微分積分学および演習Ⅰ 学期末考査採点講評 2016 年度前期 工学部・未来科学部 1 年 担当: 原 隆 (未来科学部数学系列・助教) 先ずは学期末試験と半年間の講義お疲れ様でした。週 2 コマ 4 単位の必修講義 ということで、落 とすと意外とエラいことになるこの科目、採点する側も毎回どきどきものではありますが、今回も平 均点が大体 70 点程度となり、大体例年通りの結果でほっとしております。ちなみに昨年度よりも平 均点が下がっていますが、成績が B, A, S の人数は寧ろ増えていることを考えると、今年度は 成績 の二極化傾向が強い ように思われます。現に、今年度は残念ながら単位が取得出来なかった方が 14 名と多めになっていますが、下記の集計結果からも分かるようにその殆どが 50 点にも満たない点数 で、どう頑張っても単位取得ラインに届かない人ばかりでした。学期末考査では「単に微分や積分の 計算が出来れば解ける」問題だけではなく、それなりに 講義の内容をしっかり理解していないと解 けない 問題を織り混ぜて出題しているため、「高校数学の貯金」だけで単位を取得するのは極めて 難しい と思われます。単位が取得出来なかった方を見てみると、矢張りその多くが「実質的に出席 率の悪い人」(仮にカードリーダータッチによる出席率が高くても、演習問題を指名したときに一度 もいなかった人を含む) に集中していました。数学は、ひとつひとつの知識を積み上げて理解を深め ていく学問であり、それ程甘い学問ではありません。今回単位を取得出来なかった人は、今一度自分 の学習態度を猛省して、後期の講習会と再試験 (または来年度の再履修) に臨んで下さい。 逆に、単位を無事取得された方の大半が S, A, B という高い評価を獲得されたのは、日頃から講義 の内容を復習して、講義内容をしっかり身につけられたことを裏付けるものであると思いますので、 大変嬉しい限りです。上記のような方針で出題しているため、期末考査の問題の難易度は決して低く はなかったと思いますので、前期の微分積分学の内容については自信を持っても良いかと思います。 願わくば、間違えた箇所をしっかり復習して、万全の態勢で後期の講義に臨んでいただければ、と思 います。 後期の『微分積分学および演習Ⅱ』では 2 変数関数の微分積分 といういよいよ高校範囲を完全に 離れた単元を扱うこととなり、講義の内容も抽象的な部分が増えて難しくなっていきます。初心を忘 れずに、この調子で後期の講義も頑張って下さい! ■基本データ 受験者数: 平均点: 66 名 (うち 1 名追試験受験、2 名欠席) 68.91 点 標準偏差: 最高点: (100 点満点) 20.01 97 点 (1 名) 得点分布: S: 7 名 A: 17 名 B: 21 名 C: 7 名 D (不合格): 14 名 0–9 10–19 20–29 30–39 40–49 50–59 60–69 70–79 80–89 90–100 人数 0 3 0 5 5 1 7 21 17 7 割合 (%) 0.0 4.5 0.0 7.6 7.6 1.5 10.6 31.8 25.8 10.6 ■各設問についての講評*1 〇 第 1 問について: 逆三角関数についての設問。逆三角関数は大学に入ってから新しく学んだ ‘新参者’ の関数ですので、慣れていただくために試験でも重点的に取り扱っています。15 点満点で 平均点は 10.18 点、満点は 6 名でした。まずまずの出来、といったところでしょうか? Ⅰ. は逆三角関数の値を求める問題で、確実に得点しておきたいところ……ですが、答える 角度の 範囲 が滅茶苦茶な答案が目立ったのは残念でした。特に (2) を 鈍角で答えているもの がミスとして は異常に多かったです。また、一般角 (例えば 1 3 π + 2πn, π + 2πn のようなもの) の形で答えてい 4 4 るものも目立ちましたが、講義の初期に強調したように 関数とは ひとつの数字を入力すると （イン プット） ひとつの数字が出て来る （アウトプット） もの ですから、答えを複数個書いている時点で 関数が何か を分かっていないことになってしまいます! 今回聞かれているのは逆三角関数の 主値 です。間違えた心当たりのある人は、もう一度逆三角関数の主値がどの範囲の角度を指すのか、良く 確認しておきましょう。 Ⅱ. は逆三角関数のマクローリン展開に関する設問。