1
ϩʔϥϯ‫਺ڃ‬
̧‫਺ڃ‬ɿ ෛͷϕΩ߲Λ࣋ͭ‫਺ڃ‬
· · · + bm (z − z0 )−m + · · · + b1 (z − z0 )−1 + a0 + a1 (z − z0 ) + a2 (z − z0 )2 + · · ·
”Ԡ༻਺ֶ̏ʵෳૉؔ਺࿦”
·ͣɼࣗ໌ͳ৔߹ɽ f (z) =
”ୈ̍̍ճɿϩʔϥϯ‫਺ڃ‬ɼ‫ۃ‬ɼཹ਺”
த৺ z0 = 0 Ͱͷ‫਺ڃ‬ද‫ݱ‬
z ͷਖ਼ͷϕΩ߲ an (z − z0 )n ͷແ‫ݶ‬࿨Ͱղੳؔ਺ f Λද‫ݱ‬
∞
n=0
n
1
=
z (|z| < 1) ̢‫਺ڃ‬
1 − z n≥0
த৺ z0 = 1 Ͱͷ‫਺ڃ‬ද‫ݱ‬ɽ͜ͷ৔߹ɼࣗ໌Ͱ͸͋Δ͕ɽ
ɽ
ɽ
ෳૉղੳؔ਺ͷςΠϥʔల։
f (z) =
1
Ͱྫࣔ͢Δ
1−z
0
0
1
−1
+
+
+ 0 + 0 ∗ (z − 1) + 0(z − 1)2 + · · ·
= ···
1−z
(z − 1)3 (z − 1)2
z−1
⎛
an (z − z0 )n (|z − z0 | < r)
rɿ த৺ z0 ͱ࠷΋͍ۙಛҟ఺ʢඍ෼Ͱ͖ͳ͍఺ʣͱͷ‫཭ڑ‬
ಛҟ఺͕ͳ͍ʢ੔ؔ਺ʣ ˰ r = ∞
த৺ z0 ͕ղੳతʢz0 ΋‫ؚ‬Ίͯͦͷۙ๣Ͱඍ෼ՄೳʣͳΒ͹ɼ
ৗʹ ̩ͷϕΩ‫਺ڃ‬ද‫͕ݱ‬Մೳ
⎜
⎝
dz
|z|=1 1 − z
=
(z = 1 + eit )
⎞
z = 1 ⇔ |z − 1| > 0
⎟
⎠
ऩଋҬ͸ |z − a| > r ͷ‫ܗ‬ɿ ԁʢ఺ʣͷ֎ଆʂ
2π
0
-1 ͸ ̧ ‫͚͓ʹ਺ڃ‬Δ −1 ࣍ͷ܎਺ -1
ϕΩ‫਺ڃ‬ɿ ऩଋԁ಺Ͱઈରऩଋ
ϕΩ‫਺ڃ‬ʢͰఆٛ͞ΕΔؔ਺ʣ͸ɼऩଋԁͷ಺෦ͰղੳతͰɼ
߲ผੵ෼ɾ߲ผඍ෼Ͱͦͷੵ෼ɾඍ෼͕‫·ٻ‬Δɽ
ϩʔϥϯ‫਺ڃ‬ల։ɿ ల։த৺ z = z0 ͷۙ๣ͰղੳతͰͳ͍৔߹
ਖ਼͓Αͼෛͷ̎ͭͷ‫਺ڃ‬ͷ࿨ͱͯ͠ෳૉؔ਺Λද‫͢ݱ‬Δ
˰ ཹ਺ੵ෼ɿཹ਺=(z − z0 )−1 ͷ܎਺ͷΈ‫ࢉܭ‬ɾநग़
1
ieit
dt = −2πi = 2πi -1
−eit
2
1.1
ී௨ͷྫ
1
1
1
f (z) =
=
ɿ z0 = 2 ͰղੳతͰͳ͍
z(z − 2)2
z (z − 2)2
ํ਑ɿ z −1 ͸ 2 ͷۙ๣Ͱղੳతɽ̩ల։ʢத৺ 2ʣ͠ (z − 2)2 ͰׂΔ(∗)
z−2
z = (z − 2) + 2 = 2 1 +
:
2
1
=
z − 2 ͷ߲Λ࡞Γɼ
(−w)n ʹ‫ؼ‬ண
1 + w n≥0
n
1
1
z−2
1
1
= =
(−1)n n+1 (z − 2)n
z − 2 = 2 n≥0 − 2
z
2
n≥0
2 1+
2
z − 2
1
1 1
−
< 1
= − (z − 2) + (z − 2)2 + · · ·
2 4
8
2 1
1
1
1
f (z) = (z − 2)−2 − (z − 2)−1 + − (z − 2) + · · ·
2
4
8 16
|z − 2| < 2 ͔ͭ z = 2
(*) lim axn = a lim xn . ֤ z ∈ ऩଋҬ ʹର͠ɺ
n→∞
SN (z) =
N
n=0
an (z − z0 )n ,
lim (z − z0 )
N →∞
−k
lim SN (z) ͕֬ఆ
N →∞
SN (z) = (z − z0 )−k lim SN (z) ΋֬ఆ whenever z = z0
N →∞
Αͬͯɺ֤ z ∈ ऩଋҬʵ {z0 } ʹର͠ɺ(z − z0
ಛҟ఺
̧‫͍ͯͭʹ਺ڃ‬࿩ΛਂΊΔલʹɼ
ʮಛҟ఺ʯΛਖ਼֬ʹఆ͓ٛͯ͘͠
z0 Ͱղੳత ⇔ z0 ͷ͋Δۙ๣ U Ͱղੳతɿ
def
U ͷશͯͷ఺Ͱඍ෼Մೳ
z0 ͕ಛҟ఺ ⇔ ղੳతͰͳ͍఺Ͱɼ
def
೚ҙͷۙ๣͕ղੳతͳ఺Λ‫ؚ‬Ή
ʢඍ෼Ͱ͖ͳ͍෦෼ͷ‫ڥ‬ք఺ʣ
আ‫ڈ‬Մೳͳಛҟ఺: ͦͷ఺͚ͩผͷ஋ʹ࠶ఆٛͯ͠ղੳతʹͳΔ৔߹
z3 z5
sin z = z − + − · · · ʢશฏ໘ʣ
3! 5! 2
sin z
z
z4
f (z) =
= 1 − + − · · · (|z| > 0)
z
3! 5!
