Aufgabenblatt I

Karlsruher Institut für Technologie
Institut für Theorie der Kondensierten Materie
Dr. Andreas Poenicke
WS 2016/17
1.12.2016
[email protected]
http://comp.physik.kit.edu/Lehre/ERA/
Aufgabenblatt I zur Vorlesung Einführung in das Rechnergestützte Arbeiten“
”
Zusammenfassung
In diesem Aufgabenblatt sollen die bisher in der Vorlesung vorgestellten Werkzeuge kombiniert eingesetzt werden.
Ziel ist es, ein pdf-Dokument mit LATEX zu erstellen, in dem die Lösungen eines physikalischen Problems dargestellt
werden. Das erstellte Dokument soll inklusive der Quelldateien (tex-Source, svg-Datei und Maple-Worksheet) in
der Übung einem Tutor zum Testat vorgestellt werden.
Die Lösungen können in den Übungen Mittwoch, 14.12.2016 und Donnerstag, 15.12.2016 testiert
werden.
1 LATEX
Generieren Sie ein LATEX-Dokument der Klasse article. Das Dokument muss ein Titelblatt beinhalten, auf dem
Name und Matrikelnummer angegeben sind. Der weitere Inhalt ergibt sich durch die folgenden Aufgaben, deren
Lösungen, wie dort beschrieben, in das Dokument aufgenommen werden sollen.
2 Inkscape
Erstellen Sie mit Inkscape, wie in Abbildung 1 angedeutet, eine Skizze einer experimentellen Realisierung des
Duffing-Oszillators.
Abbildung 1: Skizze eines Duffing-Oszillators. Die äussere Kraft
F (t) bewegt das ganze System horizontal.
Speichern Sie diese Skizze als PDF-Datei und binden Sie die Abbildung in Ihr Dokument ein. Die Abbildung
sollte einen kurzen beschreibenden Untertext (Caption) haben.
Hinweis: Füllmuster lassen sich in Inkscape leicht automatisch generieren.
3 Maple
In der Vorlesung Klassische Theoretischen Physik I haben Sie schon Bewegungsgleichungen mit Reibungsterm
und äusserer Kraft gekennengelernt. In allen dort diskutierten Fällen ist es möglich das Problem analytisch zu
lösen. Dies ist allerdings leider nicht immer der Fall. Im Folgenden wollen wir ein System betrachten das nur
noch numerisch gelöst werden kann, den Duffing-Oszillator.
Die Blattfeder in Abb. 1 ist ein gedämpfter harmonischer Oszillator. Durch die zusätzlich angebrachten Magnete
bewegt sie sich nun allerdings in einem Potential das näherungsweise einen quartischen Term hat (U (x) =
ax2 + bx4 ). Zusätzlich wird das System durch eine periodische äussere Kraft F (t) getrieben.
Dieses System lässt sich durch die getriebene Duffing Gleichung“
”
dx
d2 x
+γ
+ αx + βx3 = F0 cos(ω0 t),
dt2
dt
(1)
beschreiben, eine der ersten Differentialgleichung bei der chaotisches Verhalten beobachtet und untersucht
wurde[1].
Für diese Differentialgleichung existiert keine geschlossene Lösung. Mit Hilfe von Maple ist es jedoch möglich,
numerische Lösungen zu berechnen und graphisch darzustellen.
Analog zu De Souza-Machado et al. [2] wählen wir im Folgenden die Parameter γ = 0.5, α = −1, β = 1 und
ω0 = 1. Periodisches bzw. chaotisches Verhalten zeigt sich jetzt abhängig von der Amplitude F0 der treibenden
Kraft.
a) F0 = 0.32
Lösen Sie mit Maple die Differentialgleichung (1) numerisch für F0 = 0.32:
• Plotten Sie in einem Graphen1 den Verlauf von x(t) für den Zeitbereich t = 0 . . . 200 und die beiden
Anfangsbedingungen:
(i) ẋ(0) = 0, x(0) = 0.09
(ii) ẋ(0) = 0, x(0) = 0.09001
Dass eine periodische Lösung zu erwarten war, sieht man im Phasenraumdiagramm dieses zeigt einen
zyklischen Attraktor:
• Erzeugen Sie einen zweiten Graphen, in dem für die Anfangsbedingungen (i) und den Zeitbereich
t = 0 . . . 200 nun ẋ(t) gegen x(t) aufgetragen ist.
Hinweis: Zur Darstellung der Lösung empfiehlt es sich, in Maple die Differentialgleichung mit einem
festen Bereich (range) zu lösen und beim Plotten die Option refine=2 zu verwenden.
b) F0 = 0.42
Ein qualitativ deutlich anderes Verhalten zeigt der Oszillator im chaotischen Bereich:
• Wählen Sie nun F0 = 0.42 und erzeugen Sie wieder einen Graphen x(t) für die beiden Anfangsbedingung
(i) und (ii) sowie ein Phasenraumdiagramm.
c) Exportieren Sie die so erhaltenen vier Graphen und binden Sie sie in Ihr Dokument ein. Die Graphen sollten
neben der Achsenbeschriftung auch die Anfangsbedingungen enthalten mit denen sie berechnet wurden.
d) Ergänzen Sie Ihr Dokument um einen kurzen beschreibenden Text. Dabei sollen auch die oben aufgeführten
Gleichungen und Anfangsbedingungen in LATEX gesetzt werden2 .
Literatur
[1] Y. Ueda, J. Stat. Phys. 20, 181 (1979).
[2] S. De Souza-Machado, R. W. Rollins, D. T. Jacobs and J. L. Hartman, Am. J. Phys. 58, 321 (1990).
1 Um
2 Von
die beiden Plots in einem Graphen zusammenzufassen, benutzen Sie am besten die Funktion display()
Hand, es soll nicht der LATEX-Export von Maple benutzt werden.

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