プランク輻射と電子の正規分布を結ぶ式 ｈν＝ｍｃ２（γ－１） はじめに 光子の分布を示すプランク放射のグラフは横に無限に延び、量子力学に矛盾をもたらし たが朝永の繰り込み理論はそれを救った。 ところで、光子エネルギーを電子１個が放出するエネルギーと仮定してプランク輻射の グラフを横軸電子速度に置き換えてみると、綺麗な正規分布曲線になる。これは２００５ 年物理学会 コンプトン振動をもつ真空中の定常波＝時間波＝ ※で発表した内容の一部で あるが、パソコンでの描きようによっては他の形も表れ正確性に欠けていた。今回これを 別の数値で描きなおして見たところ、ほぼ正確に描けたので報告する。 これが正しければ、光子という概念、そのエネルギーは電子の振動エネルギーに帰着す ることになり、繰り込み理論等を用いることもなく、整合性をもって量子理論の構築が可 能になる。 なお個々に関わる計算は極端に０に近い部分であり、単純に微分計算を用いることは出 来ない。工夫はしてみたが今回結果は得られていない。従ってここでは近似的に外挿法で その正しさの論拠のいくつかを上げることに留まっている。 １．プランク輻射横軸振動数を、電子速度で書き換える。 ｈν＝ｍｃ２（γ－１） 光子エネルギー＝電子エネルギー の式を用いて黒体輻射の プランクの公式を、その原因と考えられる電子の速度軸に並び替えればきれいな正規分布 曲線となるこれは１個の光子エネルギーは、光を発生する１個の電子エネルギーに置き換 えられることを示す。黒体輻射は速度軸に正規分布した電子群が生み出す、光の束である と考えることができる。 ８πｈν３ Ｕｄν＝───── ｃ３ Ｕ ８πｈν３ ＝───── ｃ３ １ ───────ｄν ｈｖ － ｅ ｋＴ －１ １ ─────── ｈｖ － ｋＴ ｅ －１ ν３ ───────・・・・・・・・・・・① ｓｖ ─ ｅ Ｔ －１ ＝ｆ ８πｈ ８×３．１４２×６．６３×１０－３４ －５８ ｆ＝─────＝──────────────────＝６．１７×１０ ３ ｃ （３×１０８）３ ｈ ｓ＝───＝６．６３×１０－３４／（１．３８×１０－２３）＝４．８０×１０－１１ ｋ である。この光の振動数を電子速度に置き換えることを考えるとと ｈν＝ｍｃ２（γ－１） より ν＝Ｂ（γ－１） 微分して ｈｄν＝ｍｃ２γ３βｄβ （何故なら ８πｈＢ３ （γ－１）３ Ｕｄν＝─────────── ｃ３ ｄν＝Ｂγ３βｄβ） Ｂγ３βｄβ ───────── ｈＢ（γ－１） －－－ ｋＴ ｅ －１ ８πｈＢ４γ３（γ－１）３β Ｕｄν＝──────────────ｄβ ｈＢ（γ－１） －－－ ｃ３（ｅ ｋＴ －１） -1- ８πｈＢ４γ３（γ－１）３β γ３（γ－１）３β Ｕ＝──────────────＝ａ────────── ｈＢ（γ－１） ｂ（γ－１） －－－ －－－ Ｔ ｃ３（ｅ ｋＴ －１） ｅ －１ ・・・・・・・・② ここで ａ＝８πｈＢ４／ｃ３ ＝８×３．１４×６．６３×１０－３４×（１．２３×１０２０）４／（３．０ ×１０８）３ ＝１．４１×１０２３ ｂ＝ｈＢ／ｋ＝６．６３×１０－３４×１．２３×１０２０／（１．３８×１０－２３ ） ＝５．９１×１０９ 定数値が大きすぎるので、それぞれを適当に与えてＶ．Ｂ．で描かせた図とプログラムを 掲載する a = 3: s = 500: b = 1: ss = 0.000005: aa = 0.0000000046 px = 100: py = 600: pxx = 450 Line (px, py)-(px, py - 500)：Line (pxx, py)-(pxx, py - 500) For t = 0.4 To 1.2 Step 0.1 f1 = 0: f2 = 0 For i = 1 To 7500 v = i / 10000: af = Sqr(1 - v ^ 2): gm = 1 / af w = i * 300 j = a * s ^ 4 * gm ^ 3 * (gm - 1) ^ 3 * v / (Exp(b * s * (gm - 1) / t) - 1) k = aa * ss * w ^ 3 / (Exp(b * ss / t * w) - 1) x = px + i / 10: xx = pxx + i / 8: y = py - j: yy = py - k If ij >= j And f1 = 0 Then Line (x, y)-(x, py): f1 = 1 'If ik >= k And f2 = 0 Then Line (xx, yy)-(xx, py), RGB(255, 0, 0): f2 = 1 If k >= ik Then n = k: vx = xx PSet (x, y): PSet (xx, yy), RGB(255, 0, 0) ij = j: ik = k Next i Line (vx, py)-(vx, py - n), RGB(255, 0, 0) Next t -2- ＜参考＞ 概算による検証 １．