4 Herleitung der Periodendauer des Feder-Masse

Physik 11: Schwingungen und Wellen
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Herleitung der Periodendauer des Feder-Masse-Pendels
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Herleitung der Periodendauer des Feder-Masse-Pendels
0
s<0
y
0
s=0
s>0
y
Ein Federpendel besteht aus einer Feder mit der Federkonstanten D und der Grundlänge l0 sowie aus einer
angehängten Masse m. Die Feder wird im Ruhezustand durch die Masse auf die Länge l0 +y0 ausgedehnt.
Da die Grundlänge der Feder für unsere Betrachtungen keine Rolle spielt, betrachten wir nur noch die
Längenänderung y, deren Nullpunkt das Ende der
unbelasteten Feder ist.
Abbildung 1: Verschiedene Situationen des Federpendels
Die erste Ableitung der Strecke nach der Zeit ist die
Geschwindigkeit: v(t) = ṡ(t). 1 Die zweite Ableitung
ist die Beschleunigung: a(t) = s̈(t).
s̈(t) = −
D
· s(t)
m
(11)
Diese Gleichung wird als Differentialgleichung bezeichnet. Eine Differentialgleichung enthält eine Funktion,
Die resultierende Kraft aus Gewichts- und Federkraft sowie eine oder mehrere ihrer Ableitungen.
bezeichnet man als rücktreibende Kraft FR , die immer in Richtung der Ruhelage wirkt. Sie ergibt sich Diese Differentialgleichung läßt sich durch eine Frage
beim Fadenpendel aus der Differenz von Gewichts- relativ einfach lösen: Welche Funktion ist gleich seiner
kraft (FG = m · g) und Federkraft (FF (y) = D · y). negativen zweiten Ableitung?
Für den Ruhepunkt y0 gilt dann die Kräftegleichung: Die Sinusfunktion erfüllt diese Bedingung: s = A ·
sin(kt). Die Amplitude A hat als konstanter Faktor
FR (y0 ) = FG − FF (y0 ) = 0 N
(7) keine Auswirkung auf die Ableitung. Er wird daher für
die weiteren Betrachtungen weggelassen. Der Faktor
Bei einem schwingenden System ändert sich die Länge k ist so zu wählen, dass bei der Periodendauer T der
Sinus einmal durchgelaufen ist: Dann gilt
der Feder laufend mit der Zeit. Es gilt:
2π
FR (t) = FG − FF (t) = FG − D · y(t)
(8)
s(t) = sin
t
(12)
T
Da die Gewichtskraft konstant ist und nicht von der
Zeit abhängt, kann sie durch geschickte Wahl des Null- Und damit die zweite Ableitung:
punkts herausgekürzt werden. Der Nullpunkt wird von
2
2
2π
2π
2π
dem Ende der entspannten Feder (y = 0) auf das Ens̈(t) = −
sin
t =−
s(t) (13)
T
T
T
de der Feder in der Ruhelage (s = 0) verschoben:
y(t) = y0 + s(t). Die rücktreibende Kraft ergibt sich
Vergleichen wir diese Gleichung mit der Gleichung 11,
dann unter Verwendung von Gleichung 7 als:
dann folgt:
2
FR (t) = FG − (FF (y0 ) + FF (s(t)) = −D · s(t) (9)
D
2π
− =−
(14)
m
T
Drückt man die rücktreibende Kraft durch die allgeWir formen nach T um und erhalten:
meine Kraftformel F = m · a aus, dann gilt:
r
m
D
T
=
2π
(15)
a(t) = − · s(t)
(10)
D
m
1 Die Ableitung wird allgemein durch ein Apostroph am Funktionszeichen dargestellt. Bei der Ableitung nach der Zeit ist ein
Punkt über dem Größenzeichen üblich.
Ole Vanhoefer / 2016
www.lernbuffet.de

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