10_KreisteileTextaufgaben_OppEbe.docx Textaufgaben zu Kreisteilen 1. Miss den Durchmesser eines Eurostücks. a) Berechne den Flächeninhalt einer Seite und den Umfang. b) Das Eurostück fällt herunter und rollt 6,5 m weit. Gib an, wie oft es sich beim Rollen gedreht hat. 2. Leite eine Gleichung her, mit der man aus dem Umfang eines Kreises direkt den Inhalt berechnen kann. Berechne damit den Inhalt, wenn gilt: a) π = 3,345 π 3. b) π = 40 000 ππ Wie lang ist die Seite eines Quadrats, das denselben Inhalt hat, wie ein Kreis mit dem Umfang U β¦ a) wenn U = 2m? b) Leite die Formel allgemein her. (Gehe dazu davon aus, dass der Umfang U des Kreises gegeben sei und die Seitenlänge des Quadrates a ist. Gib eine Gleichung für π in Abhängigkeit von U an.) 4. Berechne den äußeren Radius eines Kreisrings, wenn der innere Kreis den Umfang ππ = 23,4 ππ hat und der Flächeninhalt des Kreisrings π΄ = 35 ππ2 beträgt. 5. Der Umfang der Erde betrage exakt 40000 km. Um die Erde wird ein Seil mit der Länge 40000 km gespannt. Schätze, um wie viel (Kilo)Meter man das Seil verlängern muss, wenn man überall aufrecht (2 m Höhe) unter dem Seil durchgehen will. Berechne anschließend. 6. Berechne den Radius eines Kreises, dessen Inhalt gleich der Summe der Inhalte zweier Kreise mit den Radien π1 = 3,5 ππ und π2 = 6 ππ ist. Erkläre, warum man die beiden Radien nicht einfach addieren kann. 7. Um ein kreisförmiges Wasserbecken mit der Fläche 123 π2 soll ein 1,35 π breiter Spazierweg angelegt werden. Berechne die Kosten, wenn 1 π2 48,20 β¬ kostet. 8. Auf einem Kreis mit Fläche 80 cm2 wird ein Kreisbogen der Länge 4 cm markiert. Zeige, dass der zugehörige Mittelpunktswinkel knapp 6° beträgt. 9. Eine beschreibbare CD-ROM (Durchmesser 12 cm) wird mit Silber beschichtet. Berechne die Kosten der Beschichtung, wenn in der Mitte ein runder Bereich von 3,5 cm Durchmesser nicht beschichtet wird und der Silberpreis bei 2,00 β¬/π2 liegt? 10. Ein Autoreifen hat einen Durchmesser von 60 cm. Welchen Radius muss eine kreisrunde Radkappe haben, wenn durch diese 35% des Rades abgedeckt werden sollen? 10_KreisteileTextaufgaben_OppEbe.docx Textaufgaben zu Kreisteilen - Lösungen 1. Maße eines 1-Eurostücks: Durchmesser π = 2,3 ππ = 23 ππ und Radius π = 11,5 ππ a) Umfang: ππΈπ’ππ = 2ππ = π β π = π β 23 ππ β 72,3 ππ Flächeninhalt: π΄πΈπ’ππ = ππ 2 = π β (11,5 ππ)2 β 415 ππ2 b) Gesucht ist die Anzahl π der Umdrehungen des Eurostücks. Abrolllänge: 6,5 π = 6500 ππ = π β ππΈπ’ππ π= 2. 6500 ππ ππΈπ’ππ = 6500 ππ 72,3 ππ β 90 Gleichung, mit der man aus dem Umfang eines Kreises den Inhalt berechnen kann: π΄πΎππππ = π β π 2 = 1 1 1 2ππ 1 ππΎππππ β 2ππ 2 = π β 2ππ β = β β ππΎππππ = β β ππΎππππ 2 2 π 2 2π 2 2π πΎππππ 1 = 4π β (ππΎππππ )2 a) 1 U = 3,345 m β A = 4Ο β (3,345 m)2 β 0,89 m2 1 b) U = 40 000 km β A = 4Ο β (40 000 km)2 β 127 323 954 km2 3. Seitenlänge des Quadrats, das denselben Inhalt hat wie ein Kreis a) mit Umfang π = 2 π: 1 π΄πΎππππ = 4π β (2 π)2 β 0,32 π2 0,32 π2 = π΄ππ’πππππ‘ = π2 β π = β0,32 π2 β 0,57 π b) mit Umfang π (allgemeine Formel): gegeben: Umfang U gesucht: Seitenlänge π des Quadrates 1 π = βπ΄ππ’πππππ‘ = βπ΄πΎππππ = β4π β (ππΎππππ )2 = ππΎππππ 2 β βπ π vgl. Aufgabe 2 