S S '
KONSENS/SCHULBETRIEB-MS '
0.
0.
-0 .
0.
2.
1.
1
2
2
1
7
5
8
8
4
14
10
10
10
10
2
GESCHLECHT
ARBEITS ZUFRIEDENH E I T- S S '
BERUFS ENGAGEMENT- S S '
ANLAGEORIENTI ERUNG ( K SE ) - S S '
KONSERVATISMUS (MK-3 ) - S S '
170.
721 .
722.
723.
724 .
45.
9.
3.
9.3
1 . GRUPPE N:
FAKTOREN
*. *• • • * • • • • • • **.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
. 28
. 00
. 00
. 00
. 00
. 27
. 00
. 00
KORRELATION DER FAKTOREN VERseH .
NACH K A I S E R , FISCHER U. ROPPERT
ALTE NR .
NEUE
0 . 00
0 . 00
0 . 00
' VAR .
EINGABE . . . ( 7 2 1 - 7 2 6 , 7 4 1 - 7 4 7 )
EINGABE . . . ( 1 / 2 )
0 . 00
5.
4.
7.
k ine Faktorscores
0 . 00
-0 . 7 2 . - 0
-0.69. 0
-0 . 6 8 . 0
-0 . 6 4 . 0
-0 . 6 2 . 0
0 . 56 . 0
-0.53. 0
0 . 23 . 0
11.
2.
Kaiser-G u t tman
Eigenwe r t e gröper/gl e i ch 1 . 0
1
-0 . 7 6 .
8.
10.
12.
14.
13.
Pferden berück s i c h t i g t
Kommun a l i tä tenschätzung:
It • • • "" • • • • _ • • * • • •
GLOBALE KORRELATION
MIT 2 . GRUPPE
GRUPPE
in den Gruppen;
(GEBHARDT 1 9 6 7 ) :
l
0 . 842
L,-J
(Gebhardts 0)
mi t t ere quadra ti sche Abweichung der faktor i e l l en Strukturen)
Abbildung X I -30 enthält die rot ierte geordnete Ladungsmatrix beider Teil
stichproben (links für die N =96 Fälle mit Ausprägung 1
"männlich",
Gruppe
1), rechts
"weibl ich"
(Gruppe
in Variable 170 -
2). Ladungen mit einern
Betrag kleiner .20 sind Null gesetzt.
rot ierten Fakto rrnatrices.
Aus Abb ildung
XI-30 s ind aullerdem die
Koeffi zien ten der
Ähnlichkeit der
faktoriellen S truktur in den be iden Gruppen ers ichtlich. Hier nicht mehr
dargestellt ist
ROPPERT ,
die
Ahnlichkeitstransforrnation
nach
KAISER,
FISCHER
Dabei wird, ausgehend von der Gruppe mit der höchsten Zahl
und
(hier
Gruppe 2) , die Rotation der Faktoren aus der letzten Analyse (hier 2)
ge-
40
XI Fak t o renanalysen - FAH
LUKESCH/KISCHKEL
XI Fak t orenanalysen - FAH
L UKESCH/KISCHKEL
41
sucht, die eine maximale Deckung pro Fak tor der vorgangegangenen Analysen
ergib t
(vgl.
torstruk turen
PAWLIK
\971,
(Gruppe
I mi t Gruppe 2, wie dargestell t ; Gruppe
S. 263
f.).
Für
die
Ähnlichkeiten
der
Fak-
mi t der
ähnlichkei ts transformierten S truktur, hier nicht darges tellt usw.) berech
net FAM drei verschiedene Maße:
1.
Korrela tionskoeffizien ten
zwischen
den
einzelnen
Fak toren
in
den
zu
ver gleichenden S trukturen ; korrelier t wird über die Ladungen, die Koeffi
zienten werden als Matrix ausgegeben
korrelier t Faktor
(Abbildung X I-30 unten). Im Beispiel
\ aus der ersten Gruppe eins r=.986 mi t Faktor
\ aus der
- Für Ma trizen aus Zufallszahlen erreicht Q Werte zwischen 0,2 und 0,5.
- wenn verschiedene S tichproben aus der gleichen Grund gesam thei t s tammen,
is t mi t einer Ähnlichkei t der Faktorma trizen von über 0,9 zu rechnen.