RHS ͷϕΩ‫ ਺ڃ‬g(z) ͸ z0 = 0 ͷۙ๣Ͱඍ෼Մೳ
0 < |z − 2| < 2
n→∞
1.2
)k
Ͱ߲ผʹׂͬͯΑ͍
ಛʹ࿈ଓͰ limg(z) = g(0) = 1ʣɽ
z→0
ۙ๣Ͱ f = g. Αͬͯɼlimf (z) = 1
z→0
f (0) = 1 ͱ͢Ε͹ f ͸શฏ໘ͰղੳతͱͳΔɽ
3
4
1.2.1
1.2.2
‫ཱݽ‬ಛҟ఺
ඇ‫ཱݽ‬ಛҟ఺
ಛҟ఺͕‫͍ͳཱ͍ͯ͠ݽ‬৔߹ɿ
ಛҟ఺ z0 ͕‫ཱݽ‬ಛҟ఺ ⇔
def
ଞͷಛҟ఺Λ࣋ͨͳ͍ z0 ͷ͋Δ
ۙ๣ U ͕ͱΕΔ
ʢଞͷಛҟ఺ͱͷ‫཭ڑ‬ΛอͯΔʣ
f (z) = Ln z = ln |z| + i Arg z (z = 0)
−π < Arg z ≤ π
z = x (x ≤ 0) ͕ಛҟ఺ɻඍ෼ෆೳͰɼ͔ͭɼͦͷ
఺ʹ‫ݶ‬Γͳ͍ۙ͘ղੳతͳ఺͕͋Δ
ಛҟ఺ʹ‫ݶ‬Γͳ͍ۙ͘ผͷಛҟ఺͕ଘࡏ
ʢଞͷಛҟ఺ͱͷ‫཭ڑ‬Λอͯͳ͍ʣ
̌ ͓Αͼ ̎ ͷ೚ҙͷۙ๣͸ඍ෼Մೳͳ఺Λ‫ؚ‬ΉɽΑͬͯಛҟ఺
̎ͭͷಛҟ఺ɼ̌ͱ̎ɼ͸‫཭ڑʹ͍ޓ‬Λอ͍ͬͯΔ
Αͬͯɼ‫ཱݽ‬ಛҟ఺
z+1
z−1
z = ±1 Ͱະఆٛ,
z+1
= −x (x > 0) Ͱෆ࿈ଓ
z−1
f (z) = Ln
z + 1 = x − zx,
2
x−1
=1−
∈ (−1, 1)
z=
1+x
1+x
(z → −1 as x → 0 , z → 1 as x → ∞ )
̧ͷఆཧʹΑΕ͹ |z| > 1 Ͱ z0 = 0 Λத৺ͱ̧ͨ͠‫਺ڃ‬ల։͕Մೳ
5
6
1.2.3
‫ཱݽ‬ಛҟ఺ͱඇ‫ཱݽ‬ಛҟ఺‫ʹڞ‬ଘࡏ͢Δ৔߹
z=
± π2 ,
±
ओ෦͕ແ‫ݸݶ‬ͷෛͷϕΩ߲͔Βߏ੒͞ΕΔྫ
ओ෦͕ແ‫਺ڃ̧ͳݶ‬ʢ‫͍ͳͰۃ‬ಛҟ఺ʣͷྫɿ
ԋ໰ 4.1.22(b)ɿ
sin z −1
tan z −1 =
cos z −1
−1
cos z = 0
˱ z −1 = ± π2 , ±
1.3
3π
2 ,
2
3π ,
±
±
1
= 1 + z + z 2 + · · · (|z| < 1) lim 1 = z = 0
1−z
−1
z→0 1 − z
z − 1 z=0
1
= 1+z −1 +z −2 +· · · (1 < |z|) z = 0 ͸আ‫ڈ‬Մೳͳಛҟ఺
1 − z −1
5π
2 ,
2
5π ,
···
···
1
z
=
= −z z n = − z n+1 (|z| < 1) T ͷϕΩ‫਺ڃ‬
1 − z −1 ʮআ‫ڈ‬ʯ‫ ޙ‬z − 1
n≥0
n≥0
1
1
=
+ 1 (0 < |z − 1|) z0 = 1 Λத৺ͱͨࣗ͠໌ͳ̧‫਺ڃ‬
1 − z −1
z−1
ओ෦͕༗‫ݶ‬
̌Ҏ֎͸શͯ‫ཱݽ‬ಛҟ఺
ಛҟ఺ z = 0 ʹ͍͘ΒͰ΋͍ۙ
ଞͷ‫͕఺ཱݽ‬ଘࡏɽie ඇ‫ཱݽ‬
z2 z3
zn
= 1 + z + + + · · · (શฏ໘)
2! 3!
n≥0 n!
z2 z3
z −1
−z
(e ) = e = 1 − z + − + · · · ʢશฏ໘ʣ
2!
3!
z −2 z −3
z −1
−1
+
+ · · · (z = 0. 0 < |z|)
e =1+z +
2!
3!
