Bestandsfunktion und Änderungsrate - Lehrer-Uni

LGÖ Ks
M 12
Schuljahr 2016/2017
Aufgaben zu: Bestandsfunktion und Änderungsrate
1) In einem Gefäß befinden sich 4 Liter Wasser. Zunächst fließen 3 Minuten lang 2 Liter Wasser
pro Minute in das Gefäß, dann fließen 5 Minuten lang 1,5 Liter Wasser pro Minute aus dem
Gefäß. Die Änderungsrate des Wasservolumens in dem Gefäß werde durch die Funktion f:
t  f  t  beschrieben (t in Minuten, f  t  in Liter pro Minute).
Skizziere den Graphen von f.
Wann ist am meisten Wasser in dem Gefäß?
Um wie viel nimmt das Volumen des Wassers bis dahin zu?
Wann ist wieder gleich viel Wasser in dem Gefäß wie zu Beginn?
Skizziere den zeitlichen Verlauf des Wasservolumens.
Hausaufgaben zu: Bestandsfunktion und Änderungsrate
1) Ein Gefäß kann über einen verstellbaren Wasserhahn mit Wasser gefüllt werden. Das Volumen
des Wassers (in Liter) wird beschrieben durch
V  t   50 t  e 0,2 t ; t  0 .
Dabei gibt t die Zeit in Minuten seit 17.30 Uhr an.
a) Berechne den Mittelwert der Wassermenge in der Zeit zwischen 17.33 und 17.39 Uhr.
b) In welchem 5-Minuten-Zeitraum nimmt die Wassermenge um 20 Liter zu?
c) Um wie viel Prozent nimmt die Wassermenge in der Zeit zwischen 17.32 und 17.34 Uhr zu?
d) Berechne die durchschnittliche Zuflussrate im Zeitraum zwischen 17.31 und 17.34 Uhr.
e) Berechne die momentane Zuflussrate um 17.32 Uhr.
f) Wann ist die momentane Zuflussrate 5 Liter pro Minute?
2) i) Ein Gefäß kann über einen verstellbaren
ii) Die Geschwindigkeit eines Schiffs (in
Wasserhahn mit Wasser gefüllt werden. Die
km h ) wird beschrieben durch
momentane Zuflussrate (in Liter pro Stunde)
wird beschrieben durch
v  t   5e0,1t ; t  0 .
Dabei gibt t die Zeit in Stunden seit 7.00 Uhr an.
a) Um wie viel nimmt die Wassermenge im
a) Welche Strecke legt das Schiff
Zeitraum zwischen 11.00 und 14.00 Uhr zu?
zwischen 11.00 und 14.00 Uhr zurück?
b) Berechne die durchschnittliche Zunahme der
b) Berechne die DurchschnittsWassermenge pro Stunde im Zeitraum
geschwindigkeit im Zeitraum zwischen
zwischen 11.00 und 14.00 Uhr.
11.00 Uhr und 14.00 Uhr.
c) Wie viel Wasser befindet sich um 12.00 Uhr
c) Welche Strecke hat das Schiff um 12.00
in dem Gefäß, wenn sich um 7.00 Uhr 2 Liter
Uhr zurückgelegt, wenn es um 7.00 Uhr
Wasser darin befinden?
2 km zurückgelegt hat?
d) Um 7.00 Uhr befinden sich 10 Liter Wasser
d) Um 7.00 Uhr hat das Schiff 10 km
in dem Gefäß.
zurückgelegt.
Bestimme einen integralfreien Funktionsterm
Bestimme einen integralfreien
der Funktion V, die angibt, wie viel Wasser
Funktionsterm der Funktion s, die
sich zum Zeitpunkt t in dem Gefäß befinden.
angibt, welche Strecke das Schiff zum
e) Wann befinden sich 17 Liter Wasser in dem
Zeitpunkt t zurückgelegt hat.
e) Wann hat das Schiff 17 km
Gefäß, wenn sich um 7.00 Uhr 10 Liter
zurückgelegt, wenn es um 7.00 Uhr
Wasser darin befinden?
10 km zurückgelegt hat?
Löse die Teilaufgabe e) einmal vollständig mit GTR und einmal unter Verwendung der in
Teilaufgabe d) bestimmten Funktion V bzw. s.
1c_auf_bestandsfunktionundaenderungsrate
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Schuljahr 2016/2017
3) Ein Radfahrer fährt mit der konstanten Geschwindigkeit 7 m s an einer Straßenbahn vorbei.
Die Straßenbahn setzt sich in diesem Moment in Bewegung und fährt in dieselbe Richtung wie
der Radfahrer. Die Geschwindigkeit der Straßenbahn wird durch v  t   0,8 t beschrieben (Zeit t
in s seit dem Zeitpunkt der Vorbeifahrt, Geschwindigkeit v  t  in m s ).
Wann und wo überholt die Straßenbahn den Radfahrer?
4) Auf einer Autobahn bildet sich ein Stau. Die Zuflussrate bzw. Abflussrate der Autos wird
beschrieben durch die Funktion f mit
f  t   200   t  2   e 0,4 t ; t  0
(t in Stunden nach Beobachtungsbeginn, f  t  in Fahrzeugen pro Stunde). Hierbei stehen
positive Funktionswerte für einen Zufluss und negative Funktionswerte für einen Abfluss.
Skizziere den Graphen von f.
Wann stehen am meisten Fahrzeuge im Stau?
Berechne auf zwei verschiedene Arten, wann gleich viele Fahrzeuge im Stau stehen wie zu
Beobachtungsbeginn.
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Berechne das Integral
 f  t  dt
und interpretiere das Ergebnis.
0
Übungsaufgaben
Übungsbuch Wahlteil 2016
Aufgabe 3 (Testzug) a)
Hinweis zur Lösung:
Einen Funktionsterm der Funktion v für 400  t  600 kann man einfacher mit dem Ansatz
v  t   a   t  400   4 bestimmen.
2
Abitur 2010 Aufgabe A 2* b), c)
Abitur 2011 Aufgabe A 2* a), b)
Abitur 2012 Aufgabe A 2* b)
Abitur 2013 Aufgabe A 2.1
Abitur 2014 Aufgabe A 2.1
Abitur 2015 Aufgabe A 2.1
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