Werte
unter
schließen.
0,8
lassen
kaum
noch
auf
ähnliche
Faktors trukturen
- Einen Hinweis auf die Robus thei t der fak torenanaly tischen Me thode
lie
fert die Ta tsache, daß sich für S truk turen, die mi t un terschiedlichen Ver
fahren (andere Korrelationskoeffizienten und Kommunalitä tenschätzung) aus
gleichen Rohdaten errechnet wurden, sehr hohe Ähnlichkeiten ergaben.
zweiten.
3 Beschränkungen, Voraussetzungen
2.
Mi t tlere
quadratische
Abweichung
(MQA) zwischen den
Ladungen
beider
Faktors t ruk turen als ganze betrachtet. Bezeichnet man die Zahl der Fakto
FAM speichert nur die Kovarianzmatrix
(bzw.
-matrices bei mehr als einer
ren mit k, die der Variablen mit I , und die Ladungen in d"en beiden S truk
Gruppe), wobei die Summenwer te bereits beim
Einlesen der Daten berechne t
turen mit a�J bzw. b�J ' so ist
werden.
MQA
k • 1
Die Anzahl der Fälle ( Personen) bzw. die der Ausprägungen der Va
riablen s tellt demnach keine
1
r
k
i=\
j=\
r
( a�J - b�J
zig durch die Anzahl der
3. Analog zum wei ter oben ange geben Vorgehen
Beschränkung dar ; dies wirkt sich lediglich
in der benö tigten Rechenzeit aus. Die Größe der Kovarianzma trix wird ein
)2
(s.
1 . ) ha t G E BHARDT ( 1967)
ein Ähnlichkei tsmaß vorgeschlagen, mi t dem zwei Faktors truk turen als ganze
ver glichen werden können:
(abhängigen)
Variablen bestimmt.
Derzei t können
in einem FAM-Lauf bis zu 80 abhängige Variablen analysiert werden. Es exi
s tiert eine Großversion von FAM, die umfangreiche Variablensätze verarbei
ten kann. Näheres hierzu auf Anfrage.
Wie alle Programmpakete prüfen die KOSTAS- Programme nicht, ob die Voraus
Sp ( A ' BL )
Q (A,B )
max
LEp
.r Sp ( A'A
se tzungen für den Einsatz eines gewählten s t a tis tischen Verfahrens gegeben
sind. Ob das
Sp ( B' B )
je
realisier te Modell
meinsamer Fak toren
dabei steht Sp für die Spur einer Ma trix
diagonalen),
P
is t
Selbs tvers tändlich
die
s tell t
Menge
Q
aller
einen
(Summe der Elemente in der Haupt
or thogonalen
reellen
Korrela tionskoeffizienten
kxk-Ma trizen.
dar ;
korre
liert werden die Ladungen der zu vergleichenden S truk turen, anders als bei
(
• • •
Für
) nun jedoch über alle Fak toren hinweg.
die
Einschätzung
solcher
Gesamt-Koeffizienten
gib t
G E B HARDT
( 1967)
Modell
ge
) den Daten und der Frageste11ung angemessen ist,
kann durch das Verfahren selbs t nich t geklär t werden. Die Faktorenanalyse
geh t von Produk tmomen t-Korrela tionen aus, d.h. zunächst müssen die vertei
lungs- und skalierungsbezogenen Vorausse tzungen für die Berechnung dieser
Kennwerte gegeben sein. Fak torladungen haf te t i.a. ein größerer S tichpro
benfehler an als
bengröße von
folgende Richtlinien, die auf Mon te-Carlo-Experimenten basieren:
• • •
(Haup tkomponen tenanalyse,
analysen die
Korrela tionskoeffizienten,
N=150 zu fordern
ist.
Darüber
Personenzahl mindestens das
tragen ( vgl. PAWLIK \971, 275 ff.).
so daß eine Mindests tichpro
hinaus
sollte
Dreifache der
für Fak toren
Variablenzahl be
LUKESCH/KISCHKEL
42
XI Faktorenanalysen - FAN
XI Fak torenanalysen - FAN
43
LUKESCH/KISCHKEL
4 Ube rblick über die S teuermög l ichke i t en ( Op t ionentabe l l e)
" 1" : Zusät z l ich zur Varimaxro t at ion wird eine schiefwinke l ige P romaxrota
t ion durchgeführt .