‫ཱݽ‬ಛҟ఺͕ͩɼແ‫ݶ‬ͷෛͷ΂͖߲ ... ਅੑ‫ཱݽ‬ಛҟ఺
ez =
an+1 (n + 3)! =
= 1 →0
(*) ίʔγʔɾΞμϚʔϧɽL∗ = an (n + 4)! n + 4
7
8
1.4
g(z) =
1.5
̧‫ͱ਺ڃ‬ಛҟ఺ͷྫࣔ
⎛
2
⎞
3
e
1
z
z
= 3 ⎝1 + z + + + · · · ⎠
3
z
z
2! 3!
z
z −1
+
2!
༗‫ݸݶ‬ͷ ओ෦ʢෛͷႈ߲ʣ
z = 0 Ͱղੳత
z −3 + z −2 +
=
z = 0. ͭ·Γɼ0 < |z|
z
z2
1
+ + · · · (r = ∞)
3! 4! 5!
ਖ਼ͷႈ߲͔ΒͳΔ‫਺ڃ‬
։ԁ൘Ͱऩଋ (*) ͠ղੳత
m≥1
bm (z − z0 )−m +
n≥0
an (z − z0 )n
த৺ z0 ͷ̧‫਺ڃ‬ͷओ෦͕༗‫͖ͱͳݶ‬ɼz0 Λ ‫Ϳݺͱ ۃ‬
⎛
‫ۃ‬͸‫ཱݽ‬ಛҟ఺
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
f ͸ z0 Λத৺ͱͨ͠ಉ৺ԁ C1 , C2 Ͱఆ·Δԁ‫؀‬ʢԁपΛ‫ؚ‬ΉʣͰղੳత
C1 ͕֎ଆͰɼC2 ͸಺෦ʹಛҟ఺Λ‫ؚ‬Ήͱ͢Δ
z: C1 , C2 ʹ‫·ڬ‬Εͨ೚ҙͷ఺Λ‫ݻ‬ఆ
Cupper : ӈਤͷ্ଆͷ z Λ‫ؚ‬Έɼ
ղੳతͰͳ͍෦෼Λճආ͢Δด࿏
Clower : ӈਤͷ z Λ‫ͣ·ؚ‬
ղੳతͰͳ͍෦෼Λճආ͢Δด࿏
z0 = 0 ͸ ‫ۃ‬
f (z) =
ϩʔϥϯ‫਺ڃ‬ͷҰൠ࿦
ओ෦͸ |z − z0 | > 0 Ͱղੳతɼ
ਖ਼ͷϕΩ‫਺ڃ‬͸ |z − z0 | < r Ͱղੳత
Αͬͯɼ0 < |z − z0 | < r Ͱղੳత
ʢੵ෼ެࣜʣf (z) =
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
Ұൠʹɼԁ‫Ͱ؀‬ղੳతͳෳૉؔ਺͸ ϩʔϥϯ‫਺ڃ‬ද‫͖Ͱݱ‬ΔͷͰ͸ʁ
̖̽͂ɿ yes ʢϩʔϥϯͷఆཧʣ
1 f (w)
dwɼ ʢੵ෼ఆཧʣ
C
2πi upper w − z
f (w)
dw = 0
−z
Clower w
1 1 f (w)
f (w)
dw +
dw
2πi Cupper w − z
2πi Clower w − z
1 f (w)
1 f (w)
=
dw −
dw ਖ਼ͱෛͷϕΩ߲Λͭ͘Γͩ͢
2πi C1 w − z
2πi C2 w − z
1 bm
=
an (z − z0 )n +
.
ಛʹɼ
b
=
f (z)dz
1
m
2πi C2
n≥0
m≥1 (z − z0 )
f (z) =
্‫ه‬ͷٞ࿦͸৚݅Λຬͨ͢೚ҙͷ C1 , C2 ͓Αͼ ԁ‫ ؀‬C1 − C2 ಺ͷ
z ʹର͠੒ཱɽΑͬͯɼԼ‫ه‬ͷऩଋ൒‫ؔ͢ʹܘ‬Δ‫ن‬ଇ΋੒Γཱͭɽ
ऩଋҬ r < |z − z0 | < R ͷܾఆ‫ن‬ଇɿ
ԁ‫؀‬ͷ֎ଆͷԁ C1 Λ‫ؚ‬Ή ಉ৺ԁ CR
Ͱ ԁ‫ ؀‬C1 − CR ͷ಺෦ʹಛҟ఺
Λ‫࠷͍ͳ·ؚ‬େͷ R
ԁ‫؀‬ͷ಺ଆͷԁ C2 ʹ‫·ؚ‬ΕΔ ಉ৺
ԁ Cr Ͱ ԁ‫ ؀‬Cr − C1 ͷ಺෦͕
ಛҟ఺Λ‫࠷͍ͳ·ؚ‬খͷ r
9
10
1.6
1 f (z)dz = b1 ิ଍
2πi C2
1.7
ϩʔϥϯͷఆཧɿ ‫ཱݽ‬ಛҟ఺όʔδϣϯ
ด࿏ C1 , C2 ͷԁप্ͷ఺͸ղੳతʢඍ෼Մೳͳۙ๣ΛͱΕΔʣɽ
ԁ‫ ؀‬C1 − C2 Ͱղੳత
r < |z − z0 | < R ಺ͷ೚ҙͷ୯७ด࿏ C ʹର͠
1 1 f (z)dz =
f (z)dz = b1
2πi C
2πi C2
C ΑΓ಺ଆͰ Cr Λ‫ؚ‬Ή C2 ΛͱΕ͹̤̠
