Formelsammlung zur Vorlesung Auswertung von Messungen und

Formelsammlung zur Vorlesung Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung
1. Rechengesetze und Kurzschreibungen
I. Ableitungsregeln: Seien f(x), g(x) und h(x) = (hëg)(x) = h(g(x)) Funktionen von x
a) Summenregel: b) Produktregel:
c) Kettenregel: II. Kurzschreibungen: Seien k, n œ N.
a) Summenzeichen ∑ x b) Produktzeichen ∏ … !
c) Binomialkoeffizient !
!
d) Binomischer Satz ! " ∑!
"
2. Häufigkeit: Sei N die Anzahl aller Elemente / Meßwerte.
a) Absolute Häufigkeit H: Häufigkeit, mit der eine gewisse Merkmalsausprägung / ein gewisser
Meßwert unter der Gesamtheit der Elemente / der Meßwerte vorliegt.
#
b) Relative Häufigkeit $
3. Lagemaße und gewichteter Mittelwert
I) Lagemaße: Sei n die Anzahl der Messungen und mœ N
Arithmetisches Mittel
Geometrisches Mittel
) * 0
Harmonisches Mittel
) * 0
Median (diskret)
1 ) 1 2 1 für 1 1 4 5 6 1 '
1
% ( )
'
)
/
% ,- ) .
)
%0 89
%/ 789 8
2
'
1
)
falls ' 2? 1
@
falls
' 2?
∑)
II) Gewichteter Mittelwert und dessen Fehler:
Sei AB) ein i-ter Mittelwert und C) dessen Fehler, dann gilt:
a) Gewichteter Mittelwert ADEFG H
B
∑L
JMN IJ KJ
∑L
JMN IJ
mit O) b) Fehler des gewichteten Mittelwertes CDEFG PJQ
R∑J IJ
4. Erwartungswert, (Ko-)Varianz, Abweichungen und Korrelation:
Seien X, Y Zufallsvariablen mit Werten xi bzw. yi und AB, SB deren Mittelwerte bzw. E[X], E[Y ] deren
Erwartungswerte. Außerdem seien Ω die Menge aller Ergebnisse (der Ergebnisraum) und T ein
(Wahrscheinlichkeits-) Maß.
a) Erwartungswert
a.1) bei Existenz einer Wahrscheinlichkeitsdichte ρ zu einer Verteilung P: UA
H VΩ W AXT
a.2) bei Existenz einer Verteilung P (ohne Wahrscheinlichkeitsdichte): UA
H VΩ AXZ
(im diskreten Fall analog einer Summation)
b) Varianz [A
H UA \ UA
c) Kovarianz ]^[A, S
H UA \ UA
S \ US
/
d.1) Standardabweichung einer Verteilung CK H ` ∑)) \ % a
d.2) Stichproben-Standardabweichung (auch Streuung) bK H `
e) Standardfehler bKB H
Fc
√
ebenso CKB H
Pc
/
∑)) \ % a
√
f) Korrelation: ]^[A, S
0, so werden X und Y als unkorreliert bezeichnet.
efgK,h
g) (linearer) Korrelationskoeffizient: WA, S
H gK
gh
N/Q
5. Axiome von Kolmogorow
Sei (Ω; E; P)Wahrscheinlichkeitsraum eines Zufallsexperiments. Dann gelten für die Wahrscheinlichkeit
P(E) eines Ereignisses E folgende drei Axiome:
1. ZU i 0 (Nichtnegativität)
2. ZΩ 1 (Normierung)
3. U j U k l ZU m U ZU ZU (Additionssatz)
6. Verteilungen
Seien n der Umfang einer Stichprobe aus einer Menge von N Elementen, von denen K eine bestimmte
Eigenschaft bzw. mit einer Wahrscheinlichkeit p diese Eigenschaft besitzen, und k die Anzahl der
Elemente mit dieser Eigenschaft innerhalb der Stichprobe.
a) Eine Zufallsgröße X heißt binomial nach no verteilt, wenn gilt:
no p q 1 \ q für p 0,1, … , '
(Dies nennt man auch eine Bernoulli-Kette der Länge n.)
b) Eine Zufallsgröße X heißt hypergeometrisch nach r$;t
p verteilt, wenn gilt:
p
r$;t
c) Poisson-Verteilung: Zy p z
y
yv
!
wxu
u
v Lxv w
L
für p 0,1, … , '
für p { | mit Erwartungswert T.
d) Dichte der Gauß- / Normal-Verteilung: y;PQ P√} z
e) Dichte der χ -Verteilung: 7
L/Q /
2
0
L
Q
z

Q
cx~Q
QQ
für
für
* 0@
10
7. Residuum, Regression, χ2-Testgröße und Freiheitsgrade
I) Residuum und Regression
Sei y eine Größe, die in Abhängigkeit von einer anderen Größe x bestimmt wird. Sei ferner der
erwartete funktionale Zusammenhang zwischen den Größen x und y, mit dem ein erwartetes bestimmt
werden kann. Die Größe
H \ \
wird Residuum genannt.
II) χ2-Testgröße
r),Eo. \ r),G0E. χ ( ) (
r),G0E.
)
)
III) Freiheitsgrade
Seien n die Anzahl der nach Zusammenfassung vorliegenden Klassen und c die Anzahl der Parameter, die
aus der vorliegenden Messung erzeugt und ebenso zur Bestimmung der theoretischen Häufigkeiten
r G0E. herangezogen werden mußten. Dann definiert man die Freiheitsgrade ν als:
νH'\

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