Wellen-Naben-Verbindungen

Wellen-Naben-Verbindungen
Konstruktionslehre
Studiengang Mechatronik
3. Semester
Prof. Dr.-Ing. M. Reichle
Inhaltsverzeichnis
-I-
Inhaltsverzeichnis
1 Definition, Funktion und Einteilung .......................................................... 1
2 Formschlüssige Wellen-Naben-Verbindungen ......................................... 1
2.1 Passfederverbindung nach DIN 6885 ................................................... 2
2.2 Scheibenfederverbindung nach DIN 6888 ............................................. 5
2.3 Keil- und Zahnwellenverbindung .......................................................... 6
2.4 Polygonverbindungen .......................................................................... 8
3 Reibschlüssige Wellen-Naben-Verbindungen......................................... 10
3.1 Zylindrischer Pressverband................................................................ 11
3.1.1 Berechnung ............................................................................ 11
3.1.2 Gestaltung von zylindrischen Pressverbänden ......................... 18
3.2 Kegelpressverband ............................................................................ 20
3.3 Ringfederspannelemente ................................................................... 22
3.4 Klemmverbindungen .......................................................................... 23
3.4.1 Kraftangriff gleichmäßig verteilt (biegeweich) ........................... 24
3.4.2 Kraftangriff konzentriert (biegesteif) ......................................... 26
3.4.3 Vergleich: Kraftangriff gleichmäßig verteilt oder konzentriert .... 27
3.5 Selbsthemmende Klemmverbindung................................................... 27
4 Vergleich einzelner Wellen-Naben-Verbindungen .................................. 29
Literatur ....................................................................................................... 31
Anhang......................................................................................................... 32
A.1 Nabendurchmesser D und Nabenlänge L ........................................... 32
A.2 Keilwellenverbindungen ..................................................................... 33
A.3 Zahnwellenverbindungen ................................................................... 34
A.4 Abmessungen der Polygonprofile ....................................................... 35
A.5 Reibbeiwerte für Pressverbindungen .................................................. 36
A.6 Querkontraktionszahl, Elastizitätsmodul, Wärmeausdehnungskoeffizient36
Inhaltsverzeichnis
- II -
Definition, Funktion und Einteilung
-1-
1 Definition, Funktion und Einteilung
Die Verbindung von Welle und Nabe hat die Hauptaufgabe, Drehmomente zu
übertragen. Eine Nebenfunktion kann dabei die Übertragung von Kräften in radialer und/oder axialer Richtung sein.
Für die Entwicklung von Wellen-Naben-Verbindungen kann die Methode des
Vorwärtsschreitens der Konstruktionstechnik angewandt werden (Bild 1.1): die
Pfeile verweisen auf mögliche Wege der schrittweisen Verbesserung und Entwicklung, rein funktionsorientiert ohne wirtschaftliche Bedeutung.
Bild 1.1:
Methode des Vorwärtsschreitens für Welle-Nabe-Verbindungen
Die Verbindungen sind meist lösbar, in speziellen Fällen werden auch unlösbare
Verbindungen eingesetzt. Sie werden, je nach Anwendung, fest oder beweglich
ausgeführt. Die Einteilung der Wellen-Naben-Verbindungen erfolgt nach Art der
Kraftübertragung in formschlüssige, reibschlüssige und stoffschlüssige Verbindung. Die selten angewendeten Verbindungen Kleben und Schweißen werden
hier nicht behandelt, sondern im Kapitel Verbindungstechnik.
2 Formschlüssige Wellen-Naben-Verbindungen
Bei formschlüssigen Wellen-Naben-Verbindungen erfolgt die Übertragung der
Kräfte durch Flächenpressungen an den Wirkflächen (siehe Bild 2.1). Im Gegensatz zu den reib- und stoffschlüssigen Verbindungen können diese Verbindun-
Formschlüssige Wellen-Naben-Verbindungen
-2-
gen beweglich ausgeführt werden, d. h. sie ermöglichen eine relative Verschiebung zwischen Welle und Nabe in axialer Richtung.
Bild 2.1:
formschlüssige Wellen-Naben-Verbindungen: a) Querstift, b) Scheibenfeder, c) Einlege-Passfeder, d) Gleitfeder, e) Keilwelle, f) Kerbzahn, g) Polygonprofil P3G
2.1 Passfederverbindung nach DIN 6885
Die Passfederverbindung ist die am Häufigsten eingesetzte Wellen-NabenVerbindung (Bild 2.2).
Vorteile:
Nachteile:
-
einfache Herstellung
-
für
wechselnde
Drehmomente
-
leichte Montage und Demontage
-
geringe Formänderung der Nabe
-
Kerbwirkung
unter Last
-
begrenzte Belastbarkeit
ungeeignet
Die Nuttiefen t 1 und t 2 sind nach Norm
so festgelegt, dass das Maß t ≈ h/2 ist.
Bild 2.2:
Geometrie einer Passfederverbindung nach DIN 6885
Formschlüssige Wellen-Naben-Verbindungen
-3-
Passfedern werden meist spielfrei in die Nuten von Wellen und Naben eingebaut. Bei Gleitfedernverbindungen wird die Gleitfeder durch eine zusätzliche
Schraube befestigt. Dies hat eine Schwächung der Welle zur Folge (Bild 2.3).
Bild 2.3:
Torsionsdauerbruch einer Welle an der Auslaufstelle Passfedernut
Die Kraftübertragung einer Passfederverbindung erfolgt durch Flächenpressung
und Scherbeanspruchung.
Als Passfederwerkstoff wird in der Regel E295GC+C eingesetzt.