まぁ同様の問題は演習問題でやりましたよ ね? 但し今回は 主値ではない 逆三角関数 を扱っていることに注意する必要があります。(1) は講 義で扱った問題そのもので、逆三角関数が定義されている 範囲 によって導関数の符号が変わる ことをきちんと理解しているかを問う設問です (昨年度も全く同様の問題を出題しました)。また、 逆関数の微分法 をきちんと使いこなせているかどうかも同時に問われています。決して難易度は低 くない設問だと思いますが、きちんと解答出来ている答案が多かったです。(1) が解けたのであれば、 1 (2) は − √ のマクローリン展開を求めて、積分すれば良いことになります。その方針自体は 1 − x2 多くの方も分かっていたようですが、主に以下の点にミスが集中しました; 1 ⋆ −√ のマクローリン展開が正しく求められていない; 1 − x2 1 ⋆ (1) で f ′ (x) = − √ と正しく求められていたのに、(2) になった途端に − の符号を忘 1 − x2 れてしまっている; ⋆ 無意識のうちに f (0) = 0 としてしまっている 1 1 = −(1 − x2 )− 2 のマクローリン展開を間違えた方は、もう一度 (1 + □)α の形の 2 1−x 最初の − √ 関数のマクローリン展開を復習しておきましょう。また、符号のミスは本問に限らずしばしばやらか 1 を積分した際に登 1 − x2 場する 積分定数 C は、f (0) の値と一致することが直ぐに分かりますが、f (0) の値を 0 としてし 1 3 まって 間違えている答案が続出しました。ここでは f (x) = arcsin x は π ≤ f (x) ≤ π の範囲 2 2 で考えていますので、当然 f (0) = π となります (何故か良く考えてみよう)。ここまで間違わずに解 してしまうものです。細心の注意を払うようにしましょう。最後に、− √ 答出来ていた答案は殆どありませんでした。 〇 第 2 問について: 複素数とオイラーの公式についての設問。高校の数学Ⅲに『複素数平面』の 単元が復活したことを受けて、『微分積分学および演習Ⅰ』の試験の共通問題からは複素数関連の出 *1 東京電機大学数学系列内の取り決めにより、学期末考査の共通問題および解答は公表しないこととなっておりますので、 該当する設問については詳しい解説を意図的に避けております。予めご了承下さい。 題が無くなりましたが、複素指数関数やオイラーの公式は今後皆さんが学んでゆく専門科目への応用 面でも非常に重要な話題ですので、例年敢えて比重を大きくして出題しています。12 点満点で平均 点は 7.61 点、満点は 13 名でした。 べき Ⅰ. は複素数の極形式を求め、その羃乗をド・モアヴルの定理 (または複素指数関数の指数法則) を なじみ 用いて計算する典型問題で、高校で学ぶ『数学Ⅲ』の複素数平面の単元ではすっかりお馴染の問題で す。講義では「 『数学Ⅲ』でやりましたよね 」と言ってさらっと流してしまい、 「そもそも複素数平面 かす の単元がすっかり抜け落ちていたらどうしよう……」などという一抹の不安が頭を掠めましたが、ん な不安も何のその、蓋を開けてみれば大変良い正答率でほっとしました (寧ろ再履修生の方が出来が 悪かったです)。ただ、矢張り絶対値および偏角の計算ミスによる芋蔓式の間違いが何枚か見られま したので、極形式の計算には細心の注意を配るようにしましょう。 Ⅱ. は、折角 オイラーの公式 という美しい公式を学んだのだから「オイラーの公式を使ってとこ とん遊び尽そう!」をテーマに掲げた設問です。まぁ講義で倍角の公式の求め方をやりましたので、講 義の復習をしっかりとしている人であれば、満点を取るのも難しくはなかったと思います。ポイント は複素指数法則 eiα e−iβ = ei(α−β) の両辺をオイラーの公式を用いて計算すること。全く手が付かな かった人は、是非復習しておいて下さい。高校の『数学Ⅱ』で学んだ、三角関数の複雑な公式が、複 素指数法則という単純明解な法則 から従ってしまうということは、神秘的な現象でもありますし、複 素指数関数の「美しさ」を端的に表したものではないかと思います。 〇 第 3 問について: 微分法についての設問。特に重要となるのは、言うまでもなく大学に入っ てから初めて学んだ テイラー展開 、 マクローリン展開 ですので、その周辺の問題を多めに出題し ています。