Das Faktoranalyseprogramm FAH ermög l icht verschiedene Varianten einer fak
t o renan l ytischen Auswe rtung von Dat en .
einsc h l ieß l ich der Berechnung von
"2" : Bei Fest l egung der Variab l en , die auf einem Faktor hoch laden so l l en ,
wird eine schie fwinke l ige kr i t e riumsbezogene Rotation durchgeführt .
Faktorwerten . Zur S teuerung dieses Programmt e i l s st ehen 6 Optionen p lus G
und B-Op t ion ( e n ) zur Ve rfügung :
5 . Option : Berechnung von Faktorwerten
"0" : Keine Be rechnung von Faktorwerten .
1 . Option : "2" aus Kompa t i b i l itätsg ründen mit ä l teren KOSTAS
Versionen ; nur "2" ist zulässig .
2. Opt ion : Methoden z u r Schätzung der Kommunal itäten h2
"0" : Die Diagonal e l emente der Korre l at ionsmat rix werden 1 geset z t . Es
wi rd somit eine Hauptkomponentenanalyse gerechne t . bei der angenommen
wi rd . daß d i e gesamte Varianz der Einze lvariablen durch gemeinsame Fakto
ren erklärt wird . Die Zahl der extrahierten Faktoren entspricht dabei der
Zahl der e i ngegebenen Variab len .
" 1" : Die Kommunal i täten werden i t e rat i v geschä t z t . nachdem d i e Zahl d e r
Faktoren festgel egt ist ( zu r Best immung d e r Faktorenanzahl siehe Option
3).
"2" : Als Diagonal e l emente werden als Kommun ali tätenschätzung die Quad rate
der mu l t i p l e n Kor r e l a t ionskoe f f i z ienten zwischen der Variablen i und den
res t l ichen Variablen eingese t z t . Die R�2 s t e l len eine Schätzung der unte
ren Grenze der Kommuna l i täten dar .
"3" : Die Kommuna l i t ätenschät zung e r f o l g t i t e rativ nach dem Verfahren von
KAISER-GUTTMAN . wobei d i e quad rie rten mu l t ip l en Korrelationsko e f f i z ienten
als Ausgangsschätzungen verwendet werden und E g l e ich 1/2 ges e t z t ist .
" 1" : Bei Def in i t ion einer Ausgabedatei ( vg l . Beispie l 6 ) wird e i n F i l e mit
al len Variablen p l us den Faktorwerten erste l l t . Die Schätzung der Faktor
werte e rf o l g t nach dem OLS ( o rdinary least square) -Ve rfahren.
"2" : Wie " I" . aber die Faktorwe rte werden nach dem GLS ( genera l ized least
square) -Ver f ahren geschä t z t .
6. Opt ion : Ordnung der Variablen nach der Höhe der Faktorl adungen .
"0.00 - 1 . 00" : Bei Ausgabe der geordneten Matrix werden nur so lche Ladun
gen ausgedruckt . deren Bet rag g l eich oder größer dem angegebenen Krite rium
ist ( Voreins t e l lung : 0.20). Ladungen mit Absolutwerten k l e iner oder g l eich
dem angegebenen Wert werden 0 gese t z t . Dies hat keine Wi rkung auf den
Rechengang. Option 6 bezieht sich nur auf die Ausgabe .
B-Opt ionen
Die B-Opt ionen dienen der Wahl unterschiedliche r Be rechnungsvarianten . Im
a l lgemeinen werden diese Varianten von FAH
nach p rogrammierten Optimie
rungen dynamisch ermitte l t . d . h . man wird in der Regel mit den voreinge
s te l l ten Werten operieren . Die in einem Lauf rea l is i e rten Berechnungsmoda
l i täten werden zu Beginn j eden Laufs ausgegeben .
3 . Option : Methoden zur Fes t l egung d e r Faktorenanzahl
"0" bis "1 . 99" : Es werden so v i e l e Faktoren extrahiert als Eigenwe rte
größ e r / g l e ich dem angegebenen We rt entsp rechen ( St andarde ins t e l l ung " 1") .
