確率モデルと標本分布

サンプルごとに、どのくらい標本統計量は変動するのだろう？
（標本統計量が特定のサンプルに依存する程度はどのくらいか？）
しかし、実際サンプルを取り直して標本統計量の値の変化を
調べることはふつうできない
確率モデルと標本分布
そこで理論的方法として
確率モデルの考え方を導入する
(比率の導出)
母集団は一種のデータ発生装置。ある確率である値が出てく
る。
「母集団からのサンプリングによって、サンプルを構成しうる1個
1個のデータ値がどういう確率で得られるのか」
慶應義塾大学非常勤講師
八賀洋介
確率変数 (random variable)：確率的に変動する変数
確率分布 (probability distribution)：確率変数がどういう確率で
どういう値をとるかを示す分布
41
42
統計的推測では、サンプルを構成する1個1個のデータを確率
変数の実現値とみなす。
推測に関わる分布
標本分布
データの度数
母集団分布
（母集団の度数分布）
確率
• サンプルデータから計算される平均や相関係数など
関心のある「標本統計量がどういう確率でどういう値
をとるか」をあらわす分布は、その統計量の標本分
布 (sampling distribution) と呼ぶ。
• 数理統計学者：ある確率モデルからどういう標本分
布を数学的に導出することができるかを調べる
• 統計学ユーザー：導出よりも、出発点となる確率モ
デルを正しく理解し、導出結果の公式を必要に応じ
て正しく適用することができるように学ぶ
43
標本の度数分布
44
比率という最も簡単な統計量につ
いて標本分布を導出してみる。
母集団分布と確率モデル
比率
1
比率問題の2値変数xの
母集団分布 πは未知
π
0.5
確率
変数の特定
• 小学校で習う分数の計算問題を、中学1年生のうち
どれぐらいの比率（何人中何人）の生徒が正しく解く
ことができるか？
• 正答と誤答の２値変数（x=１ or 0） N人のサンプルで
x=1の比率を求め、母集団比率を推測する。
標本分布
（無作為抽出を繰り返して
標本統計量の分布を作成した
場合の理論分布）
データの度数
標本統計量の確率
標本分布は、確率的に変動する統計量（平均など）が、ど
ういう確率でどういう値をとるかを示す確率分布。これは、
特定の標本におけるデータの度数布とは違うので注意す
ること。
確率分布
（母集団から無作為抽出
した時に、値がどの値をとるかを
確率で表したもの）
1－π
1
比率問題nにおける確率モデル
（成功確率πのベルヌイ分布）
π
0
0
1
x
0.5
1－π
0
0
45
1
x
46
N人分のデータから計算される比率pは、どういう確率
でどういう値をとるか？
p= .2 の確率
p= .6 の確率
p= .4 の確率
p= .8 の確率
Pr ob( p = .6) = 5 C3π 3 (1 − π ) 2
Pr ob( p = .2) = 5π (1 − π ) 4
N=5の場合、比率pの取りうる値は
p＝0, .2, .4, .6, .8, 1
Pr ob( p = .4) = 5 C2π 2 (1 − π )3
Pr ob( p = .8) = 5 C4π 4 (1 − π )
組み合わせの計算式例
p=1となる確率は
Pr ob( p = 1) = Pr ob( x1 = 1) Pr ob( x2 = 1) ・・・　Pr ob( x5 = 1)
5!
2!(5 − 2)!