10_KreisteileTextaufgaben_OppEbe.docx 4. Skizze des Kreisrings gegeben: Umfang des inneren Kreises ππ = 23,4 ππ Flächeninhalt des Kreisrings π΄ = 35 ππ2 gesucht: äußere Radius π eines Kreisrings π΄ = π΄ππ’ßππ β π΄πππππ = 35 ππ2 1 1 mit π΄πππππ = 4π β (ππ )2 = 4π β (23,4 ππ)2 β 43 ππ2 π΄ππ’ßππ = π΄ + π΄πππππ = 35 ππ2 + 43 ππ2 = 78 ππ2 βπ =β 5. π΄ππ’ßππ π 78 ππ2 =β π π΄ππ’ßππ = ππ 2 und β 5 ππ Skizze: gegeben: Umfang der Erde ππΈπππ = 40 000 ππ Abstand zwischen Erde und Seil β = 2 π gesucht: Verlängerung des Seils π πππππ = 2π(π + β) mit Erdradius π = ππΈπππ 2π = 40 000 ππ 2π β 6 366,198 ππ und Abstand β = 2 π = 0,002 ππ πππππ = 2π β (6 366,198 ππ + 0,002 ππ) = 2π β 6366,2 ππ β 40 000,014 ππ πππππ = ππΈπππ + π β π = πππππ β ππΈπππ = 40 000,014 ππ β 40 000 ππ = 0,014 ππ = 14π 6. Sei π΄_π der Flächeninhalt des Kreises mit Radius ππ . π΄πΎππππ = π΄1 + π΄2 = ππ12 + ππ22 = π(π12 + π22 ) = π β [(3,5 ππ)2 + (6 ππ)2 ] = π β 48,25 ππ2 β 151,58 ππ2 π΄πΎππππ = π β π 2 β π = β π΄πΎππππ 151,58 ππ2 =β β 48,25 ππ π π 10_KreisteileTextaufgaben_OppEbe.docx 7. Skizze zum Spazierweg um das Wasserbecken gegeben: kreisförmiges Wasserbecken mit π΄ = 123 π2 Spazierweg der Breite π = 1,35 π Quadratmeter-Preis für Pflaster: 48,20 β¬ gesucht: Kosten für den Spazierweg Radius des Wasserbeckens: π΄πΎππππ π΄πΎππππ = π β π 2 = 123 π2 β π = β π =β 123 π2 π β 6,26 π Flächeninhalt des Kreisrings: π΄ = π΄ππ’ßππ β π΄πππππ = π β (π + π)2 β π β π 2 = π β (6,26 π + 1,35 π)2 β π β (6,26 π)2 β 58,82 m2 Kosten für den Spazierweg: 48,20 β¬ πΎ =π΄β 8. 1 π2 = 58,82 π2 β 48,20 β¬ 1 π2 β 2835,12 β¬ Mittelpunktswinkel eines Kreissektors: gegeben: Flächeninhalt eines Kreises π΄πΎππππ = 80 ππ2 Länge des Kreisbogens π = 4 ππ gesucht: Größe des Mittelpunktswinkels πΌ Länge des Radius: 1 π΄ππππ‘ππ = 2 π β π β π = 2 β π΄ππππ‘ππ π =2β 80 ππ2 4 ππ = 2 β 20 ππ = 40 ππ Größe des Mittelpunktswinkels (πΌπ π΄π· in Bogenmaß bzw. πΌπ·πΈπΊ in Gradmaß): π 4 ππ 1 πΌπ π΄π· = π = 40 ππ = 10 = 0,1 π= πΌπ·πΈπΊ 360° βπ’ = πΌπ·πΈπΊ 360° β 2ππ β πΌπ·πΈπΊ = 360°β π 2ππ = 360°β 4 ππ 2πβ 40 ππ = 5,73° 10_KreisteileTextaufgaben_OppEbe.docx 9. Eine Skizze eines Kreisrings findet sich z.B. bei der Lösung von Aufgabe 4. gegeben: Durchmesser der CD-ROM πππ’ßππ = 12 ππ Durchmesser des unbeschichteten Kreises ππππππ = 3,5 ππ Silberpreis 2,00 β¬/π2 gesucht: Kosten der Silber-Beschichtung Flächeninhalt des beschichteten Kreisrings: daußen 2 AKreisring = Aaußen β Ainnen = Ο β ( 2 dinnen 2 ) βΟβ ( 2 ) 12 ππ 2 3,5 ππ 2 =πβ ( ) βπβ ( ) β 103,48 ππ2 2 2 Kosten für die Beschichtung: πΎ =π΄β 2,00 β¬ 1 π2 2,00 β¬ 2,00 β¬ = π΄ β 10 000 ππ2 = 103,48 ππ2 β 10 000 ππ2 β 0,02 β¬ = 2 ππ‘ 10. gegeben: Durchmesser eines Autoreifens π = 60 ππ gesucht: Radius einer kreisrunden Radkappe, die 35% des Rades abdeckt Flächeninhalt des Autoreifens: π 2 60 ππ 2 π΄π πππππππ = π β ( 2 ) = π β ( ) = π β (30 ππ)2 β 2827,42 ππ2 2 Der Anteil des abgedeckten Autoreifens entspricht dem Flächeninhalt der Radkappe. π΄π πππππππ = 35 % π£ππ 2827,42 ππ2 = 35 % β 2827,42 ππ2 = 0,35 β 2827,42 ππ2 β 989,60 ππ2 Radius der kreisrunden Radkappe: π΄π πππππππ π΄π πππππππ = π β π 2 β π = β π 989,60 ππ2 =β π β 17,75 ππ
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