C2 ͷ಺෦Ͱ΋ɼ‫ཱݽ‬ಛҟ఺ʢෳ਺ՄʣΛআ͍ͯղੳత
ԁ‫಺؀‬ͷ z ʹର͠ɼ̧‫਺ڃ‬Λߏ੒Ͱ͖Δ
C2 ಺ͷಛҟ఺Ͱɼz0 ͱ࠷΋ԕ͍΋ͷΛ z2 ͱ͢Δɽ
͜ͷͱ͖ɼr = |z2 − z0 |
ಛʹɼz0 ͕ಛҟ఺ͰɼC2 ಺ͷಛҟ఺͕ z0 ͩ
͚ͷͱ͖͸ r = |z0 − z0 | = 0
C1 ͷ֎ଆͷಛҟ఺Ͱɼz0 ͱ࠷΋͍ۙ΋ͷΛ z1 ͱ
͢Δɽ͜ͷͱ͖ R = |z1 − z0 |
ԁ‫ ؀‬r < |z − z0 | < R ಺ͷ୯७ด࿏ C ʹର͠
1 f (z)dz = b1 ̧‫ ਺ڃ‬ʵ̍ ࣍ͷ܎਺
2πi c
ӈਤɿ ల։த৺ z0 ͕ಛҟ఺Ͱɼͦͷଞ z1 , z2 , z3 ͷ̏‫ݸ‬
ͷಛҟ఺͕ଘࡏɽ͜ͷ৔߹ɼ̐‫ݸ‬ͷԁ‫ܗ͕؀‬੒͞ΕΔɿ
R1
R2
R3
R3
: 0 < |z − z0 | < |z1 − z0 |,
: |z1 − z0 | < |z − z0 | < |z2 − z0 |,
: |z2 − z0 | < |z − z0 | < |z3 − z0 |,
: |z3 − z0 | < |z − z0 | < ∞
֤ԁ‫ Ͱ ؀‬f (z) ͷ̧‫਺ڃ‬ද͕ࣔՄೳɽͨͩ͠ɼͦͷ܎਺
͸ԁ‫ʹ؀‬ґଘܾͯ͠·Δɽ
z0 ͕ಛҟ఺Ͱͳ͍৔߹͸ɼR1 : 0 < |z − z0 | < |z1 − z0 |
ʹ͓͚Δ‫਺ڃ‬ද‫ݱ‬͸ෛͷϕΩ߲Λ࣋ͨͣɼz0 Λ‫ؚ‬Ίͨ։
ԁ൫ |z1 − z0 | < |z1 − z0 | Ͱͷ̩ల։ɽ
‫ޙ‬ड़͢Δཹ਺ఆཧʹΑΔੵ෼‫ʹࢉܭ‬͸ɼ‫ۃ‬ʢ‫ཱݽ‬ಛҟ఺Ͱओ෦͕༗‫ͳݶ‬΋
ͷʣ͔͠ѻΘͳ͍ɽΑͬͯɼ࣮ࡍ໰୊ͱͯ͠ɼ̧ఆཧ͸ຊεϥΠυͷ‫ཱݽ‬
ಛҟ఺όʔδϣϯ͚ͩཧղ͓͚ͯ͠͹े෼
11
12
1.8
1.9
ԁ‫਺ڃͱ؀‬ͷྫ̍
f (z) =
1
1−z
ԁ‫਺ڃͱ؀‬ͷྫ̎
f (z) = −
z0 = 0 Λத৺ͱͨ͠ಉ৺ԁ C1 , C2 ʢC1 Λ֎ଆʹʣΛͱΔ
C1 , C2 ‫ ʹڞ‬ಛҟ఺ z = 1 Λ‫͍ͳ·ؚ‬৔߹͸̩ఆཧ
f (w)
f (w)
C1 ಺ͷ z ʹର͠ɼ2πif (z) =
dw =
dw
C1 w − z
C2 w − z
n
ӈลͷࣜม‫ Ͱܗ‬ਖ਼ͷϕΩ߲ an (z − a) Λߏ੒Ͱ͖ɼͦͷٞ࿦͸
|z| < 1 Ͱ੒ཱ͢Δ
f (z) =
z
n
(|z| < 1)
n≥0
0 Λத৺ͱ̩ͨ͠·ͨ͸̧‫਺ڃ‬Λ‫ٻ‬ΊΔ
̎‫ݸ‬ͷಛҟ఺ 0, 1
Ґஔؔ܎͔ΒɼҰͭͷ։ԁ൫ͱ
̎ͭͷԁ‫ʹ؀‬෼͔ΕΔ
⎧ ⎪
⎪
zn
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ n≥0
(|z| < 1) ̩‫਺ڃ‬
1
f1 (z) = −
=
−1 1
1
⎪
z−1 ⎪
⎪
⎪
⎪
=−
(|z| > 1) ̧‫਺ڃ‬
⎪
n+1
⎩ z 1 − z −1
n≥0 z
֎ଆͷ C1 ͷΈ͕ z = 1 Λ‫ؚ‬Ή৔߹ɿ̧ͷఆཧͷద༻৚݅֎
C1 , C2 ‫ʹڞ‬ɼz = 1 Λ‫ؚ‬Ή৔߹
f2 (z) = −
r = 1, R = ∞
1 −1
−1 −n
z = − z −n−1 (|z| > 1)
f (z) =
=
z 1 − 1/z
z n≥0
n≥0
f (z) = −
1
1
−
z−1 z−2
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
zn
1 zn
1
=
z =
2(1 − 2 ) 2 n≥0 2n n≥0 2n+1
⎪
⎪
⎩
2n
−1
−1 2n
=
−
=
n+1
z n≥0 z n
z(1 − z2 )
n≥0 z
1
=
⎪
z−2 ⎪
⎪
⎪