Mit:
Fu =
2 • Mt
d
und
d
=
ungekerbter Wellenquerschnitt
l tr
=
tragende Länge
i
=
Passfederzahl (i ≤ 2)
ϕ
=
Traganteil: bei einer Passfeder (i = 1): ϕ = 1
( 2.1 )
bei zwei Passfedern (i = 2): ϕ = 0,75
ergibt sich die Flächenpressung p aus:
p=
Fu
Fu
2 ⋅ Mt
=
=
≤ p zul
A tr (h − t ) ⋅ l tr ⋅ i ⋅ ϕ d ⋅ (h − t ) ⋅ l tr ⋅ i ⋅ ϕ
( 2.2 )
4 ⋅ Mt
≤ p zul
d ⋅ l tr ⋅ h ⋅ i ⋅ ϕ
( 2.3 )
Mit t ≈ h/2 ist
p=
Daraus kann das zulässige Drehmoment bestimmt werden:
Mt ≈
p zul ⋅ d ⋅ l tr ⋅ h ⋅ i ⋅ ϕ
4
( 2.4 )
Formschlüssige Wellen-Naben-Verbindungen
-4-
Die Schubspannung im Querschnitt der Passfeder errechnet sich:
τ=
2 ⋅ Mt
Fu
Fu
=
=
A tr b ⋅ l tr ⋅ i ⋅ ϕ d ⋅ b ⋅ l tr ⋅ i ⋅ ϕ
( 2.5 )
Für die zulässige Flächenpressung p zul kann folgender Anhaltswert benützt werden:
p zu l = 0,9·R e,min
R e,min ist das Minimum der Streckgrenze
von Wellen-,Naben- und Passfederwerkstoff
Der Nabendurchmesser D und die Nabenlänge L werden erfahrungsgemäß in
Abhängigkeit vom Wellendurchmesser gewählt (siehe Anhang A.1).
Mit Rücksicht auf die ungleichmäßige Verteilung der Flächenpressung an der
Passfeder über die Nabenlänge L ist das Verhältnis l tr /d ≤ 1,3 zu begrenzen. Unter Beachtung der Anwendungsgrenzen kann dann die Verbindung als dauerfest
angenommen werden.
Erfordert die Drehmomentübertragung eine größere Passfederlänge, sind mehrere Passfedern am Umfang vorzusehen.
Die Gestaltung einer Passfederverbindung ist so vorzunehmen, dass keine zusätzlichen (überlagerten) Kerbwirkungen auftreten. Die Gestaltung hängt daher
insbesondere von der Lastein- bzw. Lastableitung an Welle und Nabe ab
(Bild 2.4 und Bild 2.5). Allgemein sollte die Passfederlänge stets kürzer als die
Nabelänge ausgeführt werden
Bild 2.4:
Kraftverteilung bei unterschiedlicher Nabenausführung
Bei Ausführung nach a) muss vor allem der unmittelbare Bereich neben der Wellenschulter die Kräfte übertragen, wobei im Fall c) ein größerer Bereich der
Passfederlänge zur Verfügung steht.
Formschlüssige Wellen-Naben-Verbindungen
Bild 2.5:
-5-
Ungleichmäßige Verteilung der Flächenpressung an der Paßfeder
Um eine gleichmäßigere Kraftübertragung zu erreichen, ist die Kenntnis der zu
erwarteten Biegemomentenverläufe an der Verbindung notwendig und dementsprechend die Gestaltung vorzunehmen. Günstigere Verhältnisse können auch
durch die Reduzierung der Verdrillsteifigkeit der Nabe erreicht werden, z. B. im
Fall c) durch die mit der Strichlinie angedeutete Nabenausführung oder durch
die Wahl eines elastischen Nabenwerkstoffes.
Im Regelfall liegt bei einer Passfederverbindung eine quasi statische Torsionsbeanspruchung (oder schwellend) bei umlaufender (wechselnder) Biegung vor.
Daher sollte die Verbindung entsprechend Bild 2.6 Fall b) gestaltet werden. Der
Abstand zum Wellenabsatz sollte genügend groß gewählt werden: a/b ≥ 0,5.
Bild 2.6:
Kraftverteilung bei unterschiedlicher Nabenausführung
2.2 Scheibenfederverbindung nach DIN 6888
Die Scheibenfederverbindung (Bild 2.7) findet Anwendung im Feingerätebau, als
Lagesicherung bei Kegelverbindungen, sowie im Kraftfahrzeugbau. Sie kann nur
Formschlüssige Wellen-Naben-Verbindungen
-6-
zur Übertragung kleiner quasi konstanter Drehmomente (nicht wechselnd oder
stoßartig) verwendet werden.
Bild 2.7:
Scheibenfederverbindung nach DIN 6888
Das zu übertragende Drehmoment errechnet sich aus
Mt =
p zul ⋅ d ⋅ (h − t1 ) ⋅ L
2
Feder aus E335: p zul =
( 2.6 )
50 N/mm² für GJL-Nabe
p zul = 100 N/mm² für GS / St -Nabe
In Sonderfällen, z. B. gehärtete Feder: p zul ≤ 200 N/mm²
2.3 Keil- und Zahnwellenverbindung
Die Keilwellenverbindung kann als eine Weiterentwicklung von mehreren Passfedern aufgefasst werden. Sie können als drehstarre und als längsbewegliche
Verbindungen überall dort eingesetzt werden, wo wegen größeren, wechselnden
und stoßartig auftretenden Drehmomenten Pass- und Gleitfedern nicht in Betracht kommen.
Keilwellenverbindungen werden im Maschinenbau nach DIN ISO 14 (leichte und
mittlere Reihe) sowie nach DIN 5464 (schwere Reihe) eingesetzt (Bild 2.8).
Formschlüssige Wellen-Naben-Verbindungen
Bild 2.8:
-7-
Keilwellenverbindung
Keilwellen mit Innenzentrierung haben eine hohe Zentriergenauigkeit und daher
einen genauen Rundlauf. Bei stoßartigen Belastungen oder wechselnden Drehmomenten ist dagegen die Flankenzentrierung zu wählen.
Bei Keilwellenverbindungen ist die auftretende Kerbwirkung ein großer Nachteil.
Eine Keilwellenverbindung der besonderen Art stellen die Kerbzahnverbindungen und die Zahnwellenverbindungen mit Evolventenflanken dar (Bild 2.9).
