Textaufgaben zu Kreisteilen

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Textaufgaben zu Kreisteilen
1.
Miss den Durchmesser eines Eurostücks.
a) Berechne den Flächeninhalt einer Seite und den Umfang.
b) Das Eurostück fällt herunter und rollt 6,5 m weit. Gib an, wie oft es sich beim Rollen
gedreht hat.
2.
Leite eine Gleichung her, mit der man aus dem Umfang eines Kreises direkt den Inhalt
berechnen kann. Berechne damit den Inhalt, wenn gilt:
a) π‘ˆ = 3,345 π‘š
3.
b) π‘ˆ = 40 000 π‘˜π‘š
Wie lang ist die Seite eines Quadrats, das denselben Inhalt hat, wie ein Kreis mit dem
Umfang U …
a) wenn U = 2m?
b) Leite die Formel allgemein her. (Gehe dazu davon aus, dass der Umfang U des
Kreises gegeben sei und die Seitenlänge des Quadrates a ist. Gib eine Gleichung für π‘Ž
in Abhängigkeit von U an.)
4.
Berechne den äußeren Radius eines Kreisrings, wenn der innere Kreis den Umfang π‘ˆπ‘– =
23,4 π‘π‘š hat und der Flächeninhalt des Kreisrings 𝐴 = 35 π‘π‘š2 beträgt.
5.
Der Umfang der Erde betrage exakt 40000 km. Um die Erde wird ein Seil mit der Länge
40000 km gespannt. Schätze, um wie viel (Kilo)Meter man das Seil verlängern muss, wenn
man überall aufrecht (2 m Höhe) unter dem Seil durchgehen will. Berechne anschließend.
6.
Berechne den Radius eines Kreises, dessen Inhalt gleich der Summe der Inhalte zweier
Kreise mit den Radien π‘Ÿ1 = 3,5 π‘π‘š und π‘Ÿ2 = 6 π‘π‘š ist. Erkläre, warum man die beiden
Radien nicht einfach addieren kann.
7.
Um ein kreisförmiges Wasserbecken mit der Fläche 123 π‘š2 soll ein 1,35 π‘š breiter
Spazierweg angelegt werden. Berechne die Kosten, wenn 1 π‘š2 48,20 € kostet.
8.
Auf einem Kreis mit Fläche 80 cm2 wird ein Kreisbogen der Länge 4 cm markiert.
Zeige, dass der zugehörige Mittelpunktswinkel knapp 6° beträgt.
9.
Eine beschreibbare CD-ROM (Durchmesser 12 cm) wird mit Silber beschichtet.
Berechne die Kosten der Beschichtung, wenn in der Mitte ein runder Bereich von 3,5 cm
Durchmesser nicht beschichtet wird und der Silberpreis bei 2,00 €/π‘š2 liegt?
10. Ein Autoreifen hat einen Durchmesser von 60 cm. Welchen Radius muss eine kreisrunde
Radkappe haben, wenn durch diese 35% des Rades abgedeckt werden sollen?
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Textaufgaben zu Kreisteilen - Lösungen
1.
Maße eines 1-Eurostücks:
Durchmesser 𝑑 = 2,3 π‘π‘š = 23 π‘šπ‘š und Radius π‘Ÿ = 11,5 π‘šπ‘š
a) Umfang: π‘ˆπΈπ‘’π‘Ÿπ‘œ = 2πœ‹π‘Ÿ = πœ‹ β‹… 𝑑 = πœ‹ β‹… 23 π‘šπ‘š β‰ˆ 72,3 π‘šπ‘š
Flächeninhalt: π΄πΈπ‘’π‘Ÿπ‘œ = πœ‹π‘Ÿ 2 = πœ‹ β‹… (11,5 π‘šπ‘š)2 β‰ˆ 415 π‘šπ‘š2
b) Gesucht ist die Anzahl π‘˜ der Umdrehungen des Eurostücks.
Abrolllänge: 6,5 π‘š = 6500 π‘šπ‘š = π‘˜ β‹… π‘ˆπΈπ‘’π‘Ÿπ‘œ
π‘˜=
2.
