フレネ・セレ標構と捩率の弧長・一般パラメータ表示
外間永邦
20161126(土)
フレネ・セレ標構 {e1 ,e2 ,e3 } の定義と一般パラメータ表示
e1 ≡ x′ (s) ≡
e2 ≡
dx
ds
=
dx
dt
·
dt
ds
= ẋ ·
1
|ẋ|
ẋ
=
|ẋ|
x′′ (s)
x′′ ẋ × (ẍ × ẋ) |ẋ|3
ẋ × (ẍ × ẋ) ẍ(ẋ · ẋ) − ẋ(ẋ · ẍ)
=
=
·
=
=
∴ ẍẋ 平面上
′′
4
|x (s)|
k
|ẋ|
|ẍ × ẋ|
|ẋ||ẍ × ẋ|
|ẋ||ẍ × ẋ|
e3 ≡ e1 × e2 =
ẋ ẍ(ẋ · ẋ) − ẋ(ẋ · ẍ) (ẋ · ẋ) ẋ × ẍ
ẋ × ẍ
×
=
=
∵一般に a × a = 0
2
|ẋ|
|ẋ||ẍ × ẋ|
|ẋ| |ẍ × ẋ| |ẍ × ẋ|
フレネ・セレ標構 {e1 ,e2 ,e3 } の弧長パラメータ微分と関係式
ei · ej = δij と e′i
=
3
∑
aji ej
から e′i
· ek = (
j=1
3
∑
aji ej )
· ek =
j=1
3
∑
aji δjk = aki
j=1
(ei · ej )′ = (δij )′ = 0 より e′i · ej + ei · e′j = 0 よって aji = −aij
行列 (aji ) の歪対称性を利用すると、a21 、a31 、a32 の 3 成分で行列が決まる。
a32 = τ と決める。これは下記の式から第３軸の変化の大きさだから捩率と呼ばれる。
他方 e′1 = x′′ = ke2 だから a21 = e′1 · e2 = ke2 · e2 = k 、 a31 = e′1 · e3 = ke2 · e3 = 0

′

0 · e1 + k · e2 + 0 · e3
 e1 =
′
e2 = −k · e1 + 0 · e2 + τ · e3 .

 e′ =
0 · e1 − τ · e2 + 0 · e3
3
捩率 τ の弧長パラメータ表示 ′′
′′
τ = a32 = e′2 · e3 = e′2 · (e1 × e2 ) = det(e′2 , e1 , e2 ) = det(e1 , e2 , e′2 ) = det(x′ , xk , { xk }′ )
det(x′ , x′′ , x′′′ )
′′
′′′
′′
′′′
= det(x′ , xk , xk + x′′ { k1 }′ ) = det(x′ , xk , xk ) =
k2
捩率 τ の一般パラメータ表示 ※事前計算 ẋ′ ≡
dẋ
ds
=
dẋ
dt
·
dt
ds
= ẍ ·
1
|ẋ|
=
ẍ
ẍ˙
、同様に ẍ′ =
|ẋ|
|ẋ|
1
x′ = |ẋ|
ẋ
1
′′
x = |ẋ|4 {ẍ(ẋ · ẋ) − ẋ(ẋ · ẍ)} ⇒ 曲率ベクトルの計算式から
˙ ẋ · ẋ) + ẍ(ẋ · ẋ)′ − 1 ẍ(ẋ · ẍ) − ẋ(ẋ · ẍ)′ }
x′′′ = ( 1 4 )′ {ẍ(ẋ · ẋ) − ẋ(ẋ · ẍ)} + 1 4 { 1 ẍ(
|ẋ|
|ẋ|
|ẋ|
|ẋ|
行列式の一次従属項は消去できるから
˙
1
1
|ẋ|6
1
det(ẋ, ẍ, ẍ)
1
1
1 ˙
′
′′
′′′
˙
τ = 2 det(x , x , x ) = 2 det( |ẋ| ẋ, |ẋ|2 ẍ, |ẋ|3 ẍ) =
·
det(ẋ, ẍ, ẍ) =
k
k
|ẍ × ẋ|2 |ẋ|6
|ẍ × ẋ|2
1

曲率ベクトルと曲率の一般パラメータ表示

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