Bild 2.9:
Zahnwellenprofile: a) Kerbzahnprofil, b) Drehstabfeder mit Kerbverzahnung, c) Evolventenzahnprofil
Die Kerbwirkung ist bei diesen Verbindungen geringer, da Welle und Nabe infolge der feineren Verzahnung weniger geschwächt werden.
Eine Berechnung der Keilwellenverbindung ist bei Einhaltung der Normabmessungen nicht unbedingt erforderlich. Bei kurzen Naben ist allerdings die Nachprüfung der zulässigen Flächenpressung erforderlich. Dabei wird durch den
Traganteil von ≈ 0,75 der nicht zu vermeidenden Herstellungsungenauigkeiten
und ungünstigen Kraftübertragung durch die Schräglage der Flanken bei den
Zahnwellenprofilen Rechnung getragen.
Formschlüssige Wellen-Naben-Verbindungen
-8-
Die mittlere Flächenpressung p m wird berechnet:
p≈
2 ⋅ Mt
≤ p zul
dm ⋅ L ⋅ h'⋅0,75 ⋅ n
mit
dm
( 2.7 )
Keilwellen: d m = (D+d)/2
Zahnprofil: d m = d 5 = d
L
Nabenlänge = tragende Keillänge; L ≤ 1,3·d wählen
h’
- Keilwelle mit Berücksichtigung der Fase f:
h’ = (D-d)/2 - 2·f ≈ 0,4·(D-d)
- Evolventenzahnprofil nach DIN 5480:
h’ ≈ 0,5·[d a1 -(d a2 +0,16·m)]
- Kerbzahnprofil nach DIN 5481:
h’ ≈ 0,5·(d 3 -d 1 )
n
Anzahl der Keile, bzw. Zähnezahlen
p zul
zulässige Flächenpressung:
- GJL-Nabe:
40 N/mm²
- GS/St-Nabe:
70 N/mm²
- in Sonderfällen bei gehärteter Welle und
hochfesten Naben:
200 N/mm²
Geometrische Abmessungen siehe Anhang A.2 und Anhang A.3.
Bei Verbindungen mit Zahnwellenprofilen ist die Nachprüfung der Flächenpressung erforderlich.
2.4 Polygonverbindungen
Die Polygonprofile (Bild 2.10) sind Unrundprofile und werden in weiten Bereichen eingesetzt. Sie eignen sich zur Übertragung stoßartiger Belastungen. Die
Verbindungen sind im Allgemeinen lösbar und werden als Schiebsitze oder mit
Presspassungen ausgeführt. Sie können mit der hohen Toleranzqualität 6 her-
Formschlüssige Wellen-Naben-Verbindungen
-9-
gestellt werden und gewährleisten daher eine genaue Zentrierung. Die Kerbwirkung ist durch die kaum vorhandenen Vorsprünge gering.
Die Grundform des Profils P3G nach DIN 32711 ist ein gleichseitiges Dreieck.
Dieses Profil findet Anwendung, wenn das Nabenprofil geschliffen werden soll.
Das Profil ist für eine unter Last längsverschiebbare Verbindung ungeeignet.
Die Grundform des Profils P4C nach DIN 32712 ist ein Quadrat, dessen Ecken
von einem konzentrischen Kreis angeschnitten sind. Dieses Profil ist besonders
für Verbindungen geeignet, die unter Last längsverschieblich sein sollen.
Bild 2.10:
Polygonprofile: a) Profil P3G (DIN 32711, b) Profil P4C (DIN 32712
c) Anwendungsbeispiel
Der Nabendurchmesser D und die Nabenlänge L werden erfahrungsgemäß in
Abhängigkeit vom Wellendurchmesser gewählt (siehe Anhang A.4).
Die Grundlage der Berechnung ist in DIN 32711 und DIN 32712 festgelegt.
Die mittlere Flächenpressung ergibt sich:
Profil P3G p ≈
Profil P4C p ≈
mit
Mt
l'⋅(0,75 ⋅ π ⋅ e1 ⋅ d1 + 0,05 * d12 )
Mt
l'⋅( π ⋅ e r ⋅ dr + 0,05 * dr2 )
≤ p zul
≤ p zul
( 2.8 )
( 2.9 )
er
=
(d 1 -d 2 )/4
rechnerische Exzentergröße
dr
=
d 2 +2·e r
rechnerischer, theoretischer Durchmesser
Reibschlüssige Wellen-Naben-Verbindungen
l’
tragende Profillänge (≈Nabenlänge L)
d1, d2, e
Profilgrößen
p zul
zulässige Pressung
- 10 -
Abmessungen der Polygonprofile siehe Anhang A.4.
Die Mindest-Nabenwandstärke kann errechnet werden aus:
Mt
s≥c⋅
mit
σ z,zul ⋅ L
s, L [mm], M t [Nm], σ z,zul [N/mm²];c [-]
c
≈
1,44 für Profil P3G, d 4 ≤ 35 mm
c
≈
1,2
für Profil P3G, d 4 > 35 mm
c
≈
0,7
für Profil P4C
L
=
Nabenlänge
σ z,zul
( 2.10 )
zulässige Spannung
Abmessungen der Polygonprofile siehe Anhang A.4.
3 Reibschlüssige Wellen-Naben-Verbindungen
In der kraftschlüssigen Welle-Nabe-Verbindung wird die Umfangskraft durch
Reibung zwischen Welle und Nabe übertragen. Dazu muss eine Normalkraft zwischen Welle und Nabe wirken.
Es muss gelten:
F ≤ FR = μ ⋅ FN
( 3.1 )
Mit reibschlüssigen Wellen-Naben-Verbindungen können Umfangskräfte und Axialkräfte übertragen werden.
Die Normalkraft kann örtlich konzentriert als Einzelkraft bzw. Einzelkräfte oder
über den ganzen Umfang verteilt als Flächenpressung auftreten. Bild 3.1 gibt
einen Überblick über reibschlüssige Wellen-Naben-Verbindungen.
