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基礎物理数学第５回
偏微分ーポテンシャルと力ー
前回課題の復習（問題２．１２）
２変数の陰関数
x, y に f ( x, y)  0 の関係があるとき、
局所的には y は x の関数と考えられることが多い。
関数
y   (x)
が、
f ( x,  ( x))  0
を満たすとき、y   (x) を f ( x, y)  0 で定義された
陰関数（implicit function）という。
特定の関係式に縛られる複数の変数の間に成り立つ関係を1
関数と見たもののことである。
陰関数について
f x ( x,  ( x))
 ( x)  
f y( x,  ( x))
すなわち
f x ( x, y )
dy

dx
f y( x, y )
が成り立つ。
2
接線の方程式（陰関数）
f ( x, y)  0 上の点 (a,b) における接線の方程式は、
f x ( a, b)
y b  
( x  a)
f y(a, b)
と表わされる。
3
１変数関数の極大・極小
1変数関数 y  f  x  の場合、
極大、極小を与える点
y  f  x
x において、
dy
0
dx
が成り立つが、これは必要条件では
あるが十分条件でない。
図 5-1
その判定には２階微分
f   x   d 2 y dx 2
x
１変数関数の極値候補
が点 x において、
f   x   0
f   x   0
f   x   0
ならば極小値、
ならば極大値、
ならば変曲点となる。
4
２．３
２変数関数の極大・極小
２変数関数 z  f  x, y  の場合、
極大、極小を与える点 ( x, y ) において、
f ( x, y ) f ( x, y )

0
x
y
(2.19)
(2.20)
が成り立つが、これは必要条件では
あるが十分条件でない。
その判定には極値を与える点 (a, b)
において、下記の
(a, b)
z  f  x, y 
y
x
図 5-2
２変数関数、グラフと極値点
の値で分類される。
(a, b)  f xx (a, b) f yy (a, b)  { f xy (a, b)}
2
5
（１）   a,b   0
ならば
f  x, y  は  a,b  において極値を持ち、さらに
f xx  a,b   0
f xx  a,b   0
ならば極小値、
ならば極大値である。
（２）   a,b   0
ならば極値を持たない。
（３）   a,b   0
ならば判定不能。
6
Lagrange の未定係数法
g  x, y   0 という拘束条件の下で、２変数数値関数 f  x, y  が、
極大値ないし極小値をとる点
 x, y 
の満たす条件を求める方法。
Lagrange の未定係数法（極値を与える必要条件）とは、
点
 x, y 
において、

を定数として、
f
g

0
x
x
f
g

0
y
y





(2.21)
(2.22)
の両式が成立する、というものである。
7


[例] 山の斜面が z  4  x 2  y 2 で与えられ、その斜面に
x  y 1
に沿う道がある。この道の最高点を求める。
2
2
z

4

x

y
山の形状


は、
z  f ( x, y )  4  ( x  y )
2
2
4
(1) z=一定の等高線は、xy平面内で同心円
(2) z軸を含む平面内で放物線
を表わす。拘束条件がなければ、
f
f
 2 x  0 ,
 2 y  0
x
y
であるから、点(x,y)=(0,0)で極値を与え、
f  0, 0   4
である。
x  y 1
y
2
( x ,2y )  ?
x 2
図 5-3
拘束条件下での極値は？
8
（高校までのやり方）
拘束条件
g  x, y   x  y  1  0 から y   x  1 を
f  x, y  に代入して、


z   h  x    f  x,  x  1  4  x    x  1  2x  2x  3
h  x  
2
2
2
dh
1
1
1
1 1
 4 x  2  0 , x  , y    1  ,   a,b    , 
dx
2
2
2
 2 2
また、
h( x)  4  0 であるから、
1 1
 a,b    , 
 2 2
は極大点であり、極大値は、
1 1
 1 1 7
f  ,   4 2  2  
2 2
2 2  2
である。
9
Lagrange の未定係数法
f
g


 2 x   1  0 
1
x
x
 x  y  2x 1  0 , x  y  ,   1
2
f
g


 2 y   1  0 
y
y
1 1
 1 1 7

 f  ,   4 2  2  

2 2
2 2  2
g  x, y   x  y  1  0


10
Lagrange未定係数法の別表記
被評価関数
f  x, y 
及び拘束条件関数
g  x, y 
で３変数の新たな関数、
F  x, y,   f  x, y    g  x, y 
を作る。この関数について、拘束条件なしで点
 x, y, 
の極値候補点となるための必要条件の組は、
 F  x, y,   



x

 0
 F  x, y,     
 F 0 
  0
y

 0
 F  x, y,     





である。
11
すなわち、
F 
f
g
  f  x, y    g  x, y  

0
x x
x
x
F 
f
g
  f  x, y    g  x, y  

0
y y
y
y
F


f  x, y    g  x, y   g  x, y   0

 
12
《３変数関数に1個の拘束条件のある場合》
３変数の数値関数
１個の拘束条件
f  f ( x, y, z)
g  g ( x, y, z)  0
 f 
 g 
 
 

x

x
 
 
 f 
 g 
 f   g or      
y
y
 
 
 f 
 g 
 
 
 z 
 z 
（ただし、→-としている）
13
《３変数関数に２個の拘束条件のある場合》
f  f ( x, y, z)
３変数の数値関数
拘束条件
{
g1  g1 ( x, y, z )  0
g 2  g 2 ( x, y , z )  0
 f 
 g1 
 g 2 
 





x

x

x
 




 f 
 g1 
 g 2 
 f  1 g1  2 g 2     1 


2

y
y
y 
 




 f 
 g1 
 g 2 
 




 z 
 z 
 z 
14
《 Lagrange の未定係数法の一般表現》
n 次元空間の点
被評価関数
 x1 
 
x   
x 
 n
において
z  f  x   f  x1 ,
,xn 
m 個の拘束条件
 g1  x1 , ,xn  
0


 
G  x  
0  
0
 g  x , ,x  
n 
 
 m 1
15
極値をとるための必要条件は、集合
1 , ,m 
 f  x1 , ,xn  
 g1  x1 , ,xn  




x1
x1





  1 





 f  x1 , ,xn  
 g1  x1 , ,xn  





x

x
n
n




を用いて、
 g m  x1 , ,xn  


x1



 m 


 g m  x1 , ,xn  



x
n


が成立することである。
16
テキスト 26,27ページ
17
18
２章の課題(テキスト問題)と関連分野
2.9, 2.11
2.9, 2.10
力学
量子力学、熱と波動．．
（２年前期～）
2.4, 2.5, 2.6, 2.13, 2.15, 2.19, 2.20
熱力学、統計力学．．（１年後期～）
19

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