6500 π‘šπ‘š
π‘ˆπΈπ‘’π‘Ÿπ‘œ
=
6500 π‘šπ‘š
72,3 π‘šπ‘š
β‰ˆ 90
Gleichung, mit der man aus dem Umfang eines Kreises den Inhalt berechnen kann:
π΄πΎπ‘Ÿπ‘’π‘–π‘  = πœ‹ β‹… π‘Ÿ 2 =
1
1
1 2πœ‹π‘Ÿ
1 π‘ˆπΎπ‘Ÿπ‘’π‘–π‘ 
β‹… 2πœ‹π‘Ÿ 2 = π‘Ÿ β‹… 2πœ‹π‘Ÿ
⏟ = β‹…
β‹… π‘ˆπΎπ‘Ÿπ‘’π‘–π‘  = β‹…
β‹… π‘ˆπΎπ‘Ÿπ‘’π‘–π‘ 
2
2 π‘ˆ
2 2πœ‹
2 2πœ‹
πΎπ‘Ÿπ‘’π‘–π‘ 
1
= 4πœ‹ β‹… (π‘ˆπΎπ‘Ÿπ‘’π‘–π‘  )2
a)
1
U = 3,345 m β‡’ A = 4Ο€ β‹… (3,345 m)2 β‰ˆ 0,89 m2
1
b) U = 40 000 km β‡’ A = 4Ο€ β‹… (40 000 km)2 β‰ˆ 127 323 954 km2
3.
Seitenlänge des Quadrats, das denselben Inhalt hat wie ein Kreis
a) mit Umfang π‘ˆ = 2 π‘š:
1
π΄πΎπ‘Ÿπ‘’π‘–π‘  = 4πœ‹ β‹… (2 π‘š)2 β‰ˆ 0,32 π‘š2
0,32 π‘š2 = π΄π‘„π‘’π‘Žπ‘‘π‘Ÿπ‘Žπ‘‘ = π‘Ž2 β‡’ π‘Ž = √0,32 π‘š2 β‰ˆ 0,57 π‘š
b) mit Umfang π‘ˆ (allgemeine Formel):
gegeben: Umfang U
gesucht: Seitenlänge π‘Ž des Quadrates
1
π‘Ž = βˆšπ΄π‘„π‘’π‘Žπ‘‘π‘Ÿπ‘Žπ‘‘ = βˆšπ΄πΎπ‘Ÿπ‘’π‘–π‘  = √4πœ‹ β‹… (π‘ˆπΎπ‘Ÿπ‘’π‘–π‘  )2
=
π‘ˆπΎπ‘Ÿπ‘’π‘–π‘ 
2
β‹…
βˆšπœ‹
πœ‹
vgl. Aufgabe 2
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4.
Skizze des Kreisrings
gegeben: Umfang des inneren Kreises π‘ˆπ‘– = 23,4 π‘π‘š
Flächeninhalt des Kreisrings 𝐴 = 35 π‘π‘š2
gesucht: äußere Radius 𝑅 eines Kreisrings
𝐴 = π΄π‘Žπ‘’ß𝑒𝑛 βˆ’ 𝐴𝑖𝑛𝑛𝑒𝑛 = 35 π‘π‘š2
1
1
mit 𝐴𝑖𝑛𝑛𝑒𝑛 = 4πœ‹ β‹… (π‘ˆπ‘– )2 = 4πœ‹ β‹… (23,4 π‘π‘š)2 β‰ˆ 43 π‘π‘š2
π΄π‘Žπ‘’ß𝑒𝑛 = 𝐴 + 𝐴𝑖𝑛𝑛𝑒𝑛 = 35 π‘π‘š2 + 43 π‘π‘š2 = 78 π‘π‘š2
⇒𝑅=√
5.