Reibschlüssige Wellen-Naben-Verbindungen
Bild 3.1:
- 11 -
Reibschlüssigen Wellen-Naben-Verbindungen
3.1 Zylindrischer Pressverband
3.1.1 Berechnung
Bei zylindrischen Pressverbindungen wird die erforderliche Flächenpressung
durch die elastische Verformung von Welle und Nabe erzeugt. Die elastische
Verformung entsteht durch eine Übermaßpassung vor dem Fügen (Bild 3.2).
Die Verbindung ist einfach herzustellen und kann auch stoßartige und wechselnde Drehmomente und Längskräfte übertragen. Durch die erforderlichen, engen Toleranzen wird die Nabe exakt fixiert und die Verbindung erfährt keine
Schwächung (Kerbwirkung) durch Nuten.
Reibschlüssige Wellen-Naben-Verbindungen
Bild 3.2:
- 12 -
Wirkprinzip einer Pressverbindung: Ι…Innenteil (Welle);
A…Außenteil (Nabe); p = Fugenpressung; M t = Drehmoment;
F u = Umfangskraft
Bei der Auslegung müssen beachtet werden, dass:
1. eine minimale Flächenpressung p min zur sicheren Übertragung des Drehmoments und/oder der Axialkraft vorhanden sein muss. Sie ergibt sich aus
dem Kleinstübermaß.
2. eine größte Flächenpressung nicht überschritten werden darf, damit Welle
und Nabe nicht überbeansprucht werden. Sie ergibt sich aus dem
Größstübermaß.
Die kleinst erforderliche Flächenpressung ergibt sich aus dem Drehmoment
und/oder Axialkraft unter Berücksichtigung einer Rutschsicherheit S R = 2…4.
Für die Berechnung wird angenommen, dass die Reibwerte (siehe Anhang A.5)
in axialer und radialer Richtung gleich groß sind.
Grundlage der Berechnung (Bild 3.3):
Bild 3.3:
Kräftezusammenhang im zylindrischen Pressverband
Reibschlüssige Wellen-Naben-Verbindungen
- 13 -
Mit F = p/A = F N gilt:
FR = μ ⋅ FN = p ⋅ A ⋅ μ = p ⋅ π ⋅ DF ⋅ b ⋅ μ = F ⋅ SR
( 3.2 )
Erforderliche Flächenpressung:
p=
F ⋅ SR
= pmin
π ⋅ DF ⋅ b ⋅ μ
( 3.3 )
Mit F = F u und M t = 2·F u /D F ergibt sich die erforderliche Flächenpressung für
reine Drehmomentübertragung:
p=
2 ⋅ M t ⋅ SR
π ⋅ DF2 ⋅ b ⋅ μ
= p min
( 3.4 )
Für reine Axialkraft gilt F = F a :
p=
Fa ⋅ SR
= pmin
π ⋅ DF ⋅ b ⋅ μ
( 3.5 )
Zur Übertragung von Drehmoment M t und Axialkraft F a gilt:
F ⋅S
p = res R =
π ⋅ DF ⋅ b ⋅ μ
Fa2
+
4 ⋅ M t2
DF2
⋅ SR
π ⋅ DF ⋅ b ⋅ μ
= p min
( 3.6 )
Für die Vordimensionierung einer Pressverbindung bei einer Welle mit Vollquerschnitt und reiner Drehmomentübertragung:
3
Mit Wt = π ⋅ d ergibt sich:
( 3.7 )
16
2 ⋅ Mt 2 ⋅ Wt ⋅ π 2 ⋅ π ⋅ d3 ⋅ τ π ⋅ d 2 ⋅ τ
F=
=
=
=
d
d
16 ⋅ d
8
( 3.8 )
F π ⋅ d 2 ⋅ τ ⋅ SR d ⋅ τ ⋅ SR
p= =
=
= p zul
A 8⋅ π⋅μ ⋅d⋅b
8⋅μ ⋅b
( 3.9 )
τ ⋅S
b
≈ zul R
d 8 ⋅ p zul ⋅ μ
( 3.10 )
Beim Fügen von Nabe und Welle entsteht eine Flächenpressung p und durch die
elastischen Dehnungen der Bauteile Radial- und Tangentialspannungen.
Reibschlüssige Wellen-Naben-Verbindungen
- 14 -
Der Spannungsverlauf (Bild 3.4) zeigt, dass für Hohlwelle und Nabe jeweils am
Innendurchmesser die größten Spannungen vorliegen, während bei einer Vollwelle die Spannungen in radialer Richtung konstant sind. Bei kurzen Naben
herrscht
ein
dreidimensionaler
Spannungszustand.
Für
den
praktischen
Gebrauch hat sich jedoch die zweidimensionale ebene Betrachtungsweise als
hinreichend erwiesen, so dass die Spannungen von Nabe und Welle mit den
Methoden der Festigkeitslehre berechnet werden können.
Bild 3.4:
Spannungsverlauf in einer Pressverbindung:
a) Hohlwelle, b) Vollwelle
Da infolge äußerer Belastungen in der Fügefläche neben Zug- und Druckspannungen auch Schubspannungen auftreten, empfiehlt DIN 7190 eine modifizierte
Schubspannungshypothese (MSH), die gegenüber der Gestaltänderungsenergiehypose (GEH) sicherere Werte liefert.
