Lösung als PDF herunterladen

Weihnachtskrimi
Lösung
Antwort 7: Die Anzahl der Fragen, die der Weihnachtsmann stellen
muss, ist für die drei Fälle: A = (3, 3, 4).
Zuerst bemerken wir, dass wir jeden Elf mindestens einmal ( eingebettet in
”
einem Paar“) fragen müssen. Anderenfalls ist die Information, die der Weihnachtsmann erhält, komplett unabhängig von den Elfen, die nicht befragt
wurden. Nun betrachten wir die Lösungen für die drei Fälle, in denen drei,
vier, bzw. fünf Elfen unter Verdacht stehen.
Fall 1: Drei Elfen. Wenn wir nur ein Paar auswählen, können wir nicht
alle Elfen fragen. Nur ein Paar zu befragen ist damit ausgeschlossen. Zwei
Paare sind damit auch nicht genug: Nennen wir die Paare, die wir befragen (A,B) und (B,C) - man beachte, dass die Paare in jedem Fall einen Elf
gemeinsam haben müssen -, dann werden die beiden Konfigurationen A
”
stiehlt 0, B stiehlt 2 und C stiehlt 1“ und A stiehlt 2, B stiehlt 0 und C
”
stiehlt 3“ (die beide möglich sind) die gleichen Messungen“ verursachen.
”
Drei Paare sind aber genug: Wählen wir (A,B), (A,C) und (B,C), so erhalten
wir in jedem Fall ein lineares Gleichungssystem, das eindeutig lösbar ist dementsprechend können wir die gestohlenen Mengen rekonstruieren.
Fall 2: Vier Elfen. Ein Paar reicht wieder, wie oben, nicht aus. Zwei Paare können wir in diesem Fall wie folgt ausschließen: Wenn das erste Paar, das
befragt wird, (A,B) ist, muss das zweite Paar (C,D) sein, denn sonst wird
1
D nie befragt. Dann werden wir aber für jedes Paar nur Kenntnis über die
Summe der gestohlenen Mengen erhalten, woraus wir nie die genauen Mengen für jeden einzelnen Elf rekonstruieren können.
Wir müssen also mindestens drei Paare befragen; das ist jedoch ausreichend:
Die Strategie (A,B), (A,C) und (A,D) wird immer erfolgreich sein. Das sieht
man wie folgt: Wenn A nichts gestohlen hat, muss mindestens eine der Summen gleich null sein. Wenn also alle Messungen ungleich null sind, können
wir schließen, dass A schuldig ist. Wenn wir anschließend untersuchen, welche von den drei Summen sich von den anderen beiden unterscheiden, können
wir ermitteln, wer der andere Schuldige ist, und danach auch die genauen gestohlenen Mengen ausrechnen.
Wenn aber eine Summe gleich null ist, können wir sofort schließen, dass beide
Elfen in dem entsprechenden Paar unschuldig sind. Die anderen sind damit
schuldig und wir können direkt ablesen, wie viel sie jeweils gestohlen haben
(denn A hat ja nichts gestohlen in diesem Fall).
Fall 3: Fünf Elfen. Hier können sowohl ein Paar als auch zwei Paare mit
dem nicht alle befragt haben“- Argument ausgeschlossen werden. Auch drei
”
Paare sind nicht genug: Da wir alle Elfen befragen müssen, werden, bis auf
Permutationen, die Paare (A,B), (C,D) und (A,E) erhalten. Für den Fall,
dass nur die mittlere von diesen Messungen ungleich null ist, können wir nie
zurückrechnen, welchen Wert C und D jeweils gestohlen haben.
Vier Paare sind aber genug: (A,B), (A,C), (A,D) und (A,E) funktioniert. Das
Argument ist ähnlich zu der obigen Situation: Wenn alle Summen ungleich
null sind, muss A schuldig sein und wir können durch Vergleiche ermitteln,
wer der andere Schuldige ist. In dem Fall, dass es eine Nullmessung gibt,
ist A unschuldig, was impliziert, dass wir die Schuldigen und deren jeweils
gestohlenen Mengen einfach ablesen können aus den von null verschiedenen
Messungen.
Die richtige Antwort ist also: (7): A=(3,3,4)
2

Download Report