Fakultät für Physik der LMU München
Lehrstuhl für Kosmologie, Prof. Dr. V. Mukhanov
Übungen zu Klassischer Mechanik (T1) im SoSe 2011
P2.1 Klassische Mechanik
SS 16
Prof. Dr. J. Plefka/PD Dr. T.Klose
Übungsblatt
Blatt 10. 11
Hamilton-Formalismus- Lösungsvorschlag
Abgabe Mittwoch 06.07 vor derAufgabe
Vorlesung
– Besprechung am I:12.07
10.1. Hamilton-Formalismus
Zentralkraft
H30 - Hamilton Formalismus [2P]
Ein Faden der Länge l läuft durch ein Loch in einer reibungsfreien horizontalen Platte. An se
Enden sind Massen m1 und m2 befestigt. Die Masse m1 bewegt sich frei auf der horizont
während m2 immer senkrecht im Schwerefeld hängt. Der Abstand von m1 vom Loch sei r
(s. Abbildung 1). Zur Zeit t = 0 bewegt sich die Masse m1 mit einer Geschwindigkeit v0 sen
der Abstand zum Loch r0 ist.
in Faden,
einerwährend
reibungs-
Ein Faden der Länge l läuft durch ein Loch
r
m
freien horizontalen Platte. An seinen beiden Enden sind die
Massen m1 und m2 befestigt. Die Masse m1 bewegt sich frei
auf der horizontalen Platte, während m2 immer senkrecht im
m
Schwerefeld hängt. Der Abstand von m1 vom Loch sei r mit
r < l (s. Abbildung). Zur Zeit t = 0 bewegt sich die Masse
Abbildung 1: Verbundene Massen
m1 mit einer Geschwindigkeit v0 senkrecht zum Faden auf der Platte, wobei der Abstand zum
Loch r0 ist.
1
2
a) Wie lautet in den Polarkoordinaten r, ✓ die Lagrangefunktion und die Hamilton-Funkt
Sie die Hamilton’sche Bewegungsgleichungen für dieses System an.
(a) Wie lautet in den Polarkoordinaten r, ϕ die Lagrange-Funktion und die Hamiltonb) Geben Sie zwei unabhängige Erhaltungsgrößen an. Welchen Werte haben diese Erhalt
Funktion?
für die angegebenen Anfangsbedingungen?
(b) Geben Sie die Hamilton’sche Bewegungsgleichungen
fürderdieses
Lösung.
a) Die Höhe
Masse m2System
ist (l r).an.
Die Geschwindigkeit der Masse m1 ist v2
Die Lagrangefunktion ist also
(c) Geben Sie zwei unabhängige Erhaltungsgrößen an. Welche Werte mhaben
m1 2 ˙Erhaltungs1 + m2 2 diese
L=
ṙ +
r ✓2 + m2 g (l r) .
2
2
größen für die angegebenen Anfangsbedingungen?
Die Konstante l darf weggelassen werden.
(d) Geben Sie die Routh’sche Funktion des Systems
an, bei der
alle zyklischen
Die Hamilton-Funktion
bestimmen
wir wie folgt. DieKoordinaten
kanonische Impulse sind
eliminiert wurden. Wie lautet dann die Bewegungsgleichung?
@L
@L
pr =
H31 - Poissonklammern [2P]
@ṙ
= (m1 + m2 ) ṙ,
p✓ =
@✓˙
˙
= m1 r2 ✓.
Wir müssen nun die Geschwindigkeiten durch die Impulse ausdrücken:
(a) Beweisen Sie die Jacobi-Identität für Poissonklammern
ṙ =
pr
,
m1 + m2
p✓
✓˙ =
m1 r2
{f, {g, h} } + {g, {h, f } } + {h, {f, g} } = 0
(b) In einem System seien die Drehimpulse Lx und Ly , sowie der Impuls in z Richtung pz
Erhaltungsgrößen. Welche weiteren Erhaltungsgrössen folgen daraus?
H32 - Legendre-Transformation [1P]
Bestimmen Sie die Legendre-Transformierte
(a) g(u) der Funktion f (x) = α x2 , wobei u =
df
.
dx
(b) g(x,v) der Funktion f (x,y) = α x2 y 3 , wobei v =
1
∂f
∂y
ist.
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