数学教育における視覚化を用いた試み

（10）工学教育・システムの個性化・活性化 -Ⅰ
講演番号：1C10
数学教育における視覚化を用いた試み
－フーリエ級数の視覚化による数式の理解度向上－
([SHULPHQWVXVLQJ9LVXDOL]DWLRQRQ0DWKHPDWLFV(GXFDWLRQ
,QFUHDVLQJWKHGHSWKRIXQGHUVWDQGLQJXVLQJ9LVXDOL]DWLRQIRU)RXULHU6HULHV
○堤厚博※１太田和彦※
$WVXKLUR7687680,.D]XKLNR2KWD
キーワード：数学教育，フーリエ級数，([FHO，0$7/$%視覚化
.H\ZRUGV0DWKHPDWLFV(GXFDWLRQ)RXULHU6HULHV([FHO0$7/$%9LVXDOL]DWLRQ
金沢工業大学では、数学の初年次生の授業に三角関数、
はじめに
近年、工学系大学でも理数科目がしっかり身につい
ていない入学生も少なからず見られるようになったが、
このような理数基礎が身に付いていない学生に対し、
なるべく数理科目に興味を待たせるべく、金沢工業大
学では数学の授業において数学がどのように科学や技
術において使われているかを示し、学生の学習意欲を
高める教育が行われている。しかしながら、数学が数
式や証明を論述せずに授業を展開することが困難な科
目であるが故に、学生の理解を妨げているのも事実で
ある。
学生が数学に対して興味を持ちそれに誘発されるよ
うな形で自主的に考える授業が進められれば、それが
理想的な授業となろうが、現実には難しいものと思わ
れる。数学の重要な数式や証明そのものを教えるべき
本質を崩さずになるべくわかりやすく伝えられれば、
学生の理解を助けるとともに、学習意欲向上にも繋が
るものと考えられる。これに関連してこれまでにパソ
コンや Excel を用いてそのような試みの報告が幾つか
なされている，。
そこで、公式や証明、そのものが視覚的に表示可能
な数学的な内容を持つならば、それを用いて興味を引
かせる授業を行うことで学生の理解や学習意欲に貢献
するものと考えられる。一昨年はこれらに関して、ネ
ピア数や sinx/x の極限の視覚化について学生のアンケ
ート結果を報告し、昨年度はべき級数やフーリエ級数
に計算ソフト Excel を用いて視覚化を行った授業につ
いて報告）したが、本年度は、フーリエ級数に Excel
だけでなく、MATLAB を用いて視覚化を行った際の学
生の理解度等についてのアンケート結果について報告
する。
.
([FHO を用いた授業内容
※
金沢工業大学基礎教育部
※
金沢工業大学工学部ロボティクッス学科
公益社団法人日本工学教育協会　平成 28 年度
工学教育研究講演会講演論文集
対数関数、高次関数等について学生の理解を深めるた
めに、([FHO を用いて具体的な数値をこれらの関数に
入れて表示させ数式を視覚化する授業を行っている。
また、興味のある学生を対象に春期特別講座として、
フーリエ級数・解析を開講している。この講座では、
前回は周期関数をフーリエ級数に展開する際、足し合
わせる項の総数を増加させることにより元の周期関数
に近づいて行く様子について、各計算結果を重畳した
グラフにより視覚的に比較したが、今回は重畳したグ
ラフを次元化し、変化の様子をさらに視覚的・直観
的に表すことにより学生の理解度を向上させることが
出来るかについて調査を実施した。
. 数式の視覚化
今回用いた数式の例は周期 πの関数
1
f (x )
(
0 (x
1
(0
x 0)
, 0, )
x
)
のフーリエ級数展開である。上の数式が級数に展開で
きることは、直感的には分かりにくい。そこで、
f (x ) のフーリエ級数は
4
1
1
f (x )
sin x
sin 3x
sin 5x
3
5
と展開できることから、近似式の項の数を変化させて
元の数式にどの程度近づいて行くのかを学生に体験さ
せることにした。
. ([FHO や 0$7/$% を用いたグラフ化
学生自身のパソコン上で Excel 及び MATLAB を稼
働させ上記の計算を行わせた例をここでは示す。グラ
フ作成に当たっては、－6.28(rad)から 6.32(rad)まで
0.2(rad)刻みで７項まで足し合わせて計算した近似結
果を図 1 に示す。この事例から学生はフーリエ級数に
― 52 ―
. アンケート結果及び考察
展開した近似式の次数を上げていけば行くほど項数
を増やせば増やすほど真値に近づくことが実感でき
たようである。さらに今回は項数が増えればどのよう
に変わっていくかを把握するため項まで足した場
合の結果について図に示す。
この Excel 及び MATLAB を用いた計算結果につい
て、学生がどのように考えているかについて学生アン
ケートを実施した。その結果の一部を下に示す。主な
質問は、
「Excel や MATALB で任意の周期関数がフ
ーリエ級数で表されることが理解できたか。」質問は、
「Excel や MATALB でどちらが分かり易いか」質問は、
「Excel や MATALB を使うことで勉学の理解が進
むか」について段階方式で、を非常に悪い、を最
も良い評価としたものである。質問についての評価
を図に示すが 4 と 5 の評価が多く、学生からの評判
はよい。また、主な学生の感想を表１に示す。
1.5
1
0.5
10
0
8
6
-0.5
真値
4
図 1 フーリエ級数近似曲線(7 項近似)
近似値 1.5
1
-0.5
0
-1.5
0.5
0
2
-1
1
2
3
4
5
図 4 質問 3 に対する学生の評価結果
表１学生の主たる感想
-1
-1.5
図 2 フーリエ級数近似曲線(51 項近似)
１．周期関数がフーリエ級数により表現できるこ
とに対して理解しやすかった
２．フーリエ項の総数の変化に伴う計算過程がリ
アルタイムで把握でき、理解が深められた
３．数式のイメージ化が容易となった㻌
おわりに
今後も Excel や MATLAB に限らず、視覚化できる
ツール(ソフトやハードも含めて)を用いて、数学の視
覚化に努め学生の理解度向上と学習意欲の向上に努め
ていきたい。また、これによる理解度向上が成績にど
のように反映されるかについてもさらに検討してゆき
たい。
参考文献
西誠，“パソコンを利用した演習の導入による数理科
目の理解度向上の試み”，日本リメディアル教育学会第回
全国大会発表予稿集，，SS
堤厚博，“数学教育における視覚化を用いた試み初年
図フーリエ級数近似曲線(1 項～30 項近似)
図は、足し合わせ項の総数を変えて得られるフーリ
エ級数の各計算結果を次元的に重畳し比較したもの
である。これらのグラフにより学生は近似式が本来の
数式のグラフに近づくことを実感できたようである。
次生を対象とした視覚化による数式の理解度向上その ”，
工学教育研究講演論文集 SS
堤厚博，“数学教育における視覚化を用いた試み初年
次生を対象とした視覚化による数式の理解度向上その ”，
工学教育研究講演論文集 SS
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