MSH:
σ v = ( σ ti − σ ri ) 2 + 4 ⋅ τ 2t
( 3.11 )
Größte Vergleichsspannung am dickwandigen Hohlzylinder:
MSH:
σv = p ⋅
2
1 − Q2
( 3.12 )
Durchmesserverhältnisse:
Nabe:
Q = QA =
DF
D Aa
( 3.13 )
Reibschlüssige Wellen-Naben-Verbindungen
Welle:
Q = QI =
DIi
DF
- 15 -
( 3.14 )
Festigkeitsbedingung nach MSH:
σv ≤
2
3
⋅ σ zul
( 3.15 )
Zulässige Werkstoffbeanspruchung:
plastisch: σ zul =
Re
R
mit S F ≥1,2, spröde: σ zul = m mit S B ≥2
SF
SB
( 3.16 )
Größte Flächenpressungen für die
Nabe:
p max =
1 − Q 2A
3
⋅ σ zul
( 3.17 )
⋅ σ zul
( 3.18 )
Hohlwelle an der Bohrung:
p max =
1 − QI2
3
Vollwelle:
p max =
2
3
⋅ σ zul
( 3.19 )
Die Berechnung des Außenteils wird statisch betracht, auch wenn die äußeren
Belastungen dynamisch sind. Bei der Welle hingegen muss die durch den Pressverband entstandene Kerbwirkung bei der dynamischen Wellenberechnung berücksichtigt werden (siehe Kap. Wellenberechnung).
Die Flächenpressung in der Fuge ist abhängig vom nutzbaren Teil des Übermaßes der Welle gegenüber der Nabe, dem Haftmaß Z und ist gerade so groß wie
die elastischen Durchmesserveränderungen nach dem Fügen:
Z = │∆d Ιa │ + │∆d Ai │
Beim Fügen wird die Nabe in Umfangsrichtung vergrößert. Es tritt in radialer
Richtung Querdehnung auf, während die Welle in Umfangsrichtung verkleinert
wird. In radialer Richtung tritt Querverkürzung auf. Dies ist vom Elastizitätsmodul E und von der Querkontraktionszahl ν abhängig (Anhang A.5 und A.6).
Reibschlüssige Wellen-Naben-Verbindungen
- 16 -
Durchmesserverkleinerung der Welle:
Δd Ιa
p
=
⋅ DF
EΙ
⎛ 1 + Q Ι2
⎞
⋅⎜
− νΙ ⎟
⎜1 − Q2
⎟
Ι
⎝
⎠
( 3.20 )
Durchmessergrößerung der Nabe:
Δd Ai =
⎛ 1 + Q 2A
⎞
p
⋅ DF ⎜
+ νA ⎟
⎜1 − Q2
⎟
EA
⎝
⎠
A
( 3.21 )
Mindesthaftmaß für die kleinste erforderliche Flächenpressung:
⎡1
Z min = p min ⋅ DF ⋅ ⎢
⎢⎣ E Ι
⎛ 1 + Q Ι2
⎞
1
⋅⎜
− νΙ ⎟ +
⎜1 − Q2
⎟ EA
Ι
⎝
⎠
⎛ 1 + Q 2A
⎞⎤
⋅⎜
+ ν A ⎟⎥
⎜1 − Q2
⎟⎥
A
⎝
⎠⎦
( 3.22 )
Maximalhaftmaß für die größte zulässige Flächenpressung:
⎡1
Z max = p max ⋅ DF ⋅ ⎢
⎢⎣ E Ι
⎛ 1 + Q Ι2
⎞
1
− νΙ ⎟ +
⋅⎜
⎜1 − Q2
⎟ EA
Ι
⎝
⎠
⎛ 1 + Q 2A
⎞⎤
+ ν A ⎟⎥
⋅⎜
⎜1 − Q2
⎟⎥
A
⎝
⎠⎦
( 3.23
)
Technische Oberflächen weisen eine Rauheit auf, die beim Fügen des Presssitzes teilweise eingeebnet werden muss (Bild 3.5). Dieser Übermaßverlust muss
bestimmt werden, eine genaue Bestimmung ist jedoch wegen der komplexen
Einflüsse äußerst schwierig.
Bild 3.5:
Spannungsverlauf in einer Pressverbindung:
In der Praxis erfolgt die Berechnung des Übermaßverlustes überschlägig nach
DIN 7190. Danach wird angenommen, dass die Glättung ca. 40 % der gemittelten Rautiefe R z einer jeden Oberfläche beträgt.
Reibschlüssige Wellen-Naben-Verbindungen
- 17 -
Bestimmung der Glättung G:
G = 2 ⋅ (0,4 ⋅ R zΙ + 0,4 ⋅ R zA ) = 0,8 ⋅ R zΙ + 0,8 ⋅ R zA
( 3.24 )
Mindestübermaß für die kleinste erforderliche Flächenpressung mit Berücksichtigung der Glättung:
Umin = Zmin + 0,8 ⋅ (R zΙ + R zA )
( 3.25 )
Maximalübermaß für die größte zulässige Flächenpressung mit Berücksichtigung der Glättung:
Umax = Zmax + 0,8 ⋅ (R zΙ + R zA )
( 3.26 )
Zur Übertragung der äußeren Belastungen ist für die Fertigung eine ISOPassung anzugeben, die folgende Bedingungen erfüllt:
U k ≥ U min
und
U g ≤ U max
Das Fügen eines Presssitzes kann folgendermaßen geschehen:
1. Längspresssitz durch eine Axialkraft,
2. Schrumpfsitz durch erwärmen der Nabe, fügen und abkühlen auf Umgebungstemperatur,
3. Dehnsitz durch abkühlen der Welle, fügen erwärmen auf Umgebungstemperatur.
Zu 1):
Einpresskraft bei gewählter Passung:
Fe = p g ⋅ μ ⋅ π ⋅ DF ⋅ b
( 3.27 )
p g ist die größte Fugenpressung, die sich infolge des vorhandenen Größtübermaßes U g der gewählten Passung ergibt.
Beim Fügen durch Erwärmen oder Abkühlen soll jeweils eine Spielpassung erzeugt werden. Dabei muss für ein leichtes Fügen ein zusätzliches Fügespiel von
1 ‰ des Fugendurchmessers eingerechnet werden:
ΔD = 0,001 ⋅ DF
( 3.28 )
Das zusätzliche Fügespiel ∆D muss zusätzlich zum größten Übermaß U g durch
erwärmen der Nabe oder abkühlen der Welle berücksichtigt werden.
