演習問題 No. 8 の解答

演習問題 No. 8 の解答
1
(1)
div a =
∂
∂
∂
(xyz) +
(xyz) + (xyz) = xy + yz + zx
∂x
∂y
∂z
(2)
∂
∂
∂
(xy + yz + zx)i +
(xy + yz + zx)j + (xy + yz + zx)k
∂x
∂y
∂z
= (y + z)i + (z + x)j + (x + y)k
grad(div a) =
(3)
(∂
)
(∂
)
(∂
)
∂
∂
∂
rot a =
(xyz) − (xyz) i +
(xyz) −
(xyz) j +
(xyz) −
(xyz) k
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
= (zx − xy)i + (xy − yz)j + (yz − zx)k
(4)
)
(∂
)
(∂
∂
∂
(yz − zx) − (xy − yz) i +
(zx − xy) −
(yz − zx) j
rot(rot a) =
∂y
∂z
∂z
∂x
(∂
)
∂
+
(xy − yz) −
(zx − xy) k
∂x
∂y
= (y + z)i + (z + x)j + (x + y)k
2
a = (c2 z − c3 y)i + (c3 x − c1 z)j + (c1 y − c2 x)k であるから，
(1)
(2)
div a =
∂
∂
∂
(c2 z − c3 y) +
(c3 x − c1 z) + (c1 y − c2 x) = 0
∂x
∂y
∂z
(∂
)
(∂
)
∂
∂
rot a =
(c1 y − c2 x) − (c3 x − c1 z) i +
(c2 z − c3 y) −
(c1 y − c2 x) j
∂y
∂z
∂z
∂x
(∂
)
∂
+
(c3 x − c1 z) −
(c2 z − c3 y) k
∂x
∂y
= 2c1 i + 2c2 j + 2c3 k = 2c
3
div a =
∂
∂
∂
(x + 3y) +
(y − 2z) + (x + αz) = 1 + 1 + α = α + 2 = 0
∂x
∂y
∂z
より，α = −2
4
)
(∂
)
(∂
∂
∂
(4x + γy + 2z) − (βx − 3y − z) i +
(x + 2y + αz) −
(4x + γy + 2z) j
∂y
∂z
∂z
∂x
(∂
)
∂
+
(βx − 3y − z) −
(x + 2y + αz) k
∂x
∂y
= (γ + 1)i + (α − 4)j + (β − 2)k = 0
rot a =
であり，{ i, j, k } は一次独立であるから，α = 4, β = 2, γ = −1
5
(1) r =
√
x2 + y 2 + z 2 を x, y, z で偏微分すると
∂r
x
= ,
∂x
r
∂r
y
= ,
∂y
r
∂r
z
=
∂z
r
となるから，
grad φ =
(2) 1/r を x, y, z で偏微分すると
∂ (1)
x
=− 3,
∂x r
r
x
y
z
1
i+ j+ k = r
r
r
r
r
∂ (1)
y
=− 3,
∂y r
r
∂ (1)
z
=− 3
∂z r
r
となるから，
grad
1
y
z
1
x
=− 3 i− 3 j− 3 k =− 3 r
r
r
r
r
r
(3) rn x を x で， rn y を y で，rn z を z で偏微分すると，(1) より
∂ n
(r x) = nrn−2 x2 + rn ,
∂x
∂ n
(r y) = nrn−2 y 2 + rn ,
∂y
∂ n
(r z) = nrn−2 z 2 + rn
∂z
となるから，
div(rn r) = nrn−2 (x2 + y 2 + z 2 ) + 3rn = (n + 3)rn
6
a = a1 i + a2 j + a3 k とすると
[ (
]
∂ ∂a2 ∂a1 )
∂ ( ∂a1 ∂a3 )
−
rot(rot a) =
−
−
i
∂y ∂x
∂y
∂z ∂z
∂x
[ (
]
∂ ∂a3 ∂a2 )
∂ ( ∂a2 ∂a1 )
+
−
−
−
j
∂z ∂y
∂z
∂x ∂x
∂y
]
[ (
∂ ( ∂a3 ∂a2 )
∂ ∂a1 ∂a3 )
−
−
−
k
+
∂x ∂z
∂x
∂y ∂y
∂z
[ 2
]
∂ a1 ∂ 2 a1
∂ ( ∂a2 ∂a3 )
= − 2 −
+
+
i
∂y
∂z 2
∂x ∂y
∂z
[ 2
]
∂ a2 ∂ 2 a2
∂ ( ∂a1 ∂a3 )
+ − 2 −
+
+
j
∂x
∂z 2
∂y ∂x
∂z
]
[ 2
∂ ( ∂a1 ∂a2 )
∂ a3 ∂ 2 a3
+
+
k
+ − 2 −
∂x
∂y 2
∂z ∂x
∂y
[ 2
]
∂ a1 ∂ 2 a1 ∂ 2 a1
∂ ( ∂a1 ∂a2 ∂a3 )
= − 2 −
−
+
+
+
i
∂x
∂y 2
∂z 2
∂x ∂x
∂y
∂x
[ 2
]
∂ a2 ∂ 2 a2 ∂ 2 a2
∂ ( ∂a1 ∂a2 ∂a3 )
+ − 2 −
−
+
+
+
j
∂x
∂y 2
∂z 2
∂y ∂x
∂y
∂z
[ 2
]
∂ a3 ∂ 2 a3 ∂ 2 a3
∂ ( ∂a1 ∂a2 ∂a3 )
+ − 2 −
−
+
+
+
k
∂x
∂y 2
∂z 2
∂z ∂x
∂y
∂z
= −∆a + grad(div a)

Download Report