z −n−1 (|z| > 1)
n≥0
݁‫ہ‬ɼల։த৺ɼಛҟ఺ɼ‫਺ڃ‬ల։͍ͨ͠ z ͷҐஔؔ܎ʹґଘ͢Δ
13
14
(|z| < 2) ̩‫਺ڃ‬
(|z| > 2) ̧‫਺ڃ‬
1.10
2
ཹ਺ੵ෼΁
̩ͷϕΩ‫਺ڃ‬͸ɼ‫ج‬ຊతʹ͸֤߲ͷ܎਺Λඍ෼Ͱ‫ٻ‬ΊΔ͜ͱ͕Ͱ͖ɼ
‫఺ྵͱۃ‬
‫ݪ‬ଇɼ‫ཱݽ‬ಛҟ఺ͷΈɼओͱͯ͠‫ۃ‬ʢओ෦͕༗‫ݶ‬ʣͷΈٞ࿦͢Δ
Ԡ༻্΋ʢۙࣅΛಘΔࡍʹʣॏཁͰ͋ͬͨɽ
Ұํɼ̧‫਺ڃ‬ͷ ৔߹͸ɼͦͷ۩ମతͳ‫਺ڃ‬ͷ‫ܗ‬ʢෛͷϕΩ߲ͷ܎
2.1
‫ ۃ‬z0 ʹ͓͍ͯ z→z
lim |f (z)| = ∞
0
਺ʣΛ‫ٻ‬ΊΔ఺͕ॏཁͳͷͰͳ͘ɼʵ̍࣍ͷ܎਺ʢཹ਺ʣΛ‫ܭ‬
ࢉ͢Δ͜ͱʹओ‫͔͓͕؟‬ΕΔɽ
ཧ༝͸୯७Ͱɼಛҟ఺Λ಺෦ʹ‫ؚ‬Ήด࿏ੵ෼ͷ஋͕
̧‫਺ڃ‬ͷ (ʵ̍) ࣍ͷ܎਺ʢཹ਺ʣͱͯ͠‫ݱ‬ΕΔ͔ΒͰ͋Δɽ
ҎԼɼಛҟ఺ͷதͰ΋ੑ࣭͕؆୯ͳ‫ۃ‬ʢ̧‫਺ڃ‬ͷओ෦͕༗‫ݶ‬ʣͷ৔
߹ͷཹ਺ͷ࿩ʹҠΔ
̧‫਺ڃ‬
M
∞
bm
+
an (z − z0 )n ɽ
m
n=0
m=1 (z − z0 )
؆୯ͷͨΊɼz0 = 0 ͱ͢Δ
b2 b1
1
h(z) = 2 + +a0 +a1 z+· · · = 2 (b2 + b1 z) + a0 + a1 z + · · ·
z
z
z
g(z) ऩଋ൒‫| ܘ‬z| < r)
༗‫ͳݶ‬ओ෦
ओ෦͸༗‫| Ͱݶ‬z| > 0 Ͱ̤̠ɽΑͬͯɼh ͷऩଋҬ͸ 0 < |z| < r
̩‫਺ڃ‬͸ |z| < r ͰղੳతͰಛʹ࿈ଓ. so, lim g(z) = g(0) = a0
z→0
| ओ෦ | → ∞ as z → 0 ʢ͚ۙͮํʹґଘ͠ͳ͍ʣ
15
16
2.2
2.3
ʢ෼฼ͷʣ‫ۃͱ఺ྵཱݽ‬
m Ґͷ‫ ۃ‬z0 ⇔ z0 Ͱͷ̧‫͕਺ڃ‬ɿ
def
‫ཱݽ‬ಛҟ఺͕‫͔ۃ‬ɼ‫ͦͯ͠ͱۃ‬ͷҐ਺͸ʁ
͍Ζ͍Ζ͋Δ͕ɼ̩ల։͢Ε͹Ұ໨ྎવɽ
‫ۃ‬ͷҐ਺͕Θ͔Ε͹ɼ−1 ࣍ͷ܎਺͸ඍ෼Ͱ‫͖Ͱࢉܭ‬Δʢઅ 2.4ʣ
k(z)
ɼͨͩ͠ɼ z0 ͕ ෼฼ g ͷ‫఺ྵཱݽ‬ɼ k(z0 ) = 0 ͱ͢Δ
g(z)
ʢಛʹɼf ͷ‫ཱݽ‬ಛҟ఺ʣ
k(z) = a0 + a1 (z − z0 ) + a2 (z − z0 )2 + ... (a0 = k(z0 ))
g(z) = b2 (z − z0 )2 + b3 (z − z0 )3 + · · · ͨͩ͠ɼb2 = 0 ͷ৔߹
h(z)
ͷ‫ۃ‬ͷީิ͸ g(z) ͷ‫఺ྵཱݽ‬
෼ࢠ h(z) ͕ղੳతͳ৔߹ɼf (z) =
g(z)
1
k(z)
=
g(z)
(z − z0 )2
f (z) =
bm
b1
+ ··· +
+ a0 + a1 (z − z0 ) + · · ·
(z − z0 )m
z − z0
bm = 0, bm+1 = bm+2 = ... = 0
f (z) =
⎛
a
⎝ 0
⎞
+ a1 (z − z0 ) + a2 (z − z0 )2 + ... ⎠
b2 + b3 (z − z0 ) + ..
‫಺ހׅ‬͸ z0 Ͱͷ஋͕ a0 /b2 Ͱͦͷۙ๣Ͱղੳతͳؔ਺
g(z) ͷ‫⇔ ఺ྵཱݽ‬
def
g(z0 ) = 0 ͳΔ z0 Ͱɼͦͷۙ๣Ͱ߃౳తʹ̌Ͱͳ͍΋ͷ
͜ͷ৔߹ɼz0 ͸ f ͷ‫ཱݽ‬ಛҟ఺
z0 ͕ g ͷ m Ґͷྵ఺
⇔ g(z) = (z − z0 )m k(z), k(z0 ) = 0 ͱॻ͚Δ
def
ಛʹɼ‫఺ྵཱݽ‬
෼ࢠ h(z0 ) = 0 ͔ͭ z0 ͸ g(z) ͷ m Ґͷྵ఺
˰ z0 ͸ f ͷ m Ґͷ‫ۃ‬
z2 z4
z2 z4
1 − + − ···
1 − + − ···
cos z
2! 4!