Reibschlüssige Wellen-Naben-Verbindungen
- 18 -
Zu 2):
Die Fügetemperatur der Nabe ergibt sich beim Schrumpfsitz :
t A = tU +
Ug + ΔD
α A ⋅ DF
( 3.29 )
mit t U …Umgebungstemperatur und α A …Wärmeausdehnungskoeffizient der Nabe
(siehe Anhang A.6)
Zu 3):
Die Fügetemperatur der Welle ergibt sich beim Dehnsitz:
t Ι = tU −
Ug + ΔD
α Ι ⋅ DF
( 3.30 )
mit t U …Umgebungstemperatur und α A …Wärmeausdehnungskoeffizient der Welle (siehe Anhang A.6)
3.1.2 Gestaltung von zylindrischen Pressverbänden
Der Berechnung wurden gleiche Längen zwischen Nabe und Welle vorausgesetzt, wobei in der Praxis meist die Welle über die Nabe hinaus ragt. Dadurch ist
keine gleichmäßige Pressungsverteilung gegeben und es können Spannungsspitzen auftreten, die das zwei bis dreifache der rechnerischen Fugenpressung
betragen (siehe Bild 3.6). Für die Welle muss deshalb bei der Wellenberechnung die Sicherheit auf Dauerfestigkeit überprüft werden.
Bild 3.6:
Pressungsverteilung bei überstehenden Wellen
Reibschlüssige Wellen-Naben-Verbindungen
Bild 3.7:
- 19 -
Verringerung der Fugenpressung am Wellenende
Nachfolgend einige Hinweise zur Reduzierung der Spannungsspitzen (siehe
Bild 3.7):
1. Nuten oder Einstiche innerhalb von Sitzen vermeiden.
2. Bei Längspresssitzen sind die Stirnkanten der Wellen mit 5° auf eine Länge von
( 3.31 )
le ≈ 3 DF
anzufasen.
3. Sacklöcher entlüften, besser vermeiden.
4. Richtwerte für die gemittelte Rautiefe:
- Längspresssitz R z = 2,5…16 µm,
- Querpresssitz
R z = 6,3…16 µm
5. Für die Gestaltung können die Erfahrungswerte der Kegelsitzverbindungen verwendet werden.
6. Bei großen Drehmomenten möglichst Vollwelle bei nicht zu dünner Nabe
(Qa ≤ 0,5).
7. Haftbeiwert der Fügeflächen hoch halten, z. B. Entfetten bei Querpressverbänden.
8. Fugendruck eher groß wählen, um Reibdauerbeanspruchung zu vermeiden.
9. Bei hohen Drehzahlen auf Fliehkräfte achten (Auswuchten).
Reibschlüssige Wellen-Naben-Verbindungen
- 20 -
3.2 Kegelpressverband
Die Voraussetzung für eine überall gleich große, konstante Flächenpressungsverteilung ist die Übereinstimmung von Außen- und Innenkegel. Unter dieser
Voraussetzung gelten dann prinzipiell dieselben Gleichungen wie für die zylindrischen Presssitze.
Erforderliche Flächenpressung für reine Drehmomentübertragung:
p≥
2 ⋅ Mt ⋅ SR
( 3.32 )
2
π ⋅ dm
⋅l⋅μ
Die Berechnung des Kegelpressverbandes erfolgt mit dem mittleren Durchmesser d m (siehe Bild 3.8).
Kegelwinkel α:
tan α =
D−d
l
⎛α⎞ D−d
⎟=
2⋅l
⎝2⎠
Kegelverhältnis C: C = tan ⎜
mittlerer Durchmesser: dm =
Bild 3.8:
D+d
2
Kegelsitz
Die innerhalb eines Kegelpressverbandes wirkenden Kräfte zeigt Bild 3.9.
Bild 3.9:
Kräftezerlegung an einem Kegelpressverband
Reibschlüssige Wellen-Naben-Verbindungen
- 21 -
Die Widerstandskraft muss durch die Aufpresskraft überwunden werden:
Mit
Fa = FW
( 3.34 )
μ = tan ρ → ρ = arctan μ
( 3.36 )
FR = μ ⋅ FN = FN ⋅ tan ρ
( 3.38 )
α
+ ρ)
2
( 3.40 )
α
+ ρ)
2
= Fa
cos ρ
( 3.42 )
FW = Fres ⋅ sin(
FW = FN ⋅
FN =
sin(
2 ⋅ Mt
dm ⋅ μ
2 ⋅ Mt
Fa =
⋅
dm ⋅ μ
Mit
μ = tan ρ =
2 ⋅ Mt
Fa =
⋅
dm
( 3.44 )
α
+ ρ)
2
cos ρ
sin(
sin ρ
cos ρ
α
+ ρ)
2
≈ Fu
sin ρ
sin(
( 3.46 )
( 3.48 )
( 3.50 )
Aus der vorherigen Gleichung ist ersichtlich, dass bei kleinem Kegelwinkel die
Aufschiebekraft ungefähr gleich der Umfangskraft ist.
Mit Hilfe trigonometrischer Funktionen ergibt sich:
2 ⋅ Mt
Fa =
⋅
dm ⋅ μ
Fa =
sin
α
α
⋅ cos ρ + cos ⋅ sin ρ)
2
2
cos ρ
α
2 ⋅ Mt
α
⋅ (sin + μ ⋅ cos ) ⋅ SR
dm ⋅ μ
2
2
( 3.52 )
( 3.54 )
mit S R …Rutschsicherheit
Kann die Reibung durch Schmierung während des Aufpressvorganges vermindert werden, ergibt sich
Fa =
α
2 ⋅ Mt
α
⋅ (sin + μ e ⋅ cos ) ⋅ SR
dm ⋅ μ
2
2
mit µ e …Reibungszahl beim Aufpressen
Es sollte eine Rutschsicherheit von S R = 2 bis 3 vorgesehen werden.
