Sphere Assemblies: Control of Rotation States - ETH E

Diss. ETH No. 23864
Sphere Assemblies: Control of
Rotation States and
Construction of Space-Filling
Packings
A thesis submitted to attain the degree of
Doctor of Sciences of ETH Zurich
(Dr. sc. ETH Zurich)
presented by
Dominik Valerian Stäger
MSc. Materials Science, ETH Zurich
born 18.06.1989
citizen of Glarus Süd GL, Switzerland
accepted on the recommendation of
Prof. Dr. Hans J. Herrmann, examiner
Prof. Dr. Tomaso Aste, co-examiner
Prof. Dr. Ronald Peikert, co-examiner
2016
Kurzfassung
Wir widmen uns zwei verschiedenen Themenbereichen. Wir untersuchen die
Rotationsdynamik von aneinanderliegenden, individuell rotierenden Kugeln,
welche sich gegenseitig beeinflussen. Darüber hinaus entwickeln wir neue
Konstruktionsmethoden für raumfüllenden Kugelpackungen.
Zuerst studieren wir die Rotationsdynamik von aneinanderliegenden Kugeln, sogenannten Kugelclustern. Dabei nehmen wir an, dass die Kugeln
an ihrer Position fixiert sind, jedoch frei rotieren können. Weiter befassen
wir uns nur mit bipartiten Kugelclustern. Ein Kugelcluster ist bipartit, falls
man es mit nur zwei Farben so einfärben kann, sodass sich keine Kugeln
gleicher Farbe berühren. Jedes bipartite Kugelcluster hat schlupffreie Rotationszustände, in welchen sich alle Kugeln gleichzeitig drehen können, ohne
Schlupf zwischen berührenden Kugeln. Mit einem Modell, welches lediglich
Gleitreibung berücksichtigt, untersuchen wir, wie sich bipartite Kugelcluster von einem Anfangszustand mit frei wählbaren Winkelgeschwindigkeiten
zu einem schlupffreien Endzustand bewegen. Dabei stellen wir fest, dass gewisse Summen von Variablen, welche die Massen, Radien, Winkelgeschwindigkeiten und Positionen der Kugeln einbeziehen, zeitlich unveränderlich
sind. Das bedeutet, dass diese vom Anfangszustand bis hin zum schlupffreien Endzustand konstant bleiben. Für gewisse bipartite Kugelcluster ist
der schlupffreie Zustand eindeutig bestimmt für gegebene Werte der zeitlich konstanten Summen. In diesem Fall kann man den Endzustand für
jeden beliebigen Anfangszustand exakt vorhersagen. Diese vorhersagbaren
Kugelcluster müssen genau vier Freiheitsgrade im schlupffreien Zustand haben. Glücklicherweise sind solche einfach zu konstruieren und können aus
i
nur zwei, aber auch aus viel mehr Kugeln bestehen, theoretisch aus unbegrenzt vielen. Überraschenderweise ist der schlupffreie Endzustand solcher
Kugelcluster unabhängig von der Stärke der Gleitreibung zwischen den Kugeln. Desweiteren lässt sich der schlupffreie Zustand kontrollieren. Durch die
externe Kontrolle von lediglich zwei beliebigen Kugeln kann jeder mögliche
schlupffreie Rotationszustand des Kugelclusters kontrolliert werden, was wir
auch experimentell demonstrieren. Im schlupffreien Zustand eines jeden bipartiten zweidimensionalen Clusters gleich grosser Scheiben sind alle Rotationsgeschwindigkeiten identisch. Nicht so in einem dreidimensionalen Kugelcluster, wo Kugeln gleicher Grsse unterschiedliche Rotationsgeschwindigkeiten haben knnen. Deshalb ist es möglich in einem kontrollierbaren Kugelcluster die Kugeln entlang einer frei wählbaren Richtung zu beschleunigen, was eine zuvor unbekannte mechanische Funktionalität darstellt.
Desweiteren befassen wir uns mit raumfüllenden Kugelpackungen. Im Detail
behandeln wir nur Packungen, welche mittels Kugelinversionen erzeugt werden können, was immer exakt selbstähnliche Packungen sind. Diese Packungen sind fraktal und die Grössenverteilung ihrer Kugeln folgt asymptotisch
einem Potenzgesetz, woraus man die fraktale Dimension abschätzen kann.
Inspiriert durch vorhergehende Arbeiten entwickeln wir eine Konstruktionsmethode in zwei Dimensionen, welche wir für jede höhere Dimension verallgemeinern. Mittels der neuen Konstruktionsmethode finden wir zahlreiche
neue Topologien in drei und vier Dimensionen. Zusätzlich stellen wir eine
Strategie vor um neue niedrigerdimensionale Topologien aus bereits entdeckten zu schneiden. Im Ganzen ermöglicht uns dies weitere raumfüllende
Topologien in beliebigen Dimensionen zu finden. Die zahlreichen Topologien
die wir finden weisen eine grosse Bandbreite an fraktalen Dimensionen auf
und können als eine Auswahl für ideal dichte Packungen mit verschiedenen
Grössenverteilungen gesehen werden.
ii
Abstract
We study two different areas. We investigate the rotational dynamics of
assemblies of touching, individually rotating spheres, which influence each
other’s rotation. Beyond that, we develop new methods to construct spacefilling sphere packings.
First, we study the rotational dynamics of an assembly of contacting spheres.
We are interested in the case where the spheres can not move in space, but
are allowed to rotate. We only deal with bipartite assemblies, i.e., assemblies
where one can color the spheres using only two colors such that no spheres
of same color touch. Any bipartite assembly of spheres has slip-free rotation
states, i.e., it is possible that all spheres rotate without any slip between
contacting spheres. With a model that only considers sliding friction, we
investigate how bipartite assemblies drive from an initial rotation state with
arbitrary angular velocities toward a slip-free state. We find that certain
sums of variables are time-invariant, i.e., they stay constant during the dynamics toward the slip-free state. These sums involve the individual spheres’
masses, radii, angular velocities, and positions. For certain bipartite assemblies, the final slip-free state uniquely corresponds to specific values of the
time-invariant sums, such that one can directly predict the final state from
the initial one. These predictable assemblies need to have exactly four degrees of freedom in their slip-free state. Luckily, those assemblies can easily
be constructed and the number of spheres can range from two to, theoretically, infinity. The final slip-free state of those assemblies surprisingly does
not depend on the strength of sliding friction between spheres. Furthermore,
by only controlling two arbitrary spheres externally, the slip-free state can
iii
be controlled, what we demonstrate experimentally. In any slip-free state of
any two-dimensional bipartite assembly of equally sized disks, all disks have
the same rotational speed. Not so in three dimensions, such that in a controllable assembly of equally sized spheres, spheres can have different speeds
of rotations. Therefore, one can accelerate the rotation of spheres along such
an assembly, what is a previously unknown mechanical functionality.
Second, we study space-filling sphere packings. In particular, packings that
are constructed using inversive geometry, i.e., sphere inversion. These packings are exactly self-similar and fractal, and their size distribution follows
asymptotically a power law, from which one can estimate the fractal dimension. Inspired by previous works, we develop a construction method in
two dimensions which we generalize to any higher dimensions. We use it to
find new topologies in three and four dimensions. Additionally, we present a
strategy to find new sub-dimensional topologies from existing ones by cutting
packings. Altogether, this provides a framework to find various space-filling
topologies of spheres in arbitrary dimensions. The various topologies we find
show a broad range of fractal dimensions and can be seen as a selection for
ideally dense packings with different size distributions.
iv

Download Report