π΄π‘Žπ‘’ß𝑒𝑛
πœ‹
78 π‘π‘š2
=√
πœ‹
π΄π‘Žπ‘’ß𝑒𝑛 = πœ‹π‘… 2
und
β‰ˆ 5 π‘π‘š
Skizze:
gegeben: Umfang der Erde π‘ˆπΈπ‘Ÿπ‘‘π‘’ = 40 000 π‘˜π‘š
Abstand zwischen Erde und Seil β„Ž = 2 π‘š
gesucht: Verlängerung des Seils 𝑙
π‘ˆπ‘†π‘’π‘–π‘™ = 2πœ‹(π‘Ÿ + β„Ž)
mit Erdradius π‘Ÿ =
π‘ˆπΈπ‘Ÿπ‘‘π‘’
2πœ‹
=
40 000 π‘˜π‘š
2πœ‹
β‰ˆ 6 366,198 π‘˜π‘š
und Abstand β„Ž = 2 π‘š = 0,002 π‘˜π‘š
π‘ˆπ‘†π‘’π‘–π‘™ = 2πœ‹ β‹… (6 366,198 π‘˜π‘š + 0,002 π‘˜π‘š) = 2πœ‹ β‹… 6366,2 π‘˜π‘š β‰ˆ 40 000,014 π‘˜π‘š
π‘ˆπ‘†π‘’π‘–π‘™ = π‘ˆπΈπ‘Ÿπ‘‘π‘’ + 𝑙
β‡’ 𝑙 = π‘ˆπ‘†π‘’π‘–π‘™ βˆ’ π‘ˆπΈπ‘Ÿπ‘‘π‘’ = 40 000,014 π‘˜π‘š βˆ’ 40 000 π‘˜π‘š = 0,014 π‘˜π‘š = 14π‘š
6.
Sei 𝐴_𝑖 der Flächeninhalt des Kreises mit Radius π‘Ÿπ‘– .
π΄πΎπ‘Ÿπ‘’π‘–π‘  = 𝐴1 + 𝐴2 = πœ‹π‘Ÿ12 + πœ‹π‘Ÿ22 = πœ‹(π‘Ÿ12 + π‘Ÿ22 ) = πœ‹ β‹… [(3,5 π‘π‘š)2 + (6 π‘π‘š)2 ]
= πœ‹ β‹… 48,25 π‘π‘š2 β‰ˆ 151,58 π‘π‘š2
π΄πΎπ‘Ÿπ‘’π‘–π‘  = πœ‹ β‹… π‘Ÿ 2 β‡’ π‘Ÿ = √
π΄πΎπ‘Ÿπ‘’π‘–π‘ 
151,58 π‘π‘š2
=√
β‰ˆ 48,25 π‘π‘š
πœ‹
πœ‹
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7.
Skizze zum Spazierweg um das Wasserbecken
gegeben: kreisförmiges Wasserbecken mit 𝐴 = 123 π‘š2
Spazierweg der Breite 𝑏 = 1,35 π‘š
Quadratmeter-Preis für Pflaster: 48,20 €
gesucht: Kosten für den Spazierweg
Radius des Wasserbeckens:
π΄πΎπ‘Ÿπ‘’π‘–π‘ 
π΄πΎπ‘Ÿπ‘’π‘–π‘  = πœ‹ β‹… π‘Ÿ 2 = 123 π‘š2 β‡’ π‘Ÿ = √
πœ‹
=√
123 π‘š2
πœ‹
β‰ˆ 6,26 π‘š
Flächeninhalt des Kreisrings:
𝐴 = π΄π‘Žπ‘’ß𝑒𝑛 βˆ’ 𝐴𝑖𝑛𝑛𝑒𝑛 = πœ‹ β‹… (π‘Ÿ + 𝑏)2 βˆ’ πœ‹ β‹… π‘Ÿ 2
= πœ‹ β‹… (6,26 π‘š + 1,35 π‘š)2 βˆ’ πœ‹ β‹… (6,26 π‘š)2 β‰ˆ 58,82 m2
Kosten für den Spazierweg:
48,20 €
𝐾 =𝐴⋅
8.
