Entwicklung des Zahlbegriffs/der abstrakten Zahlvorstellung Angeborener Zahlensinn !Mengenwissen/ Mengen erfassen ! Handlungserfahrungen jede Menge ist zählbar ! Zählstrategien/ jedes Zahlwort steht für eine bestimmte Menge Beginn Symbolebene / Innere Vorstellungen ! Abstraktion STUFE 2 : konkret STUFE 3: ikonisch STUFE 4: mental-konkret STUFE 5: abstrakt Zählen als Wortfolge, Mengenwissen und TeileGanzes-Schema existieren nebeneinander und sind noch nicht verknüpft. Durch Abzählen wird das letztgenannte Zahlwort ermittelt, das für eine Anzahl (Menge) steht, Beginn innerer Vorstellungen von Mengen als Anzahlen, verdeckte Teilmenge wird vorstellbar Anwendung innerer Vorstellungen, Loslösen von konkreten Handlungen Abstrakte Zahlvorstellung Rechnen auf der rein symbolischen Ebene mit Ziffern (gesehen) und Zahlwörtern(gehört/gesprochen) noch keine Anzahlerfassung (Protoquantitative Schemata) unmittelbar sichtbare und greifbare Gegenstände werden durch Antippen abgezählt Verwendung von Stellvertretern (Finger, Abbildungen, Rechen– und Veranschaulichungsmittel) nicht sichtbare Gegenstände/Stellvertreter sind vorstellbar (innere Vorstellungen) kein zählendes Rechnen mehr! Mengen sind gleich-ungleich mehr-weniger Mengen werden verändert und können durch Abzählen verglichen werden Menge besteht aus Teilmengen Teilmenge einer Menge ist vorstellbar, auch wenn sie nicht sichtbar ist. Gesamtmenge und Teilmengen sind rein gedanklich vorstellbar Simultanerfassen kleiner Mengen (bis 4 und strukturierter Mengen (z.B.Würfelbilder) Quasi-simultanes Erfassen großer Mengen durch Bündeln Kraft der 5 und Kraft der 10 Subitizing Unzerbrechliche Liste/Kette (Zahlwortreihe als Gedicht) Unflexible Zahlwortreihe/Counting all (Zählen immer von der 1 an) !Prinzip der stabilen Ordnung !Ordinalzahlprinzip !Eindeutigkeitsprinzip (Zählwörter) ★ Seriation (Reihenbildung) Zählprinzipien " ! STUFE 1: pränumerisch (angebor. Fähigkeit , kleine Mengen zu erfassen, Wahrnehmung der Veränderung von Mengen) " ©Martina Hehn-Oldiges, 2014 Stück-zu-Stück-Zuordnung ZÄHLENDES RECHNEN Teilweise flexible Zahlwortreihe/Counting on !Abstraktionsprinzip ! Prinzip der Irrelevanz der Anordnung Vorgänger – Nachfolger - Zahlen Eins-zu-Eins-Zuordnung Vergleich mehr-weniger ist Konkrete Menge-Zahl-Zuordnung ohne Anzahlerfassung möglich Abzählen zur Bestimmung der Anzahl " # # # # # !last word rule 1 2 3 4 5 ! Anzahlkonzept Menge wird als Anzahl erfasst ! ! Kardinalzahlprinzip ($$$) $$ 3 4 5 Klassifikation, Invarianz, Repräsentanz 4 +1=5 (eins zwei drei vier) fünf " dieselbe Menge (Ganzes) kann in unterschiedliche Teile zerlegt werden Teile-Ganzes-Schema: !Teile-Ganzes-Verständnis/ Zerlegung ungezählte Gesamtmenge kann in ungezählte Teilmengen zerlegt werden Vielfältige Zerlegungen konkreter zählbarer Mengen 1 2 3 4 5 Vielfältige Zerlegung von Mengen als erfasste Anzahlen $$$$$ & ' $$$$$ & ' 3 + 2 +1=6 (((()(() ( $ $$$$ 1 1234 $$$ $$ Inklusionsbeziehungen Zahlwort oder Ziffer symbolisieren eine Menge/Anzahl Flexible Zahlwortreihe/ Counting on the largest number/ Min-Strategie (Zählen von der größeren Anzahl aus wird als einfachere Strategie erkannt) 3+5= 5,6,7,8 Verbindung Zahlwortreihe – TeileGanzes: Verständnis von Beziehungen (Relationen) zwischen den Zahlen: immer um eins mehr, um eins weniger Eins Zwei Drei Vier % %% %%% %%%% ★ BEGINNENDE LOSLÖSUNG Vollständig flexible Zahlwortreihe ★NICHTZÄHLENDE/ HEURISTISCHE RECHENSTRATEGIEN Zahlen stehen für Anzahlen, die vorherige Anzahlen einschließen Relationales Zahlverständnis zeigt sich z.B.in der Anwendung des Kommutativgesetzes oder Zerlegungsstrategien 7 = 3+4, 4+3 = 7 7-3=4, 7 – 4 = 3 VOM ZÄHLENDEN RECHNEN. Relationale Differenzen: die Zahl 4 kann z.B. für die Abschnitte 1-2-3-4 oder 5-6-7-8 oder 7-8-9-10 auf dem Zahlenstrahl angewendet werden Die Zahl 4 kann Teil einer Menge sein oder die Gesamtmenge darstellen 5 4 & ' & ' 1 2 4 2 Literatur: Weißhaupt/Peucker (2009): Entwicklung arithmetischen Vorwissens, In: Fritz, A./Ricken, G./Schmidt, S. (Hrsg.) Handbuch Rechenschwäche, Weinheim: Beltz Verlag Gerlach, M./Fritz, A./Ricken, G./Schmidt, S. (2008): Kalkulie Trainingsprogramm Baustein 1, Berlin: Cornelsen, S. 7-19, Zahlen sind in all ihren Kombinationen von Teilmengen (Anzahlen) abrufbar. Relationaler Zahlbegriff z.B.: 5 (von 9 – 14, von 10 -15 ) Dreigliedrige (Triadische) Struktur a +? = c c ? +b = c ?-b=a ∧ a b
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