Denis Aufgaben(lsg)

19. Juli 2016
Aufgaben Analysis II
Denis Brazke
Dieses Dokument sind von mir zusammengestellte Aufgaben zur Vorbereitung auf die Analysis II
Klausur. Es wird nicht garantiert, dass diese Aufgaben in ähnlicher oder abgewandelten Form in der
Klausur auftreten oder generell relevant sind. Insbesondere sind folgende Aufgaben recht schwer, also
bitte nicht enttäuscht sein, falls die Aufgaben nicht gemeistert werden.
Vorbereitend empfehle ich folgende Themen und Methoden für die Klausur:
• Verbände und Halbverbände, monotone Hüllen, abstrakte Integrale und Integralerweiterungen auf
den jeweiligen Strukturen, insbesondere Cc ( ) und Cc ( n ) mit zugehörigen abstrakten Integralen.
N
R
• Differentialformen-Kalkül, Definitionen, ∧-Produkt, Cartan-Ableitung, Rechenregeln, Pullback,
Integration und das Lemma von Poincaré.
• Umkehrsatz, insbesondere Existenz von lokalen Umkehrfunktionen, trigonometrische Umkehrfunktionen, Polar- und sphärische Koordinaten.
• Lebesgue-Integrationstheorie, Konstruktion und Charakterisierung, wichtige Konvergenz- und
Vertauschungssätze (Lebesgue, Beppo-Levi, Transformationssatz, Fubini, Satz 4.32), Messbarkeit und der Raum der messbaren Funktionen, Integrierbarkeit von Mengen und Funktionen,
Nullmengen, Techniken zur Integration (partielle Integration, Transformationssatz, Abschneidefunktionen).
• Reihentheorie als Spezialfall von Lebesgue-Integralen, Umordnungssatz, Potenzreihen, Konvergenzkriterien und Vertauschungssätze.
• Hilbertraumtheorie, insbesondere L2 (X), Konstruktion, Eigenschaften, Fischer-Riesz, Hibertraumbasis, Isometriesatz, Fourier-Reihe
• Allgemeine Einschübe wie Stone-Weierstraß, Heine-Borel oder wichtige Lemmata.
Für die Klausurvorbereitung eignen sich folgende Übungsaufgaben:
Blatt 1: Aufgaben 1 und 2, falls diese als Lebesgue-Integrale behandelt werden.
Blatt 2: Das gesamte Blatt sollte man kennen, Details kann man bei Aufgabe 6 und 7 vermeiden.
Blatt 3: Aufgabe 11 und 12, wichtiger ist aber Aufgabe 11.
Blatt 4: Aufgabe 13 und 15 sind wichtig, Aufgabe 16 sollte man kennen.
Blatt 5: Das gesamte Blatt ist wichtig.
Blatt 6: Alles nicht so arg wichtig. Aufgabe 21 solltet ihr kennen, Aufgabe 22 und 23 solltet ihr wissen
wie das geht und 24 a) sollte auch bekannt sein.
Blatt 7: Aufgabe 25 sehr wichtig, Aufgabe 27a) und 28 sollten beherrscht werden.
Blatt 8: Aufgabe 29 und 30 sind sehr wichtig, Aufgabe 31 sollte als Beispiel im Hinterkopf sein.
Blatt 9: Aufgabe 33, 34 und 35 sind wichtig.
Blatt 10: Aufgabe 37 ist wichtig.
Blatt 11: Aufgabe 41, insbesondere Stetigkeit des Skalarprodukts, die restlichen Aufgaben sollten
bekannt sein.
Blatt 12: Aufgabe 45 ist sehr wichtig, die anderen beiden nur im Hinterkopf behalten.
Blatt 13: Beide Aufgaben sehr wichtig.
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19. Juli 2016
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Aufgaben Analysis II
Denis Brazke
Lebesgue-Integration
Aufgabe 1
Sei X = n und B(X) = Cc ( n ) mit dem Standardintegral als abstraktes Integral. Sei L̂(X) der
zugehörige Lebesgue-Raum. Zeigen Sie:
R
R
i) Abzählbare Mengen sind Nullmengen.
ii) Offene Mengen sind keine Nullmengen.
Aufgabe 2
Sei X = 2 und B(X) = Cc (
zugehörige Lebesgue-Raum.
R
R2) mit dem Standardintegral als abstraktes Integral. Sei L̂(X) der
i) Zeigen Sie, dass die Abbildung
T:
R>0 × R>0
−→
(x, y)
7−→
R2
y 2 x2
,
x y
!
ein Koordinatenwechsel auf dem Bild von T ist.
ii) Seien 0 < p < q und 0 < a < b. Bestimmen Sie T (M ), wobei
n
M := (x, y) ∈
R2 : ax < y2 < bx, py < x2 < qy
o
iii) Berechnen Sie vol(M ).
Aufgabe 3
Sei X = 2 und B(X) = Cc ( 2 ) der Baire’sche Verband mit dem Standardintegral als abstraktes
Integral. Wir betrachten den zugehörigen Lebesgue-Raum L̂(X). Sei f ∈ L(X) ∩ C(X) mit f ≥ 0.
Zeigen Sie
R
R
ˆ
ˆ ˆ
f (x, y) d(x, y) =
f (x, y) dx dy
R R
R2
Zeigen Sie damit folgende Identität:
ˆ
exp(− | x |2 ) dx =
√
πn
Rn
Hinweis: Nutzen Sie für die erste Aussage lokal-gleichmäßige Abschätzungen von f und die bekannten
Konvergenz- und Vertauschungssätze. Berechnen Sie für die zweite Identität zuerst den Fall n = 2,
dann den Fall n = 1 und folgern Sie induktiv den allgemeinen Fall.
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19. Juli 2016
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Aufgaben Analysis II
Denis Brazke
Hilbertraumtheorie
Aufgabe 4
Sei X =
und B(X) = Cc ( ) der Baire’sche Verband mit dem Standardintegral als abstraktes
Integral. Wir betrachten die zugehörigen Räume L̂(X) und L2 (X).
R
R
i) Zeigen Sie, dass aus L2 -Konvergenz im Allgemeinen keine punktweise fast-überall Konvergenz
für die Repräsentanten folgt.
ii) Sei (fk )k eine Folge in L2 (X), wobei jedes fk Träger in K ⊂
fk ⇒ f : −→ . Zeigen Sie, dass f ∈ L2 (X).
R
R
R
kompakt hat. Es gelte
iii) Seien [f ], [g] ∈ L2 (X). Zeigen Sie, dass f · g ∈ L̂(X).
Aufgabe 5
Sei X = [0, 1] und B(X) = Cc [0, 1] der Baire’sche Verband mit dem Standardintegral als abstraktes
Integral. Wir betrachten die zugehörigen Räume L̂(X) und L2 (X).
i) Zeigen Sie, dass L2 (X) ⊆ L̂(X).
ii) Sei [fk ] k eine Cauchy-Folge in L2 (X) bezüglich k · kL2 ([0,1]) . Zeigen Sie, dass es dann ein
f ∈ L̂(X) gibt, mit
ˆ
fk (x) − f (x) dx −→ 0
[0,1]
Hinweis: Nutzen Sie die Cauchy-Schwarz-Ungleichung.
3
für k −→ ∞

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