ｈν＝ｍｃ２（γ－１）の式の確かさ プランク定数 ６．６３×１０－３４ 電子質量(＝陽子質量／１８４０)＝１．６７／１８４０×１０－２７ ＝９．０８×１０ －３１ ８ 光速 ３．０ ×１０ －２３ ボルツマン定数 １．３８×１０ ｈν＝ｍｃ２（γ－１）より ν＝Ｂ（γ－１） 定数Ｂは、電子の場合 ｍｃ２ １．６７×１０－２７ ×（３．０ ×１０８）２ ２０ Ｂ＝ ───＝──────────────────────＝１．２３×１０ ｈ ６．６３×１０－３４ ×１８４０ 電子の基底状態の速度は したがって ｖ＝ｃ／１３７＝０．００７３ｃ γ＝１／√１－０．００７３２ ＝１．００００２６６ ν＝Ｂ（γ－１）＝１．２３×１０２０×２．６６×１０－５＝３．２６×１０１５ λ＝ｃ／ν＝３．０×１０８／ ３．２６×１０１５＝９．２×１０－８≒１×１０－７ｍ これは紫外線の波長程度であり、関係式としては十分に成立する範囲にある。 ２．ボーアモデルとの関係 右 票に ボー アモデ ルと の 関係を示すが、近似として 成立している。 ３．プランク輻射の式と、ウィーンの法則との関係 原理的には、エネルギーを振動数で微分し、イコール０を解けば最大振動数と最大エネ ルギーが求められはずであるが、その値が０に限りなく近いために１次の微分ではどうし てもν＝０となる。自然対数だけを２次で試したがこれも成立しない。ウィーンの法則は 求めがたい ①式の微分 Ｕ ８πｈν３ ＝───── ｃ３ １ ─────── ｈｖ － ｅ ｋＴ －１ ｄＵ ３ν２ ──＝ｆ（ ───────ｓｖ － ｄν ｅ Ｔ －１ － ν３ ＝ｆ ────── ｓｖ ─ ｅ Ｔ －１ ｓｖ － ｓν３ｅ Ｔ ───────-─-） ｓｖ － Ｔ（ｅ Ｔ －１）２ -3- ｓν ｓν ─ ｓ ─ ν２（３ｅ Ｔ －３ －─νｅ Ｔ ） Ｔ ＝ｆ（ ───────-───────-─-）＝ ｓｖ － （ｅ Ｔ －１）２ ｅ ｓν Ｔ ─ ｓ （３－─ν）＝３ Ｔ ｓν／Ｔ＜＜１ または ０ ν＝０ のとき ｓ ｓ２ ｓ （１＋─ν＋──２ν２）（３－─ν）＝３ Ｔ ２Ｔ Ｔ これをとくと ν≒０ ４．電子による輻射式の微分 ②式の微分 ８πｈＢ４γ３（γ－１）３β γ３（γ－１）３β Ｕ＝──────────────＝ａ────────── ｈＢ（γ－１） ｂ（γ－１） －－－ －－－ Ｔ ｃ３（ｅ ｋＴ －１） ｅ －１ ｂ（γ－１） －－－ ｄＵ 3 γ５(γ-１)３β２+3 γ６(γ-１)２β２+γ３(γ-１)３ ｂ(γ６（γ-１）３β２)ｅ Ｔ ──＝ａ（────────────────── － ─────────────） ｂ（γ－１） ｂ（γ－１） ｄβ －－－ －－－ Ｔ Ｔ ｅ －１ Ｔ (ｅ －１)２ ─-─ ─-─ 3 γ５(γ-１)３ ((６γ３-３γ２-５γ+２)(ｅ Ｔ －１)Ｔ－ｂ(γ (γ-１)β２))ｅ Ｔ ＝ａ（─────────────────────────────────） ｂ（γ－１) －－－ Ｔ Ｔ (ｅ －１ )２ b(γ－１） b(γ－１） ─-─ 3 γ５(γ-１)３ ((６γ２+３γ２-２)(ｅ Ｔ －１)Ｔ－ｂ(γ β２)) ＝ａ（──────────────────────────） ｂ（γ－１) －－－ Ｔ Ｔ (ｅ －１ )２ b(γ－１） ｄＵ ── ── 3 ──＝０＝(６γ２+３γ-２)(ｅ Ｔ －１)Ｔ－ｂ(γ β２)ｅ Ｔ ｄβ b(γ－１） ── 3 （(６γ２+３γ-２)Ｔ－ｂ(γ β２)）ｅ Ｔ ＝(６γ２+３γ-２)Ｔ b(γ－１） b(γ－１） 解析計算では解けないので、次のプログラムで○から×への変化を地道に追うと t = 5500：b# = 5.91 * 10 ^ 9 For i = 2.508541185831 * 10 ^ 9 To 2.508541185831 * 10 ^ 9 Line (100, 50)-(300, 150), RGB(255, 255, 255), BF j# = i / 10 ^ 12：gm# = 1 / Sqr(1 - j# ^ 2)：Print gm# k# = Exp(b# * (gm# - 1) / t)：d# = 6 * gm# ^ 2 + 3 * gm# - 2：g# = gm# ^ 3 * j# ^ 2 h# = d# * t / (d# * t - b# * g#)：x = 50 + i PSet (100, 50): Print j#：PSet (100, 70): Print k#：PSet (100, 90): Print h# If k# > h# Then PSet (100, 110): Print "○" Else PSet (100, 110): Print "×" Next i 結果 Ｊ＃＝０．