2! 4!
⎞
=
ྫɿ f (z) =
= ⎛
2
4
z3 z5
z
z
sin z
z − + − · · · z ⎝1 − + − · · ·⎠
3! 5!
3! 5!
z0 = 0 ͸ sin z ͷ 1 Ґͷྵ఺ɽcos 0 = 1 = 0.
z0 = 0 ͸ f (z) ͷ 1 Ґͷ‫ۃ‬
=
1
a0
+ c1 (z − z0 ) + ...
(z − z0 )2 b2
Αͬͯɼz0 ͸̎Ґͷ‫ۃ‬
k(z0 ) = 0 ͷ৔߹͸
k(z) = a3 (z − z0 )3 + ... ͨͩ͠ɼk(z0 ) = a0 = a1 = a2 = 0, a3 = 0 ͷ৔߹
= (z − z0 )3 (a3 + a4 (z − z0 ) + ...)
⎞
⎛
(z − z0 )3 ⎝ a3 + a4 (z − z0 ) + ... ⎠
k(z)
=
g(z)
(z − z0 )2 b2 + b3 (z − z0 ) + ..
a3
= (z − z0 )
+ c2 (z − z0 ) + ...
b2
ͭ·Γɼ͜ͷ৔߹ɼz0 ͸আ‫ڈ‬Մೳͳಛҟ఺Ͱ‫Ͱۃ‬͸ͳ͍
͜ͷΑ͏ʹɼ༷ʑͳέʔε͕͋Γ͑Δ͕ɼ
ͲͷΑ͏ͳঢ়‫͔گ‬͸̩ల։Λߦ͑͹Θ͔Δ͜ͱ
17
18
2.4
2.5
‫਺ཹͱۃ‬
bm
b1 f (z) = m + ... + +
an z n
z
z n≥0
C: ԁ‫಺؀‬ͷ൓࣌‫ܭ‬ճΓͷด࿏
(r < |z| < R)
Ұൠʹ͸̧ఆཧ͕ͩɽ‫ۃ‬ͷ৔߹͸
−1
z dz = 0 for n = −1ɼ z dz = 2πi ͔Β௚ͪʹ
n
C
b1 =
C
1 f (z)dz ... ̧‫਺ڃ‬ͷ −1 ࣍ͷ߲ͷ܎਺ ... ཹ਺ Res
f (z)
z=z0
2πi C
b 4 b 3 b 2 b1
+ + + + a0 + a1 (z) + · · ·
z4 z3 z2
z
b4 = 0
z 4 f (z) = g(z) = b4 + b3 z + b2 z 2 + b1 z 3 + a0 z 4 + · · ·
౳߸͸ 0 < |z − z0 | < r. ӈล͸ z0 Ͱ΋ղੳత
4 Ґͷ‫ ۃ‬z0 = 0 : f (z) =
g (z) = b3 + 2b2 z + 3b1 z 2 + 4a0 z 3 + · · ·
g (z) = 2b2 + 3 × 2b1 z + 4 × 3a0 z 2 + · · ·
g (z) = 3 × 2b1 + 4 × 3 × 2a0 z + · · ·
b1 =
g (0)
3!
Ұൠʹ b1 =
... ཹ਺͕ඍ෼Ͱ‫·ٻ‬Δ
1
dm−1
g(z)
ಋؔ਺͸࿈ଓ͔ͩΒ
(m − 1)! dm−1
z=z0
⎛
⎞
1
dm−1
⎝
⎠
lim
=
g(z)
z0 Ҏ֎Ͱಉ͡Ͱ͋Δ͔Β
(m − 1)! z→z0 dz m−1
⎛
⎞
1
dm−1
m
⎝
⎠ ‫ڭ‬Պॻͷެࣜ
[(z
−
z
)
f
(z)]
lim
=
0
m−1
z→z
(m − 1)!
0
dz
m = 1: ୯७‫ ۃ‬ͷ৔߹͸ɿb1 = z→z
lim (z − z0 )f (z)
୯७‫ۃ‬ʢm = 1ʣͷ৔߹
ྫɿ z0 = 0 த৺ͰɼRes cot z = lim z
z=0
z→0
୯७‫ۃ‬ʢ ෼ࢠ cos 0 = 0,
ʣ
෼฼ sin z = zg(z), g(0) = 0: 0 ͸ sin z ͷ̍Ґͷྵ఺
z2
z2
1 − + ···
1 − + ···
1
cos z
2!
2!
=
cot z =
=
z3
z2
sin z
z
z − + ···
1 − + ···
3!
3!
1 =
1 + a1 z + a2 z 2 + · · ·
z
q(z)
. q(z0 ) = 0 Ͱɼz0 ͸ ෼฼ p(z) ͷ୯७ྵ఺ʢ̍Ґʣ
p(z)
q(z0 )
˰ z0 ͸୯७‫ Ͱۃ‬Res
... ͜Ε΋‫ڭ‬Պॻͷެࣜ
f (z) = z=z0
p (z0 )
f (z) =
q(z)
q(z0 ) + c1 (z − z0 ) + · · ·
=
p(z)
(z − z0 )(a1 + a2 (z − z0 ) + · · ·)
⎛
⎞
1 ⎜ q(z0 )
⎝
⎠
+ d1 + d2 (z − z0 ) + · · ·⎟
=
z − z0
a1
where a1 = p
(z0 )
̩ల։͢Ε͹ɼ͔ࣗͣΒ໌Β͔
p(z) = a0 + a1 (z − z0 ) + a2 (z − z0 )2 + · · · , (a0 = 0)
0)
q(z) = (z − z0 ) b0 + b1 (z − z0 ) + b2 (z − z0 )2 + · · · , (b0 =
a0 + a1 (z − z0 ) + a2 (z − z0 )2 + · · ·
p(z0 )
a0
= =
lim (z − z0 )
z→z0
(z − z0 ) (b0 + b1 (z − z0 ) + b2 (z − z0 )2 + · · ·)
b0
q (z0 )
0
m Ґͷ‫͋Ͱۃ‬Δ͜ͱ͕෼͔Ε͹্‫ه‬Λ࢖ͬͯΑ͍ɽ
19
cos z
?