( 3.56 )
Reibschlüssige Wellen-Naben-Verbindungen
- 22 -
Richtwerte für Kegelpressverbände:
- 1 : 2,5
leicht lösbar
- 1:5
an der Grenze der Selbsthemmung
- 1 : 10
selbsthemmend.
3.3 Ringfederspannelemente
Die Ringfederspannelemente zentrieren nicht, d. h. zwischen Welle und Nabe ist
eine gesonderte Zentrierung notwendig (Bild 3.10 und Bild 3.11). Es herrscht
keine Selbsthemmung. Der Kraftansatz ist analog zur Kegelverbindung.
Bild 3.10:
Ringfederspannsystem
Bild 3.11:
System Ringfeder: a) Spannelement, b) wellenseitige Verspannung,
c) nabenseitige Verspannung
Reibschlüssige Wellen-Naben-Verbindungen
- 23 -
Aus Bild 3.12 ist ersichtlich, dass sich eine Hintereinanderschaltung von mehr
als 3 Elementen nicht lohnt.
Bild 3.12:
Ringfederspannverbindung: a) Kräfte b) Hintereinanderschaltung
Wird in allen Berührflächen der Ringfederspannelementverbindung der gleiche
zulässige Wert für die Flächenpressung angenommen, so rutscht die Verbindung zuerst auf der Welle (kleinerer Hebelarm, d. h. größere Umfangskraft)
Reibmoment zwischen Innenring und Welle.
Berechnung:
MR,i = FU,i ⋅
TR,i =
dW
d
= μ ⋅ FN,i ⋅ W
2
2
tan ρ
⋅ Fa,a1 ⋅ d W
2 ⋅ (tan ρ + tan(α + ρ ))
MR,i = μ ⋅ p ⋅ π ⋅
dW
⋅ li ⋅ dW
2
( 3.58 )
( 3.60 )
( 3.62 )
mit d W …Wellendurchmesser und l i …axiale Länge des Innenrings
3.4 Klemmverbindungen
Klemmverbindungen werden mit geteilter oder geschlitzter Nabe ausgeführt,
wobei die erforderliche Flächenpressung durch äußere Kräfte, meist Schrauben,
erzeugt wird (Bild 3.13).
Reibschlüssige Wellen-Naben-Verbindungen
Bild 3.13:
- 24 -
Klemmverbindung: a) geteilte Nabe, b) geschlitzte Nabe
Bei der Berechnung ist die Art der Krafteinleitung (Kraftangriff) zu beachten
(Bild 3.14).
F S = Schraubenkraft
z = Schraubenanzahl
F = übertragbare Kraft b = Breite der Verbindung
Bild 3.14:
Klemmverbindung: Art der Krafteinleitung (Kraftangriff):
a) Nabe geteilt, b) Nabe geschlitzt, c) Pressungsverteilung bei geteilter Nabe
3.4.1 Kraftangriff gleichmäßig verteilt (biegeweich)
Mit der Annahme d N = d W (d N …Nabendurchmesser, d W …Wellendurchmesser)
gilt für die erforderliche Flächenpressung (siehe Kap. 3.1):
Reibschlüssige Wellen-Naben-Verbindungen
p=
- 25 -
F ⋅ SR
π⋅d⋅b⋅μ
( 3.63 )
für reine Drehmomentübertragung:
p=
Bild 3.15:
2 ⋅ Mt ⋅ SR
( 3.64 )
π ⋅ d2 ⋅ b ⋅ μ
Kraftangriff gleichmäßig verteilt
Bestimmung der resultierenden Kraft der Pressung an den beiden Nabenhälften
(Bild 3.15):
dF = p ⋅ r ⋅ dϕ ⋅ b
( 3.65 )
dFV = p ⋅ r ⋅ dϕ ⋅ b ⋅ sin ϕ
( 3.66 )
π
π
2
FV = p ⋅ r ⋅ b ⋅ ∫ sin ϕ ⋅ dϕ = 2 ⋅ p ⋅ r ⋅ b ⋅ ∫ sin ϕ ⋅ dϕ
0
( 3.67 )
0
π
FV = −2 ⋅ p ⋅ r ⋅ b ⋅ cos ϕ 0 2 = 2 ⋅ p ⋅ r ⋅ b = p ⋅ d ⋅ b
( 3.68 )
Geteilte Nabe (Bild 3.13, a) und Bild 3.14 a)):
FV = z ⋅ FS
FS =
( 3.69 )
FV p ⋅ d ⋅ b F ⋅ SR
=
=
z
z
μ⋅π⋅z
( 3.70 )
Für reine Drehmomentübertragung:
FS =
2 ⋅ Mt ⋅ SR ⋅ d ⋅ b
μ ⋅ π ⋅ d2 ⋅ b ⋅ z
=
2 ⋅ Mt ⋅ SR
μ ⋅ π⋅d⋅ z
( 3.71 )
Reibschlüssige Wellen-Naben-Verbindungen
- 26 -
Geschlitzte Nabe (Bild 3.13, b) und Bild 3.14 b)):
lN
⋅ FV = z ⋅ FS
lS
FS =
lN FV lN ⋅ p ⋅ d ⋅ b F ⋅ SR ⋅ lN
⋅
=
=
lS z
lS ⋅ z
μ ⋅ π ⋅ z ⋅ lS
( 3.72 )
( 3.73 )
Für reine Drehmomentübertragung:
FS =
2 ⋅ Mt ⋅ SR ⋅ lN
d ⋅ μ ⋅ π ⋅ z ⋅ lS
( 3.74 )
3.4.2 Kraftangriff konzentriert (biegesteif)
Mit der Annahme d N > d W gilt für die erforderliche Kraft:
FV = FN =
F
⋅ SR
2⋅μ
( 3.75 )
für reine Drehmomentübertragung:
FN =
Mt ⋅ SR
d⋅μ
( 3.76 )
Geteilte Nabe (Bild 3.13, a) und Bild 3.14 b)):
FV = z ⋅ FS
FS =
FV p ⋅ d ⋅ b F ⋅ SR
=
=
z
z
2⋅μ⋅z
( 3.77 )
( 3.78 )
Für reine Drehmomentübertragung:
FS =
2 ⋅ Mt ⋅ SR Mt ⋅ SR
=
2⋅d⋅μ ⋅ z d⋅μ ⋅ z
( 3.79 )
Geschlitzte Nabe (Bild 3.13, b) und Bild 3.14 b)):
lN
⋅ FV = z ⋅ FS
lS
( 3.80 )
Reibschlüssige Wellen-Naben-Verbindungen
FS =
lN FV
F ⋅ SR ⋅ lN
⋅
=
lS z 2 ⋅ μ ⋅ z ⋅ lS
- 27 -
( 3.81 )
Für reine Drehmomentübertragung:
FS =
2 ⋅ Mt ⋅ SR ⋅ lN Mt ⋅ SR ⋅ lN
=
d ⋅ 2 ⋅ μ ⋅ z ⋅ lS d ⋅ μ ⋅ z ⋅ lS
( 3.82 )
3.4.3 Vergleich: Kraftangriff gleichmäßig verteilt oder konzentriert
Geteilte Nabe:
FSV F ⋅ SR 2 ⋅ μ ⋅ z 2
=
⋅
= ≈ 0,64
FSK μ ⋅ π ⋅ z F ⋅ SR π
( 3.83 )
Fazit: Kraftangriff gleichmäßig verteilt ist günstiger
3.5 Selbsthemmende Klemmverbindung
Durch Reibkräfte, die der Bewegungsrichtung entgegen wirken, kann Selbsthemmung entstehen (Bild 3.16).