００２５０８５４１１８５８３１ ｋ＃＝２９．３９８８１６７８７７５１４ ｈ＃＝２９．３９８８１６７８７２４３９ ○ 以下同様に、Ｔ＝１５００～５５００を１０００Ｋ毎に行った結果を下の表に示す。 -4- 表の左から３列目は有効数字５桁までが８．７４０１と一致し６桁目もほぼ等しい。従 ってほぼ定数と考えてよく、古典的熱力学（絶対温度はニュートン力学の運動エネルギー に比例）が成立する。ただしその定数が現在の実験値と一致するか否かは確認していない。 また右端は、β（βｍａｘ）から逆算した振動数νを用いて、λ＝ｃ／νから計算した波 長λと絶対温度Ｔを掛けた値である。その値は、４．２５４５と有効数字５桁までが一致 し、６桁目もほぼ等しい。これはλｍａｘＴ＝一定というウィーンの法則を支持する。 ただしここで求めたλはλｍａｘとは異なる。これはプランク輻射の式で、νの最大値νｍａｘ と、λの最大値λｍａｘの積が光速ｃにはならないことからも解る。それぞれ横軸にβ、ν、 λを取ったとき、エネルギーＵの最大値を示すβ ｍａｘとν ｍａｘとλ ｍａｘは全て別物である。 ウィーンの法則の現在の定数値は２．８９７８×１０－３であり、桁数においては表のＴ λと一致している。 ※ 近似式は成り立たないが２次の項をのこして概算してみると桁数で大きな差は出ない ｂ（γ－１）／Ｔが十分に小さいとして、 ｂ（γ－１） β２)）（１＋────── ）＝(６γ２+３γ-２)Ｔ Ｔ ｂ２ 3 3 (６γ２+３γ-２)Ｔ－ｂ(γ β２)＋ｂ(６γ２+３γ-２)(γ－１)－──γ (γ－１)β２ Ｔ ＝(６γ２+３γ-２)Ｔ ｂ２ 3 －ｂγ（γ２－１)＋ｂ(６γ２+３γ-２)(γ－１)－──γ (γ－１)β２ ＝０ Ｔ （(６γ２+３γ-２)Ｔ－ｂ(γ 3 ここにはたまたま二次の項が残り、これを整理して一次と二次の関係で解くと （６γ２+３γ-２－γ（γ＋１））Ｔ＝ｂγ３β２ （５γ２＋２γ－２）Ｔ＝ｂγ（γ２－１） γ（γ２－１） Ｔ＝ｂ───────── ５γ２＋２γ－２ したがってγ→１（β→０）のとき Ｔ≒ｂβ２／５ これは温度が低いときの粒子速度と絶対温度の関係を見事に表している。またその数 値の概算を求めると Ｔ＝（ｂ／５）β２ ＝（（５．９１／５）×１０９ ）β２ ＝（１．１８×１０９ ）β２ β２＝２（γ－１）＝２（ｈν／ｍｃ２）＝２（ｈ／ｍｃ）／λ ＝２（ｈ／ｍｃ）λ＝２×６．６３×１０－３４／９．０８×１０－３１／３×１０８ β２＝４．９×１０－１２／λ すると最大エネルギー波長 λ＝５×１０－７ で絶対温度は ９ Ｔ＝（５．９１×１０ ／ ５）（４．９×１０－１２）／（５×１０－７） ＝１１５８２Ｋ＝２×５７９１ 現実の観測では 最大エネルギー波長 Ｋ λ＝５×１０－７ で Ｔ＝５５００ Ｋ であるから、この理論から得られる数値は、観測値のほぼ２倍となる。 計算では、たまたま二次の項が残っただけで、期待はできないが、およその桁数は 一致する。。 -5- 参考文献： ケプラー運動は相対性理論を支配する 文芸社 山本文隆 ２０００ ケプラー型ニュートン力学 文芸社 山本文隆 ２００５ 真空中の時間波＝コンプトン振動＝（Microsoft PowerPoint） www.geocities.jp/fumitaka125/zikanha.ppt 25pYG-16 中心極限定理とγをもとにみた黒体輻射 A ２００５物理学会予稿 B 長崎県立有馬商業高校 、東京都産業技術研究所 、山本文隆 A、伴 唸りとしての光、振動数に比例するエネルギー、比例定数はプランク定数 ＝光速エーテルの仮定・光電効果やコンプトン効果は波の共鳴的現象＝ 山本文隆 長崎県立小浜高校 www.geocities.jp/fumitaka125/enesindo.pdf -6- 公伸 B
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