33 点満点で平均点は 26.65 点、満点は 8 名でした。全体的に見ても、最も出来が良い問 題であったと思います。 Ⅰ. は標準的な微分計算の問題。積の微分法、商の微分法、合成関数の微分法は、微分計算に於け る必須教養ですので、確実に使いこなせるようにしたいところ。ちょっとした計算ミスは散見されま したが、非常に良く出来ていました。この問題については特にコメントすることはありません。流石 にこのレベルの微分が計算出来ないと、今後色々なところで詰むことになりますので、間違えた人は しっかりと復習することを強く薦めます。 Ⅱ. はマクローリン展開の計算問題。とは言え、どちらも 必ず丸暗記 するよう指示しておいた公 式集に掲載されているタイプのものですので、公式をきちんと覚えていた人にとっては瞬殺の問題 だったと思います。こちらも非常に良く出来ていて嬉しい限りですが、白紙もちらほら見られました (恐らく講義に出席していない人)。 Ⅲ. は不定形の極限の問題。昨年度同様、(1) も (2) も Ⅱ. でマクローリン展開を計算した関数を 分子に登場させており、Ⅱ. がそのままヒントとなっています。(1) は Ⅱ. (1) で求めたマクローリン 展開の式をそのまま代入すれば瞬殺です。(2) は、Ⅱ. (2) で求めたマクローリン展開の他に、e−2x , cos x のマクローリン展開もきちんと代入出来れば計算出来るようになっています。(2) では、特に うろおぼ e−2x のマクローリン展開をする際に、疎覚えで計算結果が変になっているものがちらほら見られま した。ただ、全体的にはマクローリン展開を巧く使って (細かい計算ミスこそあれ) きちんと答えを 導出出来ていたと思います。 なお、Ⅲ. ではみんな大好き ド・ロピタルの定理 を用いても勿論構いませんが、(1), (2) とも 2 回 ド・ロピタルの定理を用いる必要があります。特に (2) では、実際にやってみれば分かるようにド・ ロピタルの定理を 1 度使っただけで結構大変な形になってしまいますので、「ロピタる」ことで (2) の解答を導き出すのはそんなに簡単ではありません。案の定 (2) をド・ロピタルの定理で攻略しよう とした方々の中には、途中で華々しく散っていかれた方も多かったですが、きちんと極限値を求めら れているものも少なくありませんでした。お見事です。 〇 第 4 問について: 積分法についての設問。少し難しめの問題も混ざってはいるものの、(広義 積分を除けば) どれも高校範囲の手法で解けてしまうものばかりです。それでも意外と計算ミスや見 当違いな計算が散見されました。30 点満点で平均点は 20.79 点、満点は 7 名でした。 今回ミスが多かったのは、Ⅰ. (1), Ⅰ. (3), Ⅱ. (1) といったところでしょうか? Ⅰ. (1), Ⅱ. (1) は 置換積分 であることに気付けば瞬殺なのですが、行き詰まってしまった方も少なくないようです。 兎に角複雑そうな積分を見つけたら、イチかバチか 複雑な塊の部分を置換してみる ことをお薦めし ます。その置換で巧く計算出来るようなら儲けものですし、駄目だったら他の方法を試せば良いので すから。置換積分が上達するためのポイントは、とにかく試行錯誤して色々置換してみる ことに限 ります。色々な置換を試していくうちに、その経験値が溜っていき、あるとき「あ、これはこう置換 すればいいんじゃないかな?」という感覚が身についていることを実感出来るようになりますから。 それまではとにかく修行あるのみです。Ⅰ. (3) は 有理関数の積分 です。とは言え、如何にも「部 分分数分解してください」という形をしていますので、素直に部分分数分解すれば簡単に突破出来た 筈です。この辺りはちゃんと問題演習をしてきたか、が解けたかどうかに大きく影響していそうです ね。他の問題は比較的良く出来ていましたが、置換積分をするべき箇所で部分積分をしてしまった り、といった誤答がちらほら見られました。積分法は計算の鍛錬をそれなりに積まなければ上達し あ ません。逆に言えば、或る程度訓練すれば誰でも標準的な計算能力を身に着けられる分野でもありま す。間違えた箇所を中心に、よく復習しておきましょう。また、不定積分の際に 積分定数をつけ忘 れている 答案や、C が積分定数であることを明記していない 答案も目立ちました。