1 π‘š2
= 58,82 π‘š2 β‹…
48,20 €
1 π‘š2
β‰ˆ 2835,12 €
Mittelpunktswinkel eines Kreissektors:
gegeben: Flächeninhalt eines Kreises π΄πΎπ‘Ÿπ‘’π‘–π‘  = 80 π‘π‘š2
Länge des Kreisbogens 𝑏 = 4 π‘π‘š
gesucht: Größe des Mittelpunktswinkels 𝛼
Länge des Radius:
1
π΄π‘†π‘’π‘˜π‘‘π‘œπ‘Ÿ = 2 𝑏 β‹… π‘Ÿ β‡’ π‘Ÿ = 2 β‹…
π΄π‘†π‘’π‘˜π‘‘π‘œπ‘Ÿ
𝑏
=2β‹…
80 π‘π‘š2
4 π‘π‘š
= 2 β‹… 20 π‘π‘š = 40 π‘π‘š
Größe des Mittelpunktswinkels (𝛼𝑅𝐴𝐷 in Bogenmaß bzw. 𝛼𝐷𝐸𝐺 in Gradmaß):
𝑏
4 π‘π‘š
1
𝛼𝑅𝐴𝐷 = π‘Ÿ = 40 π‘π‘š = 10 = 0,1
𝑏=
𝛼𝐷𝐸𝐺
360°
βˆ™π‘’ =
𝛼𝐷𝐸𝐺
360°
βˆ™ 2πœ‹π‘Ÿ β‡’ 𝛼𝐷𝐸𝐺 =
360°β‹…𝑏
2πœ‹π‘Ÿ
=
360°β‹…4 π‘π‘š
2πœ‹β‹…40 π‘π‘š
= 5,73°
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9.
Eine Skizze eines Kreisrings findet sich z.B. bei der Lösung von Aufgabe 4.
gegeben: Durchmesser der CD-ROM π‘‘π‘Žπ‘’ß𝑒𝑛 = 12 π‘π‘š
Durchmesser des unbeschichteten Kreises 𝑑𝑖𝑛𝑛𝑒𝑛 = 3,5 π‘π‘š
Silberpreis 2,00 €/π‘š2
gesucht: Kosten der Silber-Beschichtung
Flächeninhalt des beschichteten Kreisrings:
daußen 2
AKreisring = Aaußen βˆ’ Ainnen = Ο€ β‹… (
2
dinnen 2
) βˆ’Ο€β‹…(
2
)
12 π‘π‘š 2
3,5 π‘π‘š 2
=πœ‹β‹…(
) βˆ’πœ‹β‹…(
) β‰ˆ 103,48 π‘π‘š2
2
2
Kosten für die Beschichtung:
𝐾 =𝐴⋅
2,00 €
1 π‘š2
2,00 €
2,00 €
= 𝐴 β‹… 10 000 π‘π‘š2 = 103,48 π‘π‘š2 β‹… 10 000 π‘π‘š2 β‰ˆ 0,02 € = 2 𝑐𝑑
10. gegeben: Durchmesser eines Autoreifens 𝑑 = 60 π‘π‘š
gesucht: Radius einer kreisrunden Radkappe, die 35% des Rades abdeckt
Flächeninhalt des Autoreifens:
𝑑 2
60 π‘π‘š 2
π΄π‘…π‘Žπ‘‘π‘˜π‘Žπ‘π‘π‘’ = πœ‹ β‹… ( 2 ) = πœ‹ β‹… (
) = πœ‹ β‹… (30 π‘π‘š)2 β‰ˆ 2827,42 π‘π‘š2
2
Der Anteil des abgedeckten Autoreifens entspricht dem Flächeninhalt der Radkappe.
π΄π‘…π‘Žπ‘‘π‘˜π‘Žπ‘π‘π‘’ = 35 % π‘£π‘œπ‘› 2827,42 π‘π‘š2 = 35 % β‹… 2827,42 π‘π‘š2
= 0,35 β‹… 2827,42 π‘π‘š2 β‰ˆ 989,60 π‘π‘š2
Radius der kreisrunden Radkappe:
π΄π‘…π‘Žπ‘‘π‘˜π‘Žπ‘π‘π‘’
π΄π‘…π‘Žπ‘‘π‘˜π‘Žπ‘π‘π‘’ = πœ‹ β‹… π‘Ÿ 2 β‡’ π‘Ÿ = √
πœ‹
989,60 π‘π‘š2
=√
πœ‹
β‰ˆ 17,75 π‘π‘š