Bild 3.16:
Selbsthemmende Klemmverbindung
Aus der Gleichgewichtsbedingung bezüglich des Punktes 0 (Bild 3.16) ergibt
sich:
Reibschlüssige Wellen-Naben-Verbindungen
2 ⋅ FN ⋅
b
l
= FK ⋅ l → FN = FK ⋅
2
b
- 28 -
( 3.84 )
Mit der Reibkraft gilt:
FR = μ ⋅ FN = μ ⋅ FK ⋅
l
b
( 3.85 )
Selbsthemmung tritt dann ein, wenn die Reibkräfte größer als die äußere Kraft
werden:
2 ⋅ FR ≥ FK → 2 ⋅ μ ⋅ FK ⋅
l
≥ FK
b
l
1
≥
b 2⋅μ
( 3.86 )
( 3.87 )
Mit µ = tanρ ist die Selbsthemmung:
b
≤ l ⋅ tan ρ
2
( 3.88 )
Fazit: keine Selbsthemmung:
b
≥ l ⋅ tan ρ
2
( 3.89 )
Fazit (siehe Bild 3.17): Ist das Maß l größer als der Abstand der Drehachse zur
Linie durch den Punkt S liegt Selbsthemmung vor
Bild 3.17:
Graphische Darstellung zur Bestimmung der Selbsthemmung
Vergleich einzelner Wellen-Naben-Verbindungen
- 29 -
4 Vergleich einzelner Wellen-Naben-Verbindungen
Maßgeblich für die Wahl geeigneter Wellen-Naben-Verbindungen sind die Anforderungen laut Pflichtenheft an eine Verbindung. Bild 4.1 zeigt eine Auswahlmatrix für die Suche geeigneter Wellen-Naben-Verbindungen.
Bild 4.1:
Auswahlmatrix zur Bestimmung von Wellen-Naben-Verbindungen
In Bild 4.2 sind Wellen-Naben-Verbindungen mit verschiedener Geometrie und
ähnlichen Fertigungsbedingungen im Hinblick auf die Kostensituation gegenübergestellt.
Vergleich einzelner Wellen-Naben-Verbindungen
Bild 4.2:
Bewertungsprofile von Wellen-Naben-Verbindungen
- 30 -
Literatur
- 31 -
Literatur
R OLOFF /M ATEK
Muhs,D; Wittel, H; Jannasch, D; Voßiek, J.:
Roloff/Matek, Maschinenelemente.
Vieweg-Verlag Wiesbaden, 18. Auflage, 2007
H ABERHAUER /
Haberhauer, H.; Bodenstein, F:
B ODENSTEIN
Maschinenelemente.
Springer-Verlag, Berlin, 11. Auflage, 2001
D ECKER
Decker, Karl-Heinz:
Maschinenelemente.
Carl-Hanser-Verlag, München, 16. Auflage, 2007
K ÖHLER /R ÖGNITZ
Köhler, Günter:
Maschinenteile.
Teubner-Verlag, Stuttgart, 6. Auflage, 1981
S TEINHILPER /
Steinhilper, W.; Röper, R:
R ÖPER
Maschinen- und Konstruktionselemente.
Springer-Verlag, Berlin, 1982
D UBBEL
Beitz, W; Küttner, K. –H.:
Taschenbuch für den Maschinenbau.
Springer-Verlag, Berlin, 16. Auflage, 1987
H OISCHEN
Hoischen, Hans:
Technisches Zeichnen
Cornelsen-Verlag, Berlin, 26. Auflage, 1996
Anhang
Anhang
A.1
Nabendurchmesser D und Nabenlänge L
Tabelle aus /R OLOFF /M ATEK / TB 12-1
- 32 -
Anhang
A.2
Keilwellenverbindungen
Tabelle aus /R OLOFF /M ATEK / TB 12-3
- 33 -
Anhang
A.3
Zahnwellenverbindungen
Tabelle aus /R OLOFF /M ATEK / TB 12-4
- 34 -
Anhang
A.4
Abmessungen der Polygonprofile
Tabelle aus /R OLOFF /M ATEK / TB 12-5
- 35 -
Anhang
A.5
Reibbeiwerte für Pressverbindungen
Tabelle aus /H ABERHAUER /B ODENSTEIN /
A.6
Querkontraktionszahl, Elastizitätsmodul,
Wärmeausdehnungskoeffizient
Tabelle aus /H ABERHAUER /B ODENSTEIN /
- 36 -

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