"2" bis
"n" : Es werden so vie l e Faktoren wie angegeben extrahiert ( aus
d rucktechnischen Gründen maximal 1 8 ) . Die Zahl ist sinvo l l erweise festzu
legen. wenn eine erste Faktorenanalyse bere i t s durchgeführt worden ist und
d i e Anzahl d e r a l s wesent l ich b e t rachteten Faktoren ( z . B . nach dem Sc ree
Test) best immt wurde .
4 . Option : Rotationsverfahren
"0": Es e r f o l g t e i ne ( o rthogona l e ) Varimaxrotation bzw . bei
Fes t l egung
der Variab l e n , die auf einem Faktor hoch laden so l l en , eine k rite riums
bezogene Rot a t i o n . Bei k r i t eriumsbezogener Rotation sind die ( abhängigen)
Variab l e n . die einen Faktor b i l den so l l en , durch " / " vone iander get rennt
einz ugeben ( s . Beispie l 5 ) .
B-Opt ion 1 : Ko rrelationen bzw . Kovarianzen . K . A . -Behand lung
"0" Voreinst e l lung ( 4 )
ausreicht . sonst 1 .
wird
wi rksam .
falls
der
verfügbare
Speicherp l a t z
" 1" hat e i n F a l l in d e r f rag l ichen Variable keinen zulässigen Wert bei
( K . A . ) , wird der Mitte lwert dieser Variable a l l e r e i nbezogener Fä l l e ein
gese t z t .
"2" wie I , j edoch nur für Fäl l e ( Einheiten) mit mindestens einer beantwor
te ten Variab l e .
" 3" Kova rianzen werden nur für solche Fäl l e ( Einheiten)
beide einzubez iehenden Variablen beantwortet haben .
berechne t ,
die
44
Xl Faktorenanalysen - FAH
L UKESCH/KISCHKEL
"4" Kor re l a t ionen werden nur tür s o l che Fä l l e ( Einhe i t e n ) bestimmt , die in
beiden zu korre l i e renden Variab l en z u lässige Angaben haben ( Voreins t e l
lung , s , o . ) .
" 5 " wie " } "
( Rese rve)
"6" wie "2"
( Rese rve)
" 7 " Korre lationen werden nur für solche Fä l l e ( Einheiten)
in a l len Variablen zulässige Angaben haben .
B-op tion 2: Best immung des Gruppenumfangs ( N)
berechne t ,
die
•
"0" N ist tatsächl iche Gruppen-N ( Voreins t e l l ung) .
" } " N ist Mitte lwert über die Beset zung der einbezogenen Variab l e n .
"2" N ist Minimum d er Besetzungen der einbezogenen Variab l e n .
" 3 t1 N ist Maximum der Besetzungen der einbezogenen Variab l e n .
G-Option: Gewichtungsvariab l e ( Ausg l e ich von S t i c hprobenve rzerrungen, Aus
wertung mehrdimensional e r Daten) .
"0" a l l e
l ung) •
Fäl l e
( Einheiten)
werden
g l eich
( 1 .00)
gewichtet
( Voreinste l
"n" Nummer der Variab l e , die die Gewichte enthä l t ( z . B . G l O I Variable 1 0 1
enthält die Gewichtungswerte) .
Näheres zu B-Opt ionen und G-Optionen siehe
g ramme l ements LAM i n Kapi t e l X .
in
der
Beschreibung des Pro
Literatur :
BARGMANN , R. 1 9 5 5 ; BORTZ , J . 1 9 7 7 ; CATTELL , R . B . 1 966 ; CATTELL , R . B . &
JAS PARS , J . 1 96 7 ; CATTELL , R . B • • VOGELMANN , S . 1 9 7 7 ; F I SCHER, G . , ROPPERT ,
J . 1 9 65 a ; F I SCHER, G . , ROPPERT , J . 1 96 5 b ; F I SCHER, G . , ROPPERT , J . 1 966 ;
GEBHARDT , F . 1 96 7 ; GUTTMAN , L . 1 95 7 ; KAISER H . F . 1 9 56 ; LUKESCH , H . , KLEI
TER , G . D . 1 9 74 ; PAWL I K , K. 1 9 7 1 ; TIMM, N . H . 1 9 7 5 ; UBERLA . K. 1 968 .

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