sin z
20
2.6
2.7
୯७‫ۃ‬ʢ̏֯ؔ਺ͷྫ
eiz + e−iz
= 0 ˱ e2iz = −1 = e±(2n+1)πi (n = 0, 1, 2, ...)
2
π
3π
˱ z = ± 2n+1
2 π = ± 2 , ± 2 , ...
π
π
1
π 3 1
π 5
=− z−
+
z−
−
z−
+ · · · ʢશฏ໘ʣ
2
2
3!
2
5!
2
⎞
⎛
π ⎝
1
π 2 1
π 4
= z−
-1 +
z−
−
z−
+ · · ·⎠
2
3!
2
5!
2
π
1
z = ͸ cos z ͷ୯७ྵ఺ɼ
ͷ୯७‫ۃ‬ʢ෼ࢠ = 0ʣ
2
cos z
z − π/2
1
= lim
Res (cos z)−1 = −1 = lim
z=π/2
z→π/2
z→π/2
1
π 2
cos z
-1 +
z−
− ···
3!
2
cos z = − sin z −
Ґ਺Λ‫ٻ‬ΊΔஈ֊ͰɼRes
͕‫ͯ͑͘ݟ‬Δ৔߹
z=z0
q(z)
͜ͷ৔߹͸ f (z) =
, q(z0 ) = 0 ͷ৔߹ͷެࣜ
p(z)
Res
f (z) =
z=z
0
Λ࢖ͬͯ΋ྑ͍ɽ
(z − 3)2
ʹର͠‫ཱݽ‬ಛҟ఺ z = 2 ͷҐ਺
z(z − 2)5
(z − 3)2 1
(z − 3)2
(z − 3)2
1
=
.
= = 0.
z(z − 2)5
z
(z − 2)5
z
2
z=2
ྫ̍ɿ f (z) =
f (z) = (cos z)−1
cos z =
ྫʢ෼฼͕ଟ߲ࣜʣ
q(z0 )
p
(z0 )
(z − 3)3
1
= + a1 (z − 2) + +a2 (z − 2)2 + +a3 (z − 2)3 + +a4 (z − 2)4 + · · ·
z
2
a4 ͕ཉ͍͔͠Β
1
d4 (z − 3)2
b1 =
lim 4
4! z→2 dz
z
sin z
1
= sin z 5ɿ z = 0 ͸ z 5 ͷҐ਺̑ͷྵ఺
z5
z
Note: sin 0 = 0
z3 z5
z 2n+1
ʢશฏ໘ʣ
sin z = z − + + · · · = (−1)n
3! 5!
(2n + 1)!
n
z −2
z 2n−4
1
z −5 sin z = z −4 −
+ + · · · = (−1)n
(|z| > 0)
3!
5!
(2n + 1)!
n
Thus, z = 0 ͸Ґ਺̐ͷ‫Ͱۃ‬ɼb1 = 0 ·Ͱ‫ͯ͑ݟ‬Δ
ྫ̎ɿ f (z) =
1 = −1
− sin z z=π/2
cos z = cos(z − π/2 + π/2) = cos(z − π/2) cos π/2 − sin(z − π/2) sin π/2 = − sin(z − π/2)
21
f ͷ̑Ґͷ‫ۃ‬
22
2.8
ެࣜ͸͍ͭͰ΋͙͢࢖͑Δ͔ʁ
1
1
1
⎞ =
෼฼ͷ̎Ґͷྵ఺
f (z) =
= ⎛
2
z
z
z(ez − 1)
2 1+
⎝
⎠
z
+
·
·
·
z z + + ···
෼ࢠ = 0
2!
2!
so, ̎Ґͷ‫ۃ‬
b1 = lim
z→0
d 2
d z
ez − 1 − zez
(z f (z)) = lim
= lim
z
z→0 dz e − 1
z→0
dz
(ez − 1)2
ʁ
3
ཹ਺ఆཧ
୯७ด࿏̘಺෦ͷ༗‫ݸݶ‬ͷ‫ཱݽ‬ಛҟ
఺ z1 , ..., zm Λআ͍ͯ f ͸̘ͷ಺෦ͱ̘
ͷ্Ͱղੳతͱ͢Δ
֤ zj ͚ͩΛғΉʢे෼ʣখ͞ͳ୯७ด
࿏ Cj Λ C ͱಉ͡޲͖ʹͱΔ
z 2 f (z) =
1+
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
ӈล͸ z=0 Ͱղੳత
1
2
z
z
+ + ···
2! 3!
⎞
ϕΩ‫਺ڃ‬͸߲ผඍ෼Մ
m j=1 Cj
f (z)dz
ӈਤɿ ಛҟ఺͸ ̐‫͋ݸ‬Δ͕ɼ୯७ด࿏ C ͷ಺
⎟
1
⎟
⎟ = −⎛
2
⎠
z
z
1 + 2! + 3! + · · ·
⎜
⎜
͕ͨͬͯ͠ɼb1 = −
C
f (z)dz =
1
2!
