¨Ubungen zur Vorlesung Stochastische Differentialgleichungen Itô

Hutzenthaler/Löhr
Wintersemester 2014/15
Übungen zur Vorlesung Stochastische Differentialgleichungen
Übungsblatt 4
Itô Integrale
Sei (Wt )t≥0 eine standard Brown’sche Bewegung und T > 0.
Aufgabe 4.1.
(a) Sei f : [0, T ] → R stetig (deterministisch!), und
X :=
Z
(4 Punkte)
T
f (t) dWt .
0
Zeige, dass X normalverteilt ist mit Mittelwert 0 und Varianz
Var(X) =
Z
T
f (t)2 dt.
0
Hinweis: Verwende, dass der L2 -Limes normalverteilter Zufallsvariablen wieder normalverteilt ist (Beweis hierfür nicht erforderlich).
RT
(b) Bestimme die Verteilung von 0 s dWs .
Aufgabe 4.2.
RT
Berechne 0 Ws dWs .
(4 Punkte)
Aufgabe 4.3.
Seien X, Y ∈ H. Zeige:
(4 Punkte)
E
hZ
T
Xt dWt
0
Z
T
i
Yt dWt =
0
Z
T
E[Xt Yt ] dt.
0
Abgabe Di, 11.11. am Anfang der Übungsstunde

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