5・4・3・2・1
=
= 10
2・・
1 3・2・1
5
ここでの計算式には比率pは直接出てこない。代わりに
正答者数ｗが出てくる。 p と w の関係は次のようになる。
=π5
p = w/ N
w = Np
p=0 の確率は
Pr ob( p = 0) = Pr ob( x1 = 0) Pr ob( x2 = 0) ・・・　Pr ob( x5 = 0)
Excel 関数 COMBIN
この正答者数 w が任意の値を取る確率を、w の関数として表現すると、
f ( w) = N Cwπ w (1 − π ) N − w =
= (1 − π )5
＊注意＊ランダムサンプリングによって、データの独立性が保証され
ていることが前提。この仮定の下では複数の事象が共に起こる確率は、
各事象が起こる確率の積となる。
48
確率
正答者数ｗおよび比率pの標本分布
（試行数N=5、成功確率π=.6の2項分布）
0.4
f (1) = 5×.6×.4 4 = .0768
0.3
f (2) = 10×.6 2 ×.43 = .2304
0.2
f (3) = 10×.63 ×.4 2 = .3456
0.1
0
0
1
.2
2
.4
3
.6
4
.8
5
1
w
p
f (5) = .65 = .07776
∑
∑
∑
前ページの一般式で表現される確率分布を二項分布 (binomial distribution) と呼ぶ。
「成功確率πの試行を独立にN回繰り返したときの成功数ｗの確率を与える分布」
（N=1の場合は、ベルヌーイ分布 (Bernoulli distribution) と呼ぶ）
49
二項分布の確率を表わす式
f ( w) = N C wπ w (1 − π ) N − w =
m
µ = ∑ xk f ( xk )
確率分布の平均
度数の平均値
変数ｘがとりうる値（ｘ１、ｘ２、・・・、ｘｍ）、それぞれの値の度数をf（xk）（k=1，2、・・・、m）とすると
成功数ｗ度数 f(w) w × f(w)
0
1
0
1 m
1
8
8
x=
xk f ( xk )
2
23
46
N k =1
3
35
105
m
4
26
104
ただし、ここでは、N = k =1 f ( xk )
5
8
40
Σ
101
303
確率分布でも、確率変数ｘがとりうる値（ｘ１、ｘ２、・・・、ｘｍ）、
ｘ
3
それぞれの値のとる確率をf（xk）（k=1，2、・・・、m）とする
と
m
w×
成功数ｗ prob (w)
µ = xk f ( xk )
prob (w)
0
0.01024 0
k =1
1
0.0768
0.0768
m
0.2304
0.4608
2
N = k =1 f ( xk ) = 1
3
0.3456
1.0368
0.2592
1.0368
4
確率変数の分布の平均は期待値 (expected value) と呼
5
0.07776 0.3888
ばれ、E(x) と表記される。
Σ
1
3
50
μ
3
∑
0
f (4) = 5×.6 4 ×.4 = .2592
N!
π w (1 − π ) N − w
w !( N − w)!
47
N=5で、母集団比率がπ=0.6だったとすると、サンプルにおける正答者数が0，1，2，3，4，5の
各値をとる確率 (＝比率が0, .2, .4, .6, .8, 1をとる確率）は、
f (0) = .45 = .01024
C2 =
N!
π w (1 − π ) N − w
w !( N − w)!
代入する
比率の標本分布の平均
k =1
二項分布の場合の
確率分布の
平均値の導出過程
m
µ w = ∑ w・
k f ( wk )
x ' = cx + d
k =1
µp =
N
N!
= ∑ w・
π w (1 − π ) N − w
w !( N − w)!
w=0
N
N!
=∑
π w (1 − π ) N − w
w =1 ( w − 1)!( N − w)!
µw
N
=π
ここで、w’ = w – 1 とおいて、Nπを前に出す
N −1
µw = Nπ ∑
w '= 0
( N − 1)!
π w ' (1 − π ) ( N −1) − w '
w '![ ( N − 1) − w ']!
和の部分は、試行数N-1、成功確率πの2項分布の確率の総和＝１
二項分布の正答者数 w の標本
分布の平均を求めるための公式
µw = Nπ
51
標本統計量の分布の平均（期待値）が、その統計量によって推定しようと
している母数の値に一致するとき、その統計量は不偏性をもつという。
不偏性を持った統計量は、母数の不偏推定量と呼ぶ
52
確率分布の標準偏差
σ=
m
∑ (x
k =1
k
比率の標本分布の標準偏差
− µ ) 2 f ( xk )
← 確率分布一般の
標準偏差の式
二項分布の確率を表わす式
f ( w) = N C wπ w (1 − π ) N − w =
N!
π w (1 − π ) N − w
w !( N − w)!
s x ' =| c | ×sx
標準誤差
代入する
N π (1 − π )
N
π (1 − π )
=
N
σp =
0.6
0.5
N
1
10
3
100
σp 0.4
0.3
0.2
0.1
σ w = Nπ (1 − π )
← 二項分布の標準偏差の式
53
比率の標本分布の標準誤差から
サンプルサイズを決める
比率pの標準誤差を0.05以下にするのに必
要なサンプルサイズNを求める
σp =
π (1 − π )
N
≤ 0.05
π (1 − π )
≤ N
0.05
π (1 − π )
≤N
0.052
1
π (1 − π ) ≤ N
0.0025
400π (1 − π ) ≤ N
左辺に未知の母数πがあり、Nの最小値が
確定しないが、π=0.5の時最大になるので、
N = 400 × 0.5 × 0.5 = 100
55
標本統計量の標準偏差は、
その統計量の標準誤差と
呼ばれる。
0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
母集団比率π
54

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