厳しいようです が、講義の問題演習の時間にも強調したように「相手にはっきりと分かるように答案を書く」ことも 重要なスキルですので、これらの答案は若干減点してあります。 〇 第 5 問について: 微分積分学の応用問題。圧倒的にⅠ. を選択した人が多く、Ⅱ. を選択した 人は 2,3 人でした。Ⅱ. は講義で解説した問題そのままなので、講義をしっかり聴いていた人にとっ ては Ⅱ. の方が圧倒的に簡単だったと思うのですが……。10 点満点で平均点は 3.68 点、10 点満点が 3 名でした (うち 2 名は Ⅰ. 選択、1 名は Ⅱ. 選択)。お見事です。 Ⅰ. は y 軸の回りの 回転体の体積の問題。昨年度も同様の出題をしているため、昨年度の問題を しっかり勉強してきた人にとってはやり易かったのではないかと思います。(1) は単なる合成関数 √ √ の微分法の問題ですが、合成関数の微分法の「おまけ」の部分である 2 3x ( 3x2 を x で微分し たもの) を掛け忘れた答案が矢張り少なからず見受けられました。これを付け忘れると (2) で巧く いかなくなってしまうので要注意です。(2) は y 軸に関する回転体 の体積を求める問題ですので、 バウムクーヘン分割 を用いると回転体の体積は ∫ x=1/√3 √ 1 π 2 3x 2πx · dx = √ dx V = 4 1 + 3x 1 + 3x4 3 x=0 x=0 √ √ 2 3x となりますが、(1) の結果から の原始関数 (のひとつ) が Arctan ( 3x2 ) であることが分か 4 1+x ∫ √ x=1/ 3 √ 2 √ 2 1/√3 π 3π る ので、結局 V = √ [Arctan ( 3x )]0 = と簡単に求めることが出来ます。どう考えて 18 3 も (1) から (2) への設問の流れが不自然極まりないので、「もしかしたら (1) がヒントになっている じゃすい んじゃないか……?!」と邪推して欲しかったところです。尚、バウムクーヘン分割の方法を用いて上 記の積分の式を立式した後、(1) がヒントになっていることに気付かずに t = √ 2 3x と置換して置換 積分していた答案もありました。これはこれで非常に素晴しいと思います。 もちろん 勿論セオリー通り y 軸に関して垂直にスライスする 方針で積分の式を立てても構いません。そ ∫ y=3/4 の場合 V = π y=0 √ ( 1 √ 3 )2 (√ ( ))2 1 4 1 dy + π −1 dy となりますが、後者の積分は 3 y y=3/4 ∫ y=1 1 − 1 と置換することにより計算することが出来ます。興味のある人は挑戦してみてくださ y い! こちらの方針で取り組んでいる答案も幾つか見られましたが、積分範囲が正しく求められていな √ ( ) 1 3 4 いものや、x = −1 ≤ y ≤ 1 の部分の回転体の体積 自身を立式しているものが目立ちまし y 4 π を足さなければならないですよね)。 た (正しくは、円柱の体積 4 t= Ⅱ. はロルの定理を用いた平均値の定理の導出の話。講義を受けていたのであれば (1) は埋めて欲 しいところですし、(2) も関数 F (x) の定義が与えられているのだから、あとは F (a) = F (b) = 0 を 確認してロルの定理を用いるだけの超ボーナス問題だったのですが……。それに講義でも全く同じ問 題を解説しましたし。。まぁ証明問題なので回避されるかな、とは思っていましたが、ここまで露骨 に避けられるとは思っていませんでした。ただ、世の中には見た目は難しそうでも案外簡単な問題な んていくらでもありますので、今後も「問題の本質を見定める目」を養う訓練はしておいた方が良い と思いますよ? ■授業評価アンケートの自由回答欄について 授業評価アンケートの結果は UNIPA から閲覧することが出来ますが、自由回答欄に書いていた だいたご意見については公表されませんので、ここでコメントさせていただきます (基本的に原文マ マ。誤字と思われる箇所については編注を付けてあります)。 〇 良かった点: − 非常に分かりやすい授業でした。 − 定義や証明や、公式の例など、こと細かく説明してくださり、高校で学習していたときに あいまいだったところ、新しく学習したところなど、とてもイメージがつかみやすくなり ました。 − とても分かりやすい説明で楽しく学ぶことが出来ました。 − 解説 講義内での説明について分かりやすいとのご意見をいただき、ありがとうございました! 講義で解 説する際には、学生の皆さんに伝わるように説明するよう試行錯誤を繰り返していますが、説明をし ている時点では巧く伝わっているのかどうか判断が難しい場合も多く、不安に感じることも多々ある んです。こう見えてもガラスのハートなので。ですから「説明が分かりやすかった」というご意見は 大変励みになります! − パソコンでグラフを作成したりなど、具体例を出して説明していたので理解しやすかった。 − 説明をするとき、プロジェクターを使って説明してくれたのがとてもわかりやすかった。 実はプロジェクターを用いたデモンストレーションは、昨年度の講義の際に導入してみた結果非常 に好評であったため、今年の講義でも積極的に取り入れました。数学のような抽象的な記号や概念が 頻出する分野を学習する際には、具体的なイメージを持ちながら 学習していくことが非常に重要で すので、兎に角具体的なイメージがつかみやすくなるように映像教材を多用しています。今年度も好 評であったようで何よりです。 − 例題を問いてから (編注: 解いてから?) 演習、の流れで問題の問き方 (編注: 解き方?) を 知ることが出来ました。 − 演習問題をいっぱいしてくれてよかった。 − プリントが良かった。 − 演習が多くて身についた。 − 演習も混じえながらなので定着しやすくて良かった。 − 演習の多さ やはり演習の時間がたっぷりとれるのは、週 2 コマの講義の強みですよね。『線形代数学』の講義 も週 2 コマあれば演習がたっぷりできるのに…… (まぁそうすると皆さんが大変になっちゃうけど ね)。高校の『数学Ⅲ』で扱っているであろう内容等については、昨年度に引き続き説明を非常にあっ さりと流して演習に入ってしまった箇所も幾つかあったと思いますが、それで不都合を感じた人はあ まりいなかったようでほっとしております。やっぱり演習問題を沢山解く方が、皆さんもやる気が出 るのでしょうか? − 問題の解説が丁寧だった。 − 演習問題の解説が丁寧だった点。 今年度も問題演習の時間を、問題毎に担当者を指名して黒板で解いて貰うスタイルで行いましたの で、その分解説を丁寧に行うように、またなるべく別解も紹介出来るように心掛けています。ご好評 のようで何よりです! − 自分で予習して理解しにくかった部分を、分かりやすく説明してもらえたので良かったと 思う。 先ず「自分で予習して」という部分が素晴しい! この講義で用いている石原・浅野の教科書は、工 業系大学の教科書としては標準的なものだとは思いますが、結構説明があっさりと書いてあって読 んでも分からない部分は多々生じているのではないかと思います。これは石原・浅野の教科書に限ら ず、数学の教科書ではしばしば起こり得ることです。そんな「隙間」の部分を埋めるのも、この講義 の役割りだと思いますので、このようなご意見をいただけたのは大変嬉しい限りです!! − 複素数と整数論の講義のとき、難しい内容を分かりやすく説明していただき、ありがた かった。 そしてこちらは教科書に載っていない内容についてのコメントですね? 工学系の方にとっては、複 素数や複素指数関数に早いうちから慣れ親しんでおくことは非常に重要ではあるのですが、カリキュ ラム的には「微分 → 積分」の流れをぶった切る感じになって若干無理矢理感がありますよね? そん な無理矢理感をなんとか表に出さずに、興味を持っていただけるように工夫して講義をしたつもり だったので、このご意見は本当に励みになります! ありがとうございました! 尚、整数論につきましては、もっと詳しい内容を後期の自由科目『代数学入門』で取り扱いますの で、ご興味があれば履修を検討してみてください (私が担当します; ダイレクトマーケティング) − なし あ、はい……。より良い講義となるように精進しますです。 〇 改善した方が良い点、改善のための提案など: − 特になし − 特にありません − なし 何と今回は改善点については「特になし」とのご意見のみでした! 単に、講義に不満たらたらの人 が講義に出て来てなかったり、面倒くさくて意見を書いていないだけな気もしますが、ここはポジ ティヴに捉えさせていただきましょう! ありがとうございます!!
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