+ 3!2 z + · · ·
෦ʹ͸ m = 3 ‫ݸ‬ͷ‫ཱݽ‬ಛҟ఺
⎞
2
⎟
1
⎟
⎜
⎟
2
⎝
⎠
z
z
1 + 2! + 3! + · · ·
1
2
͜ͷΑ͏ʹɼ(z − z0 )m f (z) ͷ m − 1 ࣍ͷ܎਺Λ௚઀̩‫ٻͰ਺ڃ‬Ί
ͨํ͕ૣ͍৔߹΋͋Δ
‫ཱݽ‬ಛҟ఺ zk Λத৺ͱ̧ͯ͠ల։
bm
f (z) =
+
an (z − zk )n
m
m≥0 (z − zk )
n≥0
0 < |z − zk | < rk = min |zj − zk |
zj =zk
zk ͱ࠷ۙͳಛҟ఺ zj ͱͷ‫཭ڑ‬
Ck
f (z)dz = 2πib1 = 2πiRes
f (z)
z=z
k
Αͬͯɼ
C
f (z)dz = 2πi
k=1
ಛʹ‫ۃ‬ʢओ෦͕༗‫ݶ‬ʣʹରͯ͠΋੒ཱ
‫ࢉܭ‬໰୊ͷଟ͘͸ɼ‫ʹۃ‬ର͢Δ΋ͷ
23
m
24
Res f (z)
z=zk
3.1
ྫ̍
4 − 3z
f (z) =
.
z(z − 1)
3.2
෼฼ͷ୯७ྵ఺ z = 0, 1.
෼ࢠͷྵ఺͸ z = 4/3 = 0, 1
ಛҟ఺͸શͯ୯७‫ۃ‬
Res f (z) = lim
z=0
z→0
4 − 3z
4 − 3z
= −4, Res f (z) = lim
=1
z=1
z→1
z−1
z
ྫ̎
tan z
sin z
3
= 2
C : |z| =
2
z − 1 (z − 1) cos z
2
2 cos z = eiz + e−iz = 0 ˱ e2iz = −1 = ei(π±2nπ)
z = π2 ± nπ = ± π2 , ± 3π
2 , ...
෼฼ͷੵ෼࿏಺ͷ୯७ྵ఺ C ɿ ±1 ͷΈ
ੵ෼࿏಺ͷ෼฼ͷྵ఺Ͱɼ ෼ࢠ͸ = 0
୯७‫ ۃ‬
f (z) =
C1
C2
C4
f (z)dz = 2πi(−4 + 1) = −6πi,
f (z)dz = −8πi,
C3
f (z)dz = 2πi,
C
f (z)dz = 2πi Res f (z) + Res f (z)
z=1
lim
z→1
f (z)dz = 0
C
25
tan 1
tan z
=
,
z+1
2
z=−1
lim
z→−1
f (z)dz = 2πi tan 1
26
tan(−1)
tan z
=
,
z−1
−2
3.3
ཹ਺ఆཧྫ (ਅੑಛҟ఺Λ‫ؚ‬Ή৔߹)
zeπz
+ zeπ/z dz Λ‫ٻ‬ΊΑ, where
C z 4 − 16
2
y
=1
C : z = cos θ + 3i sin θ i.e. x2 +
3
zeπz
f1 (z) =
(z − 2)(z + 2)(z − 2i)(z + 2i)
୯७‫ ۃ‬± 2i (̘ͷ಺ଆ) , ±2 (̘ͷ֎ଆ)
f2 (z) = zeπ/z ∗ ਅੑಛҟ఺ 0
C
(f1 (z) + f2 (z)) dz =
C
f1 (z)dz +
C
f2 (z)dz
2ie2πi
zeπz
2i
1
=
=−
=−
(z − 2)(z + 2)(z + 2i) 2i (2i − 2)(2i + 2)4i
32i
16
(∗1)
−2ie−2πi
−2i
1
zeπz
=
=
=−
(z − 2)(z + 2)(z − 2i) −2i (−2i − 2)(−2i + 2)(−4i) (−8)(−4i)
16
(*1): Res
f (z) = z→z
lim (z − z1 )f (z) ... z1 ͕୯७‫ۃ‬ͷ৔߹
z=z
1
1
͜ͷ৔߹ɼίʔγʔͷੵ෼ެࣜͱಉ͡ɿ
1 zeπz
1
g(2i) =
g(z) = 2
dz
2πi C z − 2i
(z − 4)(z + 2i))
‫͍ͳͰۃ‬ಛҟ఺ͷճΓͷੵ෼͸ɼఆٛʹ໭ͬͯ‫ࢉܭ‬
⎛
⎞
πn
zn
πn
⎠=
, zeπ/z = z ⎝
n
n−1
n≥0 n!z
n≥0 n!
n≥0 n!z
n − 1 = 1 ˱ n = 2. b1 = Res zeπ/z = π 2 /2.
z=0
⎛
⎞
zeπz
1 π2 ⎠
π/z
⎝
So,
dz = 2πi − +
+ ze
c z 4 − 16
8
2
ez =
ਅੑಛҟ఺ͷपΓͷੵ෼Ͱ΋؆୯ʹ‫·ٻ‬Δ৔߹
ਅੑಛҟ఺ɿ ओཁ෦͕ແ‫ݶ‬ɻఆ͔ٛΒ‫Ͱۃ‬͸ͳ͍
(*): z m f2 (z) = z m+1 eπ/z ͸Ͳ͏ߟ͑ͯ΋ʢͲΜͳ m ʹରͯ͠΋ʣ
z = 0 ͰղੳతͰͳ͍
27

ྂ ྂ ᡦሪ - Zensoku.jp

都市の集積ɾ分散モデルの対称性破